高考数学二轮复习抛物线学案(含解析)

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高中数学_《抛物线》教学设计学情分析教材分析课后反思

抛物线及其标准方程一、教材分析新课程标准要求1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。

3．能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。

4．通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。

二、教学目标1．知识与技能：理解抛物线定义；掌握抛物线图形及其方程；会运用抛物线性质解决问题；2．过程与方法：通过思维导图让学生对抛物线的基本知识形成知识框架；通过典型例题剖析总结出通性通法。

3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学数形结合的思想、方程思想及分类讨论思想。

【教学重点】抛物线定义及其方程；抛物线性质的综合应用。

【教学难点】抛物线性质的综合应用；三、教学方法这一节与椭圆、双曲线几何性质的知识结构相似，研究方法为学生所熟悉，这使学生的自主探究活动具备良好的基础。

但是学生思维的全面性、深刻性，以及数形结合思想有待进一步培养加强。

基于以上分析，本节课我采用启发探究式的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，充分体现以学生为主体的教学理念。

为了展现丰富生动的教学内容，我利用多媒体技术进行辅助教学。

四、教学过程通过历年抛物线在高考全国卷的比对，让学生把握抛物线的考察重点及其方向。

【师生活动】引导学生回顾抛物线的定义。

一、抛物线的定义课堂探究一：抛物线的定义【例1】若抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3，2)，则|P A |＋|PF |取最小值时点P 的坐标为________.解析：将x ＝3代入抛物线方程 y 2＝2x ，得y ＝± 6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图.设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2，2).【共同归纳】应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线M上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p 2或|PF |＝|y 0|＋p2. 通过题组分析总结出最值的规律方法。

专题40 抛物线(教学案)-2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍 Word版含解析

1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)。

2．理解数形结合的思想。

3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。

热点题型一抛物线的定义及标准方程例1、（2018年全国I 卷理数）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8 【答案】D【变式探究】【2017课标II ，理16】已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。

若M 为FN 的中点，则FN = 。

【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．【变式探究】(1)已知点M (3,2)，F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 在该抛物线上移动，当|PM |＋|PF |取最小值时，点P 的坐标为________。

(2)已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．不确定|MN |＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |。

故以M 为圆心，以12|AB |为半径的圆与直线l 相切。

选C 。

【提分秘籍】与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关。

实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化。

(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解。

(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决。

(3)引入变量，建立目标函数，利用不等式或者函数性质求解。

【举一反三】已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝()A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A热点题型二抛物线的几何性质例2、（2018年全国Ⅲ卷理数）已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．【答案】2【解析】设则所以所以取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为因为,因为M’为AB中点，所以MM’平行于x轴因为M(-1,1) 所以，则即故答案为2.【变式探究】【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【变式探究】(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32 C ．2 D ．3(2)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3 D ．2【解析】(1)因为双曲线的离心率e ＝ca ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，所以b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p 2相交于A ⎝⎛⎭⎫－p 2，32p ，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，－32p ，所以△AOB 的面积为12×p 2×3p ＝3，又p ＞0，所以p ＝2。

高考高三数学总复习教案：抛物线

第九章平面解析几何第9课时抛物线错误!考情分析考点新知建立并掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单几何性质，能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题．１了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，了解它们的简单几何性质.２掌握抛物线的简单应用.１．已知抛物线的焦点坐标是（0，—３），则抛物线的标准方程是________．答案：x２＝—１２y解析：∵ 错误!＝３，∴p＝6，∴x２＝—１２y.２．抛物线y２＝—8x的准线方程是________．答案：x＝２解析：∵ ２p＝8，∴p＝４，故所求准线方程为x＝２．３．抛物线y＝ax２的准线方程是y＝２，则a的值是________．答案：—错误!解析：抛物线的标准方程为x２＝错误!y.则a＜0且２＝—错误!，得a＝—错误!.４．（选修１１P４４习题２改编）抛物线y２＝４x上一点M到焦点的距离为３，则点M的横坐标x ＝________．答案：２解析：∵ ２p＝４，∴p＝２，准线方程x＝—１．由抛物线定义可知，点M到准线的距离为３，则x＋１＝３，即x＝２．５．已知斜率为２的直线l过抛物线y２＝ax（a＞0）的焦点F，且与y轴相交于点A，若△OAF（O 为坐标原点）的面积为４，则抛物线方程为________．答案：y２＝8x解析：依题意得，OF＝错误!，又直线l的斜率为２，可知AO＝２OF＝错误!，△AOF的面积等于错误!·AO·OF＝错误!＝４，则a２＝6４．又a＞0，所以a＝8，该抛物线的方程是y２＝8x.１．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）距离相等_的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．２．抛物线的标准方程和几何性质（如下表所示）标准方程y２＝２px（p>0）y２＝—２px（p>0）图形性质范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R准线方程x＝—错误!x＝错误!焦点错误!错误!对称轴关于x轴对称顶点（0，0）离心率e＝１标准方程x２＝２py（p>0）x２＝—２py（p>0）图形性质范围y≥0，x∈R y≤0，x∈R 准线方程y＝—错误!y＝错误!焦点错误!错误!对称轴关于y轴对称顶点（0，0）离心率e＝１题型１求抛物线的基本量例１抛物线y２＝8x的焦点到准线的距离是________．答案：４解析：由y２＝２px＝8x知p＝４，又焦点到准线的距离就是p，所以焦点到准线的距离为４．错误!抛物线y２＝—8x的准线方程是________．答案：x＝２解析：∵２p＝8，∴p＝４，准线方程为x＝２．题型２求抛物线的方程例２（选修１１P４４习题５改编）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线２x—y—４＝0上，求抛物线的标准方程．解：直线２x—y—４＝0与x轴的交点是（２，0），与y轴的交点是（0，—４）．由于抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，则１若抛物线焦点在x轴上，则抛物线的标准方程是y２＝8x；２若抛物线焦点在y轴上，则抛物线的标准方程是x２＝—１6y；故所求抛物线方程为y２＝8x或x２＝—１6y.错误!已知Rt△AOB的三个顶点都在抛物线y２＝２px上，其中直角顶点O为原点，OA所在直线的方程为y＝错误!x，△AOB的面积为6错误!，求该抛物线的方程．解：∵ OA⊥OB，且OA所在直线的方程为y＝错误!x，OB所在直线的方程为y＝—错误!x，由错误!得A点坐标为错误!，由错误!得B点坐标为（6p，—２错误!p），∴OA＝错误!|p|，OB＝４错误!|p|，又S△OAB＝错误!p２＝6错误!，∴p＝±错误!.∴该抛物线的方程为y２＝３x或y２＝—３x.题型３抛物线的几何性质探究例３在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（２，２），其焦点F在x轴上．（１）求抛物线C的标准方程；（２）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（３）设过点M（m，0）（m>0）的直线交抛物线C于D、E两点，ME＝２DM，记D和E两点间的距离为f（m），求f（m）关于m的表达式．解：（１）由题意，可设抛物线C的标准方程为y２＝２px.因为点A（２，２）在抛物线C上，所以p ＝１.因此抛物线C的标准方程为y２＝２x.（２）由（１）可得焦点F的坐标是错误!，又直线OA的斜率为错误!＝１，故与直线OA垂直的直线的斜率为—１，因此所求直线的方程是x＋y—错误!＝0．（３）（解法１）设点D和E的坐标分别为（x１，y１）和（x２，y２），直线DE的方程是y＝k（x—m），k≠0．将x＝错误!＋m代入y２＝２x，有ky２—２y—２km＝0，解得y１，２＝错误!.由ME＝２DM知１＋错误!＝２（错误!—１），化简得k２＝错误!.因此DE２＝（x１—x２）２＋（y１—y２）２＝错误!（y１—y２）２＝错误!错误!＝错误!（m２＋４m），所以f（m）＝错误!错误!（m>0）．（解法２）设D错误!，E错误!.由点M（m，0）及错误!＝２错误!，得错误!t２—m＝２错误!，t—0＝２（0—s）．因此t＝—２s，m＝s２.所以f（m）＝DE＝错误!＝错误!错误!（m>0）．错误!抛物线y２＝２px的准线方程为x＝—２，该抛物线上的每个点到准线x＝—２的距离都与到定点N 的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线l１：y＝x和l２：y＝—x 相切的圆，（１）求定点N的坐标；（２）是否存在一条直线l同时满足下列条件：１l分别与直线l１和l２交于A、B两点，且AB中点为E（４，１）；２l被圆N截得的弦长为２．解：（１）因为抛物线y２＝２px的准线方程为x＝—２．所以p＝４，根据抛物线的定义可知点N 是抛物线的焦点，所以定点N的坐标为（２，0）．（２）假设存在直线l满足两个条件，显然l斜率存在，设l的方程为y—１＝k（x—４），k≠±１．以N为圆心，同时与直线l１：y＝x和l２：y＝—x 相切的圆N的半径为错误!.因为l被圆N截得的弦长为２，所以圆心到直线的距离等于１, 即d＝错误!＝１，解得k＝0或错误!，当k＝0时，显然不合AB中点为E （４，１）的条件，矛盾，当k＝错误!时，l的方程为４x—３y—１３＝0．由错误!，解得点A的坐标为（１３，１３）；由错误!，解得点B的坐标为错误!.显然AB中点不是E（４，１），矛盾，所以不存在满足条件的直线l.１．抛物线y＝—x２上的点到直线４x＋３y—8＝0的距离的最小值是________．答案：错误!解析：设抛物线y＝—x２上一点为（m，—m２），该点到直线４x＋３y—8＝0的距离为错误!，当m ＝错误!时，取得最小值错误!.２．已知双曲线C１：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为２．若抛物线C２：x２＝２py（p>0）的焦点到双曲线C１的渐近线的距离为２，则抛物线C２的方程为________．答案：x２＝１6y解析：∵ 双曲线C１：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为２，∴错误!＝错误!＝２，∴b ＝错误!a，∴双曲线的渐近线方程为错误!x±y＝0，∴抛物线C２：x２＝２py（p＞0）的焦点错误!到双曲线的渐近线的距离为错误!＝２，∴p＝8．∴ 所求的抛物线方程为x２＝１6y.３．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（２，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为３，则OM＝________．答案：２错误!解析：依题意，设抛物线方程是y２＝２px（p>0），则有２＋错误!＝３，得p＝２，故抛物线方程是y２＝４x，点M的坐标是（２，±２错误!），OM＝错误!＝２错误!.４．已知抛物线D的顶点是椭圆C：错误!＋错误!＝１的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．（１）求抛物线D的方程；（２）过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点．１若直线l的斜率为１，求MN的长；２是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．解：（１）由题意，可设抛物线方程为y２＝２px（p>0）．由a２—b２＝４—３＝１，得c＝１，∴抛物线的焦点为（１，0），∴p＝２．∴抛物线D的方程为y２＝４x.（２）设M（x１，y１），N（x２，y２）．１直线l的方程为y＝x—４，联立错误!整理得x２—１２x＋１6＝0，即M（6—２错误!，２—２错误!），N（6＋２错误!，２＋２错误!），∴MN＝错误!＝４错误!.２设存在直线m：x＝a满足题意，则圆心E错误!，过E作直线x＝a的垂线，垂足为E′，设直线m 与圆E的一个交点为G.可得|E′G|２＝|EG|２—|EE′|２，即|E′G|２＝|EA|２—|EE′|２＝错误!—错误!错误!＝错误! y错误!＋错误!＋a（x１＋４）—a２＝x１—４x１＋a（x１＋４）—a２＝（a—３）x１＋４a—a２.当a＝３时，|E′G|２＝３，此时直线m被以AM为直径的圆E所截得的弦长恒为定值２错误!，因此存在直线m：x＝３满足题意．５．如图，等边三角形OAB的边长为8错误!，且其三个顶点均在抛物线E：x２＝２py（p>0）上．（１）求抛物线E的方程；（２）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝—１相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．解：（１）依题意，OB＝8错误!，∠BOy＝３0°.设B（x，y），则x＝OBsin３0°＝４错误!，y＝OBcos ３0°＝１２．因为点B（４错误!，１２）在x２＝２py上，所以（４错误!）２＝２p×１２，解得p＝２．故抛物线E的方程为x２＝４y.（２）由（１）知y＝错误!x２，y′＝错误!x.设P（x0，y0），则x0≠0，y0＝错误!x错误!，且l的方程为y—y0＝错误!x0（x—x0），即y＝错误!x0x—错误!x错误!.由错误!得错误!所以Q为错误!.设M（0，y１），令错误!·错误!＝0对满足y0＝错误!x错误!（x0≠0）的x0，y0恒成立．由于错误!＝（x0，y0—y１），错误!＝错误!，由错误!·错误!＝0，得错误!—y0—y0y１＋y１＋y错误!＝0，即（y错误!＋y１—２）＋（１—y１）y0＝0．（*）由于（*）式对满足y0＝错误!x错误!（x0≠0）的y0恒成立，所以错误!解得y１＝１．故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（0，１）．１．（文）已知抛物线y２＝２px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是________．答案：相切解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线为l，A１、B１分别为A、B在直线l上的射影，则|AA|＝|AF|，|BB１|＝|BF|，于是M到l的距离d＝错误!（|AA１|＋|BB１|）＝错误!（|AF|＋|BF|）＝错误!|AB|１＝半径，故相切．（理）下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面２m，水面宽４m．水位下降１m后，水面宽________ m.答案：２错误!解析：设抛物线的方程为x２＝—２py，则点（２，—２）在抛物线上，代入可得p＝１，所以x２＝—２y.当y＝—３时，x２＝6，即x＝±错误!，所以水面宽为２错误!.２．（文）已知抛物线y２＝２px（p＞0）的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为２的正三角形，则p的值是________．答案：２±错误!解析：依题意得F错误!，设P错误!，Q错误!（y１≠y２）．由抛物线定义及PF＝QF，得错误!＋错误!＝错误!＋错误!，所以y错误!＝y错误!，所以y１＝—y２.又PQ＝２，因此|y１|＝|y２|＝１，点P错误!.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得PF＝错误!＋错误!＝２，由此解得p＝２±错误!.（理）拋物线顶点在原点，它的准线过双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知拋物线与双曲线的一个交点为错误!，求拋物线与双曲线方程．解：由题设知，拋物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝２c，设拋物线方程为y２＝４c·x.∵拋物线过点错误!，∴6＝４c·错误!.∴c＝１，故拋物线方程为y２＝４x.又双曲线错误!—错误!＝１过点错误!，∴错误!—错误!＝１．又a２＋b２＝c２＝１，∴错误!—错误!＝１．∴a２＝错误!或a２＝9（舍）．∴b ２＝错误!，故双曲线方程为４x２—错误!＝１．３．（文）如图，过抛物线y２＝２px（p>0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点Ｃ．若|BC|＝２|BF|，且|AF|＝３，则此抛物线的方程为________．答案：y２＝３x解析：由抛物线定义，|BF|等于B到准线的距离．由|BC|＝２|BF|，得∠BCM＝３0°.又|AF|＝３，从而A错误!.由A在抛物线上，代入抛物线方程y２＝２px，解得p＝错误!.（理）如图所示，直线l１和l２相交于点M，l１⊥l２，点N∈l１，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l２的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|＝错误!，|AN|＝３，且|NB|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．解：以直线l１为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以l２为准线的抛物线的一段．其中A、B分别为曲线段C的端点．设曲线段C的方程为y２＝２px（p＞0）（x A≤x≤x B，y＞0），其中x A、x B为A、B的横坐标，p＝|MN|，∴M错误!、N错误!.由|AM|＝错误!，|AN|＝３，得错误!错误!＋２px A＝１7，１错误!错误!＋２px A＝9．２联立１２，解得x A＝错误!，代入１式，并由p＞0，解得错误!或错误!∵△AMN为锐角三角形，∴错误!＞x A.∴错误!由点B在曲线段C上，得x B＝|BN|—错误!＝４．综上，曲线C的方程为y２＝8x（１≤x≤４，y>0）．４．（文）求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程．（１）过点（—３，２）；（２）焦点在直线x—２y—４＝0上．解：（１）设所求抛物线的方程为y２＝—２px或x２＝２py（p＞0）．∵过点（—３，２），∴４＝—２p（—３）或9＝２p·２．∴p＝错误!或p＝错误!.∴所求抛物线的方程为y２＝—错误!x或x２＝错误!y，前者的准线方程是x＝错误!，后者的准线方程是y＝—错误!.（２）令x＝0得y＝—２，令y＝0得x＝４，∴抛物线的焦点为（４，0）或（0，—２）．当焦点为（４，0）时，错误!＝４，∴p＝8，此时抛物线的方程为y２＝１6x；焦点为（0，—２）时，错误!＝２，∴p＝４，此时抛物线的方程为x２＝—8y.∴所求抛物线的方程为y２＝１6x或x２＝—8y，对应的准线方程分别是x＝—４，y＝２．（理）已知定点F（0，１）和直线l１：y＝—１，过定点F与直线l１相切的动圆圆心为点Ｃ．（１）求动点C的轨迹方程；（２）过点F的直线l２交轨迹于两点P、Q，交直线l１于点R，求错误!·错误!的最小值．解：（１）由题设点C到点F的距离等于它到l１的距离，∴点C的轨迹是以F为焦点，l１为准线的抛物线．∴所求轨迹的方程为x２＝４y.（２）由题意直线l２的方程为y＝kx＋１，与抛物线方程联立消去y，得x２—４kx—４＝0．记P（x１，y１），Q（x２，y２），则x１＋x２＝４k，x１x２＝—４．由直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为错误!，错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!错误!＋（kx１＋２）（kx２＋２）＝（１＋k２）x１x２＋错误!（x１＋x２）＋错误!＋４＝—４（１＋k２）＋４k错误!＋错误!＋４＝４错误!＋8．∵k２＋错误!≥２，当且仅当k２＝１时取到等号．∴错误!·错误!≥４×２＋8＝１6，即错误!·错误!的最小值为１6．１．涉及抛物线上的点到焦点（准线）的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线（焦点）的距离问题求解．２．求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p，但要注意判断标准方程的形式．３．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．错误![备课札记]。

