最新第4讲.竞赛123班.教师版(1)

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第4讲移多补少 - 教师版

学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。

要使经过奥数训捷，考虑问题比别人更深层次。

3、锻炼学生优良的意志品质。

可以培养持之以恒的耐心和克服困以及战胜难题的勇气。

可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最第4讲移多补少【专题导引】如果有两组数量不同的物体，怎样才能使它们同样多呢？通过观察、比较，找出哪组多，多几个，然后把多的一部分平均分成两份，其中一份补给少的那一组，这样两组物体的数量同样多，这样做就是移多补少。

在解决移多补少的问题时，要弄清在怎样的情况下才变得同样多，这里要移走的数量实际就是相差的数量的一半，这样才能顺利地解决问题。

【典型例题】【B1】比一比，哪一行的★多？怎样移才能使两行★的颗数同样多？★★★★★★★★★★解答：第一行★多，把第一行一个★移动到第二行，两行一样多。

【试一试】想一想，怎样移，两行○的个数同样多？○○○○○○○○○○○○解答：第二行2个移动到第一行，两行一样多。

【B2】移一移：（1）从第一行拿1个爱心放到第二行，两行爱心的个数同样多，第二行应摆几个？第一行摆：□□□□第二行摆：□□（2）从第二行拿2个爱心放到第一行，两行的爱心个数同样多，第二行应摆几个？第一行摆：□□□□第二行摆：□□□□□□□□【试一试】移一移：（1）从第一行拿1个○放到第二行，两行个数相等，第二行应该摆几个？第一行摆：○○○○○第二行摆：○○○（2）从第二行拿2个○放到第一行，两行个数相等，第二行应放几个○？第一行摆：○○○○○第二行摆：○○○○○○○○○【B3】妈妈买了两袋牛奶糖，第一袋有10颗，第二袋有4颗，要使两袋颗数相等，应该怎么办？解答：第一袋中拿3颗放入第二袋中，两袋7颗相等。

【试一试】小朋友排队，第一队有12人，第二队有6人，要使两队人数相等，应该怎么办？解答：第一队3个人到第二队去，两队9人相等。

部编版数学二年级上册第4讲.尖子班.教师版

【例题分析】观察可以发现，从第一个火柴人开始，到 B 增加 2 条线，到 C 拿走 1 条线，到 D 增加 3 条线，到 E 拿走 2 条线，到 F 增加 4 条线，按规律继续往下画在 F 的基础上应该拿走 3 条线，应该选择 G．
第 3 级下·尖子班·教师版
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第四讲
第 1 排的序列接下来应该是哪一项？
【例题分析】这个图找规律有一定的难度，需要认真来观察这个图形各部分的特点． ⑴ 头发：每排中三个娃娃的头发分别是1，2，3根． ⑵ 头：每排中三个娃娃的头分别是正方形、圆形、三角形． ⑶ 眼睛：三个娃娃的眼睛分别是两个白、一个黑一个白、两个黑． ⑷ 嘴巴：三个娃娃的嘴巴有两个是黑的，一个白的．根据这些规律，最后一个娃娃应该是正方形的头，头发有3根，眼睛是一个黑一个白，嘴巴是黑色的．
第五级上找规律——数列与图形本讲主要研究简单的数表规律并根据规律填出空缺项．
第 3 级下·尖子班·教师版
1
第四讲
课前活动
动手画一画
巧砌瓷砖
有六种不同图案的瓷砖，每种各 6 块．将它们砌在如下图这样的地面上，使每一横行和每一竖行都没有相同图案的瓷砖．你会怎样设计？
【例题分析】开课的时候，通过设计怎样铺瓷砖的活动，让学生发现在生活中图形的排列是有规律的．在这道题中，第一排按 1 到 6 的顺序排列，从第二排起把第一个移动到最后，剩下的依次往前移．如下图所示，这样每一横行和每一竖行都没有重复．答案不唯一，类似的方法还有很多．
每辆炮车重 12 吨，大炮重 25 吨，明显超过了桥的载重量，这可怎么办？前方战场上的战士们正在用生命进行抗争，大炮运不过去，前方的战士们将有全部牺牲的危险，而且还有失去阵地的可能．在这关键时刻，大家都急得团团转．王超急中生智，设计了一个方案，成功地使大炮全部安然过桥．有了这些大炮的支援，加上战士们的英勇抗战，战争取得了胜利．你知道王超的妙计是什么吗？

第4讲倒角模型(教师版)

知识总结典型例题1如图，2如图，3如图1如下图，已知2如图1如图，在凹四边形2如图，3如图，知识总结典型例题题型：三角形-外角角分线如图所示，1如图，点两个外角平分线的交点，如果23如图，在D.如图，已知射线41如图，2如图，，三、数学万花筒帕斯卡12岁证明任意三角形内角和180度帕斯卡12岁证明任意三角形内角和180度。

任意两个相同直角三角形一定能拼成长方形，每一个长方形的内角和是360（四个直角）恰好包含了直角三角形的6个内角，所以一个直角三角形的内角和是360÷2=180。

任意两个相同的直角三角形一定能拼成长方形在此基础上证明任意锐角三角形内角和是180°. 在三角形内作一条高，会分割出两个不同的直角三角形。

因为直角三角形的内角和是180°，所以除直角外的两个锐角和为180°-90°=90°.两个直角三角形中共有4各锐角，恰好组成了原来大锐角三角形的三个内角，即可得出任意锐角三角形内角和为90°+90°=180°.同理可证，任意钝角三角形内角和也是180°，因为只有一条高在其内部，所以作高是没有选择余地了。

任意锐角三角形内作高任意钝角三角形内作高既然任意直角三角形、锐角三角形钝角三角形的内角和都是180°，小帕斯卡才会非常肯定地说：任意三角形的内角和是都是180°。

这里有个误区，有的教师以为学生在三种类型的三角形中各选择一个分别测量，就是代表了全部的三角形，实际上具体的锐角三角形不能代表所有的锐角三角形，这与帕斯卡证明方法中的任意三角形有本质的不同。

四、巩固加油站三角形>三角形及多边形>多边形>题型：不规则图形的多角求和题型：三角形内角的应用两个外角平分线的交点，如果D.。

第4讲-比(教师版)(知识梳理+典例分析+举一反三+巩固提升)人教版

第4讲比比比的意义及各部分的名称前项按比例分配问题比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变(1)先求总份数；(2)再求每部分占总数的几分之几；(3)最后用乘法求出每部分是多少。

比的基本性质后项比号比值知识点一：比的意义、各个部分的名称1.两个数量之间的关系可以用两个数的比来表示。

2.在两个数的比中，“：”是比号，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，比的前项除以后项所得的商叫做比值。

