数学模型第二章习题答案

15．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v 、S 、ρ的关系.

解: 设P 、v 、S 、ρ的关系为0),,,(=ρs v P f ， 其量纲表达式为: [P]=32-T ML , [v ]=1-LT ,[s ]=2L ,[ρ]=3-ML ,这里T M L ,,是基本量纲.

量纲矩阵为：

A=)

???????

???---ρ()()

()()()()(001310013212s v P T M L

齐次线性方程组为：

??

?

??=--=+=-++0

30

32221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y

由量纲i P 定理得 1131ρπs v P -=， 1

13ρλs v P =∴ ， 其中λ是无量纲常数. 16．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系

数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.

解：设v ,ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0

，

[μ]=MLT -2

（LT -1L -1

）-1L -2

=MLL -2T -2

T=L -1

MT -1

，[g ]=LM 0T -2

,其中L ，M ，T 是基本量纲.

量纲矩阵为

A=)

()()()()()()

(210101101131g v T M L μρ??????????----- 齐次线性方程组Ay=0 ，即

???

??==+=+0

2y -y - y -0

y y 0y y -3y -y 431

324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)

由量纲i P 定理 得 g v μρπ1

3

--=. 3

ρ

μλg

v =∴，其中λ是无量纲常数.

16*．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ、特征尺寸γ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.

解：设v ,ρ,μ,γ，g 的关系为0),,,,(=g v f μργ.其量纲表达式为

[v ]=LM 0T -1

，[ρ]=L -3

MT 0

，[μ]=MLT -2

（LT -1L -1

）-1L -2

=MLL -2T -2

T=L -1

MT -1

，[γ]=LM 0T 0 ，[g ]=LM 0T -2

其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为

A=)

()()()()

()()()(210010

11001

1311g v T M L μργ??????????-----

齐次线性方程组Ay=0 即

??

?

?

?=---=+=+--+020035414354321y y y y y y y y y y 的基本解为

??

???

---=--=)

21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21

y y

得到两个相互独立的无量纲量

???==-----2

/112/32

2

/12/11g g v μργπγπ 即 1212/12/31,--==

πμργπγg g v . 由0),(21=Φππ , 得 )(1

2

1-=π?π ∴ )(12/12/3-=μργ?γυg g , 其中?是未定函数.

20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t ,摆长l , 质量m ,重力加速度g ，阻力系数k 的关系为

0),,,,(=k g m l t f

其量纲表达式为：

1

12120000000)(]][[][,][,][,][,][-----======LT MLT v f k T LM g MT L m T LM l T M L t

10-=MT L ， 其中L ，M ，T 是基本量纲.

量纲矩阵为

A=)

()()()()()()()(120011010001

010k g m l t T M L ??????????-- 齐次线性方程组

???

?

?=--=+=+0

200541

5342y y y y y y y 的基本解为

??

???

--=-=)

1,21

,1,21,0()0,21,0,21,1(21

Y Y 得到两个相互独立的无量纲量

∴g l t =

1π, )(21π?π=, 2/12

/12mg kl =π ∴)(2

/12/1mg kl g l t ?=

，其中?是未定函数 . 考虑物理模拟的比例模型，设g 和k 不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为

t ,'

t ；l ,'

l ;m ,'

m . 又)(2

/12/1g m l k g l t '''=

'? 当无量纲量

l l m

m '='时， 就有 l

l l g g l t

t '

=

?'='

. （三）2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速

率为常数r ，r k >．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间()00T t <<一边生产一边销售，后来的一段时间)(0T t T <<只销售不生产，画出贮存量)(t g 的图形.设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周

???==---2

2

/112/11

2/12/1ππk g m l g tl

期，讨论r k >>和r k ≈的情况.

解：由题意可得贮存量)(t g 的图形如下：

贮存费为 ∑?=→??-==?

i T

i i t T

T r k c dt t g c t g c 1

02

20

22

))()(lim

ξ

又 )()(00T T r T r k -=- ∴ T k r T =

0 , ∴ 贮存费变为 k

T

T r k r c 2)(2?-=

于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为

k

T

r k r c T c kT T r k r c T c T C 2)(2)()(21221-+=-+=

k r k r c T

c dT dC 2)(221-+-=. 0=dT dC

令

, 得)

(221r k r c k c T -=

* 易得函数处在*

T T C )(取得最小值，即最优周期为： )

(221r k r c k

c T -=

*

r

c c ，T

r k 21

2≈

>>*

时当 . 相当于不考虑生产的情况. ∞→≈*

，T

r k 时当 . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.

