安徽省2014年中考数学专题复习课件 第17课时 等腰三角形
《等腰三角形》教学PPT课件【初中数学】公开课
B
C
D
B
A
E
D
F
C
“三线合一”的操作
1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、
钝角都可以. 3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（X）
（X） （X） （√） （X） （√）
角的度数．
A
A
A
BD
CB
F
CB
如图，作△ABC
如图， 作△ABC
的中线AD.
的高AF.
E
C
如图，作顶角
的平分线AE.
议一议：
说说为什么在添加辅助线时，作顶角平分线，底边中线， 底边上的高都能使分成的两个三角形全等？
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高相互重合。（等腰三角形“三线合一”）
13.3.1 等腰三角形（1）
B
A
AB=AC
等腰三角形
C
折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴 是什么？
B
A
D
C
等腰三角形是轴对称图形. 折痕所在的直线是它的对称轴.
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折， 找出其中重合的线段和角.
重合的线段
重合的角
A
AB与AC
∠B 与∠C.
BD与CD
思考：有其他方法吗？
方法二： 作底边BC的高AD
A
方法三： 作顶角∠BAC的平分线AD
A
12
B
DC
B
`
C
D
归纳结论
等腰三角形的复习ppt课件
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称 轴，即底边的垂直平分线（或底边的中 垂线）。
等腰三角形性质
等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）。
等腰三角形的顶角的平分线， 底边上的中线，底边上的高的 重合（简写成“三线合一”）。
等腰三角形是轴对称图形，对 称轴是底边的垂直平分线。
判定方法
在一个三角形中，如果一个角的 平分线与它所对边的高重合，那
么这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果一条边上 的中线等于这条边的一半，那么
这个三角形是等腰三角形。
在一个三角形中，如果两个角的 度数相等，那么这两个角所对的 边也相等，即这个三角形是等腰
三角形。
02
等腰三角形面积与 周长计算
面积计算公式
等腰三角形面积公式
01
$S = frac{1}{2} times 底 times 高$
题目2 已知等腰三角形ABC的周长为16cm，AD是底边 BC上的中线，AD∶AB = 3∶5，且△ABD的周长 为12cm，求△ABC的各边长及AD的长．
题目3 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45°，且腰长为6，则其面积为多少？
THANKS
感谢您的观看
善于利用图形中的隐含条件，如公共边、公共角等。
辅助线构造方法
等腰三角形中的高
连接顶点与底边中点，构 造出高，利用高的性质进 行证明。
中位线
连接两腰中点，构造出中 位线，利用中位线的性质 进行证明。
角平分线
若题目中涉及到角的平分， 可以构造角平分线，利用 角平分线的性质进行证明。
典型例题解析
解析
根据等腰三角形的性质， 我们知道∠B=∠C。又因 为AD是BC边上的高， 所以 ∠ADB=∠ADC=90°。 根据三角形的全等判定， 我们可以证明 △ABD≌△ACD，从而得 出∠BAD=∠CAD。
课件《等腰三角形》优质PPT课件_人教版1
∴BF=CF（三线合一）
抓住图形对称性,巧妙作出垂线段,构造三线合一定理的基体图形,使得整个证明十分简捷.
射线AB的像是射线AC 射线AC的像是射线 AB
∴BF=CF（三线合一）
C BD F E
分析 :
∴ ∠A= ∠B=∠C=60°
• 抓住图形对称性,巧 从而AD是底边ＢＣ上的 高 ，
为______ __。 由于射线ＤB的像是射线ＤC 射线ＤC的像 ⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个
2.3 等腰三角形
概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
A
顶
腰
角
腰
底角
B
底角
C
底边
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰， 另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰 和底边的夹角叫做底角.
想一想:
等腰三角形ABC，其中 AB=AC 作
Δ ABC顶角的平分线AD并以AD对折
你会发现什么? 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
10 cm 或 11 cm
AB＝AC 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）
10 cm 或 11 cm
∠B ＝ ∠C.
抓住图形对称性,巧妙作出垂线段,构造三线合一定理的基体图形,使得整个证明十分简捷.
