函数的连续与间断
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图 2-12
二、 函数的间断点
【例47】
【例48】
二、 函数的间断点
二、 函数的间断点
【例49】
函数f(x)在点x=0是右连续的，但不是左连续，所以，函数 f(x)在x=0处是间断的(或称函数在点x=0右连续).
又由于函数f(x)在点x=0的左、右极限虽都存在，但不相等， 所以点x=0是函数的跳跃间断点.
一、 函数的连续性
1. 函数的增量
定义15
设自变量x从它的初值x0变到终值x1，则终值与初值之差x1－x0 (或增量)，记为Δx=x1－x0.若函数y=f(x)在
点x0处的某个邻域有定义，当自变量在此邻域内x从x0变到x0+Δx时， 函数相应的改变量记为Δy
Δy=f(x0+Δx)－f(x0) . 与自变量一样，函数的改变量也称为函数的增量Δy .
(1)f(x)在点x0处没有定义.
二、 函数的间断点
定义21
设点x0为f(x)的间断点，但左极限及右极限 都存在，则称x0为f(x)的第一类间断点；若f(x)在 点x0处的左、右极限至少有一个不存在，则称点 x0为函数f(x)的第二类间断点.
二、 函数的间断点
二、 函数的间断点
二、 函数的间断点
谢谢聆听
函数的连续与间断
函数的连续与间断
前面学习了极限，通过极限理论进一步考察 函数的变化关系.可以发现，在自然界中有许多现 象，如植物的生长、气温的变化、河水的流动等 都是连续变化的.就植物的生长来看，当时间变化 很微小时，植物的变化也是很微小的，这种现象 在函数关系上的反映就是函数的连续性.本节主要 讨论连续函数的概念和间断的概念及其分类.
函数的增量是可正可负的. f(x0+Δx)<f(x0)，则Δy<0 .
f(x0+Δx)>f(x0)，则Δy>0；若
一、 函数的连续性
这个关系式的几何解释如图2-11所示.
图 2-11
一、 函数的连续性
【例45】
一块正方形的金属薄板，受热膨胀后，边长和面积都在增大. 当边长有一增量Δx时，求其面积A的增量.
一、 函数的连续性
定义17
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果有limx→x0f(x)=f(x0) 成立，则称函数y=f(x)在点x0处连续，且称x0为函数y=f(x)的连续点.
(1)函数y=f(x)在点x0有定义.
(2)limx→x0f(x)
.
(3)极限值等于该点的函数值f(x0) .
A=x2，当自变量x有一个改变 量Δx时，相应函数的增量为ΔA.
ΔA=f(x+Δx)－f(x)=(x+Δx)2－x2=2x•Δx+(Δx)2.
一、 函数的连续性
2. 函数的连续性概念
定义16
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果当Δx趋向于零时，
函数相对应的增量Δy也趋向于零，即limΔx→0Δy=0成立，则称函数
二、 函数的间断点
定义20
若函数f(x)在点x0的某一空心邻域内有定义，且f(x)在点x0处不连续， 则称f(x)在点x0处间断，称点x0为f(x)的间断点.
由定义17知，函数f(x)在点x0 (1)函数f(x)在点x0的某邻域内有定义.
如果其中任何一条不满足，即函数f(x)有下列三种情形之一，那么点 x0为f(x)
如果借用极限定义的“ε-δ”语言，连续性的定义又可表述如下.
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的小正 数ε，总存在正数δ，使得当|x－x0|<δ时，恒有|f(x)－f(x0)|<ε成立，则称 函数y=f(x)在点x0连续.
一、 函数的连续性
定义18
如果函数y=f(x)满足limx→x-0 f(x)=f(x0 )［或limx→x+0
如果一个函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都
连续,则称函数y=f(x)
(a,b)内连续.如果
一个函数y=f(x)在开区间(a,b)内连续，又在左端点
a右连续，右端点b左连续，则称函数y=f(x) 闭
区间［a,b］上连续.如果函数y=f(x)在整个定义域
Βιβλιοθήκη Baidu内连续，则称该函数为连续函数.
一、 函数的连续性
f(x)=f(x0 )］，则称函数y=f(x)在点x0处左(或右)连续.
设函数y=f(x)在区间［a,b］内有定义，如果有limx→b－
f(x)=f(b)，那么我们就称函数y=f(x)
b左连续；如果
limx→a+f(x)=f(a)，那么我们就称函数y=f(x)在左端点a右连续.
一、 函数的连续性
定义19
y=f(x)
x0连续.
在定义16中，若令x=x0+Δx, 即Δx=x－x0，则当Δx→0时，也就
是当x→x0时.又因为Δy=f(x0+Δx)－f(x0)=f(x)－f(x0)，因而
limΔx→0Δy=0
limΔx→0［f(x)－f(x0)］=0，即limx→x0f(x)=f(x0).
因此，函数y=f(x)在点x0处连续的定义又可叙述如下.
定理24
函数y=f(x)在点x0处连续的充要条件 是函数y=f(x)在点x0既左连续又右连续.
一、 函数的连续性
【例46】
y=cosx在(－∞,+∞)内是连续的.
一、 函数的连续性
注
连续函数的图像是一条连续而不间断的曲线. 通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了， 同时我们可以联想一下，若函数在某一点不连续，会出 现什么情形呢？下面我们就来讨论这个问题：函数的间 断点.
