§7.3 随机变量的数字特征

§7.3 随机变量的7.3数字特征一、随机变量的数学期望引例7.1 某公司考虑项投资计划，该计划在不同的引例71某公司考虑一项投资计划，该计划在不同的市场状况下有不同的收益.在市场状况良好时，该项投资能获利100万元；市场状况一般时，获利30万元；投资能获利100万元；市场状况般时，获利30万元；市场状况较差时，该项投资将亏损50万元.已知明年市场状况良好的概率为0.5，市场状况般的概率为市场状况良好的概率为0.5，市场状况一般的概率为0.3，市场状况较差的概率为0.2.试问，该投资计划的期望收益是多少？引例7.2 某工厂产品中，一等品占，二等品占，次品占，如果一件次品工厂要损失1元，而一件一等品获占如果件次品工厂要损失1元而件等品获利2元，一件二等品获利1元.试问一件产品的期望利润（即产品的平均利润）为多少？714定义7.14若离散型随机变量的概率分布为：ξ),2,1,2,1(}{ ====k n k p x P k k 或ξ∑kkk p x E ＝)(ξ记（7.28）称为的数学期望，简称期望.ξ即离散型随机变量的数学期望是的各可能值与其对应概率乘积的和。

ξξ注：求无穷项和时须有意义744为了适应市场需要某地提出扩大服装生案例7.44为了适应市场需要，某地提出扩大服装生产的两个方案.一个是建大工厂，另一方案是建小工厂两个方案的每年损益值（以万元为单位）以工厂，两个方案的每年损益值（以万元为单位）以及自然状态的概率见下表：概率自然状态建大工厂年收益建小工厂年收益0.7销路好200万元80万元03－40万元试问：在不考虑投资成本的情况下应选择哪种投资0.3销量差40万元60万元决策？由已知的损益及其概率分别求出两个方案的损益期望值：解：建大工厂的年损益期望值为：07032000.7(40)0.3128⨯+-⨯＝（万元）建小工厂的年损益期望值为:800.7600.3⨯⨯＋＝74（万元）因为建大厂的预期收益更高，故合理的决策方案是建大工厂案例某高级毛皮大衣每售出一件可赚6千7.45某高级毛皮大衣每售出件可赚6千元，积压一件要亏4千元，某时装店根据历史资料知市场需求的概率分布如下：需求量（件）567概率0.30.50.2试问该店应订购多少件大衣其利润最大试问该店应订购多少件大衣其利润最大？解：该店订购量应为5至7件由于市场需求量大于5件，订购5件商品时将全部售出共获利：全部售出，共获利：订6件商品时的销售、积压情况和对应的概率如下6530()⨯＝千元订件商品时的销售、积压情况和对应的概率如下表：需求量订购量销售量积压量概率56510.30566600.576600.2所以，订6件时的期望利润为:(5614)0.3360.5360.233⨯-⨯⨯+⨯+⨯=()（千元）订7件商品时的销售积压情况和对应的概率如下订7件商品时的销售、积压情况和对应的概率如下表：需求量订购量销售量积压量概率57520.367610.577700.202所以，订7件时的期望利润为：⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯=（千元）(5624)0.3(6614)0.5420.231故该店在订购6件时期望利润最大，为3.3万元.案例7.46有项引进工程项目，某保险公司需要决有一项引进工程项目，某保险公司需要决定是否开办一个新保险，如果开办而不出险（不发生事故），则每年可获利（除去成本）5万元；如果开办后就发生责任事故，则将给保险企业造成果开办后就发生责任事故则将给保险企业造成100万元的赔款损失；如果不开办这个新保险，则不论出不出险，保险企业都要付出调研费5千元.根据过去不完全统计资料，预测承保后不出险的概率是0.96，而出险概率是0.04，在这种情况下，保险是096而出险概率是004在这种情况下保险企业对该工程项目是承保还是不承保企业对该工程项目是承保还是不承保？下面计算各个方案的期望收益值，择优决策解：承保方案期望收益值承保方案期望收益值：50.96100)0.04 4.840.8(⨯+-⨯=-=不承保方案期望收益值：()()万元⨯⨯（－0.5）0.96＋（－0.5）0.04＝－0.48－0.02＝－0.5（万元）由于承保获得的收益更大，所以选择承保方案.定义7.15若连续型随机变量的概率分布为：ξ)(x ϕ记（7.29）的数学期望⎰+∞∞-=dx x x E )()(ϕξ即连续型随机变量为的数学期望.ξ的数学期望是的取值与概率密度的乘积在无穷区间ξξx)(x ϕ),(+∞-∞上的广义积分注：广义积分须有意义随机变量的数学期望有如下性质：)()(1为常数）（c cc E =为常数）（）（k kE k E )()(2ξξ=为常数）、（）（b k bkE b k E +=+)()(3ξξ为随机变量）、（）（ηξηξηξ)()()(4E E E +=+此性质可推广到有限个随机变量和的情和的情况：E(E(E(E(++=++ 12n 12n ()()()()ξξξξξξ案例7.47假定国际市场上对我国某种商品的年需求量是一个随机变量（单位：吨），它服从区间上的均匀分布，计算我国该种商品在国际市场上的年ξ[]a,b 期望销售量.解：的概率密度为：，所以～因为ξξ),(b a U ⎧1a x b (x)≤≤⎪=-()b a 0ϕ⎨⎪⎩其它1由（7.29）式：ba b a E()x dx b a 2+ξ=-⎰＝所以我国这种商品的b a +吨期望销售量为所以，我国这种商品的2通过这个案例，我们还知道：对于均匀分布的随机变量，其数学期望值在区间中点处案例7.48 据统计，一位40岁的健康者（一般体检未发现病症）在5年之内活着或自杀的概率为，保险公司开办(01)<< p p 在5年内非自杀死亡的概率为，保险公司开办5年人寿保险，参加者需交保险费元，若5年内非1-p a自杀死亡，公司赔偿元.试问b ()>b a b 应如何确定才能使公司期望获益；若有人参加保险，公司可期望从中收益多少？m设表示公司从第个参加者身上获得的收益，则解：设表示司从第个参加者身获得的收则是一个随机变量，其分布如下：i iξξia -a bPp 1-p 公司期望获益：2()()(1)(1)1,2,=+--=--= i E ap a b p a b p i ξ(1)0=--><a E a b b ()(1-所以，当，即时，公司能够获益。

