矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用

中图分类号： O151.2本科生毕业论文（设计）（申请学士学位）论文题目矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用作者姓名专业名称数学与应用数学指导教师2011年5月1日学号：论文答辩日期：年月日指导教师：（签字）滁州学院本科毕业设计（论文）原创性声明本人郑重声明：所呈交的设计（论文）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。

除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。

本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。

作者签名：年月日目录摘要 (1)Abstract (4)绪论................................................................................................................... 错误!未定义书签。

1矩阵最小多项式与特征多项式.................................................................... 错误!未定义书签。

1.1相关符合及定义................................................................................... 错误!未定义书签。

1.2矩阵最小多项式................................................................................... 错误!未定义书签。

1.2.1最小多项式的定义 ................................................................... 错误!未定义书签。

1.2.2有关定理及推论 ....................................................................... 错误!未定义书签。

1.3矩阵特征多项式 (5)1.3.1特征多项式定义 (5)1.3.2特征多项式性质 (6)1.4特征多项式解最小多项式的一种方法 (6)1.5Frobenius块和若当块的最小多项式与特征多项式 (9)1.5.1Frobenius块 (9)1.5.2若挡块 (10)2矩阵最小多项式与特征多项式相等情形下的等价命题 (11)3定理应用 (13)3.1相等情形下的三个推论................................................................. 错误!未定义书签。

3.2定理与推论的应用.......................................................................... 错误!未定义书签。

参考文献............................................................................................................ 错误!未定义书签。

致谢. (18)矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质及应用摘要：本文首先从矩阵最小多项式与特征多项式的定义与性质出发，讨论它们的概念与定理，给出了一种由特征多项式求最小多项式的方法。

介绍了Frobenius块和若当块,其最小多项式与特征式相等。

重点讨论矩阵最小多项式与特征多项式在相等情形下的充分必要条件，并得出它们在相等条件下的一些等价命题，对这些命题进行了简单的证明。

最后给这些定理的实际应用，使我们加深了矩阵最小多项式与特征多项式相等情形时的理解和应用。

关键词：最小多项式；特征多项式；不变因子；初等因子中图分类号：O151.2；O153Equal Properties of Minimum Polynomial and CharacteristicPolynomial of Matrix and ApplicationsAbstract:This paper firstly from matrix minimum polynomial and characteristic polynomial of the definition and properties, discussed their concepts and theorem, given a method for minimum polynomial by characteristic polynomial, introduced Frobenius piece and Jordan piece, when its minimum polynomial and characteristic polynomial are equal. Mainly discussed the sufficient and necessary conditions when the minimum polynomials and characteristic polynomial matrix are equal. And draw equivalent propositions under the condition of the equal condition. Finally to the practical application of these theorems, we deepen the understanding and application of minimum polynomials and characteristic polynomial matrix when they equal.Keywords: minimum polynomials; characteristic polynomial; invariant factor; elementary factor绪 论在先前学过的高等代数及参阅的一些文献中，对矩阵最小多项式及特征多项式的讲解比较笼统简单，对它们的性质及应用也是很少涉及，所参考的文献中对矩阵最小多项式与特征多项式相等的性质研究非常有限，但它们在代数中又有着重要的应用价值，在这种情形下，对两者的研究就显得非常有必要。

因此本文从三个方面出发比较系统的讨论了矩阵最小多项式、特征多项式及矩阵最小多项式与特征多项式相等时的一些定理与性质，对其中一些定理给出了理论证明。

首先，本文对矩阵最小多项式、特征多项式进行了概述，参阅文献[1][2]中最小多项式及特征多项式的定义、定理，并对其中部分比较重要的定理予以证明，又给出一种由特征多项式求最小多项式的方法。

在这个过程当中，有助于我们进一步理解它们的性质与用处，为下面对矩阵最小多项式与特征多项式相等情形下的性质与应用探究做了些铺垫。

其次，引入了Frobenius 块(())C g x 和若当块，包括广义若当块(())k J p x 、k 阶若当块(())k J x c -，显然它们的最小多项式与特征多项式相等。

最后，也是本文的重点同时也是难点，这一部分比较系统的论证了矩阵最小多项式与特征多项式相等时的定理与应用，其中涉及到相等情形下的一些等价命题，主要有不变因子、初等因子、有理标准型、广义若单标准型和特征向量等，这些问题涉及到不同数域，这些等价命题间的理论推导，有一定的困难，但也是本文的亮点。

同时列举出一些实际例子，一般地，对()n A M F ∈,有()()A A m x f x 且两者根集相等，但实际问题中遇到()A m x 、()A f x 是否相等的问题，对这些问题的深入分析，弄清这些不是很常见的问题，有利于我们理解线性代数中的一些重要定理，能更好的学好高等代数。

总之，通过此次对上述三种情况的研究，不仅加深了对它们在理论上的理解，同时分清了它们在不同条件下的使用条件，将它们运用在实际的例子当中，体现了这些定理及性质实际应用性，也加深了我们对这些问题的认识，使我们从单一片面的理解矩阵最小多项式、特征多项式过度到能从整体的角度去把握它们。

1 矩阵最小多项式与特征多项式1.1 相关符号及定义[]C λ表示复数域C 上的一元多项式环；()n M C 表示C 上的全体n 阶矩阵对矩阵的加法与数乘矩阵运算构成的向量空间； ()A f λ表示方阵A 的特征多项式；()A m λ表示方阵A 的最小多项式；()g λ表示方阵A 的某一化零多项式；0()r λ∂ 表示一元多项式()r λ的次数。

定义1.1 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域P 上的一元多项式环。

定义1.2 λ-矩阵()A λ的不变因子即标准形的主对角线上非零元素12(),(),,()n d d d λλλ （详见文献[1]）。

定义1.3 把矩阵A (或线性变换σ)的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的 一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计算)称为矩阵A (或线性变换σ)的初等因子。

1.2 矩阵最小多项式1.2.1 最小多项式定义定义1.4 设()n A M C ∈，()[]f C λλ∈，若()0f A =，则称()f λ为A 的零化多项式， 在A 的零化多项式中，次数最低的首1多项式称为A 的最小多项式，记作()A m λ。

最小多项式在n n ⨯矩阵多项式的计算中起着重要作用，这将在下节中具体阐述。

1.2.2 有关定理及性质定理1.1 设()n A M C ∈，A 的最小多项式()A m λ具有以下性质：（1）()A m λ存在并且唯一确定；（2）()A m λ整除A 的任一零化多项式；（3）()()A A m f λλ；（4）相似矩阵的最小多项式相同；（5）A 与T A 具有相同的最小多项式；（6）若()()A f m λλ，则()f A 不可逆。

证明 （1）对()n A M C ∀∈，以()A f λ表示A 的特征多项式，由Hamilton Cayley -定理()0A f A =，并且对()()n g M λλ∀∈，只要()()A f g λλ，就有()0g A =,表明A 的零化多项式大量存在。

由于次数是非负整数，有最小数原理，A 的零化多项式必有一个是次数最低的，记为()k λ，设()k λ的首项系数为0a ≠，则1()A m k aλ=，且唯一。

（2）设()g λ是的任一零花多项式，进行带余除法得：()()()()A g m q r λλλλ=+，其中：()0r λ=或00()()A r m λλ∂≤∂.若()0r λ≠，则()()()()A r g m q λλλλ=-。