离散数学(函数)课件

函数的定义
为集合, 设A, B为集合 如果 为集合 f 为函数 domf=A, ranfB, 为函数, 的函数, 则称 f 为从A到B的函数 记作 f:A→B. 到 的函数 :
函数的定义
在<x,y> ∈ f 中, domf = A 定义域 A 张三, 例:domf ={张三,李四,王五 , 设 X = 张三 李四,王五},
例
(1) 偏序集 偏序集<P({a,b}),R>, <{0,1},≤>, R为包含关 为一般的小于等于关系, 系, ≤为一般的小于等于关系 令 为一般的小于等于关系 f:P({a,b})→{0,1}, f()=f({a})=f({b})=0, f({a,b})=1, f 是 单调递增的 但不是严格单调递增的 单调递增的, (2) A的每一个子集 A'都对应于一个特征函数 都对应于一个特征函数, 的每一个子集 都对应于一个特征函数 不同的子集对应于不同的特征函数. 不同的子集对应于不同的特征函数 例如 A={a,b,c}, 则有 χ{a,b}= {<a,1>,<b,1>,<c,0>} χ= {<a,0>,<b,0>,<c,0>}
函数的定义
(4) 设A为集合 对于任意的 A, A'的特 为集合, 为集合 对于任意的A' 的 征函数 χA ' :A→{0,1}定义为 定义为 χA'(a)=1, a∈A' ∈ χA'(a)=0, a∈AA' ∈ (5) 设R是A上的等价关系 令 上的等价关系, 是 上的等价关系 g:A→A/R g(a)=[a], a∈A ∈ 称 g 是从 A 到商集 A/R 的自然映射
例
对于给定的集合A和B构造双射函数 对于给定的集合 和 构造双射函数 f:A→B (1) A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3} (2) A=[0,1], B=[1/4,1/2] (3) A=Z, B=N π 3π (4) A = [ , ] , B=[1,1]
2 2
例
对于给定的集合A和 构造双射函数 对于给定的集合 和B构造双射函数 f:A→B (2) A=[0,1], B=[1/4,1/2] (1,1/2) f(x)=(x+1)/4
例
(3) 不同的等价关系确定不同的自然映射, 不同的等价关系确定不同的自然映射 恒等关系确定的自然映射是双射, 恒等关系确定的自然映射是双射 其他 自然映射一般来说只是满射. 自然映射一般来说只是满射 A={1,2,3}, R={<1,2>,<2,1>}∪IA ∪ g: A→A/R, g(1)=g(2)={1,2}, g(3)={3}
2x f: Z → N , f ( x ) = : 2 x 1 ≥0 x<0
函数的定义
(1)设 f:A→B, 如果存在 ∈B使得对所有 设 如果存在c∈ 使得对所有 的 x∈A都有 f(x)=c, 则称 f:A→B是常函 ∈ 都有 是 数. (2) 称 A上的恒等关系 A为A上的恒等函数, 上的恒等关系I 上的恒等函数 上的恒等关系 上的恒等函数 对所有的x∈ 都有 都有I 对所有的 ∈A都有 A(x)=x. (3) 设<A, >, <B, >为偏序集,f:A→B, 为偏序集, 为偏序集 , 如果对任意的 x1, x2∈A, x1x2, 就有 f(x1) f(x2), 则称 f 为单调递增的;如果 单调递增的 对任意的x 就有f(x 对任意的 1, x2∈A, x1x2, 就有 1) 严格单调递增的 f(x2), 则称 f 为严格单调递增的. 类似的 也可以定义单调递减和严格单调递减的 函数. 函数