i p p ξ=∑对于个人，公司获益为元，m im ξξξ1=i 根据数学期望的性质（4）：m m11()()(1)=====--∑∑i i i i E E E ma mb p ξξξ二定义7.16二、随机变量函数的数学期望若对于随机变量的函数，则当)(为离散型随机变量且有分布律ξξg p (ξ)(ξg 时，随机变量的数学期望为k k x P ==}{ξ),2,1,2,1 ==k n k 或（7.30）当为连续型随机变量且有概率密度∑=kk k p x g g E )()]([ξx 时，随机变量的数学期望为：)(ϕ)(ξg ξ（7.31）⎰∞+∞-=dx x x g g E )()()]([ϕξ案例7.49设某产品每周需求量为Q，Q的可能取值为1，2，3，4，5（等可能取各值），生产每件产品成本是3元，每件产品售价9元，没有售出的产品以每件1元的费用存入仓库问生产者每周生产多少件产品可使所期望的利润入仓库.问生产者每周生产多少件产品可使所期望的利润最大？：解已知需求量Q的分布律为需求量Q 123450202020202每周期望获利概率0.20.20.20.20.2p 另设每周的产量为、每周期望获利，显然、且ξ()L ξ5≤ξ()>⎧=⎨<（9-3）, Q L ξξξ31(),--⋅-<=⎩9Q Q Q ξξξ6Q ξξ>⎧，()104,Q Q ξξξ=⎨-≤⎩L 化简为：[()]6()(104)()=⨯>+-⨯≤E L P Q Q P Q ξξξξξ5610()4()n P P ⨯=+⨯≤-⨯≤＝()n p Q Q Q Q ξξξξξ=∑56()10()4()p Q n n P Q n P Q n ξξξξ⨯=+⨯=-⨯=＝11n n n ξ===∑∑∑51116104n ξξξξ⨯+⨯-⨯∑∑∑＝11555n n n ξ===514621n ξξξξ⨯+-⨯∑∑∑＝1155n n n ξ===2614(5)25+=-+⨯⨯-ξξξξξ5227=-ξξ所以当时，E(L)达到最大值.由于Q和N=均取正整数，所以应取N＝3或N＝4，故当产量为3件或4件时，利润达到最大期望值12元.3.5ξ件时润到最期元案例7.50 假定国际市场每年对我国某种商品的需求量是一个随机变量X（单位：吨）它服从[2040]上的均匀分个随机变量X（单位：吨），它服从[20,40]上的均匀分布，已知该商品每售出1吨，可获利3万美元的外汇，但若销售不出去则每吨要损失各种费用1万美元那么如何销售不出去，则每吨要损失各种费用1万美元，那么如何组织货源，才可使收益最大？设y为组织的货源数量，R为收益，销售量为.解：y依题意有：ξ3y ()3≥⎧==⎨--< y R g ξξ化简得：()y ⎩y ξξξ3y ()≥⎧=⎨< y g ξξ又已知销售量服从[20,40]上的均匀分布，即4y -⎩ y ξξξ1⎧2040()200<<⎪==⎨⎪其它x x ξϕ+∞40⎩于是()[()]()()-∞==⎰E R E g g x x dx ξϕ201()20=⎰g x dx 4011(43=-+y x dx ydx 20()2020⎰⎰y y y ()21(70400),204010=-+≤≤－y y y 所当时最大应的商所以当y＝35时E（R）最大，因此应组织35吨的商品.案例7.51一工厂生产的某种设备的寿命X（以年记）服从指数分布其概率密度为数分布，其概率密度为41,0()40-⎧>⎪=⎨≤x x e x x ϕ工厂规定出售的设备若在一年内损坏，可调换，如果工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，,0⎪⎩求厂方出售一台设备净盈利的数学期望.解：表示设备的寿命，R表示净盈利.由题意设表示设备的寿命表示净盈利由题意pξ100300,1-≤⎧==R g ξ所以()100,1⎨>⎩ξξ1440111()()()(100300)10044--+∞+∞-∞==-+⎰⎰⎰xx E R g x x dx e dx e dxϕ1+∞--x x 44200100=-ee113364(-430020033.64()=-≈元e所以，厂方出售一台设备净盈利的数学期望为33.64所以厂方出售台设备净盈利的数学期望为元。