3.4. 乘法公式(1)
3.4 乘法公式(1)平方差公式
拓展延伸
如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差， 那么我们称这个正整数为“和谐数”，如4=22﹣02， 12=42﹣22，20=62﹣42，因此，4，12，20这三个数都是 “和谐数”． （1）当28=m2﹣n2时，m+n= ； （2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数） ，由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为 什么？
达标测评
2.下列各式中，与（1﹣a）（﹣a﹣1）相等的是
（A ）
A．a2﹣1
B．a2﹣2a+1
C．a2﹣2a﹣1 D．a2+1
达标测评
3.先化简（a+1）（a﹣1）+a（1﹣a）﹣a，再根 据化简结果，你发现该代数式的值与a的取值有 什么关系？
解：原式=a2﹣1+a﹣a2﹣a=﹣1． 该代数式与a的取值没有关系．
小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
2.步骤：找出相等的“项”和符号相反的“项”， 然后应用公式．
(2)( 1 b a)( 1 b a) (a 1 b)(a 1 b)
2
2
2
2
a2
1 2
b
2
a2
1 4
b2 .
例题讲解 例2 用平方差公式计算：
(1)103 97.
(2)59.8 60.2.
解：
(1)103 97 (100 3)(100 3) 1002 32
并且有一项完全相同；另
(1)(x+1)(x-1)= __x_2_－__1____； 一项互为相反数。
乘法口诀表(打印版)
一九得九 二九十八 三九二十七 四九三十六 五九四十五 六九五十四 七九六十三 八九七十二 九九八十一
1×1=1
乘法口诀表
1×2=2 2×2=4
1×3=3 2×3=6 3×3=9
1×4=4 2×4=8 3×4=12 4×4=16
1×5=5 2×5=10 3×5=15 4×5=20 5×5=25
1×6=6 2×6=12 3×6=18 4×6=24 5×6=30 6×6=36
1×7=7 2×7=14 3×7=21 4×7=28 5×7=35 6×7=42 7×7=49
1×8=8 2×8=16 3×8=24 4×8=32 5×8=40 6×8=48 7×8=56 8×8=64
1×9=9 2×9=18 3×9=27 4×9=36 5×9=45 6×9=54 7×9=63 8×9=72 9×9=81
1×6=6 2×6=12 3×6=18 4×6=24 5×6=30 6×6=36 一六得六 二六十二 三六十八 四六二十四 五六三十 六六三十六
1×7=7 一七得七
1×8=8 一八得八
2×7=14 二七十四
2×8=16 二八十六
3×7=21 三七二十一
3×8=24 三八二十四
4×7=28 5×7=35 6×7=42 7×7=49 四七二十八 五七三十五 六七四十二 七七四十九
ห้องสมุดไป่ตู้
一一得一
乘法口诀表
一二得二 二二得四
一三得三 二三得六 三三得九
一四得四 二四得八 三四十二 四四十六
一五得五 二五一十 三五十五 四五二十 五五二十五
一六得六 二六十二 三六十八 四六二十四 五六三十 六六三十六
一七得七 二七十四 三七二十一 四七二十八 五七三十五 六七四十二 七七四十九
浙教版七年级数学下册 3.4 乘法公式(提高)知识讲解
乘法公式（提高讲义）【重点梳理】重点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.重点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 重点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.重点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+重点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.重点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 重点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±m ；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++. 【典型例题】类型一、平方差公式的应用例1、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1．【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算. 【答案与解析】解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(3221+) ＋1 ＝(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1 ＝642－1＋1＝642．【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力． 举一反三：【变式1】(2019秋﹒平山县期末）用简便方法计算： (1)1002-200×99+992 (2)2018×2020-20192【分析】（1）将原式转化为1002-2×100×(100-1)+(100-1)2,再利用完全平方公式进行计算， (2)2018×2020转化为(2019-1)(2019+1),再利用平方差公式计算即可． 【解答】解：(1)1002-200×99+992 =1002-2×100×(100-1)+(100-1)2 =[100-(100-1)]2=12 =1；(2)2018×2020-20192=(2019-1)(2019+1)-20192=20192-1-20192 =-1．【点评】考查平方差公式、完全平方公式的应用，掌握公式特征是关键．【变式2】（2019•内江）（1）填空： （a ﹣b ）（a+b ）= ；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）= ；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）= ． （2）猜想：（a ﹣b ）（a n ﹣1+a n ﹣2b+…+ab n ﹣2+b n ﹣1）= （其中n 为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2． 