加法乘法法则教师版

加法乘法法则

起源——枚举法

分类加法法则（关键词：互斥，讨论）

1. 一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是_______ ;

2. 从A 地到B 地,可乘汽车、火车、轮船三种交通工具,如果一天内汽车发3次,火车发4次,轮船发2次,那么一天内从A 地到B 地乘坐这三种交通工具的不同走法为( )

A.1+1+=3

B.3+4+2=9

C.3×4×2=24

D.以上都不对 【答案】B

【解析】根据选择工具的不同，分三类，利用分类计数原理，选B 。

3. 一幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有()

A ．45种

B ．36种

C ．28种

D ．25种 【答案】C

【解析】因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C 2

8＝28种走法．

4. 在1到20这20个整数中，任取两个数相减，差大于10，共有几种取法？ 【答案】45(种) 【解析】由题意知，被减数可以是12,13,14,15,16,17,18,19,20共9种情况，当被减数依次取12,13，…，20时，减数分别有1,2,3，…，9种情况，由分类加法计数原理可知，共有1＋2＋3＋…＋9＝45(种)不同的取法．

分部乘法法则（关键词：独立）

5. 6名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有种。 【答案】729

【解析】根据分步乘法计数原理获得冠军的可能性有72933333336

==⨯⨯⨯⨯⨯。

考点：分步乘法计数原理的应用，

6. 有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有( )种

A ．21 B.315 C. 143 D.153 【答案】C

【解析】根据题意，从中选出不属于同一学科的书2本，包括3种情况： ①一本语文、一本数学，有9×7=63种取法， ②一本语文、一本英语，有9×5=45种取法，

③一本数学、一本英语，有7×5=35种取法， 则不同的选法有63+45+35=143种； 故选C ．

7. 9名乒乓球运动员，男5名，女4名，现要从中选出2名男队员、2名女队员进行混合双打比赛，不同的配对方法共有（ ） A ．60种 B ．84种 C ．120种 D ．240种 【答案】C

【解析】解：根据题意，首先从9名球运动员中选出2名男队员、2名女队员，有C 52•C 42=10×6=60种； 再对选出的4人进行分组，进行混双比赛，有2种方法； 则不同的配对方法有60×2=120种； 故答案为C

8. 给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A ，B ，后两个字符用a ，b ，c （允许重复），则不同编号的书共有（）

A. 8本

B. 9本

C. 12本

D. 18本 【答案】D

【解析】因为利用分步计数乘法原理可知，那么先安排首字符有2种，结合安排后面的两个字符有9种，则不同的编号共有12种，选D 9. 4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成________个不同的三位数． 【答案】168

【解析】要组成三位数，根据首位、十位、个位应分三步： 第一步：首位可放8－1＝7(个)数； 第二步：十位可放6个数； 第三步：个位可放4个数．

故由分步计数原理，得共可组成7×6×4＝168(个)不同的三位数．

10. 某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了五种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同选择，则餐厅至少还需准备多少不同的素菜品种？（要求写出必要的解答过程）

【答案】至少应有7种素菜

【解析】本试题主要是考查了正确应用乘法计数原理，组合数以及不等式运算，n 为最小正整数。 本题关键在于2菜2素有无顺序．

解：在5种不同的荤菜中取出2种的选择方式应有102

5=C 种，

设素菜为x 种，则200252≥⋅C C x 解得7≥x ， 答：至少应有7种素菜

乘法加法综合应用 区别分类和分步

11. 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母 A ～G 或 U ～Z , 后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名？

分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第 1 步，选首字符；第2步，选中间字符；第3

步，选最后一个字符．而首字符又可以分为两类．

【解析】先计算首字符的选法．由分类加法计数原理，首字符共有

7 + 6 = 13 种选法．

再计算可能的不同程序名称．由分步乘法计数原理，最多可以有 13×9×9 = = 1053

个不同的名称，即最多可以给1053个程序命名． 12. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.

①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ ③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？

【解析】(1) 从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4 种方法；第2 类方法是从第2 层取1本文艺书，有3 种方法；第3类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是

123N m m m =++=4+3+2=9;

( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成3个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取1本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第3层取1 本体育书，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是

123N m m m =⨯⨯=4×3×2=24 .

（3）26232434=⨯+⨯+⨯=N 。

13. 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？ 【解析】将汽车牌照分为 2 类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：

第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；

第2步，从剩下的25个字母中选 1个，放在第2位，有25种选法； 第3步，从剩下的24个字母中选 1个，放在第3位，有24种选法； 第4步，从10个数字中选1个，放在第 4 位，有10种选法； 第5步，从剩下的 9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法； 第6步，从剩下的 8个字母中选1个，放在第6位，有8种选法． 根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有 26 ×25×24×10×9×8=11 232 000（个） . 同理，字母组合在右的牌照也有11232 000 个． 所以，共能给

11232 000 + 11232 000 = 22464 000（个） . 辆汽车上牌照．

涂色问题

14. 如图,要给地图A 、B 、C 、D 四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？