函数的定义
c1g(n) f(n) c0g(n) n0 f(n) is Θ(g(n)) n0
cg(n) f(n) n0 f(n) cg(n) f(n) is (g(n))
例
例 设 f:N→N, 且 :
x / 2 若x为偶数 f ( x) = x + 1 若x为奇数
B={2}, 那么有 那么有 令A={0,1}, f(A) = f( {0,1}) = { f(0), f(1)}={0,2} f 1(B) = f 1({2})={1,4}
函数的定义
设 f:A→B, : (1) 若 ranf=B, 则称 f:A→B是满射的 是满射的 (2) 若 y∈ranf 都存在唯一的 x∈A 使得 ∈ ∈ f(x)=y, 则称 f:A→B是单射的 是单射的 (3) 若 f:A→B 既是满射又是单射的 则称 既是满射又是单射的, f:A→B是双射的 是双射的
Y ={法国,美国,俄罗斯,英国 法国, 法国 美国,俄罗斯,英国} 函数像的集合) 值域 (函数像的集合) f ={<张三 B , 张三,美国 李四,俄罗斯 美国><李四 俄罗斯> 张三 美国 李四 俄罗斯 ranf <王五 英国 王五,英国 王五 英国>}
ranf ={美国,俄罗斯,英国} B 美国,俄罗斯,
课堂练习
证明 f(A∩B) f(A) ∩ f(B) ∩
保序性: 保序性: A B f(A) f(B) x ∈ A f(x) ∈ f(A) ∩ 方法1: A∩B A ∧ A∩B B 方法 : ∩ f(A∩B) f(A) ∧ f(A∩B) f(B) ∩ ∩ f(A∩B) f(A) ∩ f(B) ∩
函数的定义
所有从A到 的函数的集合记作 的函数的集合记作B 所有从 到B的函数的集合记作 A, 表示为 BA = { f | f:A→B } : |A|=m, |B|=n, 且m, n>0, |BA|=nm A=, 则BA=B={} A≠且B=, 则BA=A=
函数的定义
设函数 f:A→B, A1A, B1B : (1) A1在 f 下的像 f(A1) = { f(x) | x∈A1} ∈ 特别的, 称为函数的像 特别的 f(A)称为函数的像 称为 (2) B1在 f 下的完全原像 f 1(B1)={x|x∈A∧f(x)∈B1} )={x|x∈A∧f(x)∈ 注意: 注意: 函数值与像的区别:函数值 f(x)∈B, 像 函数值与像的区别: ∈ f(A1)B 一般说来 f 1(f(A1))≠A1, 但是 1f 1(f(A1)) 但是A
0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 2 3 3
函数的定义
为函数, 设F, G 为函数 则 F=G FG∧GF ∧ 如果两个函数F 相等, 如果两个函数 和 G 相等 一定满足下面两个 条件: 条件: (1) domF=domG (2) x∈domF=domG 都有 都有F(x)=G(x) ∈ 函数F(x)=(x21)/(x+1), G(x)=x1不相等 因为 不相等, 函数 不相等 domFdomG.
第八章 函 数
8.1 函数的定义与性质
4.1 函数的概念
函数定义 函数与关系 函数相等 特殊函数: 特殊函数: 单射 满射 双射
函数的定义
为二元关系, 设 F 为二元关系 若x∈domF 都存在唯一 ∈ 的y∈ranF 使 xFy 成立, 则称 F 为函数 ∈ 成立 对于函数F, 对于函数 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为F 在 x 的值.