【答案】解：（1）（a ﹣b ）（a+b ）=a 2﹣b 2；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）=a 3+a 2b+ab 2﹣a 2b ﹣ab 2﹣b 3=a 3﹣b 3；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）=a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3﹣a 3b ﹣a 2b 2﹣ab 3﹣b 4=a 4﹣b 4；故答案为：a 2﹣b 2，a 3﹣b 3，a 4﹣b 4； （2）由（1）的规律可得：原式=a n﹣b n，故答案为：a n ﹣b n；（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．例2、(2019秋﹒甘井子区期末）数学兴趣小组在“用面积验证平方差公式”时，经历了如下的探究过程：（1）小明的想法是：将边长为a 的正方形右下角剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，并用两种方式表示这两部分面积的和，请你按照小明的想法验证平方差公式．（2）小白的起法是：在边长为a 的正方形内部任意位置剪掉一个边长为b 的正方形（如图2），再将剩下部分进行适当分割，并将分割得到的几部分面积和用两种方式表示出来，请你按照小白的想法在图中用虚线画出分割线，并验证平方差公式．【考点】平方差公式的几何背景．乘法公式的几何验证方法∴①+②的面积=a 2-b 2;①+②的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a 2-b 2, ∴(a+b)(a -b)=a 2-b 2．（2）①+②的面积=(a-b)b=ab-b 2, ③+④的面积=(a-b)a=a 2-ab, ∴①+②+③+④=a 2-b 2;①+②+③+④的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a 2-b 2, ∴(a+b)(a -b)=a 2-b 2．【点评】本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键． 举一反三：【变式】(2019秋﹒南昌期末）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．（1）在图2中的阴影部分面积S 1可表示为a 2-b 2a 2-b 2,在图3中的阴影部分的面积S 2可表示为a 2-b 2a 2-b 2,由这两个阴影部分的面积得到的一个等式是BB ． A ．(a+b)2=a 2+2ab+b 2B ．a 2-b 2=(a+b)(a-b) C ．(a-b)2=a 2-2ab+b 2（2）根据你得到的等式解决下面的问题： ①计算：67.52-32.52; ②解方程：(x+2)2-(x-2)2=24．【考点】平方差公式的几何背景．【专题】整式；一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】（1）由正方形的面积，可得S 1=a 2-b 2;由长方形的面积，可得S 1=(a+b)(a-b)=a 2-b 2;所以a 2-b 2=(a+b)(a-b);（2）①67.52-32.52=(67.5+32.5)(67.5-32.5)=100×35=3500;②展开整理，得8x=24，解得x=3，所以方程的解是x=3．【解答】解：（1）由正方形的面积，可得 S 1=a 2-b 2;由长方形的面积，可得S 1=(a+b)(a-b)=a 2-b 2; ∴a 2-b 2=(a+b)(a-b); 故答案为a 2-b 2,a 2-b 2,选B ；（2）①67.52-32.52=(67.5+32.5)(67.5-32.5)=100×35=3500; ②(x+2)2-(x-2)2=24， 展开整理，得8x=24， 解得x=3， ∴方程的解是x=3．【点评】本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键．类型二、完全平方公式的应用例3、运用乘法公式计算：（1）2(23)a b +-；（2）(23)(23)a b c a b c +--+．【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将23a b +-化成(23)a b +-，看成a 与(23)b -和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中a 与a 完全相同，2b ，3c -与2b -，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”． 【答案与解析】解：（1）原式222[(23)]2(23)(23)a b a a b b =+-=+-+-22464129a ab a b b =+-+-+ 22446129a b ab a b =++--+．（2）原式22222[(23)][(23)](23)4129a b c a b c a b c a b bc c =+---=--=-+-． 【总结升华】配成公式中的“a ”“b ”的形式再进行计算. 举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)()()a b c a b c -++-； (2)()()2112x y y x -+-+； (3)()2x y z -+； (4)()()231123a b a b +---． 【答案】解：(1) ()()a b c a b c -++-＝[a －(b －c )][ a ＋(b －c )]＝()()222222a b c a b bc c--=--+＝2222a b bc c -+-．(2) ()()2112x y y x -+-+ ＝[2x ＋(y －1)][2x －(y －1)]＝()()()222221421x y x y y --=--+＝22421x y y -+-．(3)()()()()22222x y z x y z x y x y z z -+=-+=-+-+⎡⎤⎣⎦＝222222x xy y xz yz z -++-+．(4) ()()231123a b a b +---＝()2231a b -+-＝－22[(23)2(23)1]a b a b ＋－＋＋＝－()22(2)2233461a a b b a b ⎡⎤+⋅⋅+--+⎣⎦＝224129461a ab b a b －－－＋＋－例4、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC 的形状．【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系． 