人教版数学高二数学人教A版选修2-1学案抛物线的简单几何性质

2．4．2抛物线的简单几何性质预习课本P68～72，思考并完成以下问题抛物线有哪些几何性质？[新知初探]抛物线的简单几何性质类型y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图象性质焦点F⎝⎛⎭⎫p2，0F⎝⎛⎭⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎫0，p2F⎝⎛⎭⎫0，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0 对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线x2＝2py(p>0)有一条对称轴为y轴()(2)抛物线y＝－18x2的准线方程是x＝132()答案：(1)√(2)×2．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为() A．8B．16C．32D．64答案：B3．若双曲线x23－16y2p2＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________．答案：4抛物线方程及其几何性质[典例] 已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上不同的两点，O 为坐标原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点F ，求直线AB 的方程．[解] 如图所示．设A (x 0，y 0)，由题意可知，B (x 0，－y 0)，又F ⎝⎛⎭⎫p 2，0是△AOB 的垂心，则AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1，即y 0x 0－p 2·⎝⎛⎭⎫－y 0x 0＝－1，∴y 20＝x 0⎝⎛⎭⎫x 0－p 2，又y 20＝2px 0，∴x 0＝2p ＋p 2＝5p 2．因此直线AB 的方程为x ＝5p2．根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论．[活学活用]已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，可设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫a 2，0，直线l ：x ＝a2， ∴A ，B 两点坐标分别为⎝⎛⎭⎫a 2，a ，⎝⎛⎭⎫a 2，－a ， ∴|AB |＝2|a |． ∵△OAB 的面积为4， ∴12·a2·2|a |＝4，∴a ＝±22． ∴抛物线方程为y 2＝±42x ．直线与抛物线的位置关系[典例] OA ⊥OB ．[证明] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0．∵直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A ，B ， ∴可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16．∵OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝ x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0， ∴OA ⊥OB ，即OA ⊥OB ．将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．[活学活用]过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，求此直线方程．解：显然，直线斜率k 存在，设其方程为y －2＝k (x ＋3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x ＋3)，y 2＝4x ，消去x ，整理得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0．①(1)当k ＝0时，方程①化为－4y ＋8＝0，即y ＝2，此时过(－3,2)的直线方程为y ＝2，满足条件． (2)当k ≠0时，方程①应有两个相等实根．由⎩⎪⎨⎪⎧ k ≠0，Δ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，16－4k (8＋12k )＝0，得k ＝13或k ＝－1．所以直线方程为y －2＝13(x ＋3)或y －2＝－(x ＋3)，即x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0．故所求直线有三条，其方程分别为：y ＝2，x －3y ＋9＝0，x ＋y ＋1＝0．抛物线中的最值问题[典例] 离的最小值．[解] 法一：设p (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则点P 到直线l 的距离d ＝|x 0－y 0＋3|2＝y 202－y 0＋32＝|(y 0－1)2＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝524，∴P ⎝⎛⎭⎫12，1．法二：设与抛物线相切且与直线x －y ＋3＝0平行的直线方程为x －y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，y 2＝2x ，得y 2－2y ＋2m ＝0， ∵Δ＝(－2)2－4×2m ＝0，∴m ＝12．∴平行直线的方程为x －y ＋12＝0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则d min ＝3－122＝524，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1．解决与抛物线有关的最值问题时，一方面注意从几何方面观察、分析，并利用抛物线的定义解决问题；另一方面，还要注意从代数角度入手，建立函数关系，利用函数知识求解．总之，与抛物线有关的最值问题主要有两种方法：(1)定义法；(2)函数法．[活学活用]设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．解析：依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位于x 轴上时才有可能，可设圆心坐标是(a,0)(0＜a ＜3)，则由条件知圆的方程是(x －a )2＋y 2＝(3－a )2．由⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2＋y 2＝(3－a )2，y 2＝2x ，消去y 得x 2＋2(1－a )x ＋6a －9＝0，结合图形分析可知，当Δ＝[2(1－a )]2－4(6a －9)＝0且0＜a ＜3，即a ＝4－6时，相应的圆满足题目约束条件，因此所求圆的最大半径是3－a ＝6－1．答案：6－1层级一学业水平达标1．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－11xB ．y 2＝11xC ．y 2＝－22xD ．y 2＝22x解析：选C 在方程2x －4y ＋11＝0中，令y ＝0得x ＝－112，∴抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫－112，0，即p 2＝112，∴p ＝11， ∴抛物线的方程是y 2＝－22x ，故选C ．2．过点(2,4)作直线l ，与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选B 可知点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，∴过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA ·AF ＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±2 2)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)解析：选B 设A (x ，y )，则y 2＝4x ，① 又OA ＝(x ，y )，AF ＝(1－x ，－y )，所以OA ·AF ＝x －x 2－y 2＝－4．② 由①②可解得x ＝1，y ＝±2．4．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( ) A ．213 B ．215 C ．217D ．219解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题意知AB 的方程为y ＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋2．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝－2x ＋2，得x 2－4x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝1．∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋4)(16－4)＝5×12＝215．5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A ．334B ．938C ．6332D ．94解析：选D 易知抛物线中p ＝32，焦点F ⎝⎛⎭⎫34，0，直线AB 的斜率k ＝33，故直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，代入抛物线方程y 2＝3x ，整理得x 2－212x ＋916＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212．由抛物线的定义可得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12，结合图象可得O 到直线AB 的距离d ＝p 2·sin 30°＝38，所以△OAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝94．6．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段的中点坐标是________．解析：将y ＝x －1代入y 2＝4x ，整理，得x 2－6x ＋1＝0．由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝6，x 1＋x 22＝3，∴y 1＋y 22＝x 1＋x 2－22＝6－22＝2． ∴所求点的坐标为(3,2)．答案：(3,2)7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1．由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52．因此，点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72．答案：728．过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点(点A 在y 轴左侧)，则|AF ||FB |＝________．解析：由题意可得焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，故直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2，与x 2＝2py 联立得A ，B 两点的横坐标为x A ＝－33p ，x B ＝3p ，故A －33p ，16p ，B 3p ，32p ，所以|AF |＝23p ，|BF |＝2p ，所以|AF ||BF |＝13．答案：139．已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一弦，使它恰在点P 被平分，求这条弦所在的直线方程．解：设弦的两个端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2．两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)．① ∵y 1＋y 2＝2，代入①得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝3． ∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0．10．已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若|AF |＝4，求点A 的坐标； (2)求线段AB 的长的最小值．解：由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p 2，从而x 1＝4－1＝3．代入y 2＝4x ，解得y 1＝±23．∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)． (2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y ，整理得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0．∵直线与抛物线相交于A ，B 两点，则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝2＋4k2．由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2>4．当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A (1,2)，B (1，－2)，此时|AB |＝4，∴|AB |≥4，即线段AB 的长的最小值为4．层级二应试能力达标1．边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－36x C ．y 2＝±36xD ．y 2＝±33x解析：选C 设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．又A ⎝⎛⎭⎫±32，12(取点A 在x 轴上方)，则有14＝±32a ，解得a ＝±36，所以抛物线方程为y 2＝±36x ．故选C ． 2．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义，知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5＋2＝7．又直线AB 过焦点且垂直于x 轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB |min ＝2p ＝4，所以这样的直线有两条．故选B ．3．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A ．2或－2 B ．1或－1 C ．2D ．3解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0．又由Δ＝16(k ＋2)2－16k 2>0，得k >－1．则由4(k ＋2)k 2＝4，得k ＝2．故选C ． 4．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA ·MB ＝0，则k ＝( ) A ．12B ．22C ． 2D ．2解析：选D 由题意可知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4(k 2＋2)k 2，x 1x 2＝4.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝k (x 1－2)，y 2＝k (x 2－2)⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ， ②y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]. ③ ∵MA ·MB ＝0，∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0． ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0．④ 由①②③④解得k ＝2．故选D 项．5．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝x －3，消去y 得x 2－10x ＋9＝0，得x ＝1或9，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6.所以|AP |＝10，|BQ |＝2或|BQ |＝10，|AP |＝2，|PQ |＝8，所以梯形APQB 的面积S ＝10＋22×8＝48．答案：486．顶点为坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线，截直线2x －y ＋1＝0所得的弦长为15，则抛物线方程为________．解析：设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax ，2x －y ＋1＝0，得4x 2＋(4－a )x ＋1＝0，则Δ＝(4－a )2－16>0，得a >8或a <0．设直线与抛物线的交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝a －44，x 1x 2＝14．所以|AB |＝(1＋22)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝5×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －442－4×14＝15，解得a ＝12或a ＝－4．所以抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x ．答案：y 2＝12x 或y 2＝－4x7．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10 时，求实数k 的值．解：(1)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k (x ＋1)消去x ，得ky 2＋y －k ＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知k ≠0，则y 1＋y 2＝－1k，y 1y 2＝－1．由A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，可知y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，则y 21y 22＝x 1x 2．因为k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，所以OA ⊥OB ．(2)设直线与x 轴交于点N ．令y ＝0，得x ＝－1，即N (－1,0)．因为S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON |·|y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，所以S △OAB ＝12×1×(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12⎝⎛⎭⎫－1k 2＋4＝10．解得k ＝±16．8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．解：(1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p ．所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p．由题设得p 2＋8p ＝54×8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2．所以C 的方程为y 2＝4x ． (2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4．故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2| ＝m 2＋1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝4(m 2＋1)．高中数学-打印版精心校对完整版又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3．将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0．设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故MN 的中点为E ⎝⎛⎭⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ， |MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4| ＝1＋1m 2·(y 3＋y 4)2－4y 3y 4 ＝4(m 2＋1) 2m 2＋1m 2．由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎫2m ＋2m 2＋⎝⎛⎭⎫2m 2＋22＝4(m 2＋1)2(2m 2＋1)m 4．化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1．所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0．。

