第3章随机变量的数字特征之方差(1) 概率论

D( X ) E{[ X E( X )]2}
E{X 2 2 XE( X ) [ E( X )]2 }
E( X 2 ) 2E( X ) E( X ) [ E( X )]2
E( X ) [ E( X )] .
2 2
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例1(续). 设随机变量X的分布列为
复习 上节介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取 值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.
EX x k pk ,
k 1

X 离散型
g(x ) p , X 离散型 k k EY E[ g ( X )] k 1 g ( x) f ( x)dx , X 连续型
m
D( X ) E( X 2 ) [ E( X )]2 ( 1) 2
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例4.若X～U (a, b), 求D(X). 解: 已求得 E ( X ) a b , 2 2 2 b 1 2 dx a ab b . E ( X 2 ) a x ba 3
期望
方差
( 0 —1 ) B(n, p) P( ) U(a, b) e( )
P ( X k ) pk q1k
p np
pq npq
k 0,1,, n , 0 p 1, p q 1
k P ( X k ) e 0, k 0,1, k!
n k n k P ( X k ) Ck pq
一、协方差与相关系数
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一、原点矩与中心矩
1. k 阶原点矩：E ( X k ) 特别地，k=1,E(X)为数学期望.
k=2,E(X2)为2阶原点矩,其计算公式
2. k 阶中心矩：E{[ X E( X )]k } 特别地，k=1, E[X-E(X)]=0. k=2, E[X-E(X)]2为方差.
乙班
成绩 人数
1
2
2
5
3
10
4
8
5
5
1
0
2
0
3
14
4
6
5
0
则该班的平均成绩也是 W 3.3
你认为两个班的成绩一样吗?
为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值 在其中心附近的离散程度. 这个数字特征就是我们要介绍的
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2
2.方差 (Variance 或 Dispersion)
k 1

k 2
k!
e

e

k (k 1)!
k பைடு நூலகம்1


k 1
m k 1
e
m 0
(m 1) m!


m
m = E ( X ), 其中 X~P( lambda ) [ m e e ] ( 1) m! m 0 m 0 m!
D( X ) E( X 2 ) [ E( X )]2
a 2 ab b 2 a b 2 ( ) 3 2
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例5. 若X ~ e( ), 求D(X).
解: 已求得 E ( X )
2
1

2
,
x
E ( X ) x e
0

dx
t
t x
*
D[ X E ( X )] D( X ) X E( X ) 1. ] D( X ) D[ 2 D( X ) (X ) (X )
*
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例.设 X1, X2 相互独立，且X1 ~ U (0,6), X 2 ~ P(3),
设Y X1 2 X 2 , 求 D(Y ).
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2 D ( X ) (X ) 例.已知随机变量X的数学期望E(X)与 都存在, 且 ( X ) 0, 设随机变量
X E( X ) X . (标准化的随机变量) σ( X )
*
试证 E ( X * ) 0, D( X * ) 1. 证：
X E ( X ) E[ X E ( X )] E ( X ) E ( X ) 0. E ( X ) E[ ] (X ) (X ) (X )
cov(X,Y)=0.
两个随机变量独立与不相关的关系： 若X与Y相互独立，则X与Y一定不相关; 反之, 不一定成立. 分析:由于X与Y相互独立,则协方差cov (X, Y) =0, 所以X与Y不相关. 证明：由X与Y相互独立，有
cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) E ( X ) E (Y ) E ( X ) E (Y ) 0.
解: 已求得 E ( X ) np,
n
k k 1 kCn nCn 1
k k nk k k nk p q k 2C n E ( X 2 ) k 2 C n p q k 0
n
k 1
k 1 np kCn 1 p k 1
n
m k 1 k 1 n k
q
x
x e , x 0;
x 0.
EX 0 x e
1 dx
t x
0

( 2) 1 ； t e dt
t

0
x r e x dx (r 1) (r 0) r 为整数 n 时， (n) = (n －1)!


其中X的概率密度为 f( x).
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例1. 设随机变量X的分布列为
X P
-1
0.1
0
0. 1
1
0.5
2
0.3
求 D( X ).
解： E ( X ) (1) 0.1 0 0.1 1 0.5 2 0.3 1.0
D( X ) E[ X E( X )]
定义. 设X是一随机变量， 若E[X－E(X)]2存在，
则称E[X-E(X)]2称为X的方差, 记作D(X) 或 2 ( X ) 即
D( X ) E[ X E ( X )]2 .
方差的算术平方根 记作 ( X ), 即
D( X ) 称为 X 的标准差，
( X ) D( X ) 或 D( X ) 2 ( X ).
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3
方差
D( X ) E[ X E ( X )]2
注: (1) 由定义知，D(X)=E[X-E(X)]2 ≥0 ;
(2) 方差D(X) 用来体现随机变量X取值分散的程度, 反映了X偏离其数学期望E(X)的程度. (3) 如果D(X)值越大(小)， 表示X取值越分散(集中),
解：
(6 0) 2 D( X 1 ) 3, D( X 2 ) 3. 12
由X1, X2 相互独立，有
D (Y ) D( X1 2 X 2 ) D( X1 ) 4D( X 2 ) 15 .
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第三节 原点矩与中心矩 第四节 协方差与相关系数
基本内容： 一、原点矩与中心矩
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切比雪夫不等式
设X的数学期望 E(X) 与方差D(X) 存在,
对于任意的正数 有 ，
五条性质:
EX x f ( x) dx , X 连续型