10 cm 或 11 cm
BD＝CD ∴ ∠A= ∠B=∠C=60°
10 cm 或 11 cm 1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长
A
A
A
角平 分线 1 2
高线
中线
B D CB D C B D C
三条边都相等的三角形 叫做等边三角
形；它是特殊的等腰三角形 Ａ
Ｂ
Ｃ
2014年秋人教版八年级数学上册：13.3.1《等腰三角形》ppt课件
如图，三角形ABC中，AC=BC，CD是∠ACB的平分线，
AD=4cm，求AB的长及∠CDB的大小。 C
A
D
B
第21页，共24页。
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高
互相重合，简称“三线合 一”
第22页，共24页。
性质1 : 等腰三角形的两个底角相等
（简称“等边对等角”，前提是在同一个 三角形中。）
性质2 : 等腰三角形的顶角的平分线、底边
上的中线、底边上的高互相重合。
（简称“三线合一”，前提是在同一个等 腰三角形中。）
第23页，共24页。
第24页，共24页。
A.55°，55° B.70°，40° C.55°，55°，或70°， 40° D.以上都不对
第19页，共24页。
A
如图：△ABC中，AB=AC。
（1）若AD平分∠BAC，则∠BDA= ，
BD= 。
（2）若BD=CD，则AD平分 ，
∠ADC=
B
D
C
（3）若AD⊥BC，则∠BAD= ，BC=2
（
）
第20页，共24页。
小试牛刀
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个 角为____7_5°, 3_0_；°
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角 为__7_0_°__,_4_0_°__或__5_5_°__,_5_5；°
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角 为___3_5_°_ ,35°__。
第16页，共24页。
2.如何构造两个全等的
B
C 三角形？
D
第11页，共24页。
A
证明: 作顶角的平分线AD，
中考数学总复习 第一部分 教材同步复习 第四章 三角形 第17讲 等腰三角形与直角三角形课件
2．（2016·江西 12 题 3 分）如图是一张长方形纸片 ABCD，已知 AB＝8，AD＝7， E 为 AB 上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点 P 落在长 方形 ABCD 的某一条边上，则等腰三角形 AEP 的底边长是_5___2_或__4__5_或___5__________.
1224/9/2021
如答图 2 所示， 当∠B′ED＝90°时，点 C 与点 E 重合．
∵AB′＝10，AC＝6，∴B′E＝4． 设 BD＝DB′＝x，则 DE＝CD＝8－x. 在 Rt△B′DE 中，DB′2＝DE2＋B′E2，即 x2＝（8－x）2 ＋42．解得 x＝5，∴BD＝5． 综合所述，BD 的长为 2 或 5．
第一部分 教材同步复习
第四章 三角形
第17讲 等腰三角形与直角三角形
12/9/2021
Байду номын сангаас
知识要点 · 归纳
知识点一 等腰三角形的性质与判定
概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
（1）两底角相等，即∠B＝∠C； （2）两腰相等，即 AB＝AC； 性质 （3）是轴对称图形，有一条对称轴，即 AD； （4）“三线合一”（即顶角的①__平_分__线___、底边上的中线和底边上的高互 相重合）
• （2）若图形中含折叠，考虑用折叠的性质，然后在直角三角形中，设 未知量，列方程求解．
• （3）若所求为线段和（或可转化为线段和的形式），考虑用证全等转 化到直角三角形中求解.
1227/9/2021
12/9/2021
122/9/2021
重难点2 直角三角形的多解题 重点 例3 （2018·宜春模拟）如图，Rt△ABC 纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， 点 D 在边 BC 上，以 AD 为折痕将△ABD 折叠得到△AB′D，AB′与边 BC 交于点 E.若△DEB′为直角三角形，则 BD 的长是__2_或__5___.
中考数学基础复习第17课等腰三角形课件
【思维导图】
【学前检测】
1.(202X·铜仁)已知等边三角形一边上的高为2 3 ,则它的边长为 ( C )
A.2
B.3
C.4
D.4 3
2.(202X·玉林)如图是A,B,C三岛的平面图,C岛在A岛的北偏东35°方向,B岛 在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西55°方向,则A,B,C三岛组成一个 (C)
【解析】(1)∵AB=AC,∵∠B=∠C,
在△ABD和△ACE中,ABB
AC， C，
BD CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS),∴AD=AE;
(2)∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED,
∵BF∥AC,∴∠FBD=∠C=45°,
∵∠ABC=∠C=∠DAE=45°,∠BDF=∠ADE,
∴∠F=∠BDF,∠BEA=∠BAE,∠CDA=∠CAD,
有三边___相__等____的三角形是等边三角形 1.具有一般等腰三角形的所有性质. 2.等边三角形的三个角都___相__等____,并且每一个 角都等于____6_0_°___. 3.等边三角形是___轴__对__称____图形,共有 ___三____条对称轴 1.三个角都_相__等__的三角形是等边三角形. 2.有一个角是__6_0_°_的等腰三角形是等边三角形
B.随着θ的增大而减小
C.不变
D.随着θ的增大,先增大后减小
4.(202X·台州)如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点. 分别过点E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是___6___.