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解52---抛物线的二级结论的应用

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第52讲抛物线的二级结论的应用抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，特别是抛物线的焦点弦的一些二级结论，在考试中经常用到，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．考点一抛物线的焦点弦核心提炼与抛物线的焦点弦有关的二级结论若倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>y 2)两点，则(1)焦半径|AF |＝x 1＋p 2＝p1－cos α，|BF |＝x 2＋p 2＝p1＋cos α，(2)焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α，(3)S △OAB ＝p 22sin α(O 为坐标原点)，(4)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，(5)1|AF |＋1|BF |＝2p， (6)以AB 为直径的圆与准线相切，以F A 为直径的圆与y 轴相切．考向1 焦半径、弦长问题例1 (1)已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点F 作两条相互垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 相交于A ，B 两点，直线l 2与C 相交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 答案 A解析如图，设直线l 1的倾斜角为θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则直线l 2的倾斜角为π2＋θ，由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB |＝2p sin 2θ＝4sin 2θ， |DE |＝2p sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝4cos 2θ，∴|AB |＋|DE |＝4sin 2θ＋4cos 2θ＝4sin 2θcos 2θ＝16sin 22θ≥16，当且仅当sin 2θ＝1，即θ＝π4时取等号．∴|AB |＋|DE |的最小值为16.(2)斜率为3的直线经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与抛物线交于A ，B 两点，A 在第一象限且|AF |＝4，则|AB |＝________. 答案163解析直线l 的倾斜角α＝60°，由|AF |＝p1－cos α＝4，得p ＝4(1－cos α)＝2， ∴|AB |＝2p sin 2α＝434＝163. 考向2 面积问题例2(2022·长沙模拟)已知抛物线C ：y 2＝16x ，倾斜角为π6的直线l 过焦点F 交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△ABO 的面积为________．答案 64解析方法一 (常规解法)依题意，抛物线C ：y 2＝16x 的焦点为F (4,0)，直线l 的方程为x ＝3y ＋4.由⎩⎨⎧x ＝3y ＋4，y 2＝16x ，消去x ，得y 2－163y －64＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝163，y 1y 2＝－64. S △OAB ＝12|y 1－y 2|·|OF |＝2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2(163)2－4×(－64)＝64. 方法二 (活用结论)依题意知，抛物线y 2＝16x ，p ＝8. 又l 的倾斜角α＝π6.所以S △OAB ＝p 22sin α＝822sinπ6＝64.考向31|AF |＋1|BF |＝2p的应用例3(2022·“四省八校”联考)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，则2|AF |＋|BF |最小值为( ) A ．2 B ．26＋3 C ．4 D ．3＋2 2 答案 D解析因为p ＝2，所以1|AF |＋1|BF |＝2p ＝1，所以2|AF |＋|BF |＝(2|AF |＋|BF |)·⎝⎛⎭⎫1|AF |＋1|BF | ＝3＋2|AF ||BF |＋|BF ||AF |≥3＋22|AF ||BF |·|BF ||AF |＝3＋22，当且仅当|BF |＝2|AF |时，等号成立，因此，2|AF |＋|BF |的最小值为3＋2 2.考向4 利用平面几何知识例4(2022·遂宁模拟)已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，过点F 的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，直线l 与抛物线的准线l 1交于点M ，若PM →＝2FP →，则|FQ ||PQ |等于( )A.13B.34C.43 D ．3 答案 B解析如图，过点P 作准线的垂线交于点H ，由抛物线的定义有|PF |＝|PH |＝m (m >0)，过点Q 作准线的垂线交于点E ，则|EQ |＝|QF |， ∵PM →＝2FP →， ∴|PM |＝2m ，根据△PHM ∽△QEM ，可得|PH ||PM |＝|QE ||QM |＝12，∴2|EQ |＝|QM |＝|FQ |＋3m . ∴|EQ |＝3m ，即|FQ |＝3m ， ∴|FQ ||PQ |＝3m 3m ＋m ＝34. 易错提醒焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用的条件；数形结合求解时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝角，不能一律当成锐角而漏解．跟踪演练1 (1)已知A ，B 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足AB →＝3FB →，S △OAB ＝23|AB |，则|AB |的值为( )A.92B.29 C ．4 D ．2 答案 A解析如图，不妨令直线AB 的倾斜角为α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∵AB →＝3FB →∴F为AB的三等分点，令|BF|＝t，则|AF|＝2t，由1|BF|＋1|AF|＝2p，得1t＋12t＝2p⇒t＝34p，∴|AB|＝3t＝94p，又|AB|＝2p sin2α，∴2psin2α＝94p⇒sin α＝223，又S△AOB＝23|AB|，∴p22sin α＝23|AB|，即p2423＝23·94p⇒p＝2，∴|AB|＝9 2.(2)(多选)已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，该抛物线的准线与y轴交于点M，过点A，B作准线的垂线，垂足分别为H，G，如图所示，则下列说法正确的是()A．线段AB长度的最小值为2B．以AB为直径的圆与直线y＝－1相切C．∠HFG＝90°D．∠AMO＝∠BMO答案 BCD解析如图，取AB 的中点为C ，作CD ⊥GH ，垂足为D ，当线段AB 为通径时长度最小，为2p ＝4，故A 不正确； ∵直线y ＝－1为准线， ∴|CD |＝12(|AH |＋|BG |)＝12|AB |，故以AB 为直径的圆与准线y ＝－1相切，故B 正确；又|BF |＝|BG |，∴∠BFG ＝∠BGF ，又BG ∥FM ， ∴∠BGF ＝∠MFG ， ∴∠BFG ＝∠MFG ，同理可得∠AFH ＝∠MFH ，又∠BFG ＋∠MFG ＋∠MFH ＋∠AFH ＝180°， ∴FG ⊥FH .即∠HFG ＝90°，故C 正确；设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴直线AB ：y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0， ∴x 1x 2＝－4，x 1＋x 2＝4k ， k AM ＋k BM ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2x 1＋kx 2＋2x 2＝2k ＋2(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k ＋2·4k－4＝0，∴∠AMO ＝∠BMO ，故D 正确．考点二定点问题核心提炼抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过(2p ，0)的直线与之交于A ，B 两点，则OA ⊥OB ，反之，也成立．例5 如图，已知直线与抛物线x 2＝2py 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标为(2,4)，则p 的值为( )A ．2B ．4 C.32D.52 答案 D解析如图，令AB 与y 轴交于点C ，∵OA ⊥OB ，∴AB 过定点C (0,2p )，又D (2,4)，∴CD →＝(2,4－2p )，OD →＝(2,4)，∵OD ⊥AB ， ∴CD →·OD →＝0，即4＋4(4－2p )＝0，解得p ＝52.易错提醒要注意抛物线的焦点位置，焦点不同，定点是不同的；在解答题中用该结论时需证明该结论．跟踪演练2 已知抛物线y 2＝4x ，A ，B 为抛物线上不同两点，若OA ⊥OB ，则△AOB 的面积的最小值为________．答案 16解析如图，∵OA ⊥OB ，∴直线AB 过定点(2p ，0)，即点C 坐标为(4,0)，设直线AB ：x ＝ty ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋4，y 2＝4x ⇒y 2－4ty －16＝0，Δ＝16t 2＋64>0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－16， ∴S △AOB ＝12|OC ||y 1－y 2|＝2|y 1－y 2|＝216t 2＋64，∴当t ＝0时，S min ＝16.专题强化练1．(2022·菏泽模拟)设坐标原点为O ，抛物线y 2＝4x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA →·OB →等于( )A.34 B ．－34 C ．3 D ．－3 答案 D解析方法一抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＝0， Δ＝16t 2＋16>0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 214·y 224＋y 1y 2＝1616＋(－4)＝－3. 方法二因为AB 过抛物线的焦点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24＝1，y 1y 2＝－p 2＝－4，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3.2.如图，过抛物线y 2＝8x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线准线交于C 点，若B 是AC 的中点，则|AB |等于( )A ．8B ．9C ．10D ．12答案 B解析如图所示，令|BF |＝t ，则|BB ′|＝t ，又B 为AC 的中点，∴|AA ′|＝|AF |＝2t ，∴|BC |＝|AB |＝|AF |＋|BF |＝3t ，又△CBB ′∽△CFE ，∴|BC ||CF |＝|BB ′||FE |，即3t 3t ＋t ＝t p⇒t ＝34p ， ∴|AB |＝3t ＝94p ＝9. 3．倾斜角为π4的直线l 交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，S △AOB ＝85，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．y 2＝42xD ．y 2＝8x答案 B解析 ∵OA ⊥OB ，∴直线过定点(2p ，0)设直线l 的方程为x ＝y ＋2p ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋2p ，y 2＝2px ，得y 2－2py －4p 2＝0， Δ＝4p 2－4×(－4p 2)＝20p 2>0，∴y 1＋y 2＝2p ，y 1y 2＝－4p 2，S △AOB ＝12·2p ·|y 1－y 2| ＝p (y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝p ·4p 2＋16p 2＝25p 2＝85，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .4．直线l 过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，过A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，则四边形ABB ′A ′的面积为( )A ．4 3B ．8 3C ．16 3D ．32 3答案 C解析不妨令直线l 的倾斜角为θ，则|AF |＝p 1－cos θ＝31－cos θ， |BF |＝p 1＋cos θ＝31＋cos θ，又|AF |＝3|BF |，∴31－cos θ＝3·31＋cos θ，解得cos θ＝12，又θ∈[0，π)，∴θ＝π3， ∴|AF |＝31－cos θ＝6，|BF |＝31＋cos θ＝2， ∴|AA ′|＝6，|BB ′|＝2，∴|A ′B ′|＝|AB |sin θ＝8×32＝43， ∴S 四边形ABB ′A ′＝12×(2＋6)×43＝16 3. 5．(多选)(2022·聊城模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，则( )A ．C 的准线方程为x ＝－2B ．若|AF |＝4，则|OA |＝21C ．若|AF |·|BF |＝4p 2，则l 的斜率为±33D ．过点A 作准线的垂线，垂足为H ，若x 轴平分∠HFB ，则|AF |＝4答案 BCD解析因为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线为x ＝－1，故A 错误；若|AF |＝4，则x A ＝3，所以y 2A ＝4x A ＝12，所以|OA |＝x 2A ＋y 2A ＝21，故B 正确；设直线AB 的倾斜角为α，α∈(0，π)，|AF ||BF |＝p 1－cos α·p 1＋cos α＝p 2sin 2α＝4p 2，∴sin 2α＝14， ∴sin α＝12， ∴α＝30°或150°，∴tan α＝±33，故C 正确；对于D ，若x 轴平分∠HFB ，则∠OFH ＝∠OFB ，又AH ∥x 轴，所以∠AHF ＝∠OFH ＝∠OFB ＝∠AFH ，所以HF ＝AF ＝AH ，所以x A ＋x H 2＝x F ，即x A ＝3，所以|AF |＝x A ＋1＝4，故D 正确．6．(多选)(2022·武汉模拟)斜率为k 的直线l 经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且与抛物线C 相交于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，点M (－1，－1)是抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是( )A ．p ＝2B ．k ＝－2C ．MF ⊥AB D.|F A ||FB |＝25答案 ABC解析由题意知，抛物线C 的准线为x ＝－1，即p 2＝1，解得p ＝2，故选项A 正确；∵p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)，∵以AB 为直径的圆与准线相切，∴点M (－1，－1)为切点，∴圆心的纵坐标为－1，即AB 中点的纵坐标为－1，设AB ：x ＝ty ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＝0，Δ＝16t 2＋16>0，∴y 1＋y 2＝4t ＝－2，∴t ＝－12，即k ＝－2，故选项B 正确； ∵k ＝－2，k MF ＝－1－0－1－1＝12，k MF·k ＝－1， ∴MF ⊥AB ，故选项C 正确；过A 作AA 1⊥x 轴，过B 作BB 1⊥x 轴，抛物线的准线交x 轴于点C ，设∠BFB 1＝θ，∴|BF |＝p 1－cos θ， |AF |＝p 1＋cos θ，又p ＝2，k ＝－2，则cos θ＝55， ∴|F A ||FB |＝5－55＋5＝(5－5)225－5＝30－10520＝3－52，故选项D 错误．7．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于M ，N 两点，且|MF |＝2|NF |，则直线l 的斜率为______．答案 ±2 2解析由抛物线的焦点弦的性质知1|MF |＋1|NF |＝2p＝1，又|MF |＝2|NF |，解得|NF |＝32，|MF |＝3， ∴|MN |＝92，设直线l 的倾斜角为θ，∴k ＝tan θ，又|MN |＝2p sin 2θ， ∴4sin 2θ＝92， ∴sin 2θ＝89，∴cos 2θ＝19， ∴tan 2θ＝8，∴tan θ＝±22，故k ＝±2 2.8.(2022·攀枝花模拟)如图所示，已知抛物线C 1：y 2＝2px 过点(2,4)，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0.过圆心C 2的直线l 与抛物线C 1和圆C 2分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PM |＋4|QN |的最小值为________．答案 13解析由题设知，16＝2p ×2，则2p ＝8，故抛物线的标准方程为y 2＝8x ，则焦点F (2,0)，由直线PQ 过抛物线的焦点，则1|PF |＋1|QF |＝2p ＝12，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝1的圆心为(2,0)，半径为1，|PM |＋4|QN |＝|PF |－1＋4(|QF |－1)＝|PF |＋4|QF |－5＝2(|PF |＋4|QF |)⎝⎛⎭⎫1|PF |＋1|QF |－5＝2×⎝⎛⎭⎫|PF ||QF |＋4|QF ||PF |＋5≥4|PF ||QF |·4|QF ||PF |＋5＝13，当且仅当|PF |＝2|QF |时，等号成立，故|PM |＋4|QN |的最小值为13.。