课堂练习
证明 f(A∩B) f(A) ∩ f(B) ∩
保序性: 保序性: x ∈ A f(x) ∈ f(A) ∩ 方法2: 对于 ∈ 方法 : 对于y, y∈ f(A∩B) , 则 x, x ∈ A∩B ,使得 使得f(x) = y ∩ 使得 使得f(x) = y 即 x ∈ A ∧ x ∈ B ,使得 使得 f(x) ∈ f(A) ∧ f(x) ∈ f(B) y ∈ f(A) ∩ f(B)
课堂练习
Baidu Nhomakorabea对于给定的集合A和 构造双射函数 对于给定的集合 和B构造双射函数 f:A→B A=[-1, 1), B=[2, 7) (1,7)
(-1,2)
例
对于给定的集合A和B构造双射函数 对于给定的集合 和 构造双射函数 f:A→B (3) A=Z, B=N
(3) 将Z中元素以下列顺序排列并与 中元素对应: 中元素以下列顺序排列并与N中元素对应 中元素以下列顺序排列并与 中元素对应: Z: : 011 2 23 3 … ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ N: : 0 1 2 3 4 5 6 … 这种对应所表示的函数是: 这种对应所表示的函数是:
x —自变元 自变元 y —在F 作用下 x 的像 在
判断下列关系哪个构成函数
a) f ={< x1, x2 > x1, x2 ∈N, 且x1 + x2 <10} b) f ={< y1, y2 > y1, y2 ∈R ∧ y1 = y }
2 2
×1 ×1 √1
c) f = {< x1 , x2 > x1 , x2 ∈ N ∧ x2为不大于 y2 = ± y1x x2 1 x1的素数个数} 0
函数的定义
是定义域为自然数N上的函数 设f和g是定义域为自然数 上的函数 和 是定义域为自然数 f(n)=O(g(n)). 若存在正数c和 使得对一切n≥ 若存在正数 和n0使得对一切 ≥n0 有 0≤ f(n)≤cg(n) ≤ ≤ f(n) =(g(n)). 若存在正数c和 使得对一切n≥ 若存在正数 和n0使得对一切 ≥n0有 0≤ cg(n)≤ f(n) ≤ ≤ f(n) =o(g(n)). 若对任意正数c存在 使得对一切n≥ 存在n 若对任意正数 存在 0使得对一切 ≥n0有 0≤ f(n)< cg(n) ≤ f(n) =ω(g(n)). ω 若对任意正数c存在 使得对一切n≥ 存在n 若对任意正数 存在 0使得对一切 ≥n0有 0≤ cg(n)< f(n) ≤ f(n) =Θ(g(n)) Θ f(n) =O(g(n)) 且 f(n) =(g(n))
定理
是有限集, 令 A 和 B 是有限集,若 A 和 B 的元素个数相同, 的元素个数相同,即| A| = | B|, , 是单射的, 则 f: A → B是单射的,当且仅当 是单射的 它是一个满射. 它是一个满射. 此定理对无限集不一定成立. 此定理对无限集不一定成立. 例如: 例如:f: I → I , f(x)=2x 整数映射到偶整数(单射,非满射) 整数映射到偶整数(单射,非满射)
函数与关系
函数的定义域是A, 而不是A 函数的定义域是 而不是 的 某个真子集; 某个真子集; 一个 x 只能对应于唯一的 y ; A × B 的子集并不都能成为 A 的函数. 到 B 的函数.
例
A={a,b,c}, B={0,1} A×B={<a,0>,<b,0>,<c,0>,<a,1>,<b,1>,<c,1>} × |P(A×B)|=26, 但只有 23 个子集定义为 X 到 × Y 的函数 的函数. f0 = 一般地,{<a,0>,<b,0>,<c,0>} 一般地,|A|=m, |B|=n,由 A 到 B 的任 由 f1 = {<a,0>,<b,0>,<c,1>} 意函数的定义域是 A ,在函数中每个 在函数中每个 个序偶,又任何 又任何x 恰有 m = {<a,0>,<b,1>,<c,0>} ,可以有 f2 个序偶 又任何 ∈ A 可以有 n 个元素中的任何一个作为它的像 故 个元素中的任何一个作为它的像,故 (|B||A| ) 个不同函数 个不同函数. BA 共有 n7m= {<a,1>,<b,1>,<c,1>} f
x1 x2 ( x1 , x2 ∈ A ∧ x1 ≠ x2 → f ( x1 ) ≠ f ( x2 ))
例
x1
x2
x3
y1 y2
y3
x1
x2
x3
单 射
y1 y2
y3
y4 映射(函数)
x1 x2
x3
y4 y1 y2
y3
y1 y2
y3
满射
x1 x2
x3
x4
双(单,满)射
例
判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的? 判断下面函数是否为单射 满射 双射的 (1) f:R→R, f(x) = x2+2x1 (2) f:Z+→R, f(x) = lnx, Z+为正整数集 (3) f:R→Z, f(x) = x (4) f:R→R, f(x)=2x+1 (5) f:R+→R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中 +为正实数集 其中R 为正实数集.