3.比的前项，后项和比值分别相当于除法算式中的：被除数，除数和商；分别相当于分数中的：分子、分母和分数值。

比的后项不能是0。

知识点二：比的基本性质和化简比1.比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。

2.化简比的方法：（1）化简整数比时，前、后项同时除以最大公因数。

（2）化简分数比时，前、后项同时乘它们分母的最小公倍数，转化成整数比，再化简。

（3）化简小数比：先把前、后项的小数点同时向右移动相同的位数，转化成整数比，再化简。

知识点三：按比分配按比分配的解题方法：方法一：把比看作份数之比。

先求每份是多少，再求几份是多少。

解题步骤：①求出总份数；②求出一份是多少；③求出各部分的数量。

方法二：把比转化成分率。

利用分数乘法解答。

解题步骤：①求出总份数；②求出各部分占总量的几分之几；③求出各部分的数量。

考点一：比的意义、各个部分的名称【例1】在15：20＝0.75中，15叫做比的前项，20叫做比的后项，0.75叫做比值．【思路分析】如果a：b＝d，则a是比的前项，b是比的后项，d是比值，所以在15：20＝0.75中，15叫做比的前项，20叫做比的后项，0.75叫做比值．【规范解答】解：在15：20＝0.75中，15叫做比的前项，20叫做比的后项，0.75叫做比值．故答案为：前项，后项，比值．【名师点评】本题主要考查了比的各部分的名称．1．（2016秋•五河县期末）3÷24＝1：8＝0.125．【思路分析】把0.125化成分数并化简是，根据比与分数的关系＝1：8；根据分数与除法的关系＝1÷8，再根据商不变的性质被除数数、除数都乘3就是3÷24．【规范解答】解：3÷24＝1：8＝0.125．故答案为：3，8．【名师点评】解答此题的关键是0.125，把0.125化成分数并化简，根据分数与小数、除法、比之间即可解答．2．（2011•儋州）甲数与乙数的比是2：3，可以说成甲数是乙数的．正确．【思路分析】甲数与乙数的比是2：3，写出比例为：甲数：乙数＝2：3＝，根据比与除法的关系，也可以写成：甲数÷乙数＝，所以可以说成甲数是乙数的；因此判断为正确．【规范解答】解：因为甲数：乙数＝2：3＝，所以甲数÷乙数＝，所以甲数与乙数的比是2：3，可以说成甲数是乙数的；故判断为：正确．【名师点评】此题考查比与分数、除法的关系，解决此题关键是先求出甲、乙两个数的比的比值，进而把比转化成除法算式，问题得解．3．（2019春•邹城市期末）5÷8＝＝15÷24＝0.625（填小数）【思路分析】根据商不变的性质，5÷8的被除数、除数都乘3就是15÷24；根据分数与除法的关系5÷8＝，再根据分数的基本性质分子、分母都乘7就是；5÷8＝0.625．【规范解答】解：5÷8＝＝15÷24＝0.625．故答案为：35，24，0.625．【名师点评】此题主要是考查除法、小数、分数之间的关系及转化．利用它们之间的关系和性质进行转化即可．考点二：比的基本性质和化简比【例2】（2019秋•铜官区期末）在3：2中，如果前项加上6，要使比值不变，后项要加上4．【思路分析】在3：2中，如果前项加上6，由3变成9，相当于是前项乘上3；根据比的性质，要使比值不变，后项也应该乘上3，由2变成6，也就是2加上4．据此进行填空．【规范解答】解：在3：2中，前项加上6，由3变成9，是前项乘上3；根据比的性质，要使比值不变，后项也要乘上3，由2变成6，也就是后项2加上4．故答案为：4．【名师点评】此题考查比的性质的运用：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值才不变．1．（2017秋•巴东县期末）把a：7（a≠0）的前项乘3，比值不变，后项应该是21；若把后项“7”改为“1”，要使比值不变，前项应该是【思路分析】比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值才不变；据此解答．【规范解答】解：把a：7（a≠0）的前项乘3，比值不变，后项应该是7×3＝21；若把后项“7”改为“1”，要使比值不变，前项应该是a÷7＝．故答案为：21，．【名师点评】此题考查比的性质的运用．2．（2016•罗平县校级模拟）5：6的前项增加10，要使比值不变，后项应增加12．【思路分析】根据5：6的前项增加10，可知比的前项由5变成15，相当于前项乘3；根据比的性质，要使比值不变，后项也应该乘3，由6变成18，也可以认为是后项加上18﹣6＝12；据此进行选择．【规范解答】解：比的前项：5+10＝15，由5变成15，相当于前项乘3；要使比值不变，后项也应该乘3，由6变成6×3＝18，即后项加上18﹣6＝12．答：后项应增加12．故答案为：12．【名师点评】此题考查比的性质的运用，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值才不变．3．（2019•福田区）5：2的后项扩大到原来的3倍，要使比值不变，前项应该加上10．【思路分析】比的性质是指比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变；据此分析解答．【规范解答】解：5：2的后项扩大到原来的3倍，要使比值不变，前项也应扩大3倍，由5变成15，也就是前项应该加上15﹣5＝10；故答案为：10．【名师点评】此题主要利用比的性质解决问题，只有比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值才会不变．考点三：按比分配【例3】在一场篮球比赛中，甲队全场共得了99分，上半场和下半场所得分数的比是5：4．甲队下半场得了44分．【思路分析】上半场和下半场得分的比是5：4，则下半场得分占全场共得分的，用全场共得分乘下半场得占的比率即可得甲队下半场得了多少分．【规范解答】解：99×＝99×＝44（分）答：甲队下半场得了44分．故答案为：44．【名师点评】本题考查了比的应用，关键是得出下半场得分占全场共得分的．1．用84cm长的铁丝围成一个直角三角形，这个直角三角形三边长度的比是3：4：5．这个直角三角形的面积是294cm2．【思路分析】根据“三角形三条边的长度的比是3：4：5”，可知这个三角形的两条直角边分别占了周长的和，三角形的周长是84厘米，求出两条直角边的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可．【规范解答】解：84×＝21（厘米）84×＝28（厘米）21×28÷2＝294（平方厘米）答：这个直角三角形的面积是294平方厘米．故答案为：294．【名师点评】本题的重点是根据按比例分配的知识求出这个三角形的两条直角边是多少，再根据三角形的面积公式进行计算．2．（2020•中原区）在三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A＝30°；按角的大小分类，这个三角形是直角三角形．【思路分析】根据三角形的内角和定理，三角形三个内角之和是180°，把180°平均分成（1+2+3）份，用除法即可求出1份（∠A）的度数．∠A是这个三角形中最小的角，要想把这个三角形按角分类，还须求出这个三角形撮大角∠C的度数，用∠A的度数乘3就是∠C的度数，然后根据∠C的度数即可对这个三角形按角分类．【规范解答】解：180°÷（1+2+3）＝180°÷6＝30°30°×3＝90°答：∠A＝30°；按角的大小分类，这个三角形是直角三角形．故答案为：30，直角．【名师点评】此题主要考查了三角形内角和定理、按比例分配、三角形（按角）的分类．3．（2017•长沙）有A、B两条绳，第一次剪去A的，B的；第二次剪去A绳剩下的，B绳剩下的；第三次剪去A绳剩下的，B绳剩下的，最后A剩下的长度与B剩下的长度之比为2：1，则原来两绳长度之比是10：9．【思路分析】本题要分别算出A、B两条绳剪三次之后还剩下原来的几分之几，最后通过剩下的部分之比算出原来长度之比．【规范解答】解：（1）a绳第二次剪去：（1﹣）×＝，第三次剪去：（1﹣﹣）x＝，a绳还剩下：1﹣﹣﹣＝；（2）b绳第二次剪去：（1﹣）×＝，第三次剪去：（1﹣﹣）×＝，b绳还剩下：1﹣﹣﹣＝；（3）最后a剩下的长度与b剩下的长度之比为2：1，那么两绳长度的比为：（2÷）：（1÷）＝10：9故答案为：10：9．【名师点评】完成本题要细心，一步步求出最后剩多少，再求出原来的比．一．选择题（共6小题）1．（2020•蕲春县）甲走完一段路要0.25小时，乙走完这段路要25分钟，甲与乙的速度比是（）A．1：1B．4：5C．3：5D．5：3【思路分析】首先把0.25小时化成分钟数，用0.25乘进率60得15分，把这段路的总长看作单位“1”，先分别求出速度，进一步写比并化简比即可．【规范解答】解：0.25×60＝15（分）：＝（×75）：（×75）＝5：3答：甲与乙的速度比是5：3．故选：D．【名师点评】本题的关键是根据“时间、路程、速度”三者之间的关系求出速度，再写比，最后利用比的基本性质化成最简比．2．（2020•无锡）钟面上，分针与秒针的转动速度的比是（）A．1：12B．60：1C．1：60【思路分析】1分＝60秒，分针转1个小格，秒针就转60个小格，所以分针和秒针的转动速度的比是1：60；据此解答即可．【规范解答】解：分针转1圈，秒针转60圈，所以其速度比是1：60；故选：C．【名师点评】本题重点是明白时间单位中分和秒的关系．3．（2020•徐州）用两根绳子测量同一口井的深度，第一根绳子有露在井口外面，第二根绳子有露在井口外面，那么第一根绳子与第二根绳子的长度比是（）A．5：3B．3：5C．5：6D．6：5【思路分析】首先根据第一根绳子有露在井口外面，可得这口井的深度＝第一根绳子的长度×（1﹣）＝第一根绳子的长度×；再根据第二根绳子有露在井口外面，可得这口井的深度＝第二根绳子的长度×（1﹣）＝第二根绳子的长度×；所以第一根绳子的长度×＝第二根绳子的长度×．然后把第一根绳子的长度看作比的一个外项，第二根绳子的长度看作比的一个内项，那么比的另一个外项是，比的另一个内项是，构造出比例，再化简，求出第一根绳子与第二根绳子的长度比是多少即可．【规范解答】解：这口井的深度＝第一根绳子的长度×（1﹣）＝第一根绳子的长度×；这口井的深度＝第二根绳子的长度×（1﹣）＝第二根绳子的长度×；第一根绳子的长度×＝第二根绳子的长度×；所以第一根绳子的长度：第二根绳子的长度＝＝（）：（×15）＝12：10＝6：5答：第一根绳子与第二根绳子的长度比是6：5．故选：D．【名师点评】此题主要考查了比的意义和应用，要熟练掌握．4．（2020•安新县）一种糖水，糖与水的比是1：4，再加入20克含糖率是20%的糖水，那么含糖率将（）A．不变B．下降C．升高D．无法确【思路分析】先求出糖与水的比是1：4的糖水的含糖率，然后再判断加入20克含糖率是20%的糖水混合后的糖水的含糖率的变化情况．【规范解答】解：1÷（1+4）×100%＝0.2×100%＝20%再加入20克含糖率是20%的糖水后，含糖率将不变．故选：A．【名师点评】完成本题要认真审题弄清含混合后糖率的的高低，然后进一步作出选择．5．下面说法中错误的是（）A．一杯糖水，糖占糖水的，糖和水的比是1：9B．一杯糖水，糖占糖水的，水和糖水的比是9：10C．一杯糖水，糖是水的10%，糖占糖水的D．一杯糖水，糖占糖水的，糖是水的10%【思路分析】一杯糖水，糖占糖水的，把糖看作1份，则糖水是10份，水是10﹣1＝9份，糖和水的比是1：9；一杯糖水，糖占糖水的，把糖看作1份，则糖水是10份，水是10﹣1＝9份，水和糖水的比是9：10；一杯糖水，糖是水的10%，10%＝，把糖看作1份，则水是10份，糖水是10+1＝11份，糖占糖水的；一杯糖水，糖占糖水的，把糖看作1份，则糖水是11份，水是11﹣1＝10份，糖占水的＝10%．【规范解答】解：A、把糖看作1份，则糖水是10份，水是10﹣1＝9份，糖和水的比是1：9（原题说法正确）；B、把糖看作1份，则糖水是10份，水是10﹣1＝9份，水和糖水的比是9：10（原题说法正确）；C、10%＝，把糖看作1份，则水是10份，糖水是10+1＝11份，糖占糖水的（原题说法错误）；D、把糖看作1份，则糖水是11份，水是11﹣1＝10份，糖占水的＝10%（原题说法正确）．故选：C．【名师点评】解答此题的关键是根据题意把糖看作1份，求出相对应的糖水、水所占的份数．6．一个长方形的周长是36m，它的长与宽的比是5：4，这个长方形的面积是（）m2．A．20B．80C．160D．320【思路分析】根据长方形的周长计算公式“C＝2（a+b）”，长方形的周长除以2就是长方形的长、宽之和，把这个长方形的长、宽平均分成（5+4）份，先根据除法求出1份的长度，再分别求5份（长方形长）、3份（长方形宽）各是多少厘米，然后再根据长方形面积计算公式“S＝ab”，即可求出这个长方形的面积．【规范解答】解：（36÷2）÷（5+4）＝18÷9＝2（cm）（2×5）×（2×4）＝10×8＝80（cm2）答：这个长方形的面积是80cm2．故选：B．【名师点评】解答此题的关键是根据按比例分配求出这个长方形的长、宽．二．填空题（共6小题）7．（2020•嵩县）直角三角形中两个锐角的比是4：5，这两个角的度数分别是40度和50度．【思路分析】因为一个直角三角形的两个锐角的度数之和为90度，它们的度数之比为4：5，求出这两个角的度数分别占90度的几分之几，再根据分数乘法的意义即可得解．【规范解答】解：90°×＝40°90°×＝50°答：这两个角的度数分别是40度和50度．故答案为：40、50．【名师点评】此题主要考查按比例分配应用题的特点：已知两个数的比（三个数的比），两个数的和（三个数的和），求这两个数（三个数），用按比例分配解答．8．（2020•盐城模拟）一个钝角等腰三角形，相邻两个角的度数比是4：1，顶角是120°．【思路分析】根据等腰三角形的特征，等腰三角形的两个底角相等，这个钝角等腰三角形三个角度数的比是4：1：1（如果是4：4：1，顶角不可能是钝角），再根据三角形三个内角之和是180°，把180°平均分成（4+1+1）份，先根据除法求出1份的度数，再用乘法求出4份（这个钝角等腰三角形的顶角）度数．【规范解答】解：180°÷（4+1+1）＝180°÷6＝30°30°×4＝120°答：顶角是120°．故答案为：120°．【名师点评】此题应用的知识点：钝角三角形的意义、等腰三角形的特征，按比例分配．9．（2020•浦城县）连接长方形长和宽的中点（如图）．围成的阴影部分面积与空白部分的面积比是1：7．【思路分析】如图，通过作辅助线可以看出，相当于把长方形的面积看作单位“1”，把平均分成8份，基本阴影部分占1份，根据比的意义即可写出围成的阴影部分面积与空白部分的面积比．【规范解答】解：如图连接长方形长和宽的中点．围成的阴影部分面积与空白部分的面积比是1：7．故答案为：1：7．【名师点评】通过作辅助线，即可看出阴影部分面积与空白部分面积的比．10．（2020•林西县）两个圆的半径分别是3cm和5cm，这两个圆直径的比是3：5，面积的比是9：25．【思路分析】根据题意分别求出两个圆的直径和面积，然后再求比即可．【规范解答】解：由题意知，分别求出两个圆的直径并求比：2×3：2×5＝3：5；分别求出两个圆的面积并求比：π×32：π×52＝9：25；故答案为：3：5，9：25．【名师点评】此题考查了根据半径求圆的直径比和面积比．11．（2020•荥阳市）红花朵数的等于黄花朵数的，红花朵数与黄花朵数的比是5：2．已知红花和黄花一共有280朵，红花有200朵．【思路分析】红花朵数的等于黄花的朵数，根据比的意义，用红花朵数比上黄花朵数即可；再根据分数乘法的意义即可求出黄花的朵数．【规范解答】解：据分析可知：红花朵数与黄花朵数的比：＝5：2；280×＝200（朵）答：红花朵数与黄花朵数的比是5：2，红花有200朵．故答案为：5：2，200．【名师点评】此题考查了比的意义，应注意灵活运用．12．（2020•荥阳市）如图中两个正方形中阴影部分的面积比是2：1，空白部分甲和乙的面积比是6：1．如果空白部分甲的面积是2.4dm2，那么两个正方形的面积之和是4dm2．【思路分析】如图：由题意知：两个正方形中阴影部分面积比是2：1，又因这两个三角形等底，所以这两个三角形高的比是2：1，即BC＝2G，从而可算出这两个正方形的面积，则空白部分的面积等于每个正方形的面积去掉每个阴影部分的面积，从而算出它们的面积比．【规范解答】解：因为S △BCE ＝×CE ×BC ，又因为CE ＝CG ，S △GCE ＝×CE ×CG ＝×CG 2又因为S △BCE ：S △GCE ＝2：1所以×CE ×BC ：×CE ×CG ＝2：1BC ＝2CG ；以S 正方形ABCD ＝BC 2＝2CG ×2CG ＝4CG 2，S 正方形ECGF ＝CG 2，又因为S △BCE ＝×CE ×BC ，CE ＝CG ，即S △BCE ＝×CE ×2CG ＝CG 2，所以大正方形中空白图的面积是：S 正方形ABCD ﹣S △BCE ＝4CG 2﹣CG 2＝3CG 2，小正方形空白图的面积是： S 正方形ECGF ＝CG 2，所以两空白部分的面积比是：3CG 2： CG 2＝6：1，空白部分甲的面积是2.4dm 2，空白部分乙的面积是0.4dm 2则S 正方形ECGF ＝CG 2＝0.8dm 2以S 正方形ABCD ＝4CG 2＝4×0.8＝3.2dm 2两个正方形的面积之和是3.2+0.8＝4dm 2答：空白部分的面积是6：1，那么两个正方形的面积之和是4dm 2．故答案为：6：1，4．【名师点评】此题解决的突破口在于先根据图形特点及两个阴影部分的比，找准两个正方形边的关系，用含字母的式了来代换，从而解决问题．三．判断题（共5小题）13．（2019秋•交城县期末）大数与小数的比是8：7，大数比小数多． √ （判断对错）【思路分析】大数与小数的比是8：7，假设大数就是8，小数就是7，则大数比小数多1，即可判断即可．【规范解答】解：假设大数就是8，小数就是78＞7所以大数比小数多，原题说法正确；故答案为：√．【名师点评】此题考查了比的应用，把比化成份数解答即可．14．（2020•临朐县）如果小圆和大圆的周长之比是1：2，那么面积之比也是1：2．×（判断对错）【思路分析】小圆和大圆的周长之比是1：2，因为C＝2πr，所以半径之比也是1：2；再根据圆的面积公式S＝πr2先写出它们的面积比，再化简即可得答案．【规范解答】解：小圆和大圆的周长之比是1：2，因为C＝2πr，所以半径之比也是1：2；再根据圆的面积公式S＝πr2小圆面积：大圆面积＝（π×12）：（π×22）＝1：4；故答案为：×．【名师点评】此题主要考查圆的面积公式及化简比的知识．15．（2019秋•綦江区期末）走同一段路，如果甲、乙的速度比是2：3，那么甲、乙的时间比也是2：3．×（判断对错）【思路分析】把这一段路的总长看作单位“1”，根据题意，把甲的速度看作2份数，乙的速度看作3份数，先求出甲、乙二人分别用的时间，进而写比并化简比得解．【规范解答】解：甲用的时间：乙用的时间＝：＝3：2题干说甲乙的时间比是2：3是错误的．故答案为：×．【名师点评】解决此题也可以根据速度×时间＝路程（一定），判断出速度和时间成反比例关系，因为甲、乙速度的比是2：3，所以甲、乙用的时间比就是3：2．16．（2019秋•太原期末）在100克水中加入10克糖，全部溶解．糖与水的比是1：10，喝掉一半后，糖水的含糖率不变．√（判断对错）【思路分析】在100克水中加入10克糖，全部溶解，糖与水的比是10：100，即1：10；喝掉一半后，剩下的糖水中的含糖率不变，也就是糖与水的比不变，据此进行判断即可．【规范解答】解：10：100＝1：10喝掉一半后，剩下的糖与水的比不变，还是1：10，那么糖水的含糖率不变．所以，原题说法是正确的．故答案为：√．【名师点评】解决此题关键是理解整杯糖水和半杯糖水的含糖率不变，也就是糖与水的比不变．17．（2019秋•兴国县期末）一场足球比赛的比是2：0，从这里可以看出，比的后项可以为0．×（判断对错）【思路分析】比的意义：两个数相除，又叫做两个数的比，比是表示两个数之间的关系；而球场上比分是2：0，说明本次比赛，一个队进了2个球，另一个队一个球也没有进，这是表示进的球的个数比，与前一个比意义不同；据此判断．【规范解答】解：比是表示两个数相除，是两个数之间的关系，在比中，比的后项不能为0；而体育比赛中的比分中的2：0，一个队进了2个球，另一个队一个球也没有进，这是表示进的球的个数比，比号后面的数可以是0，表示一个也没有；所以它们意义不同．故答案为：×．【名师点评】此题考查比的意义：两个数相除，又叫做两个数的比，比是表示两个数之间的关系，比的后项不能为0；要与比赛时进球的比区分开，那是进球个数的比，意义不同．四．应用题（共8小题）18．（2020•无锡）一杯糖水共45克，糖与水的比是2：7，这杯糖水中水有多少克？【思路分析】糖与水的比是2：7，那么糖水45克就相当于2+7＝9份，则用45除以9求出每份的质量，再乘水的份数即可．【规范解答】解：45÷（2+7）×7＝5×7＝35（克）答：这杯糖水中水有35克．【名师点评】本题考查了按比例分配应用题，这种类型的应用题关键根据两个数（或三个数）的比求出总数量对应的份数和，然后用除法求出一份的量，再乘两个数（或三个数）各自所占的份数，即可解决问题．19．（2020•林西县）学校计划植树480棵，将植树任务按2：3分给五、六年级同学．六年级同学需植树多少棵？【思路分析】由题意可知：可以分配的总量是480，需要分配的份数是2+3＝5份，于是利用按比例分配的方法，求出六年级同学植树的棵数占480的几分之几，再根据分数乘法的意义即可得解．【规范解答】解：480×＝288（棵）答：六年级同学需植树288棵．【名师点评】此题主要考查按比例分配应用题的特点：已知两个数的比（三个数的比），两个数的和（三个数的和），求这两个数（三个数），用按比例分配解答．20．（2020•长春）学校购进400个口罩，按2：3分给五、六两个年级，六年级分得多少个口罩？【思路分析】根据比的意义来进行解决问题．已知总数，按2：3进行五、六年级的分配，即总份数是2+3＝5份，六年级占其中的3份，据此进行计算即可．【规范解答】解：按2：3进行五、六年级的分配，即总份数是2+3＝5份，六年级占其中的3份；400÷（2+3）×3＝400÷5×3＝80×3＝240（个）答：六年级分得240个口罩．【名师点评】此题是理解比的意义从而进行比的运用，关键是理解根据2：3的比进行五六年级的分配，再选择合适的方法进行计算．21．用45cm长的铁丝围一个长方形，这个长方形的长与宽的比是3：2．求这个长方形的面积．【思路分析】根据长方形的周长计算公式“C＝2（a+b）”，围成的这个长方形的长、宽之和是（45÷2）厘米，再把这个长方形的长、宽之和平均分成（3+2）份，先用除法求出1份是多少厘米，再用乘法分别求出3份（长方形长）、2份（长方形宽）各是多少厘米，然后再根据长方形的面积计算公式“S＝ab”即可解答．【规范解答】解：45÷2÷（3+2）＝45÷2÷5＝45÷（2×5）＝45÷10＝4.5（cm）（4.5×3）×（4.5×2）＝13.5×9＝121.5（cm2）答：这个长方形的面积是121.5cm2．【名师点评】解答此题的关键是求出围成长方形的长、宽之和后，再根据按比例分配求出围成的长方形的长、宽．22．（2020•十堰）为实现脱贫致富，李庄村发展了5000平方米果园，其中栽的是苹果树，其余的面积按1：4栽的是桃树和梨树．梨树占地面积多少平方米？【思路分析】把果园的总面积看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用果园的总面积（5000平方米）乘（1﹣）就是栽桃树、梨树的面积．再把栽桃树、梨树的面积看作单位“1”，其中栽梨树的面积占，根据分数乘法的意义，用栽桃树、梨树的面积乘就是栽梨树的面积．【规范解答】解：5000×（1﹣）×＝5000××＝3125×＝2500（平方米）答：梨树占地面积2500平方米．【名师点评】此题主要是考查乘法的意义及应用．求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率．关键是把比转化成分数．23．（2020•海淀区）学校图书馆购进一批科技书和文艺书共810本，两种书的数量比是5：4，这两种书各有多少本？【思路分析】把两种书的总本数（810本）平均分成（5+4）份，先用除法求出1份的本数，再用除法分别求出5份（科技书）、4份（文艺书）各是多少本．【规范解答】解：810÷（5+4）＝810÷9＝90（本）90×5＝450（本）90×4＝360（本）答：科技书有450本，文艺书有360本．【名师点评】此题是考查按比例分配应用题的特点以及解答规律，亦可先求出总份数，用它作公分母，再分别求出各部分占总数的几分之几，然后根据分数乘法的意义解答．24．（2020•荥阳市）图书室原有科技书和故事书共540本，其中故事书的本数与科技书的本数比是2：7．又购买一批科技书后，科技书的本数占现在这两种书总数的80%．图书室现在有科技书和故事书各多少本？【思路分析】先把图书室原有科技书和故事书共有的本数（540本）看作单位“1”，故事书占总本数的，根据分数乘法的意义，用总本数乘就是故事书的本数．双购进一批科技书后故事书的本数没变，把此时故事书、科技书的总本数看作单位“1”，故事书占总本数的（1﹣80%），根据百分数除法。