E ( X Y ) E ( X ) E (Y ). 若X 与Y 相互独立， E ( XY ) E ( X ) E (Y ).
1
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§2 方差
1. 概念的引入
上节的例1 甲班有30名学生， 成绩 他们的数学考试成绩(按五级 人数 记分)如右表所示, 则该班的平均成绩 W 3.3
m m n m 1 np (m 1)Cn p q 1
n 1
m m n m 1 np[ mCn p q C n 1 p q 1 m 0 m 0
n 1
n 1 (X),其中X~B(n-1, p) = E m m n m 1
m 0
]
np[(n 1) p 1] np( np q) .
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二、协方差和相关系数
——反映两个变量X和Y相关性的数字特征 1.协方差 定义.随机变量X与Y的函数[X-E(X)][Y-E(Y)]
的数学期望存在， 则称其为X与Y的协方差, 记作
cov (X, Y), 即
cov( X,Y ) E{[ X E ( X )][Y E (Y )]}.
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协方差的简便计算方法：
cov ( X,Y ) E{[ X E ( X )][Y E (Y )]}
E{XY XE(Y ) YE( X ) E ( X ) E (Y )}
E ( XY ) E ( X ) E (Y ) .
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X与Y不相关
以E(X)作为随机变量X的代表性越差（好）.
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4
3. 方差的计算 (1)利用随机变量函数的数学期望公式 离散随机变量的方差
D( X ) [ xi E ( X )] pi
2 i
其中X的分布列为 P( X xi ) pi , i 1,2, 连续随机变量的方差
D( X ) [ x E ( X )]2 f ( x)dx
2 2
2
E[ X 1.0]2
2
2 [2 1] 0.3 [(1) 1] 0.1 [0 1] 0.1 [1 1] 0.5
4 0.1 1 0.1 0 0.5 1 0.3 =0.8
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(2)利用方差公式 且E(X2) 定理：设随机变量X的数学期望E(X)存在， 也存在, 则 证明:
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2. 相关系数
定义.设随机变量X与Y的数学期望和方差都存在， 则称 为X与Y的相关系数，记作
R( X,Y )
注：相关系数R(X,Y)仅表示X与Y之间的线性关系.
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第五节 切比雪夫不等式与大数定律
基本内容： 一、切比雪夫不等式
二、大数定律
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X P
-1
0.1
0
0. 1
1
0.5
2
0.3
求 D( X ). X X22
P P
1 1
0 0
4 1
4
0.6 0.1
0. 0.1 1
0.3 0.5
0.3
D( X ) EX 2 E 2 X
2 4 0.3 1.0 E X 1 0.6
0.8
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8
例2.若X～B(n, p), 求方差D(X).
( p q)
n1
1
D(X ) E( X 2 ) [ E(X)]2 np(np q) (np)2
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例3. 若 X ~ P( ), 求D(X). 解: 已求得 E ( X ) ,
E( X )
2
k
k 0


k 2
k!
e k
2 2 x
t x 1 dx 2
E ( X ) 0 x e

2 t 0
2 ( 3) t e dt 2 2 ,
2 DX 22 ( 1 ) 12 .

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分布
分布列或密度函数
k 0,1 , 0 p 1, pq 1
1
2

t

0
t 2 e t dt

1
1

2


0
t de
2
=E(X),其中X~e( 1)


2
(t e
2
2 t 0
2 te dt )
0
2
2
D( X ) E( X ) [ E( X )]
2
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2

2

1
2
12
指数分布

f ( x) 0,

a b 2

(b a ) 2 12
1 , a x b ; f ( x ) b a 其它 0,
e x , x 0; f ( x) 0, x 0. 常用随机变量的期望与方差

1
2
14
1
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二、方差的性质
(1) D(C) 0, C为常量；
(2) 若D( X )存在,则D(CX ) C 2 D( X ), C为常量 ；
(3) 若X与Y相互独立 ，且D( X )与D(Y )存在，则
D( X Y ) D( X ) D(Y ).
D( Ci X i ) Ci D( X i ).
2 i 1 i 1
n
n
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