【答案与解析】解：∵ 2220a b c ab bc ac ++---=，∴ 2222222220a b c ab bc ac ++---=，即222222(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=． 即222()()()0a b b c a c -+-+-=． ∴ 0a b -=，0b c -=，0a c -=，即a b c ==，∴ △ABC 为等边三角形．【总结升华】式子2220a b c ab bc ac ++---=体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab 中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论． 举一反三：【变式】多项式222225x xy y y -+++的最小值是____________. 【答案】4；提示：()()2222222514x xy y y x y y -+++=-+++，所以最小值为4.。
七年级数学下册第3章整式的乘除 乘法公式1第2课时教案新版浙教版
3.4乘法公式(1)教学目标：1．经历探索平方差公式的过程,会通过图形的拼接验证平方差公式,了解平方差公式的几何背景,并会运用所学的知识,进行简单的混合运算.2．通过创设问题情境,让学生在数学活动中建立平方差公式模型,通过探索规律,归纳出利用平方差公式,解决数字运算问题的方法,培养学生观察、归纳、应用能力. 3．了解平方差公式的几何背景,培养学生的数形结合意识.在探究学习中体会数学的现实意义,培养学习数学的信心. 教学重点与难点：重点：平方差公式的几何解释和广泛的应用．难点：准确地运用平方差公式进行简单运算,培养基本的运算技能． 教法及学法指导：有效的数学学习方法不能单纯地依赖模仿与记忆,我以问题为线索,让学生在动口、动手、动脑的活动中学习知识,让学生进一步理解“探索发现——归纳验证——应用拓展”这一学习与研究数学问题的方法．以探究体验的教学法为主,为学生创造一个良好的学习情境,指导学生深刻思考,细心观察,在解题时,一切从习题特点出发,根据习题特点寻找最佳解题方法,具体在运用公式计算时,要认清结构,找准a 、b ． 课前准备：多媒体课件,一张正方形纸板,剪刀． 教学过程:一、速算王的绝招师：在一次智力抢答赛中,主持人提供了两道题：1．2119?⨯= 2. 10397?⨯=主持人话音刚落,就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于399,第二题等于9991。
”其速度之快,简直就是脱口而出。
同学们,你知道他是如何计算的吗？（学生讨论,部分预习效果较好的同学能够体会其中的道理,仍有部分学生很困惑．）师：这其中的奥秘,其实我们已经接触过了,通过本节课的学习我们都能像速算王一样聪明,能够迅速得到结果,我们开始今天的学习吧．【教师板书课题：3.4乘法公式(1)】设计意图：通过“速算王的绝招”这一故事的情境创设,引发学生学习的兴趣,同时激发了学生的好奇心和求知欲,顺利引入新课。
二、一起来热身师：为了更好地解决本节课的内容,大家回顾一下上节课学习的平方差公式的内容,哪个同学来回答？生1：平方差公式：22()()a b a b a b +-=-．生2：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差．生3：这个公式的结构特点是：左边是两个二项式的乘积,即两数和与这两数差的积； 右边是两数的平方差.师：大家回答的都很好.下面通过一组习题来复习一下大家的掌握情况. （多媒体出示习题） 利用平方差公式计算：（1）(23)(23)x y x y +-； （2）(2)(-2)x y y x --； （3）(5+8)(58)x x -； （4）2(3)(9)(3)x x x -++． （学生独立做题,师巡视.）【答案：（1）2249x y -；（2）224y x -；（3）22564x -；（4）481x -．】 师：在运用平方差公式时要注意什么？生：1．字母a 、b 可以是数,也可以是整式；2．注意计算过程中的符号和括号． 设计意图：通过习题训练功过上节课所学知识,为下面教学的展开做好铺垫． 三、数学是什么师：有人说,数学只是一些枯燥的公式、规定,没有什么实际意义！请问数学真的没有什么实际意义吗？ 请看下面的问题：师：请表示右图中阴影部分的面积. 生：a 2－b 2．师：你能将将阴影部分通过裁剪拼成一个长方形吗？如果能这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？（学生动手操作,教师巡视指导,指定同学演示）生：我是把剩下的图形（即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开),上面的大长方形宽是(a －b ),长是a ；下面的小长方形长是(a －b ),宽是b ．我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形,是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a －b ),我们可以将这两个边重合,这样就拼成了一个如下图所示的图形（阴影部分）,它的长和宽分别为(a +b )、(a －b )．师：比较前两问的结果,你有什么发现? （学生思考交流）生：这两部分面积应该是相等的,即(a +b )(a －b )=a 2－b 2．生：通过裁剪拼凑我们验证了上节课所学的平方差公式：(a +b )、(a －b )= a 2－b 2． 生：用拼图来验证平方差公式很直观,一剪一拼,利用面积相等就可推证． 师：由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式,也许你会发现它更“神奇”的作用．设计意图：设计几何解释,目的是使学生看到数学中的公式反映了实际问题中的客观关系,是看得见摸得着的,纠正 “数学只是一些枯燥的公式、规定,没有什么实际的意义。
3.4乘法公式
2、（y—7)2
3、（—2x—3y)2
1 2 4、（3— t) 3
1 1 6. m n 5 2
2
5. 7 y
2
17
选择适当的公式计算：
（1）、（2x—1）（—1+2x） （2）、（—2x—y）（2x—y） （3）、 （—a+5）（—a—5） （4）、（ab—1）（—ab+1）
3
a
1
b
2
(a+b)(a+b) = a + 2ab + b
2
2
4
3
瑞安市万松公园有一个边长为a的正方形 园地，为种植不同的花卉，将其边长增加 了b，形成4个种植花卉的区域，以种植不 同品种的花卉，请你用不同的方法计算这 个园地的面积。
4
你能用下图图形的面积直观地表示(a+b)2 的结果吗？
(a+b)(a+b) = a + ab + ba + b
圃的面积分别增加了多少m2?