5.(202X·台州)如图,已知AB=AC,AD=AE,BD和CE相交于点O.
变式.如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°, 点P为射线BD,CE的交点.
【中考备战策略】2014中考数学(人教版)总复习课件：18等腰三角形与直角三角形
等腰三角形与直角三角形
考点一
等腰三角形的概念及分类
1．有两边 相等的三角形叫做等腰三角形；三条边 都相等的三角形叫做等边三角形． 2．等腰三角形分为：底和腰不相等 的等腰三角形 和等边 三角形．
温馨提示 1.若题目中没有明确边是底还是腰， 角没有明确是 顶角还是底角，就需要分类讨论 . 2.等腰三角形的两腰必须满足两腰之和大于底， 底 角 α 满足 0° ＜ α＜ 90° ，顶角 β 满足 0° ＜ β＜ 180° .
考点四
线段垂直平分线的性质
1．经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线， 叫做线段的垂直平分线． 2．性质 (1) 线段垂直平分线上的点与这条线段 两个端点 的距离相等； (2)与一条线段两个端点的距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线 上．
温馨提示 1.三角形三边的垂直平分线交于一点， 这一点到三 角形三个顶点的距离相等 . 2.锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内 部，直角三角形三边垂直平分线的交点恰是斜边的中 点，钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外 部.
温馨提示 勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此可 作高来构造直角三角形 .
2．判定 (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角互余 的三角形是直角三角形；
(3)勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a， b， c 满足 a2＋ b2＝ c2，那么这个三角形是直角三角形．
温馨提示 1.勾股定理的逆定理是识别一个三角形是否是直 角三角形的一种理论依据，在运用时，一定要用两短 边的平方和与长边的平方作比较 . 2.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数， 称 为勾股数 .
考点三 线段垂直平分线的性质 例 3 (2013· 临沂 )如图，四边形 ABCD 中，AC 垂直 平分 BD，垂足为 E，下列结论不一定成立的是( A． AB＝ AD B． AC 平分∠ BCD C． AB＝ BD D．△ BEC≌△ DEC )
等腰三角形PPT课件(1)
小结与复习
本节课你学习了等腰三角形的哪些 重要性质?
探究
我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来， 两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB 与AC之间有什么关系吗？
我测量后发现AB与AC相等
3cm
3cm
事实上，如图，在△ABC中，∠B=∠C 沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC的平
结论
由此得到另一条等边三角形的判定定理： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
例3 已知：如图，△ABC是等边三角形，点 D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE。求证： △ADE是等边三角形。
证明 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠B=∠C= 60° ∵∠EAD=∠BAC= 60° 又 AD=AE， ∴△ADE是等边三角形
腰和底边的夹角叫做底角。
探究
任意画一个等腰三角形 其中AB =AC，如图, 作△ABC 关于 顶角平分线AD 所在直线的轴反射， 由于∠1 =∠2，AB=AC，因此：
射线AB的像是射线AC，射线AC的像是射线 AB ； 线段AB的像是线段AC，线段AC的像是线段 AB ； 点B的像是点C，点C的像是点 B ； 线段BC的像是线段CB。 从而等腰三角形ABC关于直线 AD 对称。
例1 已知：如图,在△ABC中,AB=AC,点D, E 在边BC上, 且AD=AE，求证：BD=CE.
