第15章-复数与相量(附加)

正弦交流电的基本表示法： 三角函数式，如
i I m sin (ω t ψ )
Im
i
正弦波形，如

O

2 T
t
t
- Im
这两种方法的缺点是运算繁琐。
6
正弦交流电的复数表示形式
复数的四种表示方式：
⒈ 代数式：
+j b
复数的模 复数的辐角
1
A r
A a jb 2 2 a r cos ψ r a b b b r sin ψ ψ arctan a
11
2） 乘除运算
设有两个复数
•
•
A=r1∠θ1,
B=r2∠θ2
• 则
A·B=r1r2∠(θ1+θ2) A r1 (1 2 )
B r2
一般情况下，复数的乘除运算应把复数写成 较为简便的极坐标式。
12
在分析线性电路时，正弦激励和响应均为同频率的正弦量，频率已知，可 不必考虑。因此，一个正弦量由幅值（或有效值）和初相位就可确定。
2 T
t
t
- Im
初相位：表示正弦量在t = 0 时的相位角（正弦量由幅值为0开始，初相位是由 横轴原点记值，则相位角是正弦起始到横轴原点这段长度所代表的角度）。
(t ) t 0
正弦量的初相位与计时起点（t = 0）有关。 相位差
：两个同频率正弦量的初相位角之差。
5
正弦交流电的相量表示法
19 0
1180
10
0
1 －90
＋1
（A = a + j b）
10
3. 复数的四则运算 • 1） 加减运算 • 设有两个复数分别为 • A=a1+jb1=r1∠θ1, • B=a2+jb2=r2∠θ2 • 则 • A±B=(a1±a2)+j(b1±b2) 一般情况下，复数的加减运算应把复数 写成代数式。

19
小结：1、正弦波的四种表示法
i
波形图
Im
T

t
瞬时值
u U m sin t
U
相量图
I
复数
符号法
j U a jb U e U
20
U e jψ U ψ U m m m
jψ U Ue Uψ
只有正弦周期量才能用相量表示，相量不能表示非正弦周期量。
14
例： 则 ⒉ 相量图
u 220 2 sin (ω t 30 )V
220 2e j30 V U m
220 e j30 V U
• 1. 旋转因子：
• 把模为1，幅角为θ的复数称为旋转因子， 即ejθ=1∠ θ 。 • 取任意复数A=r1 e 1=r1∠θ1， 则A·1∠θ=r1∠(θ1+θ), 即 任意复数乘以旋转因子后， 其模不变， 幅角在原来的基 础上增加了θ， 这就相当于把该复数逆时针旋转了θ角。见 图。 ＋j Aej
O

2 T
t
t
- Im
Um正弦量幅值，即最高点的固定值
Em Um E U 2 2
Im I 2
一般交流电流表和电压表测量的数据均为有效值。
一般交流设备铭牌标注的电压和电流均为有效值。
4
初相位
i I m sin (ωt ψ ) 相位角： ωt ψ
反映正弦量变化的进程。
Im

i
O

解： 1）复数1的实部为1， 虚部 为 0， 其极坐标式为1=1∠0°； 2）复数-1的实部为-1， 虚 部为0， 其极坐标式为-1=1∠180°； 3）复数j的实部为0， 虚部为1， 其极坐标式为 j=1∠90°； 4） 复数-j的实部为0， 虚部为-1， 其极坐标式为 –j =1∠-90°。
＋j
7
上述两种表示方式适用于复数的加减运算。
欧 ψ 2
jψ
e j ψ e j ψ sin ψ 2j
可得
⒊ 指数式： ⒋ 极坐标式：
e cos ψ j sin ψ
A re
jψ
A rψ
jψ
四种表示方式之间可相互转换
A a jb r cos ψ j r sin ψ r e rψ
相量图：按照各个正弦量的大小和相位关系画出的若干个相量的图形。
例：
22030 V U
I 560 A
I
60
只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上 （如：输入电压与输出响应电压同频；电压与其 对应的电流同频，相当于ω 相同），可不画坐标 轴。
U
30
15
正弦量的相量表示法
O

a +1
由于在电路中I 通常表征电流强度， 因此常用j表示虚部单位， j= 这样复数可表示成A=a+jb。jb称为虚数。
+j：j本身是虚部单位，不代表数值，“+”表示虚数b为+1，位于纵轴上的+1 位置。 -j：“-”表示虚数b为-1，位于纵轴上的-1位置。 ⒉ 三角函数式：
A r cos ψ jr sin ψ r (cos ψ j sin ψ )
模 复数 辐角 正弦量
幅值 初相位
复数的模即为正弦量的幅值或有效值。 复数的辐角即为正弦量的初相位。 所以正弦量都可以用复数表示。
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相量
表示正弦量的复数称相量。 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。 ⒈ 相量式 设正弦量：
记作：
u U m sin ( ω t ψ )
电压幅值相量表示： 电压有效值相量表示：
2π ω 2πf T
3
幅值与有效值
瞬时值：正弦量在任一瞬间的值，用小写字母表示， 如：i、u、e 。 幅值（最大值）：瞬时值中最大的值，用带下标m的大写字母表示，如：Um、Im、 Em 。 i
i I m sin t
Im

正弦电流、电压和电动势的大小常用 有效值(均方根值)来计量。 有效值是从电流的热效应来规定的。 有效值：与交流热效应相等的直流定 义为交流电的有效值。 同理：
上述两种表示方式适用于复数的乘除运算。
8
• 复数的图形表示 • 复数用点表示
＋j
A1=1+j
3 2 A2 －3 1 A1 2 A4 3 ＋1
A2=-3
A3=-3-j2
A4=3-j
A3
－2 －1 0 1 －1 －2 －3
9
【例题】 写出1， -1， j， -j的极坐标式， 并在复平面内做出其矢量图。
j
r1

O
r1
A ＋1
16
1
如图所示,设θ=ωt是一个随时间匀速变化的角， 其角速度为ω， 复数为A=Um∠ψu， A匀速 旋转后可惟一对应一正弦量：
Um ∠ψu→ Um sin (ωt+ψu)
正弦量的产生
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• 由于正弦交流电路中的电压、电流都是 同频率的正弦量，故角频率这一共同拥 有的要素在分析计算过程中可以略去， 只在结果中补上即可。这样在分析计算 过程中，只需考虑最大值和初相两个要 素。 • 用一个复数表示一个正弦量的意义在于： • 把正弦量之间的三角函数运算变成了复 数的运算，使正弦交流电路的计算问题简 化。
第15章 复数与相量（附加）
对应电工学第15章PPT的第17页
1
正弦量的特征表现在： 变化的快慢 大小 初始值 频率 幅值 初相位 正弦量的三要素
设正弦交流电流：
i I m sin t
幅值
Im

i
O

2 T
t
t
角频率
初相位
- Im
2
频率与周期
周期T：正弦量变化一次所需的时间。单位：秒（s） 频率 f：每秒内变化的次数。单位：赫兹（Hz） 电力标准频率：我国50Hz，美国、日本60Hz 高频炉频率：200 ~ 300kHz 收音机中波段频率：530 ~ 1600kHz 移动通信频率：900MHz ~ 1800MHz 角频率ω：每秒旋转的弧度。单位：弧度每秒（rad/s）
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【例】写出下列相量对应的正弦量。
U 220 45 V , f 50Hz （1）
(2) 解：
I 10 120 A, f 100 Hz

(1) u 220 2 sin (2 50)t 45 V

（2 ）
220 2 sin 314t 45 V i 10 2 sin (2 100)t 120 A 10 2 sin 628t 120 A