解：设原正方形苗圃的边长为a(m), 边长增加1.5m后,新正方形的边长 为(a+1.5)m；由题意可得，
2
a 1.5
a a 3a 1.5 a 3a 2.25,
2 2 2 2
当a=30.1时，3a+2.25=3×30.1+2.25=92.55； 当a=29.5时，3a+2.25=3×29.5+2.25=90.75； 答：两块苗圃的面积分别增加了92.55平方米，90.75平方米。
2
运用平方差公式计算:
(1) (2x+1)(2x-1) 2 x
(2)
[中学教育]浙教版七下数学第三章教案.docx
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3.1节同底数幕的乘法(1)【教学目标】1、理解同底数帚的乘法法则的由来，掌握同底数帚相乘的乘法法则；2、学会并熟练地运用同底数幕的乘法法则进行计算；3、在探究“性质”的过程屮，培养学习观察，概括与抽象的能力。
【教学重点、难点】重点是同底数幕的乘法法则及其灵活应用。
难点是理解同底数幕的乘法法则是由乘法的概念加以具体到抽彖的概括抽彖过程。
【教学准备】展示课件。
【教学过程一、创设情景，引岀课题情景：学牛观察节前语，教师捉岀问题：太阳系外的笫100颗行星与地球之间的距离约多少km?师生共同列式为：10'X3X10,3Xl(r=9X10'xi0"xi0'=9X ( 102X 105X 10?)那：IO'XIO'XIO?等于多少呢？进而引出本节课题。
二、合作学习，建立模型1、要求各学习小组合作探究26X 22= ________________107X 105= ______________4 X/ 3_a Xa = _________________2'" X2n= ________________2、展示合作学习的成果，加深对幕的意义的理解，总结得到：23X28= (2X2X2) X (2X2) =2X2X2X2X2 = 2'=2沁2、做一做：①3X3'②lO'XlO'③(-3) 2X (-3)'④『・『・『⑤a・f⑥a+a+a3、分析讲解课本例2。
(4)公式屮的底数a可以表示什么？(5)当三个以上同底数幕相乘时，上述法则成立吗？7形成法则启发学主探求规律，设疑归纳a,n・a n= _________ 进而形成法则a m・a n=a，nhl (m, n都是正整数)即同底数幕相乘，底数不变，指数相加。
8引导学主剖析法则(1)等号左边是什么运算？(2)等号两边的底数冇什么关系？(3)等号两边的指数冇什么关系？四、变式训练，激发情智1、卜-面计算否正确？若不正确请加以纠正。
3.4乘法公式(1)
平方差引发的连锁反应：
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(24-1)(24+1)(28+1)+1
=(28-1)(28+1)+1 =216-1+1 =216
(a+b)(a-b)=a2利用平方差公式计算（先确定各题的a 与b，再填空）
(1)(5+6x)(5-6x)=( 5 )2-( 6x )2=______ 25-36x2 x2-4y2 (2)(x-2y)(2y+x)=( x )2-(2y )2=_______ (3)(-m+n)(-n-m)=(-m)2-( n )2=_______ m2-n2
两式和与这两式差的积， 等于它们的平方差
1)左边为两个式的和与差的积,右边为两 个式的平方差
2)有些式子通过适当变形实质上能用公式 3)公式中的a和b可以是数,也可以是整式 即整体思想
(1) 103×97 (2) 59.8×60.2
1 8 (3)100 99 9 9
运用平方差公式计算:
2 5678×5680-5679 2 =(5679-1)(5679+1)-5679 2 =5679
-1
2 -5679
= -1
先化简，再求值： （2a b）b 2a ) (2b a )(2b a ), ( 其中a 1, b 2
王敏同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖 果10.2千克，
售货员刚拿起计算器，王敏就说出应99.96元， 结果与售货员计算出的结果相吻合。 售货员很惊讶地说：“你好象是个神童，怎 么算得这么快？” 王敏同学说：“过奖了，我利用了在数学上 刚学过的一个公式。” 你知道王敏同学是怎么计算的吗?
2019-2020年七年级数学下册第3章整式的乘除3.4乘法公式第1课时校本作业B本新版浙教版
2019-2020年七年级数学下册第3章整式的乘除3.4乘法公式第1课时校本作业B本新版浙教版2019-2020年七年级数学下册第3章整式的乘除3.4乘法公式第1课时校本作业B本新版浙教版课堂笔记两数和与这两数差的积等于这两数的 . 即（a+b）（a-b）=a2-b2.分层训练A组基础训练1. 计算（-4x-5y）（5y-4x）的结果是（）A. 16x2-25y2B. 25y2-16x2C. -16x2-25y2D. 16x2+25y22. 下列计算错误的是（）A. （6a+1）（6a-1）=36a2-1B. （-m-n）（m-n）=n2-m2C. （a3-8）（-a3+8）=a9-64D. （-a2+1）（-a2-1）=a4-13. （4x2-5y）需乘以下列哪个式⼦，才能使⽤平⽅差公式进⾏计算（）A. -4x2-5yB. -4x2+5yC. （4x2-5y）2D. （4x+5y）24. 若x+y=6，x-y=5，则x2-y2的值为（）A. 11B. 15C. 30D. 605. 与（9a-b）相乘的积等于b2-81a2的因式为（）A. 9a-bB. 9a+bC. -9a-bD. b-9a6. 