证明：作AF⊥BC,垂足为点F, 则AF是等腰三角形ABC 和等腰三角 形ADE 底边上的高, 也是底边上的 中线。 ∴ BF = CF， DF=EF， ∴ BF－DF=CF－EF， 即BD=CE
（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
作业
等腰三角形ppt课件
THANKS
感谢观看
工程绘图
在工程绘图中，等边三角形 可用于表示某些特定的角度 或距离关系，简化绘图过程 。
标志设计
由于等边三角形具有对称性 和稳定性，因此在标志设计 中常被用作基本图形元素， 如交通标志中的警告标志。
数学教育
在数学教育中，等边三角形 常被用作教学工具，帮助学 生理解几何形状、角度和边 长关系等基本概念。
如果一个三角形有两个角相等 ，那么这两个角所对的边也相
等。
等腰三角形性质总结
性质1
等腰三角形的两个底角相等。
性质2
等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高互相 重合，简称“三线合一”。
性质3
等腰三角形的对称轴是底边的 垂直平分线。
性质4
等腰三角形是轴对称图形，只 有一条对称轴。
02 等腰三角形面积 与周长计算
06 课件总结与回顾
关键知识点总结
定义
两边相等的三角形称为等腰三角 形。
性质
等腰三角形的两个底角相等；底 边上的中线、高线和顶角的平分 线三线合一。
关键知识点总结
等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角 对等边）。
推论：三个角都相等的三角形是等边三角形。
特点
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是 底边的垂直平分线。
等腰三角形判定定理
01
02
03
04
边边边定理
如果两个三角形的三边分别相 等，则这两个三角形全等。
边角边定理
如果两个三角形有两边和夹角 分别相等，则这两个三角形全
等。
角边角定理
如果两个三角形有两个角和夹 边分别相等，则这两个三角形
等腰三角形ppt课件
(× )
2、如图2，在△ABC中，∵AB=AC ∴∠ADB=∠AEC. (× )
小结：“等边对等角”的使用条件是在同一个三角形中， 注意对应.等边对等角是证明两个角相等的一种常用方法.
A A
B 图1
C BD E C 图2
证明猜想2
A
猜想2 等腰三角形的顶角平分线，底边
上的中线、底边上的高相互重合.
B
C
∟
∴ A ⊥ BC ， BD = CD .
D
D
归纳小结：
“三线合一”可以帮助我们解决线段的垂直、相等
以及角的相等问题.
知一线得二线
在等腰三角形中，（在△ABC中，AB=AC）
① ∠BAD =∠CAD，② AD ⊥ BC，③ BD = CD 中已知任意一
个都可以得其它两个条件.
1、如图1，在△ABC中,∵AB=BC, ∴∠B=∠C .
D FE C A
变式3 如图，在△ABC中 ，AB=AC，BD⊥AC，
∠A = 36，求∠DBC的度数.
D
变式4
在△ABC中 ，AB=AC，BD⊥AC，
∠A = 110，求∠DBC的度数.
小结：分类讨论思想
B
C
畅所欲言
➢ 本堂课你学到了什么知识？ ➢ 本堂课你收获了哪些方法？ ➢ 本堂课你体会了什么思想？
……
课堂小结 一、牢记三个性质：
注意是指同一个 三角形中
轴对称性、等边对等角 、“三线合一”
注意是指顶角的平分线,底边上的高和 中线才有这一性质
二、明确三种添加辅助线的方法： 方法不同，作用不同
三、理解三种思想： 转化思想、方程思想、分类讨论思想
课后练习：
必做题：
九年级中考数学复习动点专题等腰三角形的存在性问题课件
准备Байду номын сангаас识
准备知识
1、等腰三角形的定义、性质、判定
2、勾股定理
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中考数学总复习 第四单元 图形的初步认识与三角形 第17课时 等腰三角形课件
第十三页，共二十五页。
高频考向探究
针对(zhēnduì)训练
[2017·内江] 如图 17-9,AD 平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为
点 D,DE∥AC.
证明:∵DE∥AC,∴∠1=∠3,
∵AD 平分∠BAC,∴∠1=∠2,
∴∠2=∠3.
(2)若 CD=3,求 DF 的长.
∵∠DEF=90°,∠F=30°,
∴DF=2DE=6.
图 17-12
第二十一页，共二十五页。
当堂效果检测
1.如图 17-13,在△ ABC 中,AB=AC,∠A=40°,点 D 在 AC 上,BD=BC,则∠ABD 的度数是
30°
.
图 17-13
2.如图 17-14,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,∠DBC=15°,AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D,则∠A 的度数
解:(1)∵△ ABC 是等边三角形,
BC,AC 上,且 DE∥AB,过点 E 作 EF⊥DE,交 BC 的延长
∴∠B=60°,
线于点 F.
∵DE∥AB,
(1)求∠F 的度数;
∴∠EDC=∠B=60°,
(2)若 CD=3,求 DF 的长.
∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°,
∴∠F=90°-∠EDC=30°.