(部编版)2020学年高中数学第二章2.3.1抛物线及其标准方程学案含解析新人教A版选修77

2．3.1 抛物线及其标准方程[提出问题]如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？提示：是．AB是直角三角形的一条直角边．问题2：点D在移动过程中，满足什么条件？提示：|DA|＝|DC|.问题3：画出的曲线是什么形状？提示：抛物线．[导入新知]抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．[化解疑难]对抛物线定义的认识(1)定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.(2)注意定点F不在直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．[提出问题]平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(－2,0)；l1：x＝－1，l2：x＝2.问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹是什么？对应方程是什么？提示：抛物线；y2＝4x.问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y2＝－8x.[导入新知]抛物线标准方程的几种形式1．标准方程特征：等号一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一变量的一次项． 2．标准方程中p 表示焦点到准线的距离，p 的值永远大于零．3．四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.[例1] (1)y 2＝－14x ； (2)5x 2－2y ＝0； (3)y 2＝ax (a ＞0)．[解] (1)因为p ＝7，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，0，准线方程是x ＝72. (2)抛物线方程化为标准形式为x 2＝25y ，因为p ＝15，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110，准线方程是y ＝－110.(3)由a ＞0知p ＝a 2，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.[类题通法]已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数p ，从而得焦点坐标和准线方程．需注意p ＞0，焦点所在轴由标准方程一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴．[活学活用]求抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点坐标和准线方程．解：把抛物线方程y ＝ax 2化成标准方程x 2＝1ay .当a ＞0时，焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a ；当a ＜0时，焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a . 综上知，所求抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a .[例2] (1)过点M (－6,6)；(2)焦点F 在直线l ：3x －2y －6＝0上． [解] (1)由于点M (－6,6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上．若抛物线开口向左，焦点在x 轴上，设其方程为y 2＝－2px (p ＞0)，将点M (－6,6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3.∴抛物线的方程为y 2＝－6x . 若抛物线开口向上，焦点在y 轴上，设其方程为x 2＝2py (p ＞0)，将点M (－6,6)代入可得，36＝2p ×6，∴p ＝3， ∴抛物线的方程为x 2＝6y .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y . (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2,0)， ∴抛物线的焦点是F (2,0)， ∴p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线的标准方程是y 2＝8x . ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)，即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y .[类题通法]求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．(2)方法：①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程； ②直接根据定义求p ，最后写标准方程；③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数． [活学活用]根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝－1；(2)焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.(1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为x 2＝4y .(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，则焦点到准线的距离是－p 2－p2＝p ＝3，因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x .[例3] 平面上动点P [解] 法一：设点P 的坐标为(x ，y )，则有x －2＋y 2＝|x |＋1.两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x x ，x ＜，∴点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．法二：由题意，动点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1,0)到y 轴的距离为1，故当x ＜0时，直线y ＝0上的点符合条件；当x ≥0时，题中条件等价于点P 到点F (1,0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)． [类题通法]求轨迹方程一般有两种方法：一是直接法，根据题意直接列方程确定点P 的轨迹方程；二是定义法，利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线，再根据抛物线的性质写出方程．[活学活用]已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．解：法一：设点P 的坐标为(x ，y )，由条件知|AP |＝r ＋1(r 为圆P 的半径)，即x ＋2＋y 2＝|x －1|＋1，化简，整理得y 2＝－8x . ∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .法二：如图所示，作PK 垂直于直线x ＝1，垂足为K ，作PQ 垂直于直线x ＝2，垂足为Q ，则|KQ |＝1，∴|PQ |＝r ＋1.又|AP |＝r ＋1，∴|AP |＝|PQ |，故点P 到圆心A (－2,0)的距离和定直线x ＝2的距离相等，∴点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点，直线x ＝2为准线． ∴p2＝2，∴p ＝4.∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .3.研析抛物线定义的应用[典例] 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时的P 点坐标．[解] 如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ，则|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号．∴(|PA |＋|PF |)min ＝|AB |＝3＋12＝72.此时y P ＝2，代入抛物线得x P ＝2， ∴P 点坐标为(2,2)． [多维探究](1)若已知抛物线上点P 到焦点F 的距离(或与此有关)，往往转化为点P 到准线的距离，其步骤是： ①过P 作PN 垂直于准线l ，垂足N ；②连接PF ；③|PF |＝|PN |＝x P ＋p2(焦点在x 轴正半轴上时)．(2)上例中，求|PA |＋|PF |的最小值时，结合图形，根据平面几何知识判断|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PN |≥|AB |.体现了数形结合的思想．1．若点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，求点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值．解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，P 点，(0,2)点，和抛物线的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0三点共线时距离之和最小，所以最小距离d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋－2＝172.2．若点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，求点P 到直线3x －4y ＋72＝0的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值．解：如图．|PA |＋|PQ |＝|PA |＋|PF |≥|AF |min .AF 的最小值为F 到直线3x －4y ＋72＝0的距离．d ＝3×12＋7232＋42＝1.3．若长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，求M 点到y 轴的最短距离．解：设抛物线焦点为F ，连接AF ，BF ，如图抛物线y 2＝2x 的准线为l ：x ＝－12，过A ，B ，M 分别作AA ′，BB ′，MM ′垂直于l ，垂足分别为A ′，B ′，M ′.由抛物线定义，知|AA ′|＝|FA |，|BB ′|＝|FB |. 又M 为AB 中点，由梯形中位线定理，得|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12(|FA |＋|FB |) ≥12|AB |＝12×3＝32. 则x ≥32－12＝1(x 为M 点的横坐标，当且仅当AB 过抛物线的焦点时取得等号)，所以x min ＝1，即M 点到y 轴的最短距离为1. [类题通法]解决此类问题通过回归抛物线定义和运用平面几何知识中的两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等，使问题化难为易．[随堂即时演练]1．焦点是F (0,5)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝20x B ．x 2＝20y C ．y 2＝120xD ．x 2＝120y解析：选B 由5＝p2得p ＝10，且焦点在y 轴正半轴上，故方程形式为x 2＝2py ，所以x 2＝20y .2．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．12解析：选B 由抛物线的方程得p 2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.3．若双曲线x 2m －y 23＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则m ＝________.解析：∵抛物线焦点为(3,0)， ∴m ＋3＝3且m ＞0，则m ＝6. 答案：64．焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 在准线上的射影为N ，若|MN |＝p ，则|FN |＝________. 解析：由条件知|MF |＝|MN |＝p ，MF ⊥MN ，答案：2p5．若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M 的坐标．解：由抛物线方程y 2＝－2px (p ＞0)，得其焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0，准线方程为x ＝p2，设点M 到准线的距离为d ，则d ＝|MF |＝10，即p2－(－9)＝10，因此p ＝2.故抛物线的方程为y 2＝－4x .将M (－9，y )代入抛物线方程，得y ＝±6. 故点M 的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．[课时达标检测]一、选择题1．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4x B ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4y D ．y 2＝4x 或x 2＝－4y解析：选C 设抛物线方程为y 2＝－2p 1x 或x 2＝2p 2y ，把(－4,4)代入得16＝8p 1或16＝8p 2，即p 1＝2或p 2＝2. 故抛物线的标准方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .2．已知点P (8，a )在抛物线y 2＝4px 上，且点P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16解析：选B 准线方程为x ＝－p ， ∴8＋p ＝10，p ＝2.∴焦点到准线的距离为2p ＝4.3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4解析：选C ∵抛物线y 2＝2px 的准线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，∴－p2＝－1，即p ＝2.4．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆解析：选A 由题意知，圆C 的圆心到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，即圆C 的圆心到点(0,3)的距离与到直线y ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)解析：选A 点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图，|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.二、填空题6．抛物线x ＝14m y 2的焦点坐标是________．解析：方程改写成y 2＝4mx ，得2p ＝4m ， ∴p ＝2m ，即焦点(m,0)．答案：(m,0)7．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.解析：解析：根据抛物线的定义得1＋p2＝5，p ＝8.不妨取M (1,4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1，故a ＝14.答案：148．对标准形式的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号) 解析：抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．答案：②④ 三、解答题9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p2.作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN |＝|MF |＝5，而|MN |＝3＋p 2，3＋p2＝5，即p ＝4.所以抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2. 由m 2＝－8×(－3)＝24，得m ＝±2 6.法二：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得{ p ＝4，m ＝±2 6.※ 推荐 ※ 下载 ※准线方程为y ＝2.10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．(1)以抛物线的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)．解：如图所示：(1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)，因为点C (5，－5)在抛物线上，所以该抛物线的方程为x 2＝－5y .(2)设车辆高h ，则|DB |＝h ＋0.5，故D (3.5，h －6.5)，代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．。

新教材高中数学第2章抛物线的几何性质学案含解析新人教B版选择性必修第一册

新教材高中数学：第2章平面解析几何2.7.2 抛物线的几何性质学习目标核心素养1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．(重点)2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．(重点、难点)3．掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识．通过抛物线的几何性质的学习，培养直观想象、数学运算素养．如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形成的抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来之后，其反射光(射)线都通过该点，应用抛物面的这个几何性质，人们设计了很多非常有用的东西，如太阳灶、卫星电视天线、雷达等．当然这条性质本身也是抛物线的一条性质，今天我们就来具体研究一下构成抛物面的线——抛物线的几何性质．1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0) 图形性质范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1x2py p[提示]有一条对称轴．思考2：抛物线的范围是x∈R，这种说法正确吗？[提示]抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y2＝2px(p＞0)的范围是x≥0，y∈R，故此说法错误．思考3：参数p对抛物线开口大小有何影响？[提示]参数p(p＞0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大．2．焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2＝2px(p＞0)|AB|＝x1＋x2＋py2＝－2px(p＞0)|AB|＝p－(x1＋x2)x2＝2py(p＞0)|AB|＝y1＋y2＋px2＝－2py(p＞0)|AB|＝p－(y1＋y2)1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线是中心对称图形．( )(2)抛物线的范围为x∈R．( )(3)抛物线关于顶点对称．( )(4)抛物线的标准方程虽然各不相同，但离心率都相同．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√[提示](1)×在抛物线中，以－x代x，－y代y，方程发生了变化．(2)×抛物线的方程不同，其范围不同，y2＝2px(p＞0)中x≥0，y∈R．(3)×(4)√离心率都为1，正确．2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点F的距离是( ) A．8 B．6 C．4 D．2A[∵抛物线的方程为y2＝8x，∴其准线l的方程为x＝－2，设点P(x0，y0)到其准线的距离为d，则d＝|PF|，即|PF|＝d＝x0－(－2)＝x0＋2，∵点P 到y 轴的距离是6， ∴x 0＝6，∴|PF |＝6＋2＝8．]3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝．8 [∵y 2＝4x ，∴2p ＝4，p ＝2．∵由抛物线定义知：|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8．]4．顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是．y 2＝24x 或y 2＝－24x [∵顶点与焦点距离为6，即p2＝6，∴2p ＝24，又对称轴为x 轴，∴抛物线方程为y 2＝24x 或y 2＝－24x ．]由抛物线的几何性质求标准方程【例xOy A OA 物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的标准方程是．(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．(1)y 2＝5x [线段OA 的垂直平分线为4x ＋2y －5＝0，与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，∴抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，∴其标准方程是y 2＝5x ．](2)解：椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p ＞0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ，其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3．用待定系数法求抛物线方程的步骤提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置．不同的焦点设出不同的方程．[跟进训练]1．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P 到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线方程．[解] 设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)，点P (x 0，y 0)．因为点P 到对称轴距离为6，所以y 0＝±6，因为点P 到准线距离为10，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋a 2＝10．①因为点P 在抛物线上，所以36＝2ax 0． ②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，x 0＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，x 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝－9.所以所求抛物线方程为y 2＝±4x 或y 2＝±36x ．抛物线性质的应用【例2】 AFO ＝120°(O 为坐标原点)，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是．(2)已知正三角形AOB 的一个顶点O 位于坐标原点，另外两个顶点A ，B 在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，求这个三角形的边长．(1)43 [如图，设A (x 0，y 0)，过A 作AH ⊥x 轴于H ，在Rt△AFH 中，|FH |＝x 0－1，由∠AFO ＝120°，得∠AFH ＝60°，故y 0＝|AH |＝3(x 0－1)，所以A 点的坐标为()x 0，3x 0－1，将点A 坐标代入抛物线方程可得3x 20－10x 0＋3＝0，解得x 0＝3或x 0＝13(舍)，故S △AKF ＝12×(3＋1)×23＝43．](2)解：如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2．又|OA |＝|OB |，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0． ∵x 1＞0，x 2＞0,2p ＞0， ∴x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|，即线段AB 关于x 轴对称．由此得∠AOx ＝30°，所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立，解得y 1＝23p ．∴|AB |＝2y 1＝43p ．利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点：解决焦点弦问题．提醒：解答本题时易忽略A ，B 关于x 轴对称而出错．[跟进训练]2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，求抛物线的标准方程．[解] 由已知得c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，解得ba＝3．即渐近线方程为y ＝±3x ，而抛物线准线方程为x ＝－p 2，于是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，－32p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，32p ，从而△AOB 的面积为12·3p ·p 2＝3．可得p ＝2，因此抛物线开口向右，所以标准方程为y 2＝4x ．焦点弦问题[探究问题]以抛物线y 2＝2px (p ＞0)为例，回答下列问题： (1)过焦点F 的弦长|AB |如何表示？还能得到哪些结论？ [提示] ①|AB |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋p 2(焦点弦长与中点关系)．②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)． ③A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝p 24，y 1·y 2＝－p 2．④S △AOB ＝p 22sin θ．⑤1|AF |＋1|BF |＝2p (定值)． (2)以AB 为直径的圆与直线l 具有怎样的位置关系？[提示] 如图，AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，相应的准线为l ．所以以AB 为直径的圆必与准线l 相切． (3)解决焦点弦问题需注意什么？[提示] 要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．【例3】已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在直线的方程．[思路探究] 根据弦长求出直线斜率，进而求得直线方程． [解] ∵过焦点的弦长|AB |＝52p ，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵y 2＝2px 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0．∴直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，整理得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋14k 2p 2＝0(k ≠0)， ∴x 1＋x 2＝k 2p ＋2pk 2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝k 2p ＋2pk 2＋p ，又|AB |＝52p ，∴k 2p ＋2p k 2＋p ＝52p ，∴k ＝±2． ∴所求直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2．1．(改变问法)本例条件不变，求弦AB 的中点M 到y 轴的距离．[解] 设AB 中点为M (x 0，y 0)，由例题解答可知2x 0＝x 1＋x 2＝32p ，所以AB 的中点M 到y 轴的距离为34p ．2．(变换条件)本例中，若A 、B 在其准线上的射影分别为A 1，B 1，求∠A 1FB 1． [解] 由例题解析可知AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，即x ＝1k y ＋p 2，代入y 2＝2px 消x 可得y 2＝2pk y ＋p 2，即y 2－2pky －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2，由A 1点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 1，B 1点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y 2，得kA 1F ＝－y 1p ，kB 1F ＝－y 2p ．∴kA 1F ·kB 1F ＝y 1y 2p 2＝－1， ∴∠A 1FB 1＝90°．解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用.解题时注意整体代入思想的运用，简化运算.1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．解决抛物线的轨迹问题，可以利用抛物线的标准方程，结合抛物线的定义． 3．抛物线y 2＝±2px (p ＞0)的过焦点的弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ，其中x 1，x 2分别是点A ，B 横坐标的绝对值；抛物线x 2＝±2py (p ＞0)的过焦点的弦长|AB |＝y 1＋y 2＋p ，其中y 1，y 2分别是点A ，B 纵坐标的绝对值．4．求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化．1．若抛物线y 2＝2x 上有两点A 、B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．18A [线段AB 所在的直线方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12．]2．在抛物线y 2＝16x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ) A ．(42，±2) B ．(±42，2) C ．(±2,42)D ．(2，±42)D [抛物线y 2＝16x 的顶点O (0,0)，焦点F (4,0)，设P (x ，y )符合题意，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝16x ，x 2＋y 2＝x －42＋y2⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝16x ，x ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±4 2.所以符合题意的点为(2，±42)．]3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22) B [由题意知F (1,0)，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 204，－y 0，由OA →·AF →＝－4得y 0＝±2，∴点A 的坐标为(1，±2)，故选B ．]4．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是． 158[设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14．∵|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，∴y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158．]5．已知点P (1，m )是抛物线C ：y 2＝2px 上的点，F 为抛物线的焦点，且|PF |＝2，直线l ：y ＝k (x －1)与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ．(1)求抛物线C 的方程； (2)若|AB |＝8，求k 的值．[解] (1)抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，由|PF |＝2得：1＋p2＝2，得p ＝2．所以抛物线的方程为y 2＝4x ． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16＞0， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k2．∵直线l 经过抛物线C 的焦点F ， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k2＋2＝8，解得k ＝±1，所以k 的值为1或－1．。