已知x2-y2=4，那么（x-y）2（x+y）2的结果是（）A. 4B. 8C. 16D. 327. 对于（2a+3b-1）（2a-3b+1），为了⽤平⽅差公式，下列变形正确的是（）A. [2a-（3b+1）]2B. [2a+（3b-1）][2a-（3b-1）]C. [（2a-3b）+1][（2a-3b）-1]D. [2a-（3b-1）]28. 计算（x4+1）（x2+1）（x+1）（x-1）的结果是（）A. x8+1B. x8-1C. （x+1）8D. （x-1）89．判断题（对的打“√”，错的打“×”）：（1）（-x+y）（-x-y）=-x2-y2；（）（2）（-x-y）（x-y）=-x2+y2；（）（3）（-x+y）（x-y）=-x2-y2；（）（4）（2x-1）（x+1）=2x2-1.（）10. 计算：（1）（a+1）（a-1）= ；（2）（-a+1）（-a-1）= ；（3）（-a+1）（a+1）= ；（4）（a+1）（-a-1）= .11. 如果（-x-y）·P=x2-y2，那么P等于 .12. 填空：（1）（x+y）（）=x2-y2；（2）（）（m+n）=m2-n2；（3）（-5s+6t）（）=25s2-36t2；（4）（+ ）（ -）=x4-.13. 请你观察如图的图形，依据图形⾯积的关系，不需要添加辅助线，便可得到⼀个⾮常熟悉的乘法公式，这个公式是 .14. 若x-y=4，x2-y2=24，则（x+y）3= .15. 计算：（1）（5ab-3x）（-3x-5ab）；（2）（-y2+x）（x+y2）；（3）（宜昌中考）（a+b）（a-b）+2b2；（4）（m＋n）（m－n）；（5）（－2x－1）（1－2x）－（3－2x）（2x＋3）；（6）（m-）（m2+）（m+）.16. ⽤平⽅差公式计算：（1）30.8×29.2；（2）xx2-xx×xx.17. 先化简，再求值：（a-2b）（2a-b）-（2a-b）（b+2a），其中a=-1，b=1.B组⾃主提⾼18. 对于任意的整数n，能整除代数式（n+3）（n-3）-（n+2）（n-2）的整数是（）A. 4B. 3C. 5D. 219．某村正在进⾏绿地改造，原有⼀正⽅形绿地，若将它的每边都加长3m，则⾯积增加63m2.问：原绿地的边长为多少⽶？C组综合运⽤20. 我们在计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）时，发现直接运算很⿇烦，如果在算式前乘以（2-1）即1，原算式的值不变，⽽且还使整个算式能⽤乘法公式计算. 即：原式=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=232-1. 你能⽤上述⽅法迅速地算出（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）的值吗？请试着计算.参考答案3.4 乘法公式（第1课时）【课堂笔记】平⽅差【分层训练】1—5. ACACC 6—8. CBB9. （1）×（2）√（3）×（4）×10. （1）a2-1 （2）a2-1 （3）1-a2（4）-a2-2a-111. -x+y12. （1）x-y （2）m-n （3）-5s-6t（4）x2 x213. （x+y）（x-y）=x2-y2【点拨】利⽤⾯积相等即可列出.14. 21615. （1）原式=9x2-25a2b2（2）原式=x2-y4（3）原式=a2+b2（4）原式＝（m）2－（n）2＝2m2－3n2（5）原式＝4x2－1－（9－4x2）＝8x2－10.（6）原式=m4-16. （1）原式＝（30＋0.8）（30－0.8）＝302－0.82＝900－0.64＝899.36（2）原式=xx2-（xx-1）（xx+1）=xx2-（xx2-1）=1.17. （a-2b）（2a-b）-（2a-b）（b+2a）=2a2-ab-4ab+2b2-[（2a）2-b2]=2a2-5ab+2b2-（4a2-b2）=2a2-5ab+2b2-4a2+b2=-2a2-5ab+3b2. 当a=-1，b=1时，原式=-2×（-1）2-5×（-1）×1+3×12=6.【点拨】利⽤平⽅差公式直接写出结果时，“平⽅”是⼀个整体的平⽅，不但字母要平⽅，系数也必须同时平⽅.18. C19. 设原绿地的边长为x（m），根据题意，得（x＋3）2－x2＝63，即3（2x＋3）＝63，解得x＝9.答：原绿地的边长为9m.20. （532-1）2019-2020年七年级数学下册第3章整式的乘除3.4乘法公式第2课时校本作业A本新版浙教版课堂笔记1. 两数和的平⽅，等于这两数的平⽅和，加上这两数积的 . 即（a+b）2=a2+2ab+b2.2. 两数差的平⽅，等于这两数的，减去这两数积的2倍. 即（a-b）2=a2-2ab+b2. 分层训练A组基础训练1．计算（a＋）2的结果是（）A. a2－a＋B. －a2＋a＋C. a2＋a＋D. －a2－a＋2. 下列计算正确的是（）A. （a+b）2=a2+b2B. （a-b）2=a2-b2C. （2x+y）2=4x2+4xy+y2D. （x-2y）2=x2-2xy+4y23. 若a2+ab+b2加上⼀个整式后，可得（a-b）2，则这个整式为（）A. -abB. 3abC. -3abD. ab4. 在下列各式中：①（-2a-1）2；②（-2a-1）（-2a+1）；③（-2a+1）（2a+1）；④（2a-1）2；⑤（2a+1）2，计算结果相同的是（）A. ①④B. ①⑤C. ②③D. ②④5. 如果（x-y）2+P=（x+y）2，那么P等于（）A. ±4xyB. 4xyC. ±2xyD. 2xy 6．