六年级新概念1-24课春季班1-4讲(教师版)

Lesson 1New Words and Expressions★1 private adj. 私人的，私有的private letter 私人信件private school 私立学校in private 私下地Mr. Wang wants to talk to me in private after class, Gosh!Yao Ming doesn’t like to talk about his private life.反义词public2 conversation n. 谈话〔con 一起+ verse 诗文+ tion 表名词〕conversation room 谈话室have a conversation with 和…交谈（会谈）I had a long conversation with Li Yuchun last week!请老师适当引出并区分：talk, dialogue, conversation, chat, gossip3 theatre n. 剧场，戏院Go to the theatre. 去看戏。

Broadway Theatre 百老汇剧院Shanghai Grand Theatre 上海大剧院注意区分：cinema, theatre, opera house★4 seat n. 座位“请坐”可有如下表达方法：Sit down, please./ Take a seat. / Please be seated.Ladies and gentlemen, please be seated.a bicycle seat自行车车座shotgun seat 副驾驶座注意区分：sit 和seat5 loudly adv. 大声地shout loudly 大声喊叫注意区分：loudly 和aloud, aloud强调出声，让人听见；loudly强调声音很大，一般是嘈杂的让人心烦的声音。

2019秋三年级上册精英班讲义第4讲+课堂练习解(教师版)

JY(3)第四讲课堂练习解答姓名1、2+10+18+26+34+42+50+58+66= 。

答案：306。

解析：等差数列求和。

和为（2+66）×9÷2=306。

2、小刚从一本书的第10 页阅读到第30 页，苏明从第28 页阅读到第60 页，他们总共阅读了页。

答案：54。

解析：一共读了（30-10+1）+（60-28+1）=54（页）。

3、假如100 澳元可兑换74 美元。

一位澳洲游客在美国一家店铺买了一个价值100 美元的物品，但是他付了200 澳元，那么店铺的营业员应该找给他美元。

答案：48。

解析：200 澳元=（200÷100）×74=148（美元），故店铺的营业员应该找给他148-100=48（美元）。

4、A 、B 、C 、D 四个人在一场考试中分别获得了前四名，D 的名次不是最高，但他比B 、C 都高，C 的名次不比B 高。

C 是第名。

答案：4。

解析：“D 的名次不是最高，但他比B 、C 都高”，所以D 是第2 名，A 是第1 名。

“C 的名次不比B 高”，所以B 是第3 名，C 是第4 名。

5、小明看一本科技书，第一天看了3 页，以后每天都比前一天多读3 页，最后一天他看了63 页，刚好把书看完。

小明一共看了天。

答案：21。

解析：等差数列求项数。

小明一共看了（63-3）÷3+1=21（天）。

6、李师傅到家具厂买桌椅共10 件，每张桌子35 元，每把椅子25 元，共付款270 元，那么买了把椅子。

答案：8。

解析：假设10 件都是桌子，则椅子有（35×10-270）÷（35-25）=8（把）。

7、甲桶中有油65 千克，乙桶中有油35 千克，将乙桶中的千克油注入甲桶，能使甲桶中的油是乙桶中的油的4 倍。

答案：15。

解析：乙现在有油（65+35）÷(4+1)=20（千克），乙桶倒出的油为 35-20=15（千克）。

4整除部分讲义第4讲（教师版）

【热身题】例1 ：求一对整数b a ,，满足：(1))(b a ab +不能被7整除；（2）777)(b a b a --+能被77整除.【解】777)(b a b a --+=)](5)(3)[(7223355b a b a b a ab b a ab +++++=.))((7222ab b a b a ab +++根据题设要求(1)(2)知，|,)(|72226ab b a ++即.|7223ab b a ++令,7322=++ab b a 即,343)(2=-+ab b a 即19=+b a ，则.343192-=ab 故可令1,18==b a 即合要求.例2.三角形三边长均为质数，证明：其面积不可能为整数.证明：记三角形的三边长度为a 、b 、c因为a 、b 、c 均为质数所以a 、b 、c 有以下两种情况：①a=b=c=2 ②a 、b 、c 均为奇数根据海伦公式而公式里的p 为半周长（周长的一半）：对于情况①,有S △=√3,S △不为整数对于情况②,有,因为p=(a+b+c)/2不为整数,所以S △不为整数所以不存在三边长均为质数而面积取值为整数的三角形第四讲素数及唯一分解定理大于1的整数n 总有两个不同的正约数：1和n ．若n 仅有这两个正约数（称为n 没有真约数），则称n 为素数（或质数）．若n 有真约数，即n 可表示为a b ⋅的形式（这里a 、b 为大于1的整数），则称n 为合数．于是，正整数被分成三类，数1单独作一类，素数类及合数类．素数在正整数中特别重要，我们常用字母p 表示素数．由定义易得出下面的基本结论： ①大于1的整数必有素约数．②设p 是素数，n 是任意一个整数，则或者p 整除n ，或者p 与n 互素．事实上，p 与n 的最大公约数()p n ，必整除p ，故由素数的定义推知，或者()1p n =，，或者()p n p =，，即或者p 与n 互素，或者p n ∣．③设p 是素数，a 、b 为整数．若p ab ∣，则a 、b 中至少有一个数被p 整除．特别地可以推出，若素数p 整除(1)n a n ≥，则p a ∣．④素数有无穷多个．思考：如何证明素数有无穷多个？（提示：用反证法，假设素数只有有限多个，为12k p p p ，，，，考虑数121k N p p p =+ ，利用性质⑶．①）⑤每个大于1的正整数都可以分解为有限个素数的积；并且，若不计素因数在乘积中的次序，这样的分解是唯一的．将n 的素因数分解中的相同的素因子收集在一起，可知每个大于1的正整数n 可惟一的表示为1212k a a a k n p p p = ，其中12k p p p ，，，是互不相同的素数，12k a a a ，，，是正整数，这称为n 的标准分解．⑥n 的全部正约数为1212k b b b k p p p ，其中i b 是满足0(12)i i b a i k = ，，，≤≤的任意整数．由此易知，若记()n τ为n 的正约数的个数，()n σ为n 的正约数之和，则有12()(1)(1)(1)k n a a a τ=+++ ，121111212111()111k a a a k k p p p n p p p σ+++---=⋅--- ．例子：写出不超过100的所有的素数。