∴∠DBF+∠DBE=60°,
图 17-10
[方法模型] 等边三角形的三边相等并且每个角都等于
60°,所以要充分利用等边三角形的性质,证明全等或者构
造全等.
第十六页，共二十五页。
即∠EBF=60°,
∴△ BEF 为等边三角形.
高频考向探究
中考数学专题《等腰三角形》复习课件(共18张PPT)
挑战7：已知△ABC中，AB=AC，点D在AC上，
且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。 A
解：因为AB=AC，所以∠ABC=∠C 因为BD=BC=AD，所以 ∠C=∠BDC ∠A=∠ABD 设∠A=x°，则∠ABD= x°， ∠BDC=2 x°， ∠C=2 x°
X°
D
B
X°
2X° 2X°
C
根据题意得：x+2x+2x=180
等腰三角形复习
思考
怎样的三角形叫做等腰三角形？
有__两__条__边__相__等____的三角形叫做_等__腰__三__角__形______。 A 顶角
腰
腰
B 底角
底边
C 底角
三角形
性质
判定
等腰 1.等边对等角。 三角 形 2.三线合一 。
1.等角对等边。
2.定义：两边相等的 三角形是等要三角形。
A
D
B
C
E
5、 如图，直线AB平行直线CD，AD
交BC于O，且AO=BO。求证：
A
(1)∠C=∠D
(2)OC=OD
C
B O
D
6、如图，AB=AC，BD⊥AC于D， A
求证：∠DBC= ∠A
1
2
D
B
E
C
7、在Rt △ ABC中，∠ACB=90°，D、 E在斜边AB上，且AC=AE，BD=BC，
求∠DCE的度数
ＢＤ
Ｃ
2. 如图：点B、C、D、E、F在∠MAN的 边上， ∠A=15°，AB=BC=CD＝DE=EF， 求∠ MEF的度数。
M
E C
A
B
DF
N
3 求证：等腰三角形底边中点到两腰（中 点）的距离相等
中考数学复习 第17讲 三角形及特殊三角形课件
勾股数
能构成直角三角形的三条边长的三个正整 数，称为勾股数
2021/12/8
第五页，共二十二页。
第二(dìèr)环节：达标检测
课本(kèběn)P68 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7
2021/12/8
第六页，共二十二页。
第三环节(huánjié)：交流展示
小组合作(hézuò)讨论第二环节题目
4．已知等腰△ABC 的腰 AB＝AC＝10 cm，底边 BC＝ 12 cm，则△ABC 的角平分线 AD 的长是__8______cm.
2021/12/8
第十二页，共二十二页。
5．如图 17－3，已知 D、E 是等腰△ABC 底边 BC 上两点， 且 BD＝CE.求证：∠ADE＝∠AED.
证明：在等腰△ABC中， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. 又∵BD＝CE， ∴△ABD≌△ACE(SAS)． ∴∠ADB＝∠AEC. ∴∠ADE＝∠AED.
度数是( B ) A．20° B．30° C．35° D．40°
2．如图 17－2，坐标平面内一点 A(2，－1)，
O 为原点，P 是 x 轴上的一个动点，如果以
点 P、O、A 为顶点的三角形是等腰三角形，
那么符合条件的动点 P 的个数为( C )
A．2
B．3
C．4
D．5
3．等腰△ABC 两边的长分别是一元二次方程 x2－5x＋6 ＝0 的两个解，则这个等腰三角形的周长是__7_或__8___．
专题17 等腰三角形的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮
专题17 等腰三角形的核心知识点精讲1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．3．掌握线段垂直平分线的性质及判定．考点1：等腰三角形的性质与判定考点2：等边三角形的性质与判定性质 1. 等腰三角形的两个底角度数相等 2. 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”） 3. 等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴 判定1. 有两条边相等的三角形的等腰三角形2. 有两个角相等的三角形是等腰三角形 面积公式，其中a 是底边常，hs 是底边上的高 性质 1. 三条边相等 2. 三个内角相等，且每个内角都等于60° 3. 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴 判定 1. 三条边都相等的三角形是等边三角形 2. 三个角相等的三角形是等边三角形 3. 有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形 面积公式 是等边三角形的边长，h 是任意边上的高考点3 ：线段垂直平分线（1）线段垂直平分线的作图1. 分别以点 A 、B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C 、D 两点； 2. 作直线 CD ，CD 为所求直线（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上【题型1：等腰三角形的性质和判定】【典例1】（2022•宜昌）如图，在△ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若AB ＝7，AC ＝12，BC ＝6，则△ABD 的周长为（ ）A ．25B ．22C ．19D ．181.（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（ ）A ．70°B ．45°C ．35°D ．50°2．（2023•菏泽）△ABC 的三边长a ，b ，c 满足（a ﹣b ）2++|c ﹣3|＝0，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形3．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．【题型2：等边三角形的性质和判定】【典例2】（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交B C的延长线于点E，则∠DEC＝（）A．20°B．25°C．30°D．35°1．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°2．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△B OC的面积之和为（）A．B．C．D．3．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是．【题型3：线段的垂直平分线】【典例3】（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是．1．（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为度．2．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若A B＝4，则DC的长是．3．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC 于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．一．选择题（共9小题）1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9B．7C．12D．9或122．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（）A．30°B．20°C．25°D．15°3．如图，A、B、C表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（）A．AB，AC两边中线的交点处B．AB，AC两边高线的交点处C．