利⽤图形中阴影部分的⾯积与边长a，b之间的关系，可以验证某些数学公式．例如，根据图1，可以验证两数和的平⽅公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，根据图2能验证的数学公式是（）A. （a－2b）2＝a2－4ab＋4b2B. （a－b）2＝a2－2ab＋b2C. a2－b2＝（a＋b）（a－b）D. （a＋2b）2＝a2＋4ab＋4b27. 加上下列单项式后，仍不能使4x2+1成为⼀个整式的完全平⽅式的是（）A. 2xB. 4xC. -4xD. 4x48. 填空：（1）x2+ +36=（x+6）2；（2）x2- +25=（x-5）2；（3）9x2+6x+ =（3x+1）2；（4）4-12x+ =（2-3x）2.9. 填空：（1）若（7x+A）2=49x2-14xy+B，则A= ，B= ；（2）若（a+b）2+M=（a-b）2，则M= ；（3）（+ ）2=a4+ +1；（4）（ +3b）2= +12a2b+ .10. 若a2+2a=4，则（a+1）2= .11. 将正⽅形的边长由acm增加6cm，则正⽅形的⾯积增加了 .12. 运⽤完全平⽅公式计算：（1）（3a+b）2= ；（2）（-x+3y）2= ；（3）（x-2y）2= ；（4）（-m-2n）2= ；（5）（a－2）2＝．13. 运⽤公式计算下列各题：（1）992；（2）10.2214．利⽤乘法公式计算：（1）（2m+1）2（2m-1）2；（2）（a-2b）（a+2b）（a2-4b2）.B组⾃主提⾼15．解⽅程：（1－3x）2＋（2x－1）2＝13（x－1）（x＋1）．16．（1）已知a+b=3，ab=2，求a2+b2的值；（2）已知（m+n）2=21，m2+n2=9，求mn的值；（3）若a2+b2=10，ab=-3，求a+b的值；（4）已知x＋＝2，则x2＋＝．17．（1）已知x＋y＝，x－y＝，求xy的值．（2）已知x2－2x－2＝0，求（x－1）2＋（x＋3）（x－3）＋（x－3）（x－1）的值．C组综合运⽤18. 如下所⽰，（a+b）n与相应的杨辉三⾓中的⼀⾏数相对应. （a+b）1……………………1 1（a+b）2…………………1 2 1（a+b）3………………1 3 3 1（a+b）4……………1 4 6 4 1（a+b）5…………1 5 10 10 5 1由以上规律可知：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b））4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.请你写出下⾯两个式⼦的结果：（a+b）5= ；（a+b）6= .参考答案3.4 乘法公式（第2课时）【课堂笔记】1. 2倍2. 平⽅和【分层训练】1—5. CCCBB 6—7. BA8. （1）12x （2）10x （3）1 （4）9x29. （1）-y y2（2）-4ab （3）1 a2 （4）2a2 4a4 9b210. 511. （12a+36）cm212. （1）9a2+6ab+b2（2）x2-6xy+9y2（3）x2-2xy+4y2（4）m2+4mn+4n2（5）3a2－4a＋413. （1）9801 （2）104.0414. （1）16m4-8m2+1 （2）a4-8a2b2+16b415. 1－6x＋9x2＋4x2－4x＋1＝13（x2－1），－10x＝－15，解得x＝1.5.16. （1）5 （2）6 （3）±2 （4）217. （1）∵（x＋y）2＝x2＋y2＋2xy＝6，（x－y）2＝x2＋y2－2xy＝5，∴（x＋y）2－（x－y）2＝4xy＝1，∴xy＝.（2）∵x2－2x－2＝0，∴x2－2x＝2. ∴原式＝x2－2x＋1＋x2－9＋x2－4x＋3＝3x2－6x－5＝3（x2－2x）－5＝3×2－5＝1.18. a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6。
3.4.1乘法公式(1)
课堂练习
1.下列多项式中哪些是3x-5y的平方差朋友（ C ） ① 3x+5y ② -3x+5y ③-3x-5y ④-5②③ C.①③ D.①④
课堂练习
当x 1 时，求2x(1 x 1) 1 (2x 1)(2x 1)的值.
4
2
4
解: 原式 x2 2x 1 (4x2 1)
x2
2x
4 x2
1
4
2x 1
4
当x 1 时，原式 2 1 1 3
4
44 4
注意： ①先化简，再求值，能 用公式的尽量用公式.
②用公式计算时注意判 断a和b，运用整体思想.
③若遇到一个负数乘以 两个多项式的积，建议 先算两个多项式的积(不 要忘记添括号)，再与负 数相乘.
课堂练习
3.在括号内填入怎样的代数式，才能运用平方差公式进行计算？
如能确定，试求出这个代数式的值.
2
解：原式 s2 2st s 2st 4t 2 2t 4t 2 2t
s2 s
当s 3时，原式 s2 s (3)2 3 6
新知导入
怎么快速计算下列式子？
103×97 =(100+3)(100−3) =?
回顾：多项式的乘法
(a n)(b m) ab am nb nm
（32 -1）(32 1)(34 1)(38 1) 1 2
316 -1 1 2
316 1 2
注意：运用构造法时，要保证 “形变值不变”！
课堂小结
(1)(2n m)（ m+2n ） m2 4n2
(2)( 2a 3b)（
） 2a2 3b2
拓展提升
若(a+2021)(a+2019)=3，则(a+2020)2−12= −8 .