高三秋季第4讲.三角函数的定义与公式应用.尖子班

32 第4讲·教师版一、弧度制与任意角的三角函数1．角的概念：一条射线绕着端点旋转所成的图形．按其旋转方向分为：正角，零角，负角．2．任一已知角α的弧度数的绝对值l r α=；180πrad ︒=，1801rad 57.30π︒⎛⎫=≈︒ ⎪⎝⎭；3．三角函数定义：在平面直角坐标系中，()P x y ，为α终边上原点外的任意一点，r ，α的正弦：sin y rα=；余弦：cos x r α=；正切：tan yx α=；4．同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=．二、诱导公式角π2k α⋅±()k ∈Z 与α的三角函数值的关系：奇变偶不变，符号看象限．（k 的奇偶，函数名互变）三、三角恒等变换1．两角和与差的三角函数正弦公式：S :sin()sin cos cos sin S :sin()sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+-=-，；知识梳理知识结构图第4讲三角函数的定义与公式应用33第4讲·教师版余弦公式：()()+C :cos cos cos sin sin C :cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβ-+=--=+，；正切公式：tan tan T :tan()1tan tan αβαβαβαβ+++=-⋅，tan tan T :tan()1tan tan αβαβαβαβ---=+⋅．2．二倍角公式sin22sin cos ααα=；2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；22tan tan 21tan ααα=-． 3．辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，其中tan b aϕ=．（2011北京理15）已知函数()π4cos sin 16f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．⑴求()f x 的最小正周期；⑵求()f x 在区间ππ64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值．【解析】 ⑴()f x 的最小正周期为π．⑵()f x 的最大值和最小值分别是2和1-．1、若角2π3的终边上有一点()4,a -，则a 的值是（） AB． CD．【解析】 B ； 2、（2013广东华师中山附中高三第五次月考理1）已知角α的终边在第二象限，则2α的终边所在的象限为（）A ．第一或第二象限B ．第一或第三象限C ．第二或第四象限D ．第一或第四象限【解析】 B3、两个圆心角相同的扇形的面积之比为1:2，则两个扇形周长的比为（）A ．1:2B ．1:4 C． D ．1:8【解析】 C小题热身真题再现34 第4讲·教师版4、若tan 3α=，则22sin 2sin cos 3cos αααα-+=（） A ．15 B ．35 C ．15- D ．35-【解析】 B ．5、设tan α=，则sin 2α的值为（） A． B ．12- C ．12D【解析】D 6、23sin 702cos 10-︒=-︒（）A ．12BC ．2 D【解析】 C ；7、（2012江西文）若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α=（）A ．34-B ．34C ．43-D ．43【解析】 B 8、（2012山东理）若ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2θ=sin θ=（）A ．35B ．45 CD ．34【解析】 D9、若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=-（） A ．12- B ．12C ．2D ．2-【解析】 A ；10、（2011北京西城二模文理6）函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如右图所示，设P 是图象的最高点，A B ，是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（）A ．10B ．8C ．87D ．4735第4讲·教师版【解析】 B考点1：三角函数符号与象限角【例1】 ⑴若sin 0α<且tan 0α>，则α在第象限．⑵若sin cos 0θθ<，则角θ在第象限． ⑶已知sin cos 1θθ->，则角θ在第象限．⑷若α为第二象限角且coscos22αα=-，则2α在第_______象限．【解析】 ⑴三；⑵二或四；⑶二；⑷三；考点2：弧长与扇形面积【例2】⑴1的长方形木块，在桌面上无滑动地翻滚，翻滚到第四次时被一个小木板档住，如图，使木板底面与桌面成30︒的角，则点A 走过的路程为_______，A 点走过的弧度所在的扇形的总面积为________．⑵已知扇形AOB 的周长为l ，求其面积S 与半径r 之间的函数关系式()S r ，并求出其最大值．⑶如图所示，某住宅小区的平面图呈圆心角为120︒的扇形AOB ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．4.1任意角、弧度制与三角函数的概念经典精讲36 第4讲·教师版ODCBA【解析】，7π4； ⑵()(),,22π12l l l S r r r r ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，最大值为216l ． ⑶445米考点3：同角三角函数的基本关系【例3】 ⑴21tan sin tan x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．⑵若1cos 5θ=，且θ是第四象限角，那么sin θ= ，tan θ= ．⑶1tan 2α=，则sin cos αα= ．⑷若cos 2sin αα+=tan α= ．【解析】 ⑴tan x ；⑵，-⑶25；⑷2．考点4：诱导公式【例4】 ⑴记cos(80)k -︒=，那么tan100︒=（）AB． CD．⑵已知cos31m ︒=，则sin239tan149︒⋅︒的值是（）A ．21m m - BC ．21m m - D．⑶已知π1sin 64x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25πsin πsin 63x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______．⑷已知α是第三象限角，()()()()()3πsin πcos 2πtan tan π2sin πf αααααα⎛⎫---+-- ⎪⎝⎭=--，化简4.2诱导公式37第4讲·教师版()f α= ；若3π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()f α的值为．【解析】 ⑴B ；⑵B ； ⑶1916； ⑷cos α-·考点5：和差角公式【例5】 ⑴ 若4sin 5α=-，α是第三象限的角，则πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A． BC． D⑵tan 20tan 4020tan 40︒+︒︒︒的值是____________．⑶若π02α<<，π02β-<<，π1cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πcos 42β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．⑷某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ① 22sin 13cos 17sin13cos17︒+︒-︒︒ ② 22sin 15cos 15sin15cos15︒+︒-︒︒ ③ 22sin 18cos 12sin18cos12︒+︒-︒︒ ④ ()()22sin 18cos 48sin 18cos 48-︒+︒--︒︒ ⑤ ()()22sin 25cos 55sin 25cos55-︒+︒--︒︒试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；并根据计算结果，将该同学的发现推广三角恒等式：．【解析】 ⑴A ；⑶⑷34()()22sin cos 30sin cos 30x x x x +︒--︒-34=4.3三角恒等变换38 第4讲·教师版考点6：倍角与半角公式【例6】⑴已知角θ的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= ．⑵若3cos 25θ=，4sin 25θ=，则角θ的终边落在直线（）上．A ．2470x y -=B ．2470x y +=C ．7240x y +=D ．7240x y -= ⑶已知α为第三象限的角，πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．⑷已知πcos 4x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π3π24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．则sin x =________，πtan 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．⑸设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 212α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为．【解析】 ⑴35-．⑵B ；⑶17-；⑷45,3117- ⑸ 50一、选择题1、若sin20α>，且cos 0α<，则角α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【解析】 C ；2、（北京东城一模文）已知()sin 45α-︒=，且090α︒<<︒，则cos α的值为（） A ．513 B ．1213 C ．35D ．45【解析】 D 课后习题39第4讲·教师版3、（2011浙江理6）若π02α＜＜，π02β-＜＜，π1cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πcos 42β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则c o s 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）AB． CD．【解析】 C4、（2012上海文）若π2ππsinsin (i)777n n S =+++（n *∈N ），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（）A ．16B ．72C ．86D ．100【解析】 C二、填空题5、若216α=-︒，7πl =，则r =________（其中扇形的圆心角为α，弧长为l ，半径为r ）【解析】 3566、已知α为钝角，1sin 3α=，则tan α= ．【解析】47、（2011年全国卷）已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α=，则tan2α= ．【解析】 43-．8、（2010全国I 卷）已知α为第三象限的角，3cos25α=-，则πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．【解析】 17-9、（2013广东汕头高三上期末文12）已知：πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭2π5πsin cos 66a α⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为________．【解析】．三、解答题10、（2010上海卷文理19）已知π02x <<，化简：()2πlg cos tan12sin lg lg1sin224xx x x x⎤⎛⎫⎛⎫⋅+-+--+⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦．【解析】原式0=．11、（2013北京西城二模理15文16）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且ππ62α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．将角α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B．记()11A x y，，()22B x y，．⑴若113x=，求2x；⑵分别过A B，作x轴的垂线，垂足依次为C D，．记AOC△的面积为1S，BOD△的面积为2S．若122S S=，求角α的值．【解析】⑴2x=．⑵π4α=．40 第4讲·教师版。

八年级竞赛教案第4讲

第一课时：知识要点及引入提问：三角形怎么分类，各有哪些性质，能想到的请说出来。引入：今天我们一起来看看与这些特殊的三角形相关的题型，看看大家能不能快速的解出来。二、新授 1、教学例 1：（1）认真审题，独立完成。（2）学生完成后点名口答。（3）本题有两种方法，老师提示另一种方法，再点名同学回答提示：等腰三角形是轴对称图形，作出它的对称轴即底边上的高来解题，是一种常见的作辅助线的方法。（4）学生完成巩固练习，教师巡视并指导，完成后集体讲评。练习答案：1、66°；2、△ABC≌△AED（SAS）即可；3、延长 BD 至 F, 使得 DF=BC, 连接 EF ， △BEF 是等边三角形，易证得 △EBC≌△EDF 或△EBD≌△EFC 即可。 2、教学例 2：（1）认真审题，结合两直线平行的相关性质。（2）学生独立完成，请学生说一说解题的思路，并板书黑板。（3）在题目中出现了过角平分线上一点而又和角的一边平行的直线这样的基本图形时，就一定要注意到图形中出现了等腰三角形，利用这个等腰三角形进行计算或者证明，是解答此类问题的关键。（4）学生完成巩固练习，教师巡视并指导，完成后集体讲评。练习答案：1、C；2、（AB+AF）+（AF+FE）+（ED+CD）+（DC+BC） -（AF+CD）=5+6+5+6-5=17；3、延长 AB,CD,AE 相交于 P,Q.易证明△APQ 为等腰三角形， △BQC≌△EPD， ∠Q＝∠P， △AQM≌△APM (提示：△AQM≌△APM 时用的是 SAS，而非 SSA，另外，等腰三角
八年级上课时间：教学目标教学重点教学难点 2016-9-28 2016 年 10 月 7 日年级课时八年级

第5讲.竞赛123班.教师版

第五讲经典应用题综合教学目标诸如鸡兔同笼、平均数问题、年龄问题、植树问题、牛吃草问题等内容，在五年级以前都已经讲授过，这些经典的算术问题虽然比较常见，但各类考试越来越注重学生的对数量关系的把握和灵活解决问题的能力，而不是生搬硬套某种经典的算术方法，本讲推出的主要是历次考试中碰到的数量关系，带有很强的个例特征。

正所谓“见多”才能“识广”，我们希望同学们掌握此类问题的分析方法。

1.回顾应用题的基础分析方法；2.精讲历次考试中碰到的经典数量关系。

专题回顾【例1】一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完?【分析】设1人淘1分钟淘出的水量是“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析3人40分钟3×40=120：原有水+40分钟的进水6人16分钟6×16=96：原有水+16分钟的进水从上易发现：40-16=24分钟的进水量=120-96=24，即：1分钟的进水量=1；那么原有水量：120-40×1=80；5人中有1人分钟可以把水淘完来淘每分钟的进水量1 ，剩下4人需要80÷4=20（分钟）将把水淘完，即5人淘水20分钟。

【例2】现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，马、羊吃需要60天吃完，牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间?【分析】我们注意到：牛、马45天吃了原有+45天新长的草①马、羊60天吃了原有+60天新长的草②牛、羊90天吃了原有+90天新长的草③由①可得到牛、马90天吃了2原有+90天新长的草④由③结合条件“牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度”马90天吃了原有+90天新长的草⑤。

由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再结合③知，羊吃了90天，吃了90天新长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草．所以，由②知马60天吃完原有的草，由③知牛90天吃完原有的草．现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草.所需时间为111369060⎛⎫÷+= ⎪⎝⎭天.即牛、羊、马一起吃，需36天。

第4讲数的整除单元复习(教师版)