∠B与∠C这两个角的角平分线的交点处D．AB，AC两边的垂直平分线的交点处4．在△ABC中，若AB＝AC＝3，∠B＝60°，则BC的值为（）A．2B．3C．4D．55．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．若AB＝12，AC＝8，BC＝13，则△AEF的周长是（）A．15B．18C．20D．226．如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（）A．4B．6C．8D．107．如图，在△ABC中，∠A＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，已知BE＝3，则B C长为（）A．5B．6C．7D．88．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若∠BAC＝140°，则∠EAF的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°9．如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°二．填空题（共6小题）10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交A C于点E，则∠EBC的度数是度．11．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC与点E，∠A＝∠ABE．若A C＝7，BC＝4，则BD的长为．12．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD＝°．13．如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点，PF⊥AC于点F，则P E+PF的长度和为．14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BC＝9，AD＝5，则△ABD的面积为．15．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当P A＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．三．解答题（共3小题）16．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠CD E的度数．17．图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN，CM＝CN．（1）求证：PC垂直平分MN；（2）若CN＝PN＝60cm，当∠CPN＝60°时，求AP的值．18．如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．（1）求证：AB＝EC；（2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？一．选择题（共5小题）1．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．7.5°2．如图，用一张矩形纸片DEFG覆盖等边△ABC，且DG∥BC，若边AB被DG、EF三等分，则△ABC被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积的（）A．B．C．D．3．如图，在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，DC＝4cm．如果点M，N都以2cm/s的速度运动，点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，△BMN是一个直角三角形，则t的值为（）A．B．C．D．4．如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（）A．3B．3.5C．4D．4.55.如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为2cm2，则△PBC的面积为（）A．0.8cm2B．1cm2C．1.2cm2D．不能确定二．填空题（共4小题）6．如图，边长为5cm的正三角形ABC向右平移1cm，得到正三角形A'B'C'，此时阴影部分的周长为c m．7．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB＝EF，若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为．8．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AB于O，则：①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③△MCE是等腰三角形；④△MCN是等边三角形；⑤∠AOD＝60°．其中，正确的有．9．如图，四边形ABCD，AD＝1，，BC＝3，点E为AB的中点，连接DE、CE，使得∠DEA+∠C EB＝60°，则DC的最大值为．三．解答题（共2小题）10．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE D B（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．11．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？1．（2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（）A．6B．3C．1.5D．12．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F 沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是．3.（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝．。
中考数学二轮复习课件----(安徽)：第17讲 等腰三角形(沪科版)
图 17－6
第17讲┃等腰三角形
[解析] ∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE＝ ∠EBC，∠ECN＝∠ECB.
∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB， ∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN， ∴BM＝ME，EN＝CN， ∴MN＝ME＋EN，即MN＝BM＋CN.
＝17.故这个等腰三角形的周长是 选 A. 第17讲┃等腰三角形
2．[2014·金华] 如图17－2所示，将Rt△ABC绕直角顶点
C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝20°， 则∠B的度数是( ) B
A．70° B．65° C．60° D．55°
图17－2
第17讲┃等腰三角形
第16讲┃三角形与全等三角形
【教你读题】 1．明确条件：以下条件三选二，①∠EBO＝∠DCO；②BE ＝CD；③OB＝OC.(本题属于条件探究题)此外还有图形条件， 如公共边，公共角等． 2．明确结论：△ABC是等腰三角形．
第16讲┃三角形与全等三角形
核心练习
5．[2012·铜仁] 如图 17－6，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的 平分线交于点 E，过点 E 作 MN∥BC 交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，若
图 17－1
第17讲┃等腰三角形
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵M 是 BC 的中点，∴BM＝CM.
