§7.3 随机变量的数字特征

§7.3 随机变量的

7.3

数字特征

一、随机变量的数学期望

引例7.1 某公司考虑项投资计划，该计划在不同的引例71某公司考虑一项投资计划，该计划在不同的市场状况下有不同的收益.在市场状况良好时，该项投资能获利100万元；市场状况一般时，获利30万元；投资能获利100万元；市场状况般时，获利30万元；市场状况较差时，该项投资将亏损50万元.已知明年市场状况良好的概率为0.5，市场状况般的概率为市场状况良好的概率为0.5，市场状况一般的概率为0.3，市场状况较差的概率为0.2.试问，该投资计划的期望收益是多少？

引例7.2 某工厂产品中，一等品占，二等品占，次品占，如果一件次品工厂要损失1元，而一件一等品获占如果件次品工厂要损失1元而件等品获

利2元，一件二等品获利1元.试问一件产品的期望利润（即产品的平均利润）为多少？

714

定义7.14若离散型随机变量的概率分布为：

ξ)

,2,1,2,1(}{ ====k n k p x P k k 或ξ

∑k

k

k p x E ＝)(ξ记（7.28）

称为

的数学期望，简称期望.

ξ

即离散型随机变量的数学期望是的各可能值与其对应概率乘积的和。ξ

ξ注：求无穷项和时须有意义

744为了适应市场需要某地提出扩大服装生

案例7.44为了适应市场需要，某地提出扩大服装生产的两个方案.一个是建大工厂，另一方案是建小工厂两个方案的每年损益值（以万元为单位）以工厂，两个方案的每年损益值（以万元为单位）以及自然状态的概率见下表：

概率自然状态建大工厂年收益建小工厂

年收益0.7销路好

200万元80万元03－40万元试问：在不考虑投资成本的情况下应选择哪种投资0.3

销量差

40万元

60万元

决策？

由已知的损益及其概率分别求出两个方案的

损益期望值：

解：建大工厂的年损益期望值为：

0703

2000.7(40)0.3128⨯+-⨯＝（万元）

建小工厂的年损益期望值为:

800.7600.3⨯⨯＋＝74（万元）

因为建大厂的预期收益更高，故合理的决策方案是建大工厂

案例某高级毛皮大衣每售出一件可赚6千

7.45某高级毛皮大衣每售出件可赚6千元，积压一件要亏4千元，某时装店根据历史资料知市场需求的概率分布如下：

需求量（件）567

概率0.30.50.2

试问该店应订购多少件大衣其利润最大

试问该店应订购多少件大衣其利润最大？

解：该店订购量应为5至7件

由于市场需求量大于5件，订购5件商品时将全部售出共获利：全部售出，共获利：

订6件商品时的销售、积压情况和对应的概率如下6530()

⨯＝千元订件商品时的销售、积压情况和对应的概率如下表：

需求量订购量

销售量积压量概率56510.30566600.576

600.2

所以，订6件时的期望利润为:

(5614)0.3360.5360.233⨯-⨯⨯+⨯+⨯=()（千元）

订7件商品时的销售积压情况和对应的概率如下

订7件商品时的销售、积压情况和对应的概率如下

表：

需求量订购量销售量积压量概率

57520.3

67610.5

77700.2

02

所以，订7件时的期望利润为：

⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯=（千元）(5624)0.3(6614)0.5420.231

故该店在订购6件时期望利润最大，为3.3万元.

案例7.46有项引进工程项目，某保险公司需要决有一项引进工程项目，某保险公司需要决定是否开办一个新保险，如果开办而不出险（不发生事故），则每年可获利（除去成本）5万元；如果开办后就发生责任事故，则将给保险企业造成果开办后就发生责任事故则将给保险企业造成100万元的赔款损失；如果不开办这个新保险，则不论出不出险，保险企业都要付出调研费5千元.根据过去不完全统计资料，预测承保后不出险的概率是0.96，而出险概率是0.04，在这种情况下，保险是096而出险概率是004在这种情况下保险企业对该工程项目是承保还是不承保

企业对该工程项目是承保还是不承保？

下面计算各个方案的期望收益值，择优决策

解：承保方案期望收益值

承保方案期望收益值：50.96100)0.04 4.840.8(

⨯+

-⨯=-=不承保方案期望收益值：

()()

万元⨯⨯（－0.5）0.96＋（－0.5）0.04＝－0.48－0.02＝－0.5（万元）

由于承保获得的收益更大，所以选择承保方案.

定义7.15

若连续型随机变量的

概率分布为：ξ)(x ϕ记（7.29）

的数学期望⎰+∞

∞-=dx x x E )()(ϕξ即连续型随机变量为的数学期望.ξ的数学期望是的取值与概率密度的乘积在无穷区间ξξx

)(x ϕ),(+∞-∞上的广义积分注：广义积分须有意义

随机变量的数学期望有如下性质：)()(1为常数）（c c

c E =为常数）

（）（k kE k E )()(2ξξ=为常数）、（）（b k b

kE b k E +=+)()(3ξξ为随机变量）

、（）（ηξηξηξ)

()()(4E E E +=+此性质可推广到

有限个随机变量

和的情和的情况：E(E(E(E(++=++ 12n 12n ()()()()ξξξξξξ