第4讲数的整除单元复习【学习目标】数的整除是建立在整数的四则运算的基础上的，通过本章的学习，学生需要理解整除的意义，理清因数与倍数、奇数与偶数、素数与合数、公因数与公倍数的概念，掌握求最大公因数和最小公倍数的算理和方法，难点是利用最大公因数和最小公倍数解决实际问题．目的在于，通过丰富的实例，体验数学与日常生活的密切联系，感受如何运用数学的思维方式去观察、分析并解决生活中的问题，从而增强应用数学的意识，体会数学与生活的联系，了解数学的价值，增进对数学的理解．【基础知识】1.⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩正整数自然数整数零负整数； 2.整除：整数a 除以整数b ，若除得的商是整数且余数为零. 即称：a 能被b 整除；或b 能整除a. 整除的条件：..⎫⎧⎪⎨⎬⎪⎩⎭除数、被除数都是整数；三整一零商是整数且余数为零整除与除尽的关系.⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩整除：被除数、除数、商整数，且余数为零；区别除尽：被除数、除数、商是整数，没有余数.联系：整除是除尽都是不一定的特殊形式3.因数与倍数：整数a 能被整数b 整除，a 就叫b 的倍数，b 就叫a 的因数（约数）.因数与倍数的特征：⎧⎪⎨⎪⎩因数与倍数互相依存；一个整数的因数中最小因数为1，最大因数为它本身一个整数的倍数中最小的倍数是它本身，无最大倍数.4.能被2整除的数2468.⎧⎨⎩偶数(2n)；(否则是奇数(2n-1))特征：个位上是0，，，，，能5整除的数的特征：个位上数字是0，5；能同时被2、5整除的数：个位上数字是0.*能被3整除的数：一个整数的各个数位上数字之和能被3整除，这个整数就能被3整除.*能同时被2、3和5整除的数：个位数是0，且各个数位上数字之和能被3整除5.111.⎧⎪⎨⎪⎩：只有因数；正整数素数：只有和两个因数；合数：除了和以外还有别的因一个它本身它数本身6. ⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎩素因数：每个合数都可写成的形式，其中每个素数都是这个合数的，叫这个合数合几个素数积因数式的素因数；数分解素因数分解素因数：把一个合数用表示.方法：短除法；树枝分解法；口算法素因数相乘的；机算法.形7. ⎧⎪→→⎨⎪⎩公有的因数最大的定义:几个数，叫这几个数的公因数；其中公因数最大公因数叫这几个数的最大公因数；求法：枚举法；分解素因数法；短除. 一个法8. 1⎧⎨⎩公因数1不一互素：指两个整数只有.这两个整数是素数.区别素数：只有和它本身因数；定两个9. 1.⎧⎪⎪⎪⎪⎪→→→→⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩定义：几个整数的，叫它们的公倍数；其中叫它们的最小公倍数；公倍数最小公倍数一般方法：倍数公倍数最小公倍数；2.分解素因数法；最小公倍数的求法 3.短除法.4.特殊情况：两个数互素；两个连续的公有的倍数最小的个正整数. 一 10.重要结论：1.a b ab a b a b ⎧⎨⎩若是的因数，则它们的最大公因数为，最小公倍数为；若与互素，则它们的最大公因数为，最小公倍数为【考点剖析】考点一：整数和整除的意义例1．（浦东南片十六校2020期末1）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（）A. 5和20；B. 7和2；C. 34和17；D. 1.2和3.【答案】C ；【解析】解：A 、20能被5整除，故A 不符合题意；B 、没有整除关系，故B 不符合题意；C 、34能被17整除，故C 符合题意；D 、1.2不是整数，故D 不符合题意；因此答案选C.例2．（2019上南中学10月考2）在数18，-24，0，2.5，34，2005，3.14，-10中，整数有（） A. 2个； B. 3个； C. 4个； D. 5个.【答案】D ；【解析】解：在上述数中，其中整数有18，-24，0，2005，-10共5个，故答案选D.考点二：因数与倍数例1．（2019晋元附校测试2）14的因数有__________.【答案】1、2、7、14；【解析】解：14的因数有1、2、7、14.例2．（2019浦东上南东10月考17）如果用[]a 表示a 的全部因数的和，如[]1263216=+++=，那么[][]=-818________【答案】24；【解析】解：因为[]a 表示a 的全部因数的和，故[18]=1+2+3+6+9+18=39，[8]=1+2+4+8=15，所以[18]-[8]=39-15=24.考点三：：能被2，5整除的数例1．（奉贤2019期中10）正整数中，能同时被2和5整除的最大两位数是 .【答案】90；【解析】解：正整数中，能同时被2和5整除的最大两位数是90.例2．（青教院附中2019期中18）如图，用灰白色正方形瓷砖铺设地面，则第n 个图案中白色瓷砖数为块.【答案】32n +;【解析】解：第1个图案中白色瓷砖数为3+2块，第2个图案中白色瓷砖数为32+2⨯块，第3个图案中白色瓷砖数为33+2⨯块，…，第n 个图案中白色瓷砖数为3n+2块.考点四：素数、合数与分解素因数例1．（2019建平西校10月考3）下列说法正确的是（）A.奇数都是素数;B.素数都是奇数；C.合数不都是偶数;D.偶数都是合数.【答案】C ；【解析】解：A 、奇数不一定是素数，如9等，故A 错误；B 、素数不一定是奇数，如2，故B 错误；C 、合数不都是偶数，正确；D 、偶数不一定是合数，如2，故D 错误；因此答案选C.例2．（2019徐教院附中10月考7）最小的素数是_____，最小的合数是____.【答案】2, 4;【解析】解：最小的素数为2，最小的合数为4.例3．（闵行区2020期末7）把18分解素因数，那么18= .【答案】233⨯⨯；【解析】解：把18分解素因数为18=233⨯⨯.考点五：公因数与最大公因数例1．（嘉定区2020期末1）3和24的最大公因数是_________.【答案】3；【解析】解：3和24的最大公因数是3.例2．（2019浦东四署10月考12）甲数=2×2×3，乙数=2×3×3×5，甲数与乙数的最大公因数是 .【答案】6;【解析】解：因为甲数=2×2×3，乙数=2×3×3×5，所以甲数与乙数的最大公因数为：2×3=6.考点六：公倍数与最小公倍数例1．（奉贤2019期中9）如果A=2×3×7，B=3×5×7，那么A 和B 的最小公倍数是 .【答案】210；【解析】解：因为A=2×3×7，B=3×5×7，那么A 和B 的最小公倍数是3×7×2×5=210.例2．（2019徐教院附中10月考16）已知532⨯⨯=A 、732⨯⨯=B ，则B A 、的最小公倍数是____，最大公因数是_____.【答案】210, 6;【解析】解：因为235A =⨯⨯、237B =⨯⨯，则A 、B A 、的最小公倍数是2×3×5×7=210，最大公因数是2×3=6.例3．（2019建平西校10月考26）一筐苹果80多个，每次拿4个，每次拿5个,都恰好多1个，这筐苹果共有多少个?【答案】81；【解析】解：设这筐苹果拿掉一个后，总数能4和5整除，故是20的倍数，根据题意总数为80+1=81个.【真题演练】一、选择题1.（2019闵行实验西校10月考1）下面各组数中，第一个数能整除第二个数的是（）A ．14和7； B.2.5和5； C.9和18； D.0.4和8.【答案】C;【解析】解：A 、14能被7整除，不符合题意；B 、2.5不是整数，不符合题意；C 、9能整除18，符合题意，故C 正确；D 、0.4不是整数，故D 不符合题意；因此答案选C.2.（2019上南中学10月考1）下列关于“1”的叙述不正确的是（）A.1是最小的自然数；B.1既不是素数，也不是合数；C.1是奇数；D.1能整除任何一个正整数.【答案】A ；【解析】解：A 、最小的自然数为0，故A 错误；B 、1既不是素数，也不是合数，故B 正确；C 、1是奇数，故C 正确；D 、1能整除任何一个正整数，故D 正确；因此答案选A.3.（浦东南片2019期中2）36的全部因数的个数有（）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个【答案】D ；【解析】解：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，一共9个；因此答案选D.4.（川沙中学南校2019期末1）把66分解素因数是（）A.6612311=⨯⨯⨯；B. 66611=⨯；C. 662311=⨯⨯；D. 231166⨯⨯=.【答案】C ；【解析】解：把66分解素因数是：662311=⨯⨯，故答案选C.5. （奉贤2019期中4）下列说法正确的是（）①14能被42整除；②正整数一定是自然数；③12的因数有1、2、3、4、6、12共6个；④如果两个数互素，那么这两个数不能是合数.A.1个；B. 2个；C. 3个；D. 4个.【答案】B ；【解析】解：14能整除42，故①错误；正整数一定是自然数，故②正确；12的因数有1、2、3、4、6、12共6个，故③正确；如果两个数互素，那么这两个数可以是合数，如15与16互素，但15与16均是合数，故④错误；因此正确的命题个数为2个；故答案选B.6.（2019大同初中10月考1）下列关于1的描述中，错误的是（）(A)1既不是素数，也不是合数 (B)1是最小的正整数(C)1除以任何数等于这个数本身 (D)任何一个奇数加上1都是偶数【答案】C ；【解析】解：1既不是素数，也不是合数，故A 正确；1是最小的正整数，故B 正确；1除以任何数等于这个数本身，错误, 故C 符合题意；任何一个奇数加上1都是偶数，故D 正确；因此答案选C.7.（闵行区2020期末1）整数16与24的最大公因数是（）A. 2；B. 4；C. 8；D.48.【答案】C ；【解析】解：因为162222,242223=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，所以它们的最大公因数为2×2×2=8.8.（2019徐教院附中10月考5）b a 、都是正整数，如果b a 3=，那么b a 、的最小公倍数是（）、A ab 3 、B a 、C b 、D ab 【答案】B;【解析】解：因为a=3b ，故a 、b 的最小公倍数为a ，因此答案选B.9. （川沙中学南校2019期末6）如果n 表示一个大于1的整数，那么下列四个选项中，一定表示合数的是（）A.n+2；B.n-2；C.2n ；D.2n . 【答案】C ；【解析】解：因为n 表示一个大于1的整数，故2n 表示大于2的偶数，故2n 一定是合数，故答案选C.二、填空题10.(2019南模初中10月考1) 最小的自然数是 .【答案】0；【解析】解：最小的自然数为0.11.（2019大同初中10月考7）4.8÷3＝1.6，填“能”或“不能”)说3能整除4.8【答案】不能；【解析】解：因为4.8，1.6都是小数，不是整数，故不能说3能整除4.8.12.（2019晋元附校测试10）有一个数，它既是a 的倍数，又是a 的因数，这个数是__________.【答案】a ；【解析】解：既是a 的倍数，又是a 的因数，则这个数就是它本身a.13.（2019松江九亭10月考1）写出既能被2整除又能被5整除的最小的两位__________.【答案】10；【解析】解：既能被2整除又能被5整除的数，个位数为0，因此最小的两位数为10.14.（2019中国中学10月考6）三位数75□能同时被2、3整除，那么□可以是。

暑期备课笔记-初二数学第4讲：三角形全等的判定(教师版)

第四讲三角形全等的判定全等三角形的判定方法:(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形判定的书写格式:在△XXX和△XXX中_______________________________________∴△XXX≌△XXX（判定定理）1、全等三角形的判定方法:2、善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，则∠ECA的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°解析：在BC上截取BF=AB，连DF，则有△ABD≌△FBD（SAS），∴DF=DA=DE，又∵∠ACB=∠ABC=40°，∠DFC=180°-∠A=80°，∴∠FDC=60°，∵∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=180°-20°-100°=60°，∴△DCE≌△DCF（SAS），故∠ECA=∠DCB=40°．答案：C2、如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组解析：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．所以有3组能证明△ABC≌△DEF．故符合条件的有3组．答案：C3、如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是______度。