二、 函数的间断点
【例47】
【例48】
二、 函数的间断点
二、 函数的间断点
【例49】
函数f(x)在点x=0是右连续的，但不是左连续，所以，函数 f(x)在x=0处是间断的(或称函数在点x=0右连续).
又由于函数f(x)在点x=0的左、右极限虽都存在，但不相等， 所以点x=0是函数的跳跃间断点.
一、 函数的连续性
1. 函数的增量
定义15
设自变量x从它的初值x0变到终值x1，则终值与初值之差x1－x0 (或增量)，记为Δx=x1－x0.若函数y=f(x)在
点x0处的某个邻域有定义，当自变量在此邻域内x从x0变到x0+Δx时， 函数相应的改变量记为Δy
Δy=f(x0+Δx)－f(x0) . 与自变量一样，函数的改变量也称为函数的增量Δy .
(1)f(x)在点x0处没有定义.
二、 函数的间断点
定义21
设点x0为f(x)的间断点，但左极限及右极限 都存在，则称x0为f(x)的第一类间断点；若f(x)在 点x0处的左、右极限至少有一个不存在，则称点 x0为函数f(x)的第二类间断点.
二、 函数的间断点
二、 函数的间断点
二、 函数的间断点
谢谢聆听
函数的连续与间断
函数的连续与间断
前面学习了极限，通过极限理论进一步考察 函数的变化关系.可以发现，在自然界中有许多现 象，如植物的生长、气温的变化、河水的流动等 都是连续变化的.就植物的生长来看，当时间变化 很微小时，植物的变化也是很微小的，这种现象 在函数关系上的反映就是函数的连续性.本节主要 讨论连续函数的概念和间断的概念及其分类.
函数的增量是可正可负的. f(x0+Δx)<f(x0)，则Δy<0 .
f(x0+Δx)>f(x0)，则Δy>0；若
一、 函数的连续性
这个关系式的几何解释如图2-11所示.
图 2-11
一、 函数的连续性
【例45】
一块正方形的金属薄板，受热膨胀后，边长和面积都在增大. 当边长有一增量Δx时，求其面积A的增量.
一、 函数的连续性
定义17
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果有limx→x0f(x)=f(x0) 成立，则称函数y=f(x)在点x0处连续，且称x0为函数y=f(x)的连续点.
(1)函数y=f(x)在点x0有定义.
(2)limx→x0f(x)
.
(3)极限值等于该点的函数值f(x0) .
A=x2，当自变量x有一个改变 量Δx时，相应函数的增量为ΔA.
ΔA=f(x+Δx)－f(x)=(x+Δx)2－x2=2x•Δx+(Δx)2.
一、 函数的连续性
2. 函数的连续性概念
定义16
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果当Δx趋向于零时，
函数相对应的增量Δy也趋向于零，即limΔx→0Δy=0成立，则称函数
二、 函数的间断点
定义20
若函数f(x)在点x0的某一空心邻域内有定义，且f(x)在点x0处不连续， 则称f(x)在点x0处间断，称点x0为f(x)的间断点.
由定义17知，函数f(x)在点x0 (1)函数f(x)在点x0的某邻域内有定义.
如果其中任何一条不满足，即函数f(x)有下列三种情形之一，那么点 x0为f(x)
如果借用极限定义的“ε-δ”语言，连续性的定义又可表述如下.
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的小正 数ε，总存在正数δ，使得当|x－x0|<δ时，恒有|f(x)－f(x0)|<ε成立，则称 函数y=f(x)在点x0连续.
一、 函数的连续性
定义18
如果函数y=f(x)满足limx→x-0 f(x)=f(x0 )［或limx→x+0
如果一个函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都
连续,则称函数y=f(x)
(a,b)内连续.如果
一个函数y=f(x)在开区间(a,b)内连续，又在左端点
a右连续，右端点b左连续，则称函数y=f(x) 闭
区间［a,b］上连续.如果函数y=f(x)在整个定义域
Βιβλιοθήκη Baidu内连续，则称该函数为连续函数.
一、 函数的连续性
f(x)=f(x0 )］，则称函数y=f(x)在点x0处左(或右)连续.
设函数y=f(x)在区间［a,b］内有定义，如果有limx→b－
f(x)=f(b)，那么我们就称函数y=f(x)
b左连续；如果
limx→a+f(x)=f(a)，那么我们就称函数y=f(x)在左端点a右连续.
一、 函数的连续性
定义19
y=f(x)
x0连续.
在定义16中，若令x=x0+Δx, 即Δx=x－x0，则当Δx→0时，也就
是当x→x0时.又因为Δy=f(x0+Δx)－f(x0)=f(x)－f(x0)，因而
limΔx→0Δy=0
limΔx→0［f(x)－f(x0)］=0，即limx→x0f(x)=f(x0).
因此，函数y=f(x)在点x0处连续的定义又可叙述如下.
定理24
函数y=f(x)在点x0处连续的充要条件 是函数y=f(x)在点x0既左连续又右连续.
一、 函数的连续性
【例46】
y=cosx在(－∞,+∞)内是连续的.
一、 函数的连续性
注
连续函数的图像是一条连续而不间断的曲线. 通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了， 同时我们可以联想一下，若函数在某一点不连续，会出 现什么情形呢？下面我们就来讨论这个问题：函数的间 断点.