3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.

解：考虑灭火速度λ与火势b 有关，可知火势b 越大，灭火速度λ将减小，我们作如下假设: 1

)(+=

b k

b λ， 分母∞→→+λ时是防止中的011

b b 而加的.

总费用函数()x c b kx b x t c b kx b t c t c x C 3122121211)

1()(2)1(2+--++--++=β

ββββββ

最优解为 []

k b k

c b b b c kb

c x β

β)1(2)1()1(22

322

1

+++++=

1.对于5.1节传染病的SIR 模型，证明： （1）若处最大先增加，在则σ

σ

1

)(,1

0=

s t i s ，然后减少并趋于零；)(t s 单调减少

至.∞s

（2）.)()(,1

0∞s t s t i s 单调减少至单调减少并趋于零，则若σ

解：传染病的SIR 模型（14）可写成

?????-=-=i s dt

ds s i dt di

λσμ)

1(

.)(lim 0.(t) .)( .0,t 存在而单调减少知由∞∞→=∴≥-=s t s s t s dt

ds

i s dt ds λ

.)(∞s t s 单调减少至故

（1）.s s(t) .s(t) .1

00≤∴单调减少由若σ

s

;)(,0 .01,1

0单调增加时当

t i dt

di

s s s ∴

-σσ

.)(,0 .01,1单调减少时当t i dt

di

s s ∴-σσ

.0)(lim .0)18(t ==∞

→∞t i i 即式知又由书上

.)( .0,

1

m i t i dt

di

s 达到最大值时当∴==

σ

（2）().0 0.1-s

,1,10 dt

di

t s s σσσ从而则若 ()().0.0lim ==∴∞∞

→i t i t i t 即单调减少且

4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=b

a

初始兵力00y x 与相同.

(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.

(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.

解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:

()()()???

????==-=-=000,01 ,y

y x x bx dt

dy

ay dt dx

现求(1)的解: (1)的系数矩阵为?

?

?

?

??--=00b a A ab ab b a

A E ±=∴=-==

-1,22 .0λλλ

λλ ???

?

??????

??-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()t

ab t ab e

C e C t y t x -

???

? ??+???

?

??-=???? ??∴1212121的通解为.

再由初始条件，得

()()2 220000 t

ab t

ab e y x e

y x t x -??

? ??++??

? ??-=

又由().1ay

bx dx dy =可得

其解为 ()3 ,2

02022 bx ay k k bx ay -==-而

(1) ()().2

3

1000202011y a b y a bx ay a

k t y t x =-=-==

=时，当

即乙方取胜时的剩余兵力数为

.2

3

0y 又令().0222,01

1

00001=-??

?

??++??

?

??-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（

注意到0

00020022,1

x y y x e

y x t ab -+=

=得. .43

ln ,312

1

b

t e

t ab =

∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则

()()???

????==-=+-=000,)0(4 y

y x x bx dt

dy

r ay dt dx

().,4rdy aydy bxdx bx

r

ay dy dx -=-+-=即得

由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222

2

20.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--??

? ??---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了

.a r 乙方取胜的条件为.,022202

0a r x a b a r y k +??? ?

?

- 亦即 （七）1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic 规律，而单位时间捕捞量为常数h ．

(1)分别就4/rN h >，4/rN h <，4/rN h =这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．

(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．

解：设时刻t 的渔场中鱼的数量为()t x ，则由题设条件知：()t x 变化规律的数学模型为

h N

x

rx dt t dx --=)1()(

记h N

x

rx x F --

=)1()( (1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性： 由()0=x F ，得0)1(=--

h N

x

rx ． 即

()102

=+-h rx x N

r )4(42N

h

r r N rh r -=-

=? ， (1)的解为：2

412,1N rN

h

N x -

±=

①当4/rN h >，0

0N x =

. N

rx

r N rx N x r x F 2)1()('-

=--

=，0)(0'=x F 不能断定其稳定性. 但0x x ? 及0x x 均有04)1()( rN

N x rx x F --= ，即0 dt

dx ．∴0x 不稳定；

③当4/rN h <，0>?时，得到两个平衡点：

2411N rN

h

N x --=

， 2

412N rN

h N x -

+=

易知：21N x <

， 2

2N x > ，0)(1'

>x F ，0)(2'

(2)最大持续产量的数学模型为

?