初三数学第4讲实际问题与一元二次方程-教师版

实际问题与一元二次方程辅导教案1．若关于x 的方程x 2+（k ﹣2）x +k 2=0的两根互为倒数，则k= 2．已知1x ，2x 是方程0362=++x x 的两实数根，则1221x x x x +的值为（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 3．已知关于x 的方程kx 2﹣x ﹣k2=0（k≠0）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个根都为整数，求整数k 的值，并求出方程的根．4．已知关于x 的一元二次方程02)2(m x 2=++-m ．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【目标导学】（1）认识一元二次方程常见的实际问题（2）理解一元二次方程实际问题的分析方法【自主学习】活动一：认真阅读课本P19页的探究1，时间要求3分钟学生思考：（1）二轮感染和一轮感染有什么区别？（2）按照这种方式感染下去，第n次共感染几个人？活动二：认真阅读课本P19页的探究2，时间要求3分钟学生思考：（1）为什么选择22.5%作为答案？（2）假如是增长的话，又如何列式？活动三：认真阅读课本P20页的探究3，时间要求3分钟学生思考：（1）该方程的两个根都符合实际意义？（2）还有其他设未知数的方法吗？【习题过关】请学生在20min中内完成课本P21练习21.3中的复习巩固和综合运用【总结反思】一元二次方程实际问题的解题步骤：（1）审：（2）设：（3）列：（4）解：（5）验：（6）答：列方程解应用题应注意：(1)要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；(2)由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验．即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的根舍去.【达标运用】1．据媒体报道，我国2013年公民出境旅游总人数约5000万人次，2015年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2014年、2015年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2016年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2016年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？2．如图所示，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，问AB和BC边各应是多少？问题1对应知识点：（1）增长率（2）增长率等量关系式（3）一元二次方程的解法问题2对应知识点：（1）长方形的面积公式（2）一元二次方程的解法【精准突破1】学习目标：掌握增长率或降低率的一元二次方程模型目标分解：（1）理解增长率（2）掌握列表分析变量法（3）掌握运用一元二次方程增长率模型教学过程：老师提问1：我们常见的篮球命中率，植物存活率等，是如何理解？它们的运算公式是？老师提问2：那么增长率和降低率又如何去理解？运算公式应该是？老师提问3：平均增长率是什么意思？老师提问4：根据问题1中的题目，找出对应的变量，并且梳理变量之间的关系老师提问5：引导学生用列表分析变量法分析变量年份2013年平均增长率2014年平均增长率2015年出游5000万7200万人数老师提问5：题目中围墙的长度对于矩形的面积是否有有影响？为什么？老师提问6：假如问题中的是被分割成n个小长方形，我们又如何去表示矩形的面积？【参考答案】解：设AB=x米，依题意得x（36﹣3x）=96解得：x1=4，x2=8．当x1=4，36﹣3x=24＞20（不合题意，舍去）当x2=8时，36﹣3x=12＜20，符合题意，答：AB的长度是8米．1．2013年，东营市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5265元．（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）2．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？【查漏补缺】1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？2．如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．（1）若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽；（2）能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．【举一反三】1．某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？2．如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m 2，求道路的宽．【方法总结】增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a ，增长率x 为，则一次增长后的值为()x a +1，两次增长后的值为()21x a +；（2）若基数为a ，降低率x 为，则一次降低后的值为()x a -1，两次降低后的值为()21x a -.面积问题：（1）设未知数；（2）根据面积公式列方程；1．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5760元的价格销售.(1)求平均每次下调的百分率.(2)房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？2．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？第1天作业1．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315B．560（1﹣x）2=315C．560（1﹣2x）2=315D．560（1﹣x2）=3152．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5000cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么满足的方程是（）A．x2+130x﹣1400=0B．x2﹣130x﹣1400=0C．x2+65x﹣250=0D．x2﹣65x﹣250=03．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用25米），围成一个矩形花园ABCD，与围墙平行的一边BC上要预留3米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），用砌46米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为299平方米．第2天作业1．现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，我市某家快递公司，今年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为6.3万件和8万件．设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．6.3（1+2x）=8B．6.3（1+x）=8C．6.3（1+x）2=8D．6.3+6.3（1+x）+6.3（1+x）2=82．如图，利用一面墙（墙的长度为20m），用34m长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的门，设AB的长为x米．若两个鸡场总面积为96m2，求x．第7天作业1．2016年某市仅教育费附加就投入7200万元，用于发展本市的教育，预计到2018年投入将达9800万元，若每年增长率都为x，根据题意列方程（）A．7200（1+x）=9800B．7200（1+x）2=9800C．7200（1+x）+7200（1+x）2=9800D．7200x2=98002．如图，学校生物兴趣小组的同学们用围栏围了一个面积为24平方米的矩形饲养场地ABCD．设BC为x米，AB为y米．（1）求y与x的函数关系式；（2）延长BC至E，使CE比BC少1米，围成一个新的矩形ABEF，结果场地的面积增加了16平方米，求BC的长．第15天作业1．为了让山更绿、水更清，确保到2015年实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知2013年全省森林覆盖率为60.05%，设从2013年起全省森林覆盖率的年平均增长率为x，则可列方程（）A．60.05（1+2x）=63%B．60.05（1+3x）=63C．60.05（1+x）2=63%D．60.05%（1+x）2=63%2．某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏利用一面墙如图围成一个矩形草坪ABCD．（1）当矩形草坪面积为120平方米时候，求该矩形草坪BC边的长．（2）怎样围能得到面积最大的草坪？第28天作业1．李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，若设有n人参加聚会，根据题意可列出方程为（）A．()21n+n=20 B．n（n﹣1）=20C．()21n+n=20D．n（n+1）=202．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）=18 B．x2﹣3x+16=0C．（x﹣1）（x﹣2）=18D．x2+3x+16=03．小明要利用20米长的墙围成两个矩形花圃．花圃的一边利用墙，其它边用总长为30米的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABFE和矩形EFCD．设AB边的长为x米．如果围成的花圃的总面积是48平方米，试求x的值．。

部编版数学二年级第4讲.有趣的除法.超常班.教师版

将 1～9 九个数字分别填入下面四个算式的九个□中，使得四个等式都成立：
□+□=6 □×□=8
□-□=6 □□÷□=8
【例题分析】因为每个□中要填不同的数字，对于加法算式只有两种填法： 1 5 或 2 4 ；对于乘法算式也只有两种填法：1 8 或 2 4 ．加法算式与乘法算式的数字不能相同，搭配后只有两种可能： ⑴加法算式为 1 5 ，乘法算式为 2 4 ⑵加法算式为 2 4 ，乘法算式为 1 8 对于⑴，还剩 3，6，7，8，9 五个数字未填，减法算式只能是 9 3 ，此时除法算式无法满足．对于⑵，还剩 3，5，6，7，9 五个数字未填，减法算式只能是 9 3 ，此时除法算式可填 56 7 ，答案如下： 2 4 6 ， 9 3 6 ， 1 8 8 ， 56 7 8 ．
根据下图解答问题．
⑴ 有 16 人摘桃子，4 人一组，分成了几组？
□○□=□（）
⑵ 有 5 组同学摘苹果，每组 4 人，摘苹果的一共有多少人？
□○□=□（）
⑶ 18 个同学平均分成 6 队装筐，每队几人？
□○□=□（）
第 3 级上·超常班·教师版
6
第四讲
【例题分析】本题进一步巩固乘除法的意义．⑴已知共有 16 人，每 4 人分一组，求需要分几组？这是已知总数和每份是多少，求有多少份,用除法计算．列式： 16 4 4 （组）计算口诀：四四十六．⑵求摘苹果的一共有多少人，就是求 5 个 4 是多少，用乘法计算．列式：5 4 20 （人）或 4 5 20（人）⑶已知 18 个同学平均分成 6 队，求每队有几人？这是把总数平均分成 6 份，求每份是多少，用除法计算．列式： 18 6 3 （个），计算口诀：二九十八．