学案10：2.3.1 抛物线及其标准方程

2.3.1 抛物线及其标准方程学习目标核心素养1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点) 2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点) 3．明确p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)1．通过抛物线定义的学习，培养数学抽象核心素养． 2．通过抛物线定义及标准方程的应用，培养学生的直观想象、数学建模等核心素养．新知初探1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做．点F 叫做抛物线的，直线l 叫做抛物线的．思考1：抛物线的定义中，若点F 在直线l 上，那么点的轨迹是什么？2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px (p >0)F ⎝⎛⎭⎫p 2，0x ＝－p2y 2＝－2px (p >0)F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0x ＝p 2x 2＝2py (p >0)F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p2x 2＝－2py (p >0)F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p2(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？初试身手1．抛物线x 2＋8y ＝0的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0，－2) C ．(0,4)D ．(0，－4)2．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 3．抛物线x ＝4y 2的准线方程是( ) A ．y ＝12B ．y ＝－1C ．x ＝－116D ．x ＝184．抛物线y 2＝－12x 上与焦点的距离等于9的点的坐标是________．合作探究类型1 求抛物线的标准方程例1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝23；(2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5； (3)经过点(－3，－1)；(4)焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点．规律方法1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 (1)把握开口方向与方程间的对应关系．(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，这样可以减少讨论情况的个数．(3)注意p 与p2的几何意义．跟踪训练 1．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．8类型2 抛物线的定义的应用例2 (1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程；(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，对于定点A (4,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时的P 点坐标；(3)已知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．规律方法抛物线定义的两种应用1.实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.2.解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 跟踪训练2．(1)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A ．172B ．3C ． 5D ．92(2)若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12．求点M 的轨迹方程．类型3 抛物线的实际应用 [探究问题]已知抛物线，如何建系，才能使抛物线方程为标准方程？例3 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高34米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？规律方法求抛物线实际应用的五个步骤 1.建立适当的坐标系. 2.设出合适的抛物线标准方程.3.通过计算求出抛物线的标准方程.4.求出需要求出的量.5.还原到实际问题中，从而解决实际问题. 跟踪训练3．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线型，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0．04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？课堂小结1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，准线方程为x ＝－m4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，m 4，准线方程为y ＝－m 4． 2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF |＝x 0＋p 2．3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．课堂检测1．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．1B ．2C ．4D ．82．已知抛物线y ＝mx 2(m >0)的焦点与椭圆4y 29＋x 22＝1的一个焦点重合，则m 的值为________．3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 1，若点A (2，－4)在抛物线上，则点A 到焦点的距离为________．4．求顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线3x －5y －36＝0上的抛物线方程．参考答案新知初探1．抛物线焦点准线思考1：[提示] 点的轨迹是过点F 且垂直于直线l 的直线．思考2：[提示] (1)p 的几何意义是焦点到准线的距离．(2)根据抛物线方程中一次式±2px ，±2py 来确定焦点位置，“x ，y ”表示焦点在x 轴或y 轴上，系数“±2p ”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．初试身手1．【答案】B【解析】抛物线x 2＝－8y 的焦点在y 轴的负半轴上，且p2＝2，因此焦点坐标是(0，－2)．2．【答案】C【解析】由y 2＝8x 得p ＝4，即焦点到准线的距离为4． 3．【答案】C【解析】由x ＝4y 2得y 2＝14x ，故准线方程为x ＝－116．4．【答案】(－6,62)或(－6，－62)【解析】由y 2＝－12x 知p ＝6，准线方程为x ＝3，设抛物线上点P (x ，y )，由抛物线定义可知－x ＋3＝9，x ＝－6，将x ＝－6代入y 2＝－12x ，得y ＝±62，所以满足条件的点为(－6,62)或(－6，－62)．合作探究类型1 求抛物线的标准方程例1 解：(1)因为抛物线的准线交y 轴于正半轴，且p 2＝23，则p ＝43，所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y ．(2)已知抛物线的焦点在y 轴上，可设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y ． (3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)．若抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，则由(－1)2＝－2p ×(－3)，解得p ＝16；若抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)，则由(－3)2＝－2p ×(－1)，解得p ＝92．∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－13x 或x 2＝－9y ．(4)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4， ∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x ．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x ．跟踪训练 1．【答案】D类型2 抛物线的定义的应用例2 解：(1)设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由p2＋3＝5得p ＝4，因此抛物线方程为x 2＝－8y ，其准线方程为y ＝2，由m 2＝24得m ＝±26． (2)如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ，则|P A |＋|PF | ＝|P A |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴(|P A |＋|PF |)min ＝|AB | ＝4＋1＝5．此时y P ＝2，代入抛物线得x P ＝1， ∴P (1,2)．(3)设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，则由题意可得M 到圆心C (0，－3)的距离与直线y ＝3的距离相等．由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，其方程为x 2＝－12y ．跟踪训练2．(1)【答案】A【解析】由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可得，∴点P 到准线x ＝－12的距离d ＝|PF |，易知点A (0,2)在抛物线y 2＝2x 的外部，连接AF ，交y 2＝2x 于点P ′，欲使所求距离之和最小，只需A ，P ′，F 共线，∴其最小值为 |AF |＝⎝⎛⎭⎫0－122＋(2－0)2＝172． (2)解：由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p＝1,2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)．类型3 抛物线的实际应用 [探究问题][提示] 以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为坐标轴建系．例3 解：如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意，将B (4，－5)代入方程得p ＝85，∴抛物线方程为x 2＝－165y ．∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54．又知船露出水面上部分为34米，设水面与抛物线拱顶相距为h ，则h ＝|y A |＋34＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航．跟踪训练3．解：如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x 轴，竖直直线为y 轴，建立直角坐标系．因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A (10，－2)．设桥孔上部抛物线方程是x 2＝－2py (p >0)，则102＝－2p ×(－2)，所以p ＝25，所以抛物线方程为x 2＝－50y ，即y ＝－150x 2．若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x ＝8时， y ＝－150×82＝－1．28，即船体在x ＝±8之间通过，B (8，－1．28)，此时B 点距水面6＋(－1．28)＝4．72(米)．而船体高为5米，所以无法通行．又因为5－4．72＝0．28(米)，0．28÷0．04＝7， 150×7＝1 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现在状况下不能通过桥孔．课堂检测1．【答案】A【解析】∵14＋x 0＝54x 0，∴x 0＝1．2．【答案】12【解析】将抛物线y ＝mx 2(m >0)的方程化为标准方程是x 2＝1m y ，所以其焦点是⎝⎛⎭⎫0，14m ，因为抛物线y ＝mx 2(m >0)的焦点与椭圆4y 29＋x 22＝1的一个焦点重合，因此94－2＝⎝⎛⎭⎫14m 2，解得m ＝12． 3．【答案】4【解析】把点(2，－4)代入抛物线y 2＝2px ，得16＝4p ，即p ＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A 到焦点的距离为4．4．解：因为焦点在直线3x －5y －36＝0上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，所以焦点A 的坐标为(12,0)或⎝⎛⎭⎫0，－365．设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，求得p ＝24，所以此抛物线方程为y 2＝48x ；设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，求得p ＝725，所以此抛物线方程为x 2＝－1445y ．综上所求抛物线方程为y 2＝48x 或x 2＝－1445y ．。

2020版高中数学第二章抛物线的几何性质(第1课时)抛物线的几何性质学案新人教B版

第1课时抛物线的几何性质学习目标 1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一抛物线的几何性质知识点二焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1．椭圆、双曲线和抛物线都是中心对称图形．( × ) 2．抛物线和双曲线一样，开口大小都与离心率有关．( × ) 3．抛物线只有一条对称轴和一个顶点．( √ ) 4．抛物线的开口大小与焦点到准线的距离有关．( √ )题型一由抛物线的几何性质求标准方程例1 已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解由题意，设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，0.直线l ：x ＝m2，所以A ，B 两点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m ，所以|AB |＝2|m |. 因为△OAB 的面积为4，所以12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 2·2|m |＝4，所以m ＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x . 引申探究等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2答案 B解析因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ，所以点A 的坐标为(2p,2p )，同理可得B (2p ，－2p )，所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2.反思感悟把握三个要点确定抛物线的几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y ，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p ；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p ；离心率恒等于1.跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆x 29＋y 216＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程．解 ∵椭圆x 29＋y 216＝1的短轴所在直线为x 轴，∴抛物线的对称轴为x 轴．设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)，设⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4＝5，∴a ＝±20. ∴抛物线的方程为y 2＝20x 或y 2＝－20x . 题型二抛物线的焦点弦问题例2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y ，得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5. 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，所以线段AB 的中点M 的横坐标是3. 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.引申探究本例中，若A ，B 在其准线上的射影分别为A 1，B 1，求∠A 1FB 1. 解由抛物线定义|AA 1|＝|AF |，得∠AA 1F ＝∠AFA 1，又AA 1∥x 轴， ∴∠OFA 1＝∠AA 1F ， ∴∠OFA 1＝∠AFA 1，同理得∠OFB 1＝∠BFB 1，∴∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝90°，即∠A 1FB 1＝90°. 反思感悟 (1)抛物线的焦半径(2)过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x 1＋x 2即可．跟踪训练2 直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为________________．答案 x ＋y －1＝0或x －y －1＝0解析因为抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，若l 与x 轴垂直，则|AB |＝4，不符合题意．所以可设所求直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.又AB 过焦点，由抛物线的定义可知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8，即2k 2＋4k2＝6，解得k＝±1.所以所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8x D ．x 2＝8y 或x 2＝－8y 答案 C解析设抛物线y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，p ＝4.2．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±24B.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，24 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，24 答案 B解析由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，而F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，所以P 点的横坐标为18，代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24，故选B.3．已知过抛物线y 2＝8x 的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB |的值为________．答案 10解析由y 2＝8x ，得p ＝4，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由焦点弦公式得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2×x 1＋x 22＋4＝2×3＋4＝10.4．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．符合抛物线方程为y 2＝10x 的条件是________．(要求填写合适条件的序号) 答案 ②⑤解析由抛物线方程y 2＝10x ，知它的焦点在x 轴上，所以②符合．又因为它的焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，原点O (0,0)，设点P (2,1)，可得k PO ·k PF ＝－1，所以⑤也符合．而①显然不符合，通过计算可知③，④不合题意．所以应填②⑤.5．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；(2)顶点是双曲线16x 2－9y 2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．解 (1)由抛物线标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为p 2，故p2＝4，p ＝8.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝±16x 或x 2＝±16y .(2)双曲线方程16x 2－9y 2＝144化为标准形式为x 29－y 216＝1，中心为原点，左顶点为(－3,0)，故抛物线顶点在原点，准线为x ＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，可得p2＝3，故p ＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝12x .1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． 3．设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．一、选择题1．抛物线y ＝ax 2(a <0)的焦点坐标和准线方程分别为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫14a ，0，x ＝－14aB.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ，0，x ＝14aC.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，y ＝－14a D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14a ，y ＝14a答案 C解析 y ＝ax 2可化为x 2＝1ay ，∴其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a .2．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，点P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18B ．24C ．36D ．48 答案 C解析由题意知|AB |＝2p ，则S △ABP ＝12×2p ×p ＝p 2，又∵2p ＝12，∴p ＝6，S △ABP ＝62＝36.3．抛物线C 1：y 2＝2x 的焦点为F 1，抛物线C 2：x 2＝12y 的焦点为F 2，则过F 1且与直线F 1F 2垂直的直线l 的方程为( ) A ．2x －y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．4x －y －2＝0 D ．4x －3y －2＝0答案 C解析由题意知，F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18. 所以直线F 1F 2的斜率为－14，则直线l 的斜率为4.故直线l 的方程为y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即4x －y －2＝0.4．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，|PQ |＝10，则抛物线方程是( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝2x C ．y 2＝8x D ．y 2＝6x答案 C解析设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝3，即x 1＋x 2＝6.又|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝10，即p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x .5．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，点A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于( ) A ．43B ．8C ．83D ．16 答案 B解析抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，焦点F (2,0)，设A (－2，y 0)，k AF ＝y 0－0－2－2＝－3，则y 0＝43，∴P (x 0,43)，将P 点坐标代入抛物线方程y 2＝8x ， (43)2＝8x 0，得x 0＝6.由抛物线定义可知|PF |＝|PA |＝x 0＋p 2＝6＋42＝8.6．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |等于( ) A.303B ．6C ．12D ．7 3答案 C解析设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1，)(x 2，y 2)．∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，∴AB 的方程为y －0＝tan30°⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝3x ，y ＝33x －34，消去y ，得13x 2－72x ＋316＝0.∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，由于|AB |＝x 1＋x 2＋p ， ∴|AB |＝212＋32＝12.7．直线y ＝x ＋b 交抛物线y ＝12x 2于A ，B 两点，O 为抛物线顶点，OA ⊥OB ，则b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 考点题点答案 D解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝x ＋b 代入y ＝12x 2，化简可得x 2－2x －2b ＝0，故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，所以y 1y 2＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2. 又OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即－2b ＋b 2＝0，则b ＝2或b ＝0，经检验当b ＝0时，不符合题意，故b ＝2. 二、填空题8．设抛物线y 2＝16x 上一点P 到对称轴的距离为12，则点P 与焦点F 的距离|PF |＝________. 答案 13解析设P (x,12)，代入y 2＝16x ，得x ＝9， ∴|PF |＝x ＋p2＝9＋4＝13.9．抛物线y ＝116x 2的焦点与双曲线y 23－x2m ＝1的上焦点重合，则m ＝________.答案 13解析抛物线y ＝116x 2可化为x 2＝16y ，则其焦点为(0,4)，∴3＋m ＝16，则m ＝13.10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，|AF |＝3，则|BF |＝________. 答案 32解析由题意知F (1,0)，且AB 与x 轴不垂直，则由|AF |＝3，知x A ＝2.设l AB ：y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x A ·x B ＝1，故x B ＝12，故|BF |＝x B ＋1＝32.11．一个正三角形的顶点都在抛物线y 2＝4x 上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是________．答案 48 3解析设一个顶点为(x,2x )，则tan30°＝2x x ＝33，∴x ＝12.∴S ＝12×12×83＝48 3.三、解答题12．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．解设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，A (x 0，y 0)，由题知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3.∵|AM |＝17，∴x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋p 22＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得 8＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y . 13．已知抛物线y 2＝2x .(1)设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA |； (2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．解 (1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )(x ≥0)，则|PA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋13. ∵x ≥0，且在此区间上函数单调递增，故当x ＝0时，|PA |min ＝23，故距点A 最近的点P 的坐标为(0,0)．(2)设点P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离为 d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0＋32 ＝y 0－2＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝522＝524， ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.14．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，点F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞) 答案 C解析 M 到准线的距离大于p ，即y 0＋2＞4，∴y 0＞2.15．设F (1,0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →·PF →＝0.(1)当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)是曲线C 上除去原点外的不同三点，且|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，当线段AD 的垂直平分线与x 轴交于点E (3,0)时，求点B 的坐标．解 (1)设N (x ，y )，由MN →＝2MP →，得点P 为线段MN 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，M (－x,0)， ∴PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－y 2.由PM →·PF →＝－x ＋y 24＝0，得y 2＝4x . 即点N 的轨迹方程为y 2＝4x .(2)由抛物线的定义，知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，|DF |＝x 3＋1，∵|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，∴2x 2＋2＝x 1＋1＋x 3＋1，即x 2＝x 1＋x 32. ∵线段AD 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 32，y 1＋y 32，且线段AD 的垂直平分线与x 轴交于点E (3,0)， ∴线段AD 的垂直平分线的斜率为k ＝y 1＋y 32－0x 1＋x 32－3. 又k AD ＝y 3－y 1x 3－x 1，∴y 3－y 1x 3－x 1·y 1＋y 3x 1＋x 3－6＝－1，即4x 3－4x 1x 23－x 21－x 3－x 1＝－1. ∵x 1≠x 3，∴x 1＋x 3＝2，又x 2＝x 1＋x 32，∴x 2＝1.∵点B 在抛物线上，∴B (1,2)或B (1，－2)．。