?

?

=0)(..max x F t s h 即 )1(max N

x

rx h -

=， 易得 2*0N x = 此时 4rN h =， 但2

*

0N x =这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量模型不同之处．

要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2

N

x >

，且尽量接近2N ，但不能等于2N ．

2.与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：()x

N

rx t x ln

'

=．其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同．

设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为Ex h =．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*

0x ．

解：()t x 变化规律的数学模型为

()Ex x

N

rx dt t dx -=ln 记 Ex x

N

rx x F -=ln

)( ① 令()0=x F ，得0ln =-Ex x

N

rx ∴r E

Ne x -=0，01=x ．

∴平衡点为1,0x x . 又 ()E r x

N

r x F --=ln

'，()()∞=<-=1'0',0x F r x F ． ∴ 平衡点o x 是稳定的，而平衡点1x 不稳定.

②最大持续产量的数学模型为：

??

?

?

?≠=-=.0,0ln ..max x Ex x N rx t s Ex h 由前面的结果可得 r

E ENe

h -=

r E

r E

e r EN Ne dE dh ---=，令.0=dE

dh

得最大产量的捕捞强度r E m =．从而得到最大持续产量e rN h m /=，此时渔场鱼量水平

e

N

x =

*

0． Ex

()x f

3．设某渔场鱼量)(t x (时刻t 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(N

x

rx dt t dx -= 其中r 为固有增长率,`N 为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h .

10．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;

20．试确定捕捞强度m E ,使渔场单位时间内具有最大持续产量m Q ,求此时渔场鱼量水平*

0x . 解：10．)(t x 变化规律的数学模型为

h N

x

rx dt t dx --=)1()( 记h N x rx x f --=)1()(,令 0)1(=--h N x rx ，即 02

=+-h rx x N

r ----（1）

)4(42N

h

r r N rh r -=-

=? ， （1）的解为：2

412,1N rN

h

N x -

±=

① 当0 ?时，（1）无实根，此时无平衡点； ② 当0=?时，（1）有两个相等的实根，平衡点为2

0N

x =

. N

rx r N rx N x r x f 2)1()('-

=--

= ，0)(0'

=x f 不能断定其稳定性. 但0x x ? 及0x x 均有04)1()( rN N x rx x f --= ，即0 dt dx

∴0x 不稳定；

③ 当0 ?时，得到两个平衡点：

2411rN

h

N N x --=

， 2

412rN

h N N x -

+=

易知 21N x

， 2

2N x ∴0)('1 x f ， 0)('2 x f ∴平衡点1x 不稳定 ，平衡点2x 稳定.

20

．最大持续产量的数学模型为： ?

??=0)(..max x f t s h

即 )1(max N x rx h -=， 易得 2*0N x = 此时 4rN h =，但2

*

0N x =这个平衡点不稳定. 要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x ,且尽量接近2N ,但不能等于2

N

.

第九章（2008年12月18日）

1．在1.9节传送带效率模型中,设工人数n 固定不变.若想提高传送带效率D,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m ，比如增加一倍，其它条件不变．另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样．试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好．

解：两种情况的钩子数均为m 2．第一种办法是m 2个位置，单钩放置m 2个钩子；第二种办法是m 个位置，成对放置m 2个钩子．

① 由1.9节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为

?

???

??????? ??-

-=n

m n m D 21112 当

m

n

2较小，1 n 时，有 ()m n m n n m n m D 41

181211122

--=??