浙教版七年级数学下册知识点汇总假期预习必备
浙教版七年级数学下册知识点汇总七年级（下册）平行线1.1. 平行线在同一个平面内，不订交的两条直线叫做平行线。
“平行”用符号“//”表示。
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
1.2. 同位角、内错角、同旁内角以下图：同位角：∠1和∠5内错角：∠3和∠5同旁内角：∠4和∠51.3. 平行线的判断两条直线被第三条直线所截，假如同位角相等，那么这两条直线平行。
(同位角相等，两直线平行 )两条直线被第三条直线所截，假如内错角相等，那么这两条直线平行。
(内错角相等，两直线平行 )两条直线被第三条直线所截，假如同旁内角互补，那么这两条直线平行。
(同旁内角互补，两直线平行)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行。
1.4. 平行线的性质两条直线被第三条直线所截，同位角相等。
(两直线平行，同位角相等 ) 两条直线被第三条直线所截，内错角相等。
(两直线平行，内错角相等 )两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补。
(两直线平行，同旁内角互补)1.5. 图形的平移图形平移的定义：一个图形沿某个方向挪动，在挪动的过程中，原图形上全部的点都沿同一个方向挪动同样的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。
图形平移的性质：1）图形平移不改变图形的形状和大小。
2）一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
图形平移的描绘：要描绘一个平移，一定先指出平移的方向和距离。
平移的方向和距离是决定平移的要素。
平移图形的画法：1）找出原图形的重点点（如极点或许端点）2）按平移的方向和距离分别描出各个重点点平移后的对应点3）按原图将各对应点按序连结二元一次方程组2.1. 二元一次方程像+=这样，含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。
2.2.二元一次方程组由两个一次方程构成，而且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。
3.4 乘法公式(1)
5678×5680-56792
=(5679-1)(5679+1)-56792
=56792 -1 -56792 = -1
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(24-1)(24+1)(28+1)+1 =(28-1)(28+1)+1 =216-1+1 =216
（1）图中的红色部分部分面积是__a__2 __b__2__
（2）你能否将红色部分拼成一个完整的长方形图案吗？
你拼出的长方形的面积是_(_a____b__)_(_a___b_)__
这里的字母a，b可以是数，或是单 项式，甚至是更复杂的代数式
概念挖掘:
2019/5/7
1.下列式子中哪些可以用平方差公式运算?
原正方形的面积= a2
改建后的长方形的面积= (a+3)(a-3)=a2-9
(a+3)(a-3)-a2 = Hale Waihona Puke 2 -9-a2 =9(1)
1 a 1 b 1 a 1 b 3 2 3 2
1 a2 1 b2 94
(2) (3a +2b)(3a−2b) 9a2－4b2
1.多项式与多项式相乘的法则: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一
项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
(a + n )(b + m)= ab +am + nb +nm.
初中数学七年级下册《3.4 乘法公式》PPT课件 (15)
消防控制室值班制度及消防控制室管理及应急程序一、消防控制室值班制度消防控制室是保障单位消防安全的重要部门，为了确保消防控制室的正常运行和及时响应各类应急情况，制定一套科学合理的值班制度是非常必要的。
1. 值班人员的职责和要求值班人员是消防控制室的核心力量，他们需要具备以下职责和要求：（1）24小时轮班，确保消防控制室的连续运行。
（2）熟悉消防设备的操作和维护，能够及时处理各类消防报警。
（3）掌握应急预案和操作流程，能够迅速响应各类紧急情况。
（4）具备较强的沟通和协调能力，能够与其他部门和外部单位进行有效的信息交流。
（5）保持良好的工作状态和精神状态，确保能够高效地应对各类突发情况。
2. 值班制度的安排（1）根据消防控制室的工作量和人员数量，制定合理的值班班次和轮班制度。
（2）确保每个班次都有足够的人员配备，避免因人员不足而导致值班工作的疏漏。
（3）制定值班人员的换班规定，确保换班时的交接工作顺利进行，避免信息的遗漏和传递不及时。
（4）定期进行值班人员的培训和考核，提高他们的专业素质和应急处理能力。
二、消防控制室的管理消防控制室是一个高度机密的地方，管理工作的严谨性和规范性对于消防安全至关重要。
1. 人员管理（1）建立健全的人员管理制度，包括招聘、培训、考核和奖惩等方面的规定。
（2）对消防控制室的工作人员进行背景调查和安全审查，确保其具备良好的品行和职业操守。
（3）定期对消防控制室的工作人员进行岗位培训和技能培训，提高他们的专业水平和应急处理能力。
（4）建立健全的考核制度，对工作人员的工作情况进行定期评估，发现问题及时进行纠正和改进。
2. 设备管理（1）建立健全的设备管理制度，确保消防设备的正常运行和有效维护。
（2）定期对消防设备进行检查和维护，及时发现和解决设备故障，确保其处于良好的工作状态。
（3）建立设备档案，记录设备的购置、维修和更换等信息，方便日后的管理和维护工作。
（4）加强对设备的保密工作，确保设备信息不被泄露，防止设备被非法操作和损坏。
341乘法公式
七年级数学（下）导学稿编号：0720 主备人: 审核人：使用人：使用时间:3。
4.1乘法公式（一)学生姓名班级评价【学习目的】通过这节课的学习，我们要学会以下几点1.理解平方差公式是简化多项式乘以多项式2、理解平方差公式的构成特征3.会利用平方差公式进展计算【课前自学、课中交流】1、计算：（1）（x+3)（x−3) (2）（1+2a）（1−2a) （3) (x+4y)(x−4y）观察(4）（5）（6）算式和运算结果，你会发现以下规律：两数和和这两数差的积，等于这两数的平方的差。