高中数学同步学案抛物线

抛物线2．4．1 抛物线及其标准方程预习课本P64～67,思考并完成以下问题1．平面内满足什么条件的点的轨迹叫做抛物线？它的焦点、准线分别是什么？2．抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么？[新知初探]1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px(p>0)⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 x ＝－p2y 2＝－2px(p>0)⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 x ＝p2x 2＝2py(p>0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py(p>0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 y ＝p 21．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点轨迹一定是抛物线( )(2)抛物线y 2＝20x 的焦点坐标是(0,5)( ) 答案：(1)× (2)×2．抛物线x ＝－2y 2的准线方程是( ) A ．y ＝12B ．y ＝18C ．x ＝14D ．x ＝18答案：D3．已知动点P 到定点(2,0)的距离和它到直线l ：x ＝－2的距离相等,则点P 的轨迹方程为________．答案：y 2＝8x求抛物线的标准方程[典例] (1)过点M(－6,6)；(2)焦点F 在直线l ：3x －2y －6＝0上． [解] (1)由于点M(－6,6)在第二象限, ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上．若抛物线开口向左,焦点在x 轴上, 设其方程为y 2＝－2px(p>0),将点M(－6,6)代入,可得36＝－2p×(－6), ∴p ＝3．∴抛物线的方程为y 2＝－6x ．若抛物线开口向上,焦点在y 轴上,设其方程为x 2＝2py(p>0), 将点M(－6,6)代入可得,36＝2p×6, ∴p ＝3,∴抛物线的方程为x 2＝6y ．综上所述,抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y ． (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2,0), ∴抛物线的焦点是F(2,0), ∴p2＝2,∴p ＝4, ∴抛物线的标准方程是y 2＝8x ． ②∵直线l 与y 轴的交点为(0,－3), 即抛物线的焦点是F(0,－3),∴p2＝3,∴p ＝6, ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y ．综上所述,所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y ．求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上,进而求方程的有关参数．(2)方法：①直接法,建立恰当坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出对应方程,化简方程．②直接根据定义求p,最后写标准方程．③利用待定系数法设标准方程,找有关的方程组求系数． [活学活用]求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y 2＝－14x ；(2)5x 2－2y ＝0；(3)y 2＝ax(a>0)．解：(1)因为p ＝7,所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，0,准线方程是x ＝72． (2)抛物线方程化为标准形式为x 2＝25y,因为p ＝15,所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110,准线方程是y ＝－110．(3)由a>0知p ＝a 2,所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0,准线方程是x ＝－a 4．抛物线定义的应用[典例] (1)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F,A(x 0,y 0)是C 上一点,|AF|＝54x 0,则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)(浙江高考)如图,设抛物线y 2＝4x 的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A ．|BF|－1|AF|－1B ．|BF|2－1|AF|2－1 C ．|BF|＋1|AF|＋1 D ．|BF|2＋1|AF|2＋1[解析] (1)由题意知抛物线的准线为x ＝－14．因为|AF|＝54x 0,根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF|＝54x 0,解得x 0＝1,故选A ． (2)由图形可知,△BCF 与△ACF 有公共的顶点F,且A,B,C 三点共线,易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC||AC|．由抛物线方程知焦点F(1,0),作准线l,则l 的方程为x ＝－1．∵点A,B 在抛物线上,过A,B 分别作AK,BH 与准线垂直,垂足分别为点K,H,且与y 轴分别交于点N,M ．由抛物线定义,得|BM|＝|BF|－1,|AN|＝|AF|－1．在△CAN 中,BM ∥AN,∴|BC||AC|＝|BM||AN|＝|BF|－1|AF|－1．[答案] (1)A (2)A抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化,从而简化某些问题．(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题．[活学活用]1．已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点,A,B 是该拋物线上的两点,|AF|＋|BF|＝3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A ．34B ．1C ．54D ．74解析：选C 根据拋物线定义与梯形中位线定理,得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF|＋|BF|)－14＝32－14＝54． 2．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点,如果A,B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1,B 1,那么∠A 1FB 1为( )A ．π6B ．π4C ．π2D ．2π3解析：选C 由抛物线的定义可知|BF|＝|BB 1|,|AF|＝|AA 1|,故∠BFB 1＝∠BB 1F,∠AFA 1＝∠AA 1F ．又∠OFB 1＝∠BB 1F,∠OFA 1＝∠AA 1F,故∠BFB 1＝∠OFB 1,∠AFA 1＝∠OFA 1,所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2,即∠A 1FB 1＝π2．抛物线的实际应用[典例] 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔,已知上部呈抛物线形,跨度为20米,拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔,该货船水下宽度不超过18米,目前吃水线上部中央船体高5米,宽16米,且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物,但每多装150吨货物,船体吃水线就要上升0．04米．若不考虑水下深度, 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？[解] 如图所示,以拱顶为原点,过拱顶的水平直线为x轴,竖直直线为y轴,建立直角坐标系．因为拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米,所以A(10,－2)．设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0),则102＝－2p×(－2),所以p＝25,所以抛物线方程为x2＝－50y,即y＝－150x2．若货船沿正中央航行,船宽16米,而当x＝8时,y＝－150×82＝－1．28,即船体在x＝±8之间通过,B(8,－1．28),此时B点距水面6＋(－1．28)＝4．72(米)．而船体高为5米,所以无法通行．又因为5－4．72＝0．28(米),0．28÷0．04＝7,150×7＝1 050(吨),所以若船通过增加货物通过桥孔,则要增加1 050吨,而船最多还能装1 000吨货物,所以货船在现有状况下不能通过桥孔．求抛物线实际应用的五个步骤(1)建系：建立适当的坐标系；(2)假设：设出合适的抛物线标准方程；(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程；(4)求解：求出需要求出的量；(5)还原：还原到实际问题中,从而解决实际问题．[活学活用]如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米．水位下降1米后,水面宽________米．解析：建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的方程为x 2＝－2py,则点(2,－2)在抛物线上,代入可得p ＝1,所以x 2＝－2y ．当y ＝－3时,x 2＝6,所以水面宽为26米．答案：2 6层级一学业水平达标1．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C ．148D ．124解析：选C 将方程化为标准形式是x 2＝112y,因为2p ＝112,所以p ＝124．故到焦点的距离最小值为148．2．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切,则p 的值为( ) A ． B ．1 C ．2D ．4解析：选C ∵抛物线y 2＝2px 的准线x ＝－p 2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切,∴－p 2＝－1,即p ＝2．3．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F,准线为l,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若FP ＝4FQ ,则|QF|＝( )A ．72 B ．52 C ．3D ．2解析：选C 过点Q 作QQ′⊥l 交l 于点Q′,因为FP ＝4FQ ,所以|PQ|∶|PF|＝3∶4,又焦点F 到准线l 的距离为4,所以|QF|＝|QQ′|＝3．故选C ．4．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切,与直线y ＝0相切,则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆D ．圆解析：选A 由题意知,圆C 的圆心到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1,即圆C 的圆心到点(0,3)的距离与到直线y ＝－1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线．5．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0,b>0)的离心率为2．若抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2,则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：选D 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x,由于ca＝a 2＋b2a2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2,所以b a ＝3,所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ．抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2,所以p22＝2,所以p ＝8,所以抛物线方程为x2＝16y ．6．抛物线x ＝14my 2的焦点坐标是________．解析：方程改写成y 2＝4mx,得2p ＝4m,∴p ＝2m,即焦点(m,0)．答案：(m,0)7．若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10,则M 到y 轴的距离是________．解析：设点M 的横坐标为x,则点M 到准线x ＝－1的距离为x ＋1, 由抛物线的定义知x ＋1＝10,∴x ＝9, ∴点M 到y 轴的距离为9. 答案：98．对标准形式的抛物线,给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上,②满足,①不满足；设M(1,y 0)是y 2＝10x 上一点,则|MF|＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6,所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0,过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52,若由原点向该直线作垂线,垂足为(2,1)时,则k ＝－2,此时存在,所以④满足．答案：②④9．已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,抛物线上一点M(m,－3)到焦点的距离为5,求m 的值、抛物线方程和准线方程．F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2,解：法一：如图所示,设抛物线的方程为x 2＝－2py(p>0),则焦点准线l ：y ＝p 2,作MN ⊥l,垂足为N,则|MN|＝|MF|＝5,而|MN|＝3＋p 2,3＋p2＝5,即p ＝4．所以抛物线方程为x 2＝－8y,准线方程为y ＝2．由m 2＝－8×(－3)＝24,得m ＝±26．法二：设所求抛物线方程为x 2＝－2py(p>0),则焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2．∵M(m,－3)在抛物线上,且|MF|＝5, 故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y,m ＝±26,准线方程为y ＝2． 10．如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0．5米．(1)以抛物线的顶点为原点O,其对称轴所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB 为7米,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0．1米)? 解：如图所示．(1)依题意,设该抛物线的方程为x 2＝－2py(p>0),因为点C(5,－5)在抛物线上, 所以该抛物线的方程为x 2＝－5y ． (2)设车辆高为h,则|DB|＝h ＋0．5, 故D(3．5,h －6．5),代入方程x 2＝－5y,解得h ＝4．05, 所以车辆通过隧道的限制高度为4．0米．层级二应试能力达标1．过点A(3,0)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．直线D ．抛物线解析：选D 设P 为满足条件的点,则点P 到点A 的距离等于点P 到y 轴的距离,即点P 在以点A 为焦点,y 轴为准线的抛物线上,所以点P 的轨迹为抛物线．故选D ．2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F,点P 为抛物线上的动点,点M 为其准线上的动点,当△FPM 为等边三角形时,其面积为( )A ．2 3B ．4C ．6D ．4 3解析：选D 如图,∵△FPM 是等边三角形． ∴由抛物线的定义知PM ⊥l ．在Rt △MQF 中,|QF|＝2, ∠QMF ＝30°,∴|MF|＝4, ∴S △PMF ＝34×42＝43．故选D ． 3．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB,则AB 中点到x 轴的最短距离为( ) A ．34 B ．32C ．1D ．2 解析：选D 设AB 的中点为M,焦点为F(0,1)．过M 作准线l ：y ＝－1的垂线MN,过A 作AC ⊥l 于C,过B 作BD ⊥l 于D,则|MN|＝|AC|＋|BD|2＝|AF|＋|BF|2≥|AB|2＝3,所以AB 中点到x 轴的最短距离为3－1＝2,此时动弦AB 过焦点,故选D ．4．设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F,点M 在C 上,|MF|＝5．若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：选C 由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0,设点A(0,2),抛物线上点M(x 0,y 0),则AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2,AM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2．由已知得,AF ·AM ＝0,即y 20－8y 0＋16＝0,因而y 0＝4,M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4．由|MF|＝5得,⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5,又p ＞0,解得p ＝2或p ＝8,故选C ．5．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若FA ＋FB ＋FC ＝0,则|FA |＋|FB |＋|FC |＝________．解析：因为FA ＋FB ＋FC ＝0,所以点F 为△ABC 的重心,则A,B,C 三点的横坐标之和为点F 的横坐标的三倍,即x A ＋x B ＋x C ＝3,所以|FA |＋|FB |＋|FC |＝x A ＋1＋x B ＋1＋x C ＋1＝6．答案：66．从抛物线y 2＝4x 上的一点P 引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|＝5,设抛物线的焦点为F,则△MPF 的内切圆的面积为________．解析：如图,∵|PM|＝5, ∴点P 的坐标为(4,4), ∴S △PMF ＝12×5×4＝10．设△PMF 的内切圆圆心为O′,半径为r, ∴S △PMF ＝S △O ′PM ＋S △O ′PF ＋S △O ′MF , 即12(5＋5＋25)r ＝10,解得r ＝5－52, 故△PMF 内切圆的面积为πr 2＝15－552π．答案：15－552π7．已知M 是抛物线y 2＝2px(p>0)上任一点(不与原点重合),F 是其焦点．求证：以MF 为直径的圆与y 轴相切．证明：如图,过M 作MN ⊥l 于N,交y 轴于点Q,O′是MF 的中点,作O′R⊥y 轴于R ．∵|MF|＝|MN|,|OF|＝|OP|＝|QN|, ∴|O′R|＝12(|OF|＋|QM|)＝12(|QM|＋|QN|) ＝12|MN|＝12|MF|, ∴以MF 为直径的圆与y 轴相切．8．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点,F 为抛物线的焦点．(1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d,A(－1,1),求|PA|＋d 的最小值； (2)若B(3,2),求|PB|＋|PF|的最小值．解：(1)依题意,抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x ＝－1．由抛物线的定义,知|PF|＝d,于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．如图,连接AF,交抛物线于点P,则最小值为22＋12＝5． (2)把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中,得y ＝±12, 因为12>2,所以点B 在抛物线内部．自点B 作BQ 垂直准线于点Q,交抛物线于点P 1(如图)．由抛物线的定义,知|P 1Q|＝|P 1F|,则|PB|＋|PF|≥|P 1B|＋|P 1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4．即|PB|＋|PF|的最小值为4．2．4．2 抛物线的简单几何性质预习课本P68～72,思考并完成以下问题抛物线有哪些几何性质？[新知初探]抛物线的简单几何性质类型y 2＝2px(p>0)y 2＝－2px(p>0)x 2＝2py(p>0)x 2＝－2py(p>0)图象性质焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2准线x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x≥0,y ∈Rx≤0,y ∈Rx ∈R,y≥0x ∈R,y≤0对称轴 x 轴y 轴顶点 O(0,0) 离心率 e ＝1开口方向向右向左向上向下1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线x 2＝2py(p>0)有一条对称轴为y 轴( ) (2)抛物线y ＝－18x 2的准线方程是x ＝132( )答案：(1)√ (2)×2．过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64 答案：B3．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p>0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上,则p ＝________．答案：4抛物线方程及其几何性质[典例] 已知A,B 是抛物线y 2＝2px(p>0)上不同的两点,O 为坐标原点,若|OA|＝|OB|,且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点F,求直线AB 的方程．[解] 如图所示．设A(x 0,y 0),由题意可知,B(x 0,－y 0),又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0是△AOB 的垂心,则AF ⊥OB,∴k AF ·k OB ＝－1, 即y 0x 0－p 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 0x 0＝－1,∴y 20＝x 0⎝⎛⎭⎪⎫x 0－p 2,又y 20＝2px 0,∴x 0＝2p ＋p 2＝5p 2．因此直线AB 的方程为x ＝5p2．根据抛物线的几何性质求抛物线的方程,一般利用待定系数法,先“定形”,再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义,并结合图形,必要时还要进行分类讨论．[活学活用]已知抛物线的焦点F 在x 轴上,直线l 过F 且垂直于x 轴,l 与抛物线交于A,B 两点,O 为坐标原点,若△OAB 的面积等于4,求此抛物线的标准方程．解：由题意,可设抛物线方程为y 2＝2ax(a≠0),则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0,直线l ：x ＝a 2, ∴A,B 两点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a ,⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a , ∴|AB|＝2|a|． ∵△OAB 的面积为4,∴12·a2·2|a|＝4,∴a ＝±22． ∴抛物线方程为y 2＝±42x ．直线与抛物线的位置关系[典例] 若抛物线2．[证明] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y,得x 2－12x ＋16＝0．∵直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A,B,∴可设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有x 1＋x 2＝12,x 1x 2＝16． ∵OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝ x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0, ∴OA ⊥OB ,即OA ⊥OB ．将直线方程与抛物线方程联立,转化为一元二次方程,可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件,利用限制条件建立不等式或等式,利用根与系数的关系运算求解．[活学活用]过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点,求此直线方程．解：显然,直线斜率k 存在, 设其方程为y －2＝k(x ＋3),由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k x ＋3，y 2＝4x ，消去x,整理得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0．① (1)当k ＝0时,方程①化为－4y ＋8＝0,即y ＝2, 此时过(－3,2)的直线方程为y ＝2,满足条件． (2)当k≠0时,方程①应有两个相等实根．由⎩⎪⎨⎪⎧k≠0，Δ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧k≠0，16－4k 8＋12k ＝0，得k ＝13或k ＝－1．所以直线方程为y －2＝13(x ＋3)或y －2＝－(x ＋3),即x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0．故所求直线有三条,其方程分别为：y ＝2,x －3y ＋9＝0,x ＋y ＋1＝0．抛物线中的最值问题[典例] 在抛物线y 2,并求出距离的最小值． [解] 法一：设p(x 0,y 0)是y 2＝2x 上任一点,则点P 到直线l 的距离d ＝|x 0－y 0＋3|2＝y 22－y 0＋32＝|y 0－12＋5|22,当y 0＝1时,d min ＝524,∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1．法二：设与抛物线相切且与直线x －y ＋3＝0平行的直线方程为x －y ＋m ＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，y 2＝2x ，得y 2－2y ＋2m ＝0,∵Δ＝(－2)2－4×2m＝0,∴m ＝12．∴平行直线的方程为x －y ＋12＝0,此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离,则d min ＝3－122＝524,此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1．解决与抛物线有关的最值问题时,一方面注意从几何方面观察、分析,并利用抛物线的定义解决问题；另一方面,还要注意从代数角度入手,建立函数关系,利用函数知识求解．总之,与抛物线有关的最值问题主要有两种方法：(1)定义法；(2)函数法．[活学活用]设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆C 的半径能取到的最大值为________．解析：依题意,结合图形的对称性可知,要使满足题目约束条件的圆的半径最大,圆心位于x 轴上时才有可能,可设圆心坐标是(a,0)(0＜a ＜3),则由条件知圆的方程是(x －a)2＋y 2＝(3－a)2．由⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2＋y 2＝3－a2，y 2＝2x ，消去y 得x 2＋2(1－a)x ＋6a －9＝0,结合图形分析可知,当Δ＝[2(1－a)]2－4(6a －9)＝0且0＜a ＜3,即a ＝4－6时,相应的圆满足题目约束条件,因此所求圆的最大半径是3－a ＝6－1．