??????? ??-+--≈

E D -=1 ， m

n

E 4≈

② 下面推导第二种办法的传送带效率公式：

对于m 个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的m 个钩对．

任一只钩对被一名工人接触到的概率是

m

1

； 任一只钩对不被一名工人接触到的概率是m

1

1-；

记m

q m p 1

1,1-==．由工人生产的独立性及事件的互不相容性．得，任一钩对为空

的概率为n

q ，其空钩的数为m 2；任一钩对上只挂上１件产品的概率为1

-n npq ，其空钩数

为m ．所以一个周期内通过的m 2个钩子中，空钩的平均数为 ()

11

22--+=?+?n n n n

npq q m npq

m q m

于是带走产品的平均数是 (

)1

22-+-n n npq

q m m ， 未带走产品的平均数是 (

)()1

22-+--n n npq

q m m n ）

∴此时传送带效率公式为

()?

?????????? ??--??? ??

--=+-=

--1

111112222'n n n n m m n m n m n npq q m m D ③ 近似效率公式：

由于 ()()()3

21621121111m n n n m n n m n m n

----+-≈??

? ??

- ()()2

1

1

2211111m n n m n m n --+

--

≈?

?

? ??

-- ∴ ()()2

6211'm n n D ---

≈

当1 n 时，并令'1'D E -=，则 2

2

6'm n E ≈

④ 两种办法的比较：

由上知：m

n

E 4≈，2

26'm n E ≈ ∴ m n E E 32/'=

，当n m 时，132 m

n

， ∴ E E '． 所以第二种办法比第一种办法好．

2.一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖.已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元.如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每100份报纸要赔4元.报童每天售出的报纸数r 是一随机变量，其概率分布如下表：

试问报童每天订购多少份报纸最佳(订购量必须是100的倍数)？ 解：设每天订购n 百份纸，则收益函数为

?

?

?≤--+=n r n n

r r n r r f 7))(4(7)( 收益的期望值为G(n) =

∑=-n r r P n r 0

)()411(+∑∞

+=1

)(7n r r P n

现分别求出 n =5,4,3,2,1,0时的收益期望值.

G(0)=0；G(1)=4-×0.05+7×0.1+7×（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45; G(2)= (05.08?-25.0141.03?+?+))1.015.035.0(14++?+8.11=; G(3)=(05.012?-35.02125.0101.01?+?+?-))1.015.0(21+?+4.14= G(4)=(05

.016?-15.02835.01725.061.05?+?+?+?-)1.028?+15.13=

G(5)=05.020?-1.03515.02435.01325.021.09?+?+?+?+?- 25.10= 当报童每天订300份时，收益的期望值最大.

5．某工厂生产甲、乙两种产品,生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如下表所示：

现有库存原材料1400千克；能源消耗总额不超过2400百元；全厂劳动力满员为2000人.试安排生产任务(生产甲、乙产品各多少件),使利润最大,并求出最大利润.

解：设安排生产甲产品x 件，乙产品y 件，相应的利润为S.则此问题的数学模型为

Z

y x y x y x y x y x t s y x S ∈≥≥≤+≤+≤++=,,0,020********

61400

32..54max

模型的求解：

用图解法.可行域为：由直线

,0200024:24006:140032:3:21===+=+=+y x y x l y x l y x l 及

组成的凸五边形区域.

直线C y x l =+54:在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l 过31l l 与的交点时，S 取最大值. 由?

?

?=+=+2000241400

32y x y x 解得：200,400==y x

260020054004max =?+?=S （千元）.

故安排生产甲产品400件、乙产品200件,可使利润最大,其最大利润为2600千元. 7.深水中的波速v 与波长λ、水深d 、水的密度ρ和重力加速度g 有关，试用量纲分析方法给出波速v 的表达式.

解：设v ,λ,d ,ρ，g 的关系为),,,,(g d v f ρλ=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1

，[λ]=LM 0T 0

，

[d ]=LM 0T 0

，[

ρ]=L -3MT 0， [g ]=LM 0T -2,其中L ，M ，T 是基本量纲.

---------4分

量纲矩阵为

A=)

()()()()()()()(200010

100013111g d v T M L ρλ???????

???---

齐次线性方程组Ay=0 ，即

???

?

?===+-++02y - y -0 y 03y y 51

454321y y y 的基本解为1=),2

1

,0,0,21,1(--

2=)0,0,1,1,0(- 由量纲i P 定理 得 ?????==---2

1

12

1

21

πλπλd g v

∴g v λ=

1π, )(21π?π=, λπd =2

)(λ

?λd g v =∴，其中?是未定函数 .