平方差公式注意事项：①适用范围是: 两项乘以两项②在这四个项中有两项完全一样,其余两项互为相反数（其余两项只差一个符号)③结果等于完全一样的项的平方减去互为相反数的项的平方。
即（一样项）2 —（相反项）22、利用平方差公式计算（先确定各题的a和b再填空)(1） （5+6x ） （5—6x ）=（ ）2 - （ )2=___ ___（2） (x-2y) (x+2y)=（ ）2 — ( ）2=_ ______(3） (-m+n) (-m-n)=（ ）2 — ( ）2=___ ____3、判断以下式子是否正确（1）(x+1)(x-1）=x 2-1 ( ) (2)(2a+b)（2a-b)=2a 2-b 2 （ )(3）(3x+y)（—3x+y ）=9x 2—y 2 （ ） (4）(—2x+y ）(—2x—y ）=4x 2-y 2 （ ）（5）（a+3）(a—4）=a 2—12 ( ） （6)(x+y ）（—x-y ）=x 2-y 2 （ )七年级数学（下）导学稿 编号:0720 主备人：杨芳 审核人：万春红 使用人： 使用时间:4.运用平方差公式进展计算:5、用简便方法计算（1）103×97 (2) 59.8×60。
2 （3）5678×5680-56792)94)(32)(32)(4()61.1)(61.1)(3(2++-+-a a a y x y x )21)(21)(2()53)(53)(1(a b a b y x y x +-+-+【当堂训练，老师点评】6、判断正误（1）(2b+a ）（a-2b)=4b 2 —a 2 （ ） (2）(m–n ）（—m -n ）=—m 2 -n 2 ( )（3）(x+ y ） (-x -y ）=x 2 —y 2 （ ) （4）（2a+b)（a-2b)=2a 2- 2b 2 ( )7、计算：（1）（x—y)(x+y)(X 2+y 2) （2) x 2—y 2=8 , x+y=—4 ,求x—y 的值。
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你发现了什 么规律？
平方差公式：
(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积 等于 这两数的平方差.
①等式左边的两个多项式有什么特点？
左边是两个项数相同的多项式相乘，并 且 有一项完全相同，另一项互为相反数。
②等式右边的多项式有什么规律？
新知讲解
做一做
将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根 据两个图形的面积关系直观地说明平方差公式吗？
(m n)2 p2 m2 2mn n2 p2
注意：1.公式中的a,b可以是数,还可以是单项式或多项式 2.当公式中的a,b表示的是分数、负数或一个式子时，
要把它们看成一个整体，代入公式时要用括号括起来。
例3. 运用平方差公式简便计算：
（1） 103×97
（2） 59．8×60．2
解： =(100+3)(100-3)
(2-1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(24-1)(24+1)(28+1)+1 =(28-1)(28+1)+1 =216-1+1 =216
3、已知x2-y2=8，x-y=4，则x+y的值为_2__. 4、化简 (a b)2 (a b)2
(2)(3s 2t)(3s 2t)
（3）( 2a 3b)( 2a 3b)
解：原式 (2t 3s)(2t 3s) (2t)2 (3s)2 4t 2 3b2
运用平方差公式计算。
(m n p)(m n p)
解：原式 (m n) p(m n) p
(a+b)(a−b) = a2−b2
运用平方差公式计算
(1)(3x2)(3x2) = (3x)2－22 = 9x2－4
( a ＋ b ) ( a － b ) = a2 －b2
变式1 3x 23x 2 变式2 (23x)(23x)
（2） 1 b a 1 b a 2 2
(a
1 2
b)(a
浙教版 七年级下
复习导入
请计算：
(1) (x+2) (x-2) = x2 2x 2x 4 x2 4 (2) (2x+9)(2x-9) = (2x)2 18x 18x 81 4x2 81 (3) (a+b)(a-b) = a2 ab ab b2 a2 b2
两数的和乘以这两数的差， 等于这两数的平方差.
小结 通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.平方差公式： (a+b)(a−b)=a2−b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
2.步骤：1、判断； 2、调整；3、用公式; 4、化简。 关键：找出“相同项”和“相反项”，然后应用公式．
3.注意点：当公式中的a,b表示的是分数、负数或一个式子时
要把它们看成一个整体，代入公式时要用括号括起来。
解：=(60-0.2)(60+0.2)
=1002-32
=602-0.22
=10000-9 =9991
=3600-0.04 =3599.96
练习. 用平方差公式简便计算。
(1)10 6 111 77
（11 1）（11 1 )
7
7
112 ( 1 )2
7
121 1 49
120 48 49
（2）5678×5680-56792 =(5679-1)(5679+1)-56792 =56792 -1 -56792 = -1
1 2
b)
a2
(1 2
b)2
a2
1 4
b2
步骤：1、判断； 2、调整；3、用公式;4、化简。
关键：找出“相同项”和“相反项”，然后应用公式．
下列各式能否用平方差公式计算？
(1)(3s 2t)(2s 3t) 关键：找出“相同项”和“相反项”。
是 代入平方差公式进行计算 观察
否 多项式 多项式法则计算
作业布置
《作业本（1）》P17—18页 3.4乘法公式（1）
1、化简:代数式 (1+a4)(1+a²)(1+a)(1-a) 解：原式 (1 a4 )(1 a2 )(1 a2 ) (1 a4 )(1 a4 ) 1 a8
2.计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 = (2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1