答案：6－1层级一学业水平达标1．已知抛物线的对称轴为x 轴,顶点在原点,焦点在直线2x －4y ＋11＝0上,则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－11x B ．y 2＝11x C ．y 2＝－22xD ．y 2＝22x解析：选C 在方程2x －4y ＋11＝0中, 令y ＝0得x ＝－112,∴抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112，0,即p 2＝112,∴p ＝11,∴抛物线的方程是y 2＝－22x,故选C ．2．过点(2,4)作直线l,与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点,这样的直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选B 可知点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上,∴过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条,一条是抛物线的切线,另一条与抛物线的对称轴平行．3．设O 为坐标原点,F 为抛物线y 2＝4x 的焦点,A 为抛物线上一点,若OA ·AF ＝－4,则点A 的坐标为( )A ．(2,±2 2)B ．(1,±2)C ．(1,2)D ．(2,22)解析：选B 设A(x,y),则y 2＝4x,① 又OA ＝(x,y),AF ＝(1－x,－y), 所以OA ·AF ＝x －x 2－y 2＝－4．②由①②可解得x ＝1,y ＝±2．4．过点(1,0)作斜率为－2的直线,与抛物线y 2＝8x 交于A,B 两点,则弦AB 的长为( ) A ．213 B ．215 C ．217D ．219解析：选B 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)．由题意知AB 的方程为y ＝－2(x －1), 即y ＝－2x ＋2．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝－2x ＋2，得x 2－4x ＋1＝0,∴x 1＋x 2＝4,x 1·x 2＝1． ∴|AB|＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝1＋416－4＝5×12＝215．5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )A ．334B ．938C ．6332D ．94解析：选D 易知抛物线中p ＝32,焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0,直线AB 的斜率k ＝33,故直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34,代入抛物线方程y 2＝3x,整理得x 2－212x ＋916＝0．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝212．由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12,结合图象可得O 到直线AB 的距离d ＝p 2·sin 30°＝38,所以△OAB 的面积S ＝12|AB|·d＝94．6．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段的中点坐标是________．解析：将y ＝x －1代入y 2＝4x,整理,得x 2－6x ＋1＝0．由根与系数的关系,得x 1＋x 2＝6,x 1＋x 22＝3,∴y 1＋y 22＝x 1＋x 2－22＝6－22＝2． ∴所求点的坐标为(3,2)．答案：(3,2)7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),若|AB|＝7,则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x ＝－1．由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p,即x 1＋x 2＋2＝7,得x 1＋x 2＝5,于是弦AB 的中点M 的横坐标为52．因此,点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72．答案：728．过抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线,与抛物线分别交于A,B 两点(点A 在y 轴左侧),则|AF||FB|＝________．解析：由题意可得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2,故直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2,与x 2＝2py 联立得A,B 两点的横坐标为x A ＝－33p,x B ＝3p,故A －33p,16p,B 3p,32p,所以|AF|＝23p,|BF|＝2p,所以|AF||BF|＝13．答案：139．已知抛物线y 2＝6x,过点P(4,1)引一弦,使它恰在点P 被平分,求这条弦所在的直线方程．解：设弦的两个端点为P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)．∵P 1,P 2在抛物线上,∴y 21＝6x 1,y 22＝6x 2．两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)．① ∵y 1＋y 2＝2,代入①得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝3．∴直线的方程为y －1＝3(x －4),即3x －y －11＝0．10．已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F,且与抛物线相交于A,B 两点． (1)若|AF|＝4,求点A 的坐标； (2)求线段AB 的长的最小值．解：由y 2＝4x,得p ＝2,其准线方程为x ＝－1,焦点F(1,0)．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)． (1)由抛物线的定义可知,|AF|＝x 1＋p 2,从而x 1＝4－1＝3．代入y 2＝4x,解得y 1＝±23．∴点A 的坐标为(3,23)或(3,－23)． (2)当直线l 的斜率存在时, 设直线l 的方程为y ＝k(x －1)．与抛物线方程联立,得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，消去y,整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0． ∵直线与抛物线相交于A,B 两点, 则k≠0,并设其两根为x 1,x 2, ∴x 1＋x 2＝2＋4k2．由抛物线的定义可知,|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2>4．当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x ＝1,与抛物线相交于A(1,2),B(1,－2),此时|AB|＝4, ∴|AB|≥4,即线段AB 的长的最小值为4．层级二应试能力达标1．边长为1的等边三角形AOB,O 为坐标原点,AB ⊥x 轴,以O 为顶点且过A,B 的抛物线方程是( ) A ．y 2＝36x B ．y 2＝－36x C ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x 解析：选C 设抛物线方程为y 2＝ax(a≠0)．又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32，12(取点A 在x 轴上方),则有14＝±32a,解得a ＝±36,所以抛物线方程为y 2＝±36x ．故选C ．2．过抛物线y 2＝4x 的焦点,作一条直线与抛物线交于A,B 两点,若它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：选B 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由抛物线的定义,知|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝5＋2＝7．又直线AB 过焦点且垂直于x 轴的直线被抛物线截得的弦长最短,且|AB|min ＝2p ＝4,所以这样的直线有两条．故选B ．3．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A,B 两点,若AB 中点的横坐标为2,则k ＝( ) A ．2或－2 B ．1或－1 C ．2D ．3解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0．又由Δ＝16(k ＋2)2－16k 2>0,得k>－1．则由4k ＋2k2＝4,得k ＝2．故选C ． 4．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M(－2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点,若MA ·MB＝0,则k ＝( )A ．12B ．22C ． 2D ．2解析：选D 由题意可知抛物线C 的焦点坐标为(2,0),则直线AB 的方程为y ＝k(x －2),将其代入y 2＝8x,得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 2＋2k 2，x 1x 2＝4.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝k x 1－2，y 2＝k x 2－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝k x 1＋x 2－4k ， ②y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2x 1＋x 2＋4]. ③∵MA ·MB ＝0,∴(x 1＋2,y 1－2)·(x 2＋2,y 2－2)＝0． ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0,即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0．④ 由①②③④解得k ＝2．故选D 项．5．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),则p ＝________；若抛物线C 上一点A 到其准线的距离与到原点距离相等,则A 点到x 轴的距离为________．解析：∵抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),∴p 2＝1,即p ＝2.∵点A 到其准线的距离与到原点距离|OA|相等,且点A 到准线的距离等于|AF|,∴|OA|＝|AF|,∴A 点的横坐标为12,∴y 2A ＝4×12＝2,解得|y A |＝2,即A 到x 轴的距离为 2.答案：226．顶点为坐标原点,焦点在x 轴上的抛物线,截直线2x －y ＋1＝0所得的弦长为15,则抛物线方程为________．解析：设所求抛物线方程为y 2＝ax(a≠0),联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax ，2x －y ＋1＝0，得4x 2＋(4－a)x ＋1＝0,则Δ＝(4－a)2－16>0,得a>8或a<0．设直线与抛物线的交点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1＋x 2＝a －44,x 1x 2＝14．所以|AB|＝1＋22[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝5×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －442－4×14＝15, 解得a ＝12或a ＝－4．所以抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x ．答案：y 2＝12x 或y 2＝－4x7．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k(x ＋1)相交于A,B 两点,O 为坐标原点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10 时,求实数k 的值．解：(1)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k x ＋1消去x,得ky 2＋y －k ＝0．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意,知k≠0,则y 1＋y 2＝－1k ,y 1y 2＝－1．由A,B 在抛物线y 2＝－x 上,可知y 21＝－x 1,y 22＝－x 2,则y 21y 22＝x 1x 2．因为k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1,所以OA ⊥OB ．(2)设直线与x 轴交于点N ．令y ＝0,得x ＝－1,即N(－1,0)．因为S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON||y 1|＋12|ON|·|y 2|＝12|ON||y 1－y 2|,所以S △OAB ＝12×1×y 1＋y 22－4y 1y 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＝10．解得k ＝±16．8．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F,直线y ＝4与y 轴的交点为P,与C 的交点为Q,且|QF|＝54|PQ|．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点,若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M,N 两点,且A,M,B,N 四点在同一圆上,求l 的方程．解：(1)设Q(x 0,4),代入y 2＝2px 得x 0＝8p ．所以|PQ|＝8p ,|QF|＝p 2＋x 0＝p 2＋8p．由题设得p 2＋8p ＝54×8p ,解得p ＝－2(舍去)或p ＝2．所以C 的方程为y 2＝4x ． (2)依题意知l 与坐标轴不垂直, 故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m≠0)．代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1＋y 2＝4m,y 1y 2＝－4．故AB 的中点为D(2m 2＋1,2m), |AB|＝m 2＋1|y 1－y 2| ＝m 2＋1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝4(m 2＋1)．又l′的斜率为－m,所以l′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3．将上式代入y 2＝4x,并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0．设M(x 3,y 3),N(x 4,y 4),则y 3＋y 4＝－4m ,y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ,|MN|＝1＋1m2|y 3－y 4| ＝1＋1m2·y 3＋y 42－4y 3y 4＝4m 2＋1 2m 2＋1m2．由于MN 垂直平分AB,故A,M,B,N 四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝12|MN|,从而14|AB|2＋|DE|2＝14|MN|2,即4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4m 2＋122m 2＋1m4．化简得m 2－1＝0,解得m ＝1或m ＝－1．所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0．(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．(安徽高考)下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1 解析：选C 由双曲线焦点在y 轴上,排除选项A 、B,选项C 中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ,故选C.2．θ是任意实数,则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆解析：选C 由于θ∈R,对sin θ的值举例代入判断．sin θ可以等于1,这时曲线表示圆,sin θ可以小于0,这时曲线表示双曲线,sin θ可以大于0且小于1,这时曲线表示椭圆．3．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1,F 2,若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2,则曲线C 的离心率等于( )A.12或32B.23或2 C.12或2 D.23或32解析：选A 设|PF 1|＝4k,|F 1F 2|＝3k,|PF 2|＝2k.若曲线C 为椭圆,则2a ＝6k,2c ＝3k,∴e ＝12；若曲线C 为双曲线,则2a ＝2k,2c ＝3k,∴e ＝32.4．设F 1,F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点,P 在双曲线上,当△F 1PF 2的面积为2时,PF 1―→·PF 2―→的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选B 设P(x 0,y 0),又F 1(－2,0),F 2(2,0),∴PF 1―→＝(－2－x 0,－y 0),PF 2―→＝(2－x 0,－y 0)．|F 1F 2|＝4,S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝2,∴|y 0|＝1.又x 203－y 20＝1,∴x 20＝3(y 20＋1)＝6,∴PF 1―→·PF 2―→＝x 20＋y 20－4＝6＋1－4＝3. 5．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]解析：选C 准线x ＝－2,Q(－2,0),设l ：y ＝k(x ＋2),由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时,x ＝0,即交点为(0,0), 当k≠0时,Δ≥0,－1≤k＜0或0＜k≤1. 综上,k 的取值范围是[－1,1]．6．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B(0,b)和一个焦点F(c,0),则直线l 的方程为x c ＋yb ＝1,即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc|b 2＋c 2＝14×2b ,解得c a ＝12,即e ＝12.故选B.7．已知|AB ―→|＝3,A,B 分别在y 轴和x 轴上运动,O 为原点,OP ―→＝13OA ―→＋23OB ―→,则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1 C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝1 解析：选A 设P(x,y),A(0,y 0),B(x 0,0),由已知得(x,y)＝13(0,y 0)＋23(x 0,0),即x ＝23x 0,y ＝13y 0,所以x 0＝32x,y 0＝3y.因为|AB ―→|＝3,所以x 20＋y 20＝9,即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y)2＝9,化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.8．(四川高考)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A,B 两点,与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)解析：选D 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(5＋rcos θ,rsin θ)则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2.两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．当直线l 的斜率不存在时,显然符合条件的直线l 有两条．当直线l 的斜率存在时,可得2rsin θ(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2) ⇒k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2rsin θ.又∵k MC ＝rsin θ－05＋rcos θ－5＝sin θcos θ.∴k AB ＝－1k MC ＝－cos θsin θ.∴2rsin θ＝－cos θsin θ⇒r ＝－2cos θ>2.由于M 在抛物线的内部,∴(rsin θ)2<4(5＋rcos θ)＝20＋4rcos θ＝20＋4×(－2)＝12. ∴|rsin θ|<2 3.∴|rsin θ|＝r·r 2－4r ＝r 2－4<23⇒r 2<16⇒0<r<4.因此2<r<4.二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分) 9．以双曲线x 24－y212＝1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为________．解析：双曲线焦点(±4,0),顶点(±2,0),故椭圆的焦点为(±2,0),顶点(±4,0)．答案：x 216＋y212＝110．设P 是双曲线x 2a 2－y29＝1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0,则a ＝________.F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF 1|＝3,则|PF 2|＝________.解析：双曲线x 2a 2－y29＝1的一条渐近线方程为3x －2y ＝0,故a ＝2.又P 是双曲线上一点,故||PF 1|－|PF 2||＝4,而|PF 1|＝3,则|PF 2|＝7.答案：2 711．设F 1,F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点,P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点,则△PF 1F 2的面积为________．解析：由题意知|F 1F 2|＝26－2＝4, 设P 点坐标为(x,y)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y22＝1，x 23－y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±322，y ＝±22.则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y|＝12×4×22＝ 2.答案： 212．已知直线y ＝k(x ＋2)(k>0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A,B 两点,F 为C 的焦点,则F 的坐标为________．若|FA|＝2|FB|,则k ＝________.解析：抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0),将y ＝k(x ＋2)代入y 2＝8x,得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0,设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝8－4k2k 2,x 1x 2＝4,由|FA|＝2|FB|及抛物线定义得x 1＋2＝2(x 2＋2),即x 1＝2＋2x 2,代入x 1x 2＝4,整理得x 22＋x 2－2＝0,解得x 2＝1或x 2＝－2(舍去)．所以x 1＝4,8－4k 2k 2＝5,解得k 2＝89,又因为k>0,所以k ＝223.答案：(2,0)22313．抛物线y 2＝2px(p>0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1,则p ＝________,抛物线上横坐标为3的点到准线的距离为________．解析：依题意,设抛物线的焦点为F,点Q 的横坐标是x 0(x 0≥0),则有|QF|＝x 0＋p 2的最小值是p2＝1,则p＝2.横坐标为3的点到准线的距离为3＋p2＝4.答案：2 414．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32.则双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为________,若渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为____________．解析：由题意,双曲线的渐近线方程为y ＝±x.因为椭圆的离心率为32,所以e ＝c a ＝32,c 2＝34a 2＝a 2－b 2,所以b 2＝14a 2,即a 2＝4b 2.代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1,即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1,所以x 2＝45b 2,x ＝±25b,y 2＝45b 2,y＝±25b,则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫25b ，25b ,所以四边形的面积为4×25b×25b ＝165b 2＝16,所以b 2＝5,所以椭圆方程为x 220＋y 25＝1.答案：y ＝±x x 220＋y25＝115．已知二次曲线x 24＋y2m ＝1,当m ∈[－2,－1]时,该曲线的离心率的取值范围是________．解析：∵m ∈[－2,－1],∴曲线方程化为x 24－y2－m ＝1,曲线为双曲线,∴e ＝4－m2. ∵m ∈[－2,－1], ∴52≤e≤62.答案：52,62三、解答题(本大题共6小题,共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分14分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0,b>0)的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6,求抛物线的方程和双曲线的方程．解：依题意,设抛物线的方程为y 2＝2px(p>0),∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在抛物线上,∴6＝2p×32.∴p ＝2,∴所求抛物线的方程为y 2＝4x.∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上, ∴c ＝1,即a 2＋b 2＝1,又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在双曲线上, ∴94a 2－6b2＝1, 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8(舍去)．∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.17．(本小题满分15分)已知抛物线方程为y 2＝2x,在y 轴上截距为2的直线l 与抛物线交于M,N 两点,O 为坐标原点．若OM ⊥ON,求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋2,由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝kx ＋2消去x 得ky 2－2y ＋4＝0.∵直线l 与抛物线相交,。

