第二节 排列与组合-高考状元之路

第二节 排列与组合

预习设计 基础备考

知识梳理

1．排列与排列数

(1)排列的定义：一般地，从n 个 元素中取出m )(n m ≤个元素，按照一定的 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．

(2)排列数的定义：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的 的个数，叫做从n 个不同元素

中取出m 个元素的排列数，记为.m A π

(3)排列数公式

=+---=)1()2)(1(m n n n n A m

n

=⋅⋅⋅-⋅-⋅=123).2()1( n n n A n

n ，规定.1!0=

2．组合与组合数

(1)组合的定义：一般地，从n 个 的元素中取m ⋅≤)(n m 个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．

(2)组合数的定义：从n 个 元素中取出)(n m m ≤个元素的 的个数，叫做从n 个不

同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n c 表示．

(3)组合数公式

=m

n C =

(4)组合数的性质

性质1：=m

n C

性质2；=

+m n c 1 ).,,(⋅∈∈≤*N m N n n m

3．解排列组合题的"24宇方针，12个技巧”：

(1)“二十四字”方针是解排列组合题的基本规律：即排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加、分步为乘．

(2)“十二”个技巧是速解排列组合题的捷径．即：

①相邻问题捆绑法；②不相邻问题插空法；③多排问题单排法；④定序问题倍缩法；⑤定位问题优先法；⑥有序分配问题分步法；⑦多元问题分类法；⑧交叉问题集合法；⑨至少（多）问题间接法；⑩选排问题先取后排法；（11）局部与整体问题排除法；（12）复杂问题转化法．

典题热身

1．设直线的方程是5,4,3,2,1,0从=+By Ax 这五个数中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则所得不同直线的条数是( )

20.A 19.B 18.C 16.D

答案；C

2．某校开设10门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是 （ ）

120.A 98.B 63.c 56.D

答案：B

3．将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有 （ ）

A ．6种

B ．12种

C ．24种

D ．48种

答案：B

4．现有甲、乙、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、

乙、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为（ ）

14.A 16.B 18.C 20.D

答案：C

5．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和两个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告， 则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）．

答案：48

课堂设计 方法备考

题型一 排列应用问题

【例1】有5个同学排队照相，求：

(1)甲、乙两个同学必须相邻的排法有多少种？

(2)甲、乙、丙3个同学互不相邻的排法有多少种？

(3)乙不能站在甲前面，丙不能站在乙前面的排法有多少种？

(4)甲不站在中间位置，乙不站在两端两个位置的排法有多少种？

题型二 组合应用问题

【例2】从7名男生5名女生中选取5人当班干部，分别求符合下列条件的选法总数有多少种，

（1）)A ，B 必须当选；

（2）A ，B 必不当选；

（3）A ，B 不全当选；

（4）至少有2名女生当选；

(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．

题型三 排列与组合的综合应用

【例3】已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．

(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数

是多少？

(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

题型四 均匀分组与不均匀分组问题

【例4】按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？

(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；

(3)平均分成三份，每份2本；

(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；

(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；

(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；

(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本，

技法巧点

1．解答有关排列问题的应用题时应注意的问题

(1)对受条件限制的位置与元素应首先排列，并适当选用直接法或排除法（间接法）；

(2)同一个问题，有时从位置出发较为方便，有时从元素出发较为方便，应注意灵活处理；

(3)从位置出发的“填空法”及对不相邻问题采用的“插空法”，是解答排列应用题中常用的有效方法，

应注意培养运用这些方法的意识，同时要注意方法的积累．

2．解答组合应用题的总体思路

(1)整体分类，对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类

的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果使用加法原理；

(2)局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，

同时步骤要独立，以保证．分步的不重复，计算每一类相应结果使用乘法原理；

(3)考察顺序，区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题，用组合解答，有序的问题属排列问题．

3．解决排列与组合问题的常用方法

解决排列与组合应用题常用的方法有：直接法、间接类法、分步法、元素分析法、位置分析法、插空

法、捆绑数学思想主要有分类讨论的思想、等价转化的思想等几何问题，可画示意图，以增强直观性， 失误防范

1．对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重币

2．对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处类选择题可采用排除法分析答案的形式，错误的答案犯有重复或遗漏的错误．

3．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏

随堂反馈

1．（2010．北京高考）8名学生和2位老师站成一排合影，老师不相邻的排法种数为 ( )

2988.A A A 2988.C A B 2788.A A c 2788.C A D

答案：A

2．（2010．山东高考）某台小型晚会由6个节目组成，演序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺编排方案共有 ( )

A.36种 B ．42种 C ．48种 D ．54种

答案：B

3．（2010．湖南高考）在某种信息传输过程中，用4个数一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同

排列表同信息．若所用数字只有O 和l ，则与信息0110至多个对应位置上的数字相同的信息个数为

( )

10.A 11.B 12.C 15.D