七年级同步第4讲：幂的运算(一) - 教师版

《整式的乘除》是整式加减的延续和发展，也是后续学习因式分解、分式运算的基础．整式的乘法运算包含单项式乘法、单项式与多项式乘法和多项式乘法，它们最后都转化为单项式乘法．单项式的乘法又以幂的运算为基础．“整式的乘法”的内容和逻辑线索是：同底数幂的乘法——幂的乘方——积的乘方——单项式乘单项式——单项式乘多项式——多项式乘多项式——乘法公式（特例）．由此可见，同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方是整式乘法的逻辑起点，是该章的起始课．作为章节起始课，承载着单元知识以及学习方法、路径的引领作用．1、幂的运算概念：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在n a中，a叫做底数，n叫做指数．含义：n a中，a为底数，n为指数，即表示a的个数，n a表示有n个a连续相乘．例如：53表示33333⨯⨯⨯⨯，()53-表示()()()()()33333-⨯-⨯-⨯-⨯-，53-表示()33333-⨯⨯⨯⨯，527⎛⎫⎪⎝⎭表示2222277777⨯⨯⨯⨯，527表示222227⨯⨯⨯⨯．特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号．幂的运算（一）知识结构模块一：同底数幂的乘法知识精讲内容分析2、“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：[](3)3---=-；[](3)3-+-=．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号．（3）有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正．例如：()239-=，()3327-=-．特别地：当n 为奇数时，()nn a a -=-；而当n 为偶数时，()nn a a -=．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”． 3、同底数幂相乘同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为： m n m n a a a +⋅=（,m n 都是正整数）．【例1】下列各式正确吗？不正确的请加以改正．（1）347()()x x x -⋅-=-；（2）246()()x x x --=-；（3）()()121mm m a a a ++--=；（4）5552b b b ⋅=；（5）4610b b b +=；（6）55102x x x ⋅=；（7）5525x x x ⋅=；（8）33c c c ⋅=．【难度】★【答案】（1）正确；（2）不正确，正确为：()()4626x x x x --=-=--；（3）不正确，正确为：()()()12121mm m m a a a a +++--=-=-；（4）不正确，正确为：5510b b b ⋅=；（5）不正确，不能计算；（6）不正确，正确为：5510x x x ⋅=；（7）不正确，正确为：5510x x x ⋅=；（8）不正确，正确为：34c c c ⋅=．【解析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【总结】本题主要考查同底数幂的乘法运算，同时一定要注意确保是在同底数幂乘法运算时才可以应用，注意算式中的符号．例题解析【例2】计算下列各式，结果用幂的形式表示：（1）567(2)(2)(2)-⨯-⨯-；（2）23a a a ⋅⋅；（3）24()()a b a b +⋅+；（4）235()()()x y x y x y -⋅-⋅-．【难度】★【答案】（1）182；（2）6a ；（3）()6a b +；（4）()10x y -．【解析】本题主要考查同底数幂相乘的计算，底数不变，指数相加．【例3】计算下列各式，结果用幂的形式表示．（1）()()334333x x x x x x x x ⋅+⋅⋅+-⋅-⋅；（2）()()()()()3224a a a a a ---+--；（3）12211m n m n m n a a a a a a -++-+⋅+⋅+⋅．【难度】★【答案】（1）73x ；（2）0；（3）13m n a ++．【解析】（1）原式77773x x x x =++=；（2）原式660a a =-=；（3）原式11113m n m n m n m n a a a a ++++++++=++=．【总结】本题主要考查同底数幂相乘的计算和合并同类项相关知识概念，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，然后进行合并同类项的运算．【例4】计算下列各式，结果用幂的形式表示．（1）()()()332a a a --⋅--；（2）()()23x y y x --；（3）()()()212222m m x y x y x y -+---．【难度】★★【答案】（1）8a ；（2）()5y x -；（3）()232m x y +-．【解析】（1）原式358a a a =⋅=；（2）原式235()()()y x y x y x =-⋅-=-；（3）原式21223(2)m m m x y a +-+++=-=．【总结】本题主要考查同底数幂相乘的计算，底数不变，指数相加；同时涉及到多重负号的化简，看“-”号的个数决定运算结果的符号，奇负偶正．【例5】如果2111m n n x x x -+⋅=，且145m n y y y --⋅=，试求m 、n 的值．【难度】★★【答案】64m n ==，．【解析】根据同底数幂的计算法则，可得2111145m n n m n -++=⎧⎨-+-=⎩，解方程组得64m n =⎧⎨=⎩．【总结】考查同底数幂相乘的运算法则．【例6】求值：（1）已知：29m n n m x x x +-⋅=，求()59n-+的值．（2）已知：()4233x +-=，求x 的值．【难度】★★【答案】（1）116-；（2）2-．【解析】（1）由同底数幂乘法法则，可得29m n n m ++-=，解得3n =，()359116-+=-；（2）()()422333x +-==-，可得42x +=，解得2x =-．【总结】本题主要考查同底数幂相乘的运算法则，注意一定要让底数相等的前提下保证幂相等．【例7】若2216m n ⋅=，求48m n m n ++⋅的值．【难度】★★★ 【答案】432．【解析】由同底数幂的乘法计算，可得422m n +=，由此4m n +=，原式=4444832⨯=．【总结】本题主要考查同底数幂计算中整体思想的应用．【例8】解关于x 的方程：（1）21134151294x x x x ++⋅=-⋅；（2）已知351327648x x ++-=．【难度】★★★ 【答案】（1）32x =；（2）13x =．【解析】（1）22223321512324x x x x ⋅⋅=-⋅⋅ （2）3333393648x x ++⋅-= 2671512x ⋅= 3338648x +⋅= 2362166x == 3343813x +== 32x =13x =【总结】解此种类型的方程主要根据乘方的定义把含有未知数的项变作相同的项，再根据相互之间的关系转化求解．【例9】若312x y z ==，且99xy yz xz ++=，求2222129x y z ++的值．【难度】★★★ 【答案】594．【解析】由312x y z ==，可得32x y z y ==，，22223261199xy yz xz y y y y ++=++==，则有29y =，所以()()2222222212923129266594x y z y y y y ++=⨯++⨯==．【总结】考查整体思想的应用，等量代换的方法．1、幂的乘方定义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘．2、幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．即()m n mn a a =（m 、n 都是正整数）【例10】计算下列各式，结果用幂的形式表示．（1）()42a -；（2）24()a -；（3）2()n n a ；（4）()832；（5）()432⎡⎤-⎣⎦；（6）()33b -；（7）()43x -；（8）323()()x y x y ⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦．【难度】★【答案】（1）8a -；（2）8a ；（3）22n a ；（4）242；（5）122；（6）9b -；（7）12x ；（8）()9x y +．【解析】幂的乘方，底数不变，指数相乘．【总结】本题主要考查幂的乘方的运算．【例11】当正整数n 分别满足什么条件时，()(),nnn n a a a a -=-=-？【难度】★【答案】n 为偶数时，()nn a a -=；n 为奇数时，()nn a a -=-．【解析】幂的运算中，奇负偶正．【例12】已知：2n a =（n 为正整数），求()()2223nn a a -的值．【难度】★★【答案】48-．【解析】原式=()()4646462248n n n n a a a a -=-=-=-．【总结】本题主要考查幂的乘方的运算，以及运算中整体思想的应用．例题解析知识精讲模块二：幂的乘方【例13】计算（1）()2122n n n a a a +++；（2）()()()3834222632x xx x x ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦．【难度】★★【答案】（1）223n a +；（2）0【解析】（1）原式22222223n n n a a a +++=+=；（2）原式18181820x x x =-+=．【总结】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法运算．【例14】计算：（1）()()()22121n n n a b b a a b -+⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦；（2）()()3223a b b a ⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦．【难度】★★ 【答案】（1）()61n a b --；（2）0．【解析】（1）原式2222161()()()()n n n n a b a b a b a b -+-=-⋅-⋅-=-；（2）原式66()()0a b a b =---=．【总结】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法运算．【例15】已知23m n a a ==，，求23m n a +的值．【难度】★★ 【答案】108．【解析】()()2323232323108m n m n m n a a a a a +=⋅=⋅=⨯=．【总结】本题注意考查幂的乘方运算中整体思想的应用．【例16】已知2673x x y m m a a a b a b ++⋅⋅⋅=（x 、y 、m 都是正整数），且y 不大于3，求2x y m +-的值．【难度】★★★ 【答案】3-．【解析】依题意有221673x y m m a b a b +++=，由此可得()217x y ++=，63m m +=，解得3x y +=，3m =，由此23x y m +-=-．【总结】本题主要考查同底数幂相乘的法则的运用．【例17】比较大小：（1）比较下列一组数的大小：在552，443，334，225；（2）比较下列一组数的大小：31416181279，，；（3）比较下列一组数的大小：4488，5366，6244．【难度】★★★【答案】（1）443355223425>>>；（2）31416181279>>；（3）488366244456>>．【解析】（1）()()()()11111111555114441133311222112232338144645525========，，，，可得：443355223425>>>；（2）()()()31416131412441312361212281332733933======，，，可得：31416181279>>；（3）()()()11211211248841123663112244211244256551256636======，，，可得：488366244456>>．【总结】本题中，指数幂运算结果都是很大的数，不可能直接算出来，采用间接法，利用幂的乘方运算法则，要么化作指数相同，比较底数大小，要么化作底数相同，比较指数大小．【例18】已知()()2222221123451216n n n n ++++++=++，求222224650++++的值．【难度】★★★ 【答案】22100．【解析】原式=()()()()()222222222212223225212325⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=⨯+++⋅⋅⋅+，代入公式，可得：()()14252512251221006⨯⨯⨯+⨯⨯+=．【总结】本题主要考查对相关公式的变形运用．1、积的乘方定义：积的乘方指的是乘积形式的乘方．2、积的乘方法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：()nn n ab a b =（n 是正整数）3、积的乘方的逆用：()n n n a b ab =．【例19】计算：（1）()333m n -；（2）43213a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）()32242a b --；（4）541103⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）9327m n -；（2）128181a b ；（3）61264a b ；（4）2010243-．【解析】本题考查积的乘方的运算法则，把积中的每个因式分别乘方，注意正负．【例20】计算：（1）342(-)a b ；（2）3532()4x y ；（3）23[()]a b -+．【难度】★【答案】（1）68a b ；（2）91518x y ；（3）()6a b -+．【解析】本题考查积的乘方的运算法则，把积中的每个因式分别乘方，注意正负．模块三：积的乘方例题解析知识精讲【例21】计算：（1）()()233232x x +；（2）()()32223332x y x y -；（3）()()433648a b a b -+-；（4）232()[()]a b b a -⋅-．【难度】★【答案】（1）617x ；（2）66x y ；（3）0；（4）()8a b -．【解析】（1）原式6669817x x x =+=；（2）原式66666632x y x y x y =-=；（3）原式122412240a b a b =-=；（4）原式268()()()a b a b a b =-⋅-=-．【总结】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方综合运算，熟练运算法则．【例22】计算：（1）32332()()y y y ⋅⋅；（2）2323[()]a a a -⋅⋅-；（3）()()3222632x y x y ⎡⎤⎡⎤---+-⎣⎦⎢⎥⎣⎦．【难度】★★【答案】（1）15y ；（2）11a -；（3）12665x y ．【解析】（1）原式26615y y y y =⋅⋅=；（2）原式5611a a a =-⋅=-；（3）原式1261261266465x y x y x y =+=．【总结】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方综合运算，熟练运算法则．【例23】用简便方法计算：（1）818139⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭；（2）()66720030.1252-⨯；（3）128184⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭；（4）61245⨯．【难度】★★【答案】（1）9；（2）4-；（3）1；（4）1210．【解析】（1）原式=()888928111399999999⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯=⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）原式=()()()()6676676676672001230.125220.125240.125844-⨯⨯=-⨯⨯=-⨯⨯=-；（3）原式=()()1212121281232421111222414444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=⨯=⨯=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（4）原式=()()61221212121225252510⨯=⨯=⨯=．【总结】主要根据积的乘方逆运算法则和同底数幂的乘法，将底数变成易于计算的数字．【例24】简便计算：（1）()()16170.1258⨯-；（2）20022001513135⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()315150.1252⨯．【难度】★★【答案】（1）8-；（2）513；（3）1．【解析】（1）原式=()()()()()1616160.125880.125888⨯-⨯-=⨯-⨯-=-⎡⎤⎣⎦；（2）原式=200120012001551355135131351313513⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⨯⨯=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）原式=()()()151515330.12520.12521⨯=⨯=．【总结】考查积的乘方简便运算，把握好乘方的定义，同时注意一定指数相同时才能进行积的乘方的逆运算．【例25】已知57,19m n m x x +==，求3n x 的值．【难度】★★★ 【答案】27．【解析】57m n m n x x x +=⋅=，由19m x =，可得3n x =，则()333327n n x x ===．【总结】本题主要是幂的运算中整体思想的应用．【例26】已知：1123326x x x ++-⋅=，求x 的值．【难度】★★★ 【答案】4．【解析】由题目条件，根据积的乘方逆运用，()11233266x x x ++-⨯==，可得123x x +=-，解方程得：4x =．【总结】本题主要考查积的乘方的逆用．【例27】计算：()99991111...1123 (98991009998)32⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭．【难度】★★★ 【答案】99100．【解析】原式=999911112398991001009998⎛⎫⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查积的乘方的逆用．【例28】 2009201025⨯的积有多少个0？是几位数？【难度】★★★【答案】有2009个0，是2010位数．【解析】()20092009201020092009200925255255105⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯，可知式子乘积有2009个0，是2010位数．【总结】本题主要考查积的乘方的逆用，注意指数的变化．【习题1】计算：（1）()3523124m m ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭；（2）322373127y y y ⎛⎫⎛⎫⋅⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）431()()4x y x y ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦．【难度】★【答案】（1）2112m ；（2）137192y ；（3）()71256x y +【解析】（1）原式6152111(32)642m m m =-⋅-=；（2）原式3661337971249192y y y y =⋅⋅=；（3）原式43711()()()256256x y x y x y =+⋅+=+．【总结】本题主要考查幂的运算，注意运算法则的准确运用以及计算过程中的符号．【习题2】计算：（1）()()842263x x x x ⋅+⋅；（2）()()()()224252232a a a a ⋅-⋅；（3）()()()33252352123y y y y y ⎛⎫⋅⋅+-⋅- ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）182x ；（2）14a ；（3）25132127y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．【解析】（1）原式216612182x x x x x =⋅+⋅=；（2）原式10486142a a a a a =⋅-⋅=；（3）原式252566325101313131222(1)272727y y y y y y y y =⋅⋅+⋅=+⋅=+．【总结】本题主要考查幂的运算，注意运算法则的准确运用以及计算后注意合并同类项．随堂检测【习题3】计算：()()()()213325m m ma b b a a b b a ++⎡⎤⎡⎤-⋅--⋅-⋅--⎣⎦⎣⎦．【难度】★ 【答案】()620m a b +--．【解析】原式=()()()()34215m m m a b a b a b a b ++⎡⎤-⋅--⋅-⋅-⎣⎦()34215m m m a b +++++=--()620m a b +=--．【总结】本题主要考查幂的运算，计算过程中注意符号的变化．【习题4】填空题：（1）n 为自然数，那么()1n-=______；()21n-=_______；()211n +-=________；（2）当n 为____________数时，()()2110n n-+-=；（3）当n 为____________数时，()()2112nn-+-=．【难度】★★【答案】（1）111±-，，；（2）奇；（3）偶．【解析】主要考查幂的运算中的符号，奇负偶正．【习题5】若n 是自然数，并且有理数,a b 满足10a b+=，则必有( )A ．210nna b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；B ．21210n nab +⎛⎫+= ⎪⎝⎭；C ．2210nnab ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；D ．212110n n ab ++⎛⎫+= ⎪⎝⎭．【难度】★★ 【答案】B 【解析】a 和1b互为相反数，则必为一正一负，根据“奇负偶正”可知两幂运算指数必为一奇一偶．【总结】本题主要考查积的乘方以及相反数的相关概念．【习题6】填空：（1）计算：()()5333a b b a --=__________；（2）计算：43()()()m n n m n m ---=__________；（3）计算：()()222x y y x ⎡⎤--⋅-⎣⎦=__________．【难度】★★【答案】（1）()83a b --；（2）()8m n -；（3）()6x y -．【解析】（1）原式538(3)[(3)](3)a b a b a b =-⋅--=--；（2）原式448()()()m n n m m n =-⋅-=-；（3）原式426()()()x y x y x y =-⋅-=-．【总结】本题主要考查幂的综合运算，计算过程中注意符号．【习题7】用简便方法计算：（1）()()2200320030.045⎡⎤⨯-⎣⎦；（2）200720072 1.53⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭；（3）1111127331982⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）1；（2）1-；（3）32-【解析】（1）原式=()()()200320032003220.0450.0451⨯=⨯=；（2）原式=20072 1.513⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭；（3）原式=1111111173337333311982298222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-⨯-=-⨯⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【总结】考查幂的运算的应用，一般将指数化作相同，用积的乘方逆运算应用计算．【习题8】如果2228162n n ⋅⋅=，求n 的值．【难度】★★ 【答案】3．【解析】将式子两边化作等底数幂，即有()()347122281622222nnn n n +⋅⋅=⨯⨯==，故7122n +=，解得3n =．【总结】本题主要考查同底数幂相乘的法则的运用．【习题9】已知a 、b 互为负倒数，a 、c 互为相反数，d 的绝对值为1，则()()20152016201412ab a c d ++-=__________．【难度】★★【答案】32-．【解析】依题意有101ab a c d =-+==，，，代入可得：()2015201620141310122⨯-+-=-．【总结】本题中注意d 的取值以及负倒数的概念．【习题10】已知有理数x ，y ，z 满足()2|2|367|334|0x z x y y z --+--++-=，求3314n n n x y z x --的值．【难度】★★ 【答案】0．【解析】依题意有2036703340x z x y y z --=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩，可解得：3131x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，代入可得：313134311131333333033n n nn n ---⎛⎫⎛⎫⋅⋅-=⋅⨯-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】当几个非负数的和为零时，则这几个数分别为零．【习题11】已知2326212a b c ===，，，求a b c ，，之间的一个数量关系．【难度】★★ 【答案】2a c b +=．【解析】由3×12=36=6×6，根据题意代换可得：2222a c b b ⋅=⋅，即为222a c b +=．由此可得：2a c b +=．【总结】本题主要考查同底数幂相乘的法则的运用．【习题12】小杰在学习幂的乘法时，发现()32236a a a ⨯==，()23326a a a ⨯==，两者的结果是相同的，他觉得这是由于在进行指数相乘时，乘法具有交换律，所以是相同的，于是他在计算()32a -与()23a -时，认为结果也应是相同的，你同意他的观点吗？说说你的理由．【难度】★★ 【答案】不同意．【解析】这两个幂的乘法运算可视作积的乘方运算，积的乘方运算的结果是积中的每个因式分别乘方，会产生类似()1n-的运算，n 分别为奇偶时会产生不同的运算结果，奇负偶正，即要注意好运算符号，两个式子计算结果不相等．【总结】负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负．【习题13】三个互不相等的有理数，既可表示为1，a b +，a 的形式，又可表示为0，ba，b 的形式，则19921993a b += ．【难度】★★★ 【答案】2．【解析】三个有理数互不相等，则1ba≠，可得1b =，进而可得01a b a +==-，，代入可得：()19921993112-+=．【总结】本题主要考查对题目条件的理解，以及幂的运算的考查．【习题14】已知：3982ba ==，求22211125525a b a b b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．【难度】★★★ 【答案】64-．【解析】由已知，即得()333998222b a ====，由此29a b ==，，对代数式化简，结果为：2222a a b -，代入数值计算得：222222964⨯-⨯⨯=-．【总结】本题中注意要先根据已知条件将等式转化为底数相同的幂，再根据指数相同求出相应的字母的值，最后再求出代数式的值．【作业1】下列计算正确的是（）A ．234235a a a +=B ．()32528a a =C ．3252()2a a a -=-D ．226212m m a a a ⋅=【难度】★ 【答案】C【解析】考查幂的运算法则，熟练计算．【作业2】计算：（1）22234xy ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）33223a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（4）()42313x y a b ⎡⎤--⋅⎢⎥⎣⎦．【难度】★ 【答案】（1）2481256x y ；（2）96827a b -；（3）()8124181x y a b - 【解析】考查幂的运算法则，熟练计算．课后作业【作业3】计算：()()2436234341233a b a b b a ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭【难度】★【答案】912410239a b ⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭．【解析】原式=12412491249124110232399a b a b a b a b ⎛⎫++⨯=+⨯ ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查幂的综合运算．【作业4】简便计算：（1）20021220028113834⎛⎫⎛⎫-⋅+⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()201120101294313343⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅--⨯ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★【答案】（1）2；（2）3527-．【解析】（1）原式=2002122002122002121111343423434⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯=⨯+⨯= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）原式=2010201093944311413533343332727⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯+⨯⨯=-+=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【总结】本题主要考查利用积的乘法法则完成简便运算．【作业5】计算：62262224()()()()()kk k k kx y x y x y x y x y +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⋅---⋅-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦．【难度】★★ 【答案】()8kx y -．【解析】原式=()()()()2662228kkk k kx y x y x y x y ++--⋅---+-=()()()888kkkx y x y x y ---+-()8kx y =-．【总结】本题主要考查幂的乘方的运用．【作业6】求值：（1）已知102103m n ==，，求3210m n +．（2）已知54n n x y ==，，求()32n x y ．【难度】★★【答案】（1）72；（2）2000．【解析】（1）()()3232323210101010102372m n m n m n +=⋅=⋅=⨯=；（2）()()()32323232542000nn n n n x y x y x y ==⋅=⨯=．【总结】本题主要考查整体思想的应用．【作业7】求值：（1）若23n a =，求()43n a 的值．（2）如果()23612m n a b a b ⋅=，求m n ，的值．【难度】★★【答案】（1）729；（2）32m n ==，．【解析】（1）()()46312263729n n n a a a ====；（2）()2326612m n m n a b a b a b ⋅==，由此26612m n ==，，可解得32m n ==，．【总结】本题主要考查整体思想的应用．【作业8】若a 、b 、c 都是正数，且22a =，33b =，44c =，比较a 、b 、c 的大小．【难度】★★★ 【答案】b a c >=．【解析】22a =，则有()22224a ==，即44a =，又44c =，且a 、c 都是正数，可得a c =；由22a =，33b =，则有()()322633622839a a b b ======，，即66a b <，可知a b <；综上所述，b a c >=．【总结】本题主要考查幂的乘法的综合运算，以及幂的大小比较，注意将不同的幂化成同底数或者是同指数．21 【作业9】已知999990991199X Y ==，，比较X 与Y 的大小．【难度】★★★【答案】X=Y ．【解析】()999999999999011999119119999X Y ⨯⨯=====．【总结】本题主要考查幂的大小比较，根据幂的乘方法则进行转化．【作业10】已知：252000x =，802000y =，求11x y +的值．【难度】★★★【答案】1．【解析】由题意()1125200025x x x ==，()1180200080y y y ==，两式相乘，得：11200025802000x y +=⨯=，故111x y +=．【总结】本题一方面考查整体思想的运用，另一方面考查幂的乘方的计算．。