2019高考数学理科二轮复习第一篇微型专题练习：微专题20 直线与抛物线的综合 Word版含解析

入抛物线方程得 y2-my-a=0,所以 y1y2=-a,x1x2=(y1y2)2=a2.由��·�� =x1x2+y1y2=a2-a<0,解得 a∈(0,1),故选 B.
答案▶ B 4.已知点 P(-1,4),过点 P 恰好存在两条直线与抛物线 C 有且只有一个公共点,则抛物线 C 的标准方程为( ).
求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标.
解析▶ (1)由题意知,圆 M 的圆心为(3,1),半径 r= 3 ,A(0,1),F(c,0),
直线 AF 的方程为��+y=1,即 x+cy-c=0.
��
由直线 AF 与圆 M 相切,得|3 + �� - ��|= 3,
��2 + 1
联立方程组
��2 3
+
��2
=
1,
整理得(1+3k2)x2+6kx=0,
解得 x=0 或 x=
- 6��
,
1 + 3��2
( ) 故点 P 的坐标为
- 6�� 1 - 3��2
1 + 3��ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ��2, 1 + 3��2
,
( ) 同理可得,点 Q 的坐标为
过点(2,1)的直线交抛物线 y2=5x 于 A,B 两点(异于坐标原点 O),
2
若|��+��|=|��-��|,则该直线的方程为( ).
A.x+y-3=0 B.2x+y-5=0

2020届高考数学大二轮复习冲刺经典专题第二编讲专题专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线课件文

∴∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得 4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cos60°， ∴c＝ 3a，∴b＝ c2－a2＝ 2a. ∴ba＝ 2，∴双曲线 C 的渐近线方程为 y＝± 2x.故选 A．
(2)已知 F1，F2 为双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以 F1F2 为直
第二编讲专题专题五解析几何
第2讲椭圆、双曲线、抛物线
「考情研析」1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质，特别是椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线． 2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).
1
PART ONE
核心知识回顾
1.圆锥曲线的定义式 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M(l 为抛物线的准线方程)．
A．y＝± 2x
B．y＝±
2 2x
C．y＝±2x D．y＝±2 2x
答案 A
解析由题意得，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝ 2a，
由于 P，M 关于原点对称，F1，F2 关于原点对称，∴线段 PM，F1F2 互相平分，四边形 PF1MF2 为平行四边形，PF1∥MF2，∵∠MF2N＝60°，
D． 10
答案 B
解析设双曲线的右焦点为 F′，取 MN 的中点 P，连接 F′P，F′M， F′N，如图所示，由F→N＝3F→M，可知|MF|＝|MP|＝|NP|.又 O 为 FF′的中点，可知 OM∥PF′.∵OM⊥FN，∴PF′⊥FN.∴PF′为线段 MN 的垂直平分线．

高考数学二轮复习抛物线学案(含解析)

抛物线考向一：抛物线定义抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，注意在解题中利用两者之间相互转化。

1、(2016·浙江高考)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点F 的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．解析设M (x 0，y 0)，由抛物线的方程知焦点F (1,0)．根据抛物线的定义得|MF |＝x 0＋1＝10，∴x 0＝9，即点M 到y 轴的距离为9.条件探究：将条件变为“在抛物线上找一点M ，使|MA |＋|MF |最小，其中A (3,2)”．求点M 的坐标及此时的最小值．解如图，点A 在抛物线y 2＝4x 的内部，由抛物线的定义可知，|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MH |，其中|MH |为点M 到抛物线的准线的距离．过A 作抛物线准线的垂线交抛物线于M 1，垂足为B ，则|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MH |≥|AB |＝4，当且仅当点M 在M 1的位置时等号成立．此时点M 的坐标为(1,2)．2、［2015•全国Ⅰ，10］已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A ．72B ．52C ．3D ．2 解析过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝33、［2017•全国Ⅱ，16］已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析：不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2，0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2，∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6. 考向二：抛物线的标准方程与几何性质1、［2016•全国Ⅰ，10］以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 B解析不妨设C ：y 2＝2px (p >0)，A (x1，22)，则x 1＝222p＝4p，由题意可知|OA |＝|OD |，得⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 2＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5，解得p ＝4.故选B.2、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8 【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y pp +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．考向三：直线与抛物线的综合问题1、［2018•全国Ⅰ，8］设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析根据题意，过点(－2,0)且斜率为23的直线方程为y ＝23(x ＋2)，与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23x ＋，y 2＝4x ，消去x 并整理，得y 2－6y ＋8＝0，解得M (1,2)，N (4,4)，又F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)，从而可以求得FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8，故选D.条件探究：将条件变为过点(－2,0)的直线与C 交于M ，N 两点，求FM →·FN →的范围？根据题意，直线的斜率存在且不为零，设 1 1 ， 2 2 ，设直线方程为（ 2），与抛物线方程联立得 2 4 0， 1 2 4， 1 2FM →·FN →＝( 1 1， 1) 2 1， 2= 1 2 1 2 1 1 2 124224124 2241 1 2= 1242241 2 2 2 1 241 1 21 42因为 16 32 2 0，0 2 12，FM →·FN →的范围为，2、［2017•全国Ⅰ，10］已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10解析因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1，0)．由题意直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－1k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，所以|AB |＝x 1＋x 2 +2＝＋k2k 2.同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝＋k2k2＋4(1＋k 2)＝4 （1k2＋1＋1＋k 2）＝8＋4（k 2＋1k2）≥ ＋4×2＝16，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，取得等号．故选A.3、［2018•全国Ⅲ，16］已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝ 0°，则k ＝________.答案 2解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以y 21－y 22＝4x 1－4x 2，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′.因为∠AMB ＝ 0°，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．因为M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴．因为M (－1,1)，所以y 0＝1，则y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.4、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若，求|AB |．【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． 323AP PB =（1）由题设得3,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-．从而12(1)592t --=，得78t =-．所以l 的方程为3728y x =-．（2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=．所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．代入C 的方程得1213,3x x ==．故||AB =． 5、［2017•北京卷，18］已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)．过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)．直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x2x 2＝k －x 1x 2＋12x 2＋x 1x 2＝k －214k 2＋1－k 2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1，故A 为线段BM 的中点．。

高考数学二轮复习抛物线学案(含解析)

高考数学二轮复习抛物线学案（含解析）抛物线考向一抛物线定义抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，注意在解题中利用两者之间相互转化。

1.xx浙江高考若抛物线y24x上的点M到焦点F的距离为10，则M到y轴的距离是________解析设Mx0，y0，由抛物线的方程知焦点F1,0根据抛物线的定义得|MF|x0110，x09，即点M到y 轴的距离为9.条件探究将条件变为“在抛物线上找一点M，使|MA||MF|最小，其中A3,2”求点M的坐标及此时的最小值解如图，点A在抛物线y24x的内部，由抛物线的定义可知，|MA||MF||MA||MH|，其中|MH|为点M到抛物线的准线的距离过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则|MA||MF||MA||MH||AB|4，当且仅当点M在M1的位置时等号成立此时点M的坐标为1,22.xx全国，10已知抛物线Cy28x的焦点为F，准线为l，P 是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点若4，则|QF|ABC3D2解析过点Q作QQl交l于点Q，因为4，所以|PQ||PF|34，又焦点F 到准线l的距离为4，所以|QF||QQ|33.xx全国，16已知F是抛物线Cy28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|________.解析不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知，F2，0，|FO||AO|2.点M为FN的中点，PMOF，|MP||FO|1.又|BP||AO|2，|MB||MP||BP|3.由抛物线的定义知|MF||MB|3，故|FN|2|MF|6.考向二抛物线的标准方程与几何性质1.xx全国，10以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为A2B4C6D8答案B解析不妨设Cy22pxp0，Ax1，2，则x1，由题意可知|OA||OD|，得2825，解得p4.故选B.2.【xx年高考全国卷理数】若抛物线y22pxp0的焦点是椭圆的一个焦点，则pA2B3C4D8 【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D 考向三直线与抛物线的综合问题1.xx全国，8设抛物线Cy24x的焦点为F，过点2,0且斜率为的直线与C交于M，N两点，则A5B6C7D8解析根据题意，过点2,0且斜率为的直线方程为yx2，与抛物线方程联立消去x并整理，得y26y80，解得M1,2，N4,4，又F1,0，所以0,2，3,4，从而可以求得03248，故选D.条件探究将条件变为过点2,0的直线与C交于M，N两点，求的范围根据题意，直线的斜率存在且不为零，设Mx1,y1，Nx2,y2，设直线方程为yk（x2），与抛物线方程联立得ky2-4y8k0，y1y24k，y1y28x1-1，y1x2-1，y2x1x2-x1x21y1y2y124y224-y124y2241y1y2y124y224-y1y22-2y1y241y1y217-4k2因为16-32k20，0k212，的范围为-，92.xx全国，10已知F为抛物线Cy24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB||DE|的最小值为A16B14C12D10解析因为F为y24x的焦点，所以F1，0由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为，故直线l1，l2的方程分别为ykx1，yx1由得k2x22k24xk20.设Ax1，y1，Bx2，y2，则x1x2，x1x21，所以|AB|x1x22.同理可得|DE|41k2所以|AB||DE|41k24（11k2）84（k2）84216，当且仅当k2，即k1时，取得等号故选A.3.xx全国，16已知点M1,1和抛物线Cy24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k________.答案2解析设Ax1，y1，Bx2，y2，则所以yy4x14x2，所以k.取AB的中点Mx0，y0，分别过点A，B作准线x1的垂线，垂足分别为A，B.因为AMB90，所以|MM||AB||AF||BF||AA||BB|因为M为AB 的中点，所以MM平行于x轴因为M1,1，所以y01，则y1y22，所以k2.4.【xx年高考全国卷理数】已知抛物线Cy23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF||BF|4，求l的方程；（2）若，求|AB|【解析】设直线（1）由题设得，故，由题设可得由，可得，则从而，得所以的方程为（2）由可得由，可得所以从而，故代入的方程得故5.xx北京卷，18已知抛物线Cy22px过点P1，1过点作直线l 与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点1求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；2求证A为线段BM的中点解1由抛物线Cy22px过点P1，1，得p.所以抛物线C的方程为y2x.抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x.2证明由题意，设直线l的方程为ykxk0，l与抛物线C的交点为Mx1，y1，Nx2，y2由得4k2x24k4x10，则x1x2，x1x2.因为点P的坐标为1，1，所以直线OP的方程为yx，点A 的坐标为x1，x1直线ON的方程为yx，点B的坐标为.因为y12x10，所以y12x1，故A为线段BM的中点6。

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