在△BDM 和△CEM 中， BD＝CE， ∠B＝∠C， BM＝CM， ∴△BDM≌△CEM，
∴MD＝ME.
第17讲┃等腰三角形
【易错提示】 “等边对等角”的前提条件是“在一个三角形中”，在解 题时容易忽视这个条件导致错误．
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第17课时┃等腰三角形
3．如图 17－5，△ABC 中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE 平 分∠BAC 交 BC 于点 E， 点 D 为 AB 的中点， 连接 DE， 则△BDE 的周长是________ 10 ．
图 17－5
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第17课时┃等腰三角形
探究三 等腰三角形的多解问题
命题角度： 1．遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分， 角有底角和顶角之分； 2．遇到三角形的高线的问题要考虑高在形内、形上 和形外等多种情况．
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第17课时┃等腰三角形
例 3 [2013· 白银] 等腰三角形的周长为 16，其一边长 为 6，则另两边长为____________________ ． 5，5或6，4
第17课时 等腰三角形
第17课时┃ 等腰三角形
皖 考 解 读
考纲 要求 了解 掌握 2010 填空题 5 分 2012 选择题 4 分 2013 解答题 5 分
考点 等腰三角形 有关概念 等腰三角 形的性质 和判定
年份
题型
分值 预测热度 ★ ★★★★
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第17课时┃等腰三角形
(1) 根据等腰三角形“三线合一”可得 BD ＝ 解 析 CD，AD⊥BC，再根据全等三角形的判定定理 SSS 或 HL 可 以证得△ABD≌△ACD； (2)利用(1)中已证 AD 是 BC 的垂直平分线可证 BE＝CE.
解
证明：(1)∵D 是 BC 的中点，∴BD＝CD. 在△ABD 和△ACD 中， BD＝CD，AB＝AC，AD＝AD(公共边)， ∴△ABD≌△ACD(SSS)． (2)∵AB＝AC，D 是 BC 的中点， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∴BE＝CE(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)．
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第17课时┃等腰三角形
1．等腰三角形的性质为我们证明线段相等或角相等又 提供了重要的依据； 2．涉及等腰三角形的问题，一般添作顶角平分线或底 边上的高或底边上的中线． 应用性质时不能忽略前提条件． “ 等 边对等角 ” 有 一个前提条件是 “ 在一个三角形 中”，容易忽视这个条件导致解题错误．
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第17课时┃ 等腰三角形
考点2 等腰三角形的判定
定义 定理
两边 相等的三角形. ________ 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所 对的边________( 简写成：___________). 相等 等角对等边 “等边对等角”“等角对等边”成立的条件是 “在一个三角形中”.
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第17课时┃ 等腰三角形
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探究一 等腰三角形的性质的运用
命题角度： 1．等腰三角形的性质； 2．等腰三角形“三线合一”的性质； 3．等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线 的性质．
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例 1 [2012· 随州] 如图 17－1，在△ABC 中，AB＝AC， 点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上． 求证：(1)△ABD≌△ACD； (2)BE＝CE.
解 析 分两种情况：(1)6 是等腰三角形的底边，由 于周长为 16，所以另两边的长为 5，5，且 5，5，6 能组成 三角形；(2)6 是等腰三角形的腰，由于周长为 16，所以另 两边的长为 4，6，且 4，6，6 能组成三角形．综上所述， 这个等腰三角形的另两边长是 5，5 或 6，4.
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解 析 由平行线的性质得到相等的角，再根据角平分 线的性质实现等角的转换，证得∠CAE＝∠AEC，从而得 出结论． 解
证明：∵AE∥DC， ∴∠BCD＝∠AEC， ∠ACD＝∠CAE. ∵CD 平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACD， ∴∠AEC＝∠CAE， ∴AC＝CE， ∴△ACE 是等腰三角形．
第17课时┃等腰三角形
(1)由等边三角形的性质证得△ACN 与△MCB 解 析 全等，得到相等的角，再通过证△ACE 与△MCF 全等，证得 结论；(2)先证△CEF 是等边三角形，通过特殊角证明角相等， 得到平行线．
解 证明：(1)∵△ACM、△CBN 是等边三角形， ∴AC＝MC， CN＝CB， ∠ACM＝∠NCB＝60°， ∴∠MCN ＝60°，∠ACN＝∠MCB，∴△ACN≌△MCB，∴∠CAN ＝∠CMB，∴△ACE≌△MCF，∴CE＝CF. (2)∵CE＝CF，∠ECF＝60°，∴△CEF 是等边三角形， ∴∠EFC＝60°＝∠NCB，∴EF∥AB.