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第四讲巧求周长与面积1. 掌握巧求周长与面积的基本方法；2. 理解并掌握割补、平移等数学思想方法。

【例1】（2007年“希望杯”第一试）右图中的阴影部分BCGF 是正方形，线段FH 长18厘米，线段AC 长24厘米，则长方形ADHE 的周长是__________厘米。

【分析】由于图中阴影部分BCGF 是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形ADHE的宽。

FH AC +的和应为长方形ADHE 的长加上正方形BCGF 的边长，所以等于长方形ADHE 的长与宽之和。

所以长方形ADHE 的周长为：(1824)284+⨯=厘米。

【例2】如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和L 形区域乙和丙。

甲的边长为4厘米，乙的边长是甲的边长的1.5倍，丙的边长是乙的边长的1.5倍，那么丙的周长为多少厘米？EF 长多少厘米？【分析】乙的周长实际上是正方形AHJE 的周长（我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、向下平移），同样的，丙的周长也就是正方形ABCD 的周长。

由于4 1.56AE =⨯=，6 1.59AD =⨯=，所以丙的周长为9436⨯=厘米，642EF AE AF =-=-=（厘米）。

ABF E H BA【例3】用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是244厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？【分析】大平行四边形上、下两边的长为(24422)2120-⨯÷=厘米，观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，所以共有小平行四边形1206240÷⨯=个，三角形的数量与小平行四边形的数量相等，也是40个。

[拓展] 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是236厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？[分析] 大平行四边形上、下两边的长为(23622)2116-⨯÷=厘米，观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，1166192⨯=个，小平行四边形38139+=÷=L，所以有三角形19238个。

【例4】有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是45平方厘米，求这个大长方形的周长。

【分析】从图上可以知道，小长方形的长的4倍等于宽的5倍，所以长是宽的54 1.25÷=倍。

每个小长方形的面积为4595=，所以宽为2厘米，÷=平方厘米，所以1.25⨯宽⨯宽5长为2.5厘米。

大长方形的周长为(2.542 2.5)229⨯++⨯=厘米。

[拓展] 右图的长方形被分割成5个正方形，已知原长方形的面积为120平方厘米，求原长方形的长与宽。

[分析] 大正方形边长的2倍等于小正方形边长的3倍，所以大正方形的边长是小正方形边长的1.5倍，大正方形的面积是小正方形面积的1.5 1.5 2.25⨯=倍，所以小正方形面积为120(2.2523)16÷⨯+=平方厘米，所以小正方形的边长为4厘米，大正方形的边长为6厘米，原长方形的长为4312⨯=厘米，宽为4610+=厘米。

【例5】（希望杯培训题）如右图所示，在一个正方形上先截去宽11分米的长方形,再截去宽7分米的长方形，所得图形的面积比原正方形减少301平方分米。

原正方形的边长是______分米。

【分析】把截去的两个长方形拼在一起，如右下图所示，再补上长11分米、宽7分米的小长方形，所得长方形的面积是301117378+⨯=平方分米，这个长方形的长等于原正方形的边长，宽为11718+=分米，所以原正方形边长为：3781821÷=分米。

【例6】如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示（单位：平方厘米），问大矩形的面积是多少平方厘米？【分析】通过分析题目中的已知条件可以看出，面积为16平方厘米和面积为20平方厘米的两个长方形的宽相等，即BC 相等，不妨假设2BC =厘米，可以算得：8AC =厘米，10CD =厘米。

于是可以算得：368 4.5GC =÷=厘米，30103BE =÷=厘米，128 1.5EF =÷=厘米。

于是大长方形的长为10818+=厘米，宽为4.523 1.511+++=厘米，因此大长方形的面积为1811198⨯=平方厘米。

【例7】一块正方形的苗圃（如右图实线所示），若将它的边长各增加30米（如图虚线所示），则面积增加9900平方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米？【分析】小正方形的面积为：3030900⨯=平方米。

用增加的面积减去小正方形的面积就得到增加的两个长方形的面积和，为：99009009000-=平方米。

而增加的两个长方形的面积相等，于是其中一个长方形的面积为900024500÷=平方米。

长方形的宽为30米，那么长为：450030150÷=米，这就是原来这块正方形苗圃的边长，原来这块正方形苗圃的面积为150********⨯=（平方米）。

BCE FGD A 3020121636【例8】长方形ABCD 的周长是30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形。

已知这四个正方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD 的面积是多少平方厘米？【分析】从图形我们可以看出，1A B 的长度恰好为长方形的长与宽之和，即为长方形ABCD 周长的一半，可以看出若以1A B 和1BC 为边能构成大正方形111A BC E （如右图b 所示），其中包含两个长方形和两个正方形，而且两个长方形的面积是相等的，两个正方形的面积刚好是290平方厘米的一半。

这样我们容易求出：大正方形111A BC E 的边长为30215÷=厘米，面积为：1515225⨯=平方厘米，正方形11CDD C 与正方形1ADEA 的面积之和为：2902145÷=（平方厘米）。

长方形ABCD 与长方形11EDD E 的面积相等。

所以，长方形ABCD 的面积为：(225145)240-÷=（平方厘米）。

[巩固] 用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形，长方形纸片面积分别为44平方厘米与28平方厘米，原正方形纸片面C 1A 1AD C BC 1D 1E 1A 1EBC DA积是多少平方厘米？[分析] 做辅助线，如右下图，小正方形Ⅰ的面积为442816-=，所以4a =,2847b =÷=，原正方形面积为7749⨯=（平方厘米）。

【例9】如图，正方形ABCD 的边长是5，E ，F 分别是AB 和BC 的中点，求四边形BFGE 的面积。

【分析】如下图，利用割补法，原正方形面积等于5个小正方形面积之和，所以每个小正方形面积是5555⨯÷=，而阴影部分面积等于1个小正方形面积，所以也是5。

【例10】把正三角形的每条边三等分，以各边的中间一段为边向外作小正三角形，得到一个六角形。

再将这个六角形的六个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它的中间段为边向外作更小的小正三角形，这样就得到如右图所示的图形。

如果所作的最小的小正三角形的面积为1平方厘米，求如图中整个图形的面积。

【分析】题目中出现了大、中、小三种规格的正三角形(如图a )，由已知，图中最小的小正三角形的面积是1平方厘米，于是我们就以1平方厘米的小正三角形为单位，对图a 进行分割，得到图b 。

从图b 可以看出，一个大正三角形中包含9个中正三角形，一个中正三角形中包含9个小正三角形。

由此可以求出，一个大正三角形中包含9981⨯=个小正三角形，在图a 中，除了一个大三角形之外，还有3个中正三角形和12个小正三角形，所以整个图形中共含有小三角形的个数为：993912120⨯+⨯+=个，而每个小正三角形的面积为1平方厘米，所以图a 中图形的面积为120图a中中中大图bFEACB平方厘米。

【例11】（“迎春杯”初赛）如右图，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EFGH ，中间阴影为正方形。

已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32平方厘米，四边形ABCD 的面积是20平方厘米，求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和。

【分析】甲、乙、丙、丁四个长方形的长与宽之和的总和等于大正方形的周长，所以甲、乙、丙、丁四个长方形的周长的总和等于大正方形的周长的2倍。

大正方形的面积等于四边形ABCD 的面积加上甲、乙、丙、丁面积和的一半，即2032236+÷=平方厘米，所以大正方形边长为6厘米，所以甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和为64248⨯⨯=厘米。

【例12】（2006年“希望杯”第二试）如右图，用标号为1，2，3，4，5的五种大小不同的正方形拼成一个大长方形，大长方形的长和宽分别是18，14，则标号为5的正方形的面积是多少？【分析】如果标号为5的正方形的边长是a ，那么1号比2号大a ，2号比3号大a ，所以1号比3号大2a ，又因为2号和3号的边长之和是14，1号和2号的边长之和是18，所以1号比3号大18144-=，即24a =，2a =，标号为5的正方形的面积是224⨯=。

[巩固] （希望杯培训题）小军用编号为1，2，3，4，5的大小不同的正方形拼出一个长方形，如右图所示，则中间阴影部分正方形的周长是多少厘米？[分析] 因为正方形1的边长+正方形2的边长+正方形3的边长30=厘米，正方形1的边长+正方形2的边长22=厘米，所以正方形3的边长30228=-=(厘米)，正方形5的边长2+⨯正方形3的边长22=厘米，所以正方形5的边长22826=-⨯=厘米，周长为6424⨯=厘米。

[拓展]一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形。

下面一个长GF DC5244431厘米方形是由9个小正方形组成的完美长方形。

图中正方形A 和B 的边长分别是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形的面积是多少平方厘米？[分析] 为了叙述方便，我们将图中各个小正方形分别用字母表示(如图)。

设最小的正方形边长为x 厘米，又因为小正方形A 的边长为7厘米，小正方形B 的边长为4厘米，所以小正方形C 的边长可以表示为7x +（厘米），小正方形D 的边长可以表示为772x x x ++=+（厘米），小正方形E 的边长可以表示为7411x x -+=-（厘米），小正方形F 的边长可以表示为11415x x -+=-（厘米），小正方形G 的边长可以表示为15419x x -+=-（厘米），小正方形H 的边长可以表示为7714x x ++=+（厘米），观察大长方形可知：小正方形D 、C 、H 的边长之和等于小正方形F 、G 的边长之和，可以列方程为：(72)(7)(14)(15)(19)x x x x x +++++=-+-，解得1x =。