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第17课时┃等腰三角形
探究二 等腰三角形的判定 命题角度： 等腰三角形的判定．
例 2 [教材母题] 已知，如图 17－2，CD 平分∠ACB， AE∥DC，交 BC 的延长线于点 E. 求证：△ACE 是等腰三角形．
图 17－2
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第17课时┃等腰三角形
图 17－6
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第17课时┃等腰三角形
解
证明：∵△ABC 和△EDC 是等边三角形， ∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°， ∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE. 在△DBC 和△EAC 中， BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC， ∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠DBC＝∠EAC. 又∵∠DBC＝∠ACB＝60°， ∴∠ACB＝∠EAC， ∴AE∥BC.
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第17课时┃等腰三角形
要证明一个三角形是等腰三角形， 必须得到两边相等， 而得到两边相等的方法主要有： (1)通过等角对等边得两边相等； (2)通过三角形全等得两边相等； (3)利用中垂线的性质得两边相等．
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第17课时┃等腰三角形
解 析
由等腰三角形的“三线合一”，可知
AE⊥BC， BE＝CE＝4.由直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半知 DE＝BD＝3，所以△BDE 的周长是 10.
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第17课时┃等腰三角形
4．如图 17－6，△ABC 是等边三角形，D 是 AB 边上一 点，以 CD 为边作等边三角形 CDE，使点 E、A 在直线 DC 的同侧，连接 AE. 求证：AE∥BC.
考 点 聚 焦
考点1 等腰三角形的概念与性质
有________ 相等的两边 两边 相等的三角形是等腰三角形． 定义 叫腰、第三边为底．两腰之间的夹角叫顶角，腰与 底边的夹角叫底角. 1.等腰三角形是轴对称图形，有________ 条对称轴； 1 等边对等角 2.等腰三角形的两个底角相等(简称为： ________)； 中线 和底 3.等腰三角形顶角的平分线、 底边上的________ 性质 边上的高互相重合，简称“三线合一”. 1.等腰三角形两腰上的高、两腰上的中线、两底角的 平分线相等； 2.等腰三角形是轴对称图形.
命题角度： 等边三角形的判定与性质的综合．
例 4 [教材母题] 已知， 如图 17－3， 点 C 为线段 AB 上一 点，△ACM、△CBN 是等边三角形，AN 交 CM 于点 E，BM 交 CN 于点 F. 求证：(1)CE＝CF；(2)EF∥AB.
图 17－3
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分情况讨论：若 4 为底，则这个等腰三角形 解 析 的周长为 20；若 8 为底，根据三角形的三边关系判断， 这个等腰三角形不存在．故选 C.
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第17课时┃等腰三角形
2．如图 17－4，已知△OAB 是正三角形，OC⊥OB， OC＝OB，将△OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转，使得 OA 与 OC 重合，得到△OCD，则旋转的角度是 ( A )
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第17课时┃等腰三角形
等边三角形中的三边相等并且每个角都等于 60°， 所以要充分利用等边三角形的性质，证明三角形全等或 者构造全等三角形．
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第17课时┃ 等腰三角形
当 堂 检 测
1．等腰三角形两边长分别为 4 和 8，则这个等腰三角 形的周长为 ( C ) A．16 B．18 C．20 D．16 或 20
图 17－4 A．150° B．120° C．90° D．60°
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第17课时┃等腰三角形
将△OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转， 使得 解 析 OA 与 OC 重合， 得到△OCD， 那么旋转的角度就是∠AOC 的大小．∵OC⊥OB，△OAB 是正三角形，∴∠AOC＝ ∠AOB＋∠BOC＝60°＋90°＝150°.
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第17课时┃等腰三角形
注意分类讨论思想的应用． 因为等腰三角形的边有腰与底之分， 角有底角和顶角之 分，等腰三角形的高线要考虑高在形内、形上和形外多种情 况．故当题中条件不明确时，要分类讨论．
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第17课时┃等腰三角形
探究四 等边三角形的判定与性质
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