山西省学业水平考试数学试题
2023年山西省初中学业水平考试数学试题(含答案)
2023年山西省初中学业水平考试数学（满分120分，考试时间120分钟）第I卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.计算（-1）×（-3）的结果为（）A.3B.31C.-3D.-42.全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量.图书馆是开展全民阅读的重要场所.以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）3.下列计算正确的是（）A.632aaa=⋅ B.2623)(baba-=- C.236aaa=÷ D.632)(aa=4.山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量达到1464亿千瓦时，同比增长18.55%.数据1464亿千瓦时用科学记数法表示为（）A.1.464×108千瓦时B.1464×108千瓦时C.1.464×1011千瓦时D.1.464×1012千瓦时5.如图，四边形ABCD内接于☉O,AC、BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC=40°，则∠DBC的度数为（）A.40oB.50oC.60oD.70o6.新趋势跨学科问题一种弹簧秤（如图）最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm.在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为（）A.xy5.012-= B.xy5.012+= C.xy5.010+= D.xy5.0=7.新趋势跨学科问题如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心0的光线相交于点P，点F为焦点，若∠1=155°，∠2=30°，则∠3的度数为（）（第4题）（第5题）（第6题）（第7题）A B C D8.若点A（-3,a），B（-1,b），C（2，c）都在反比例函数xky=（0<k）的图象上，则a、b、c的大小关系用“<”连接的结果为（）A.cab<< B.abc<< C.cba<< D.bac<<9.中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A、B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°.若圆曲线的半径km5.1=OA，则这段圆曲线AB的长为（）A.km4πB.km2πC.km43πD.km83π10.蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P、Q、M均为正六边形的顶点，若点P、Q的坐标分别为（32-、3），（0、-3），则点M的坐标为（）A.（33、-2） B.（33、2） C.（2、33-） D.（-2、33-）第Ⅱ卷非选择题二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11.计算)36)(36(-+的结果为.12.如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成，第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片……依此规律，第n个图案中有个白色圆片（用含n的代数式表示）13.如图，在□ABCD中，∠D=60°.以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE.分别以点A、E为圆心，以大于AE21的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则OEOF的值为.14.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》（如图），它是儒家思想的核（第9题）（第10题）第1个第2个第3个第4个（第12题）心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是.15.如图，在四边形ABCD 中，o 90=∠BCD ，对角线AC 、BD相交于点O.若5==AC AB ，B 6=BC ，CBD ADB ∠=∠2，则AD 的长为.三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（本题共2个小题，每小题5分，共10分）（1）计算：122)53()21(8-⨯+---⨯-（2）计算：xx x x 4)1()2(2-+++17.（本题7分）解方程：223111-=+-x x 18.（本题9分）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔，报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4:4:2的比例计算出每人的总评成绩.小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图.（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67、72、68、69、74、69、71.这组数据的中位数是分，众数是分，平均数是分.（2）请你计算小涵的总评成绩.（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者.试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由.选手测试成绩/分总评成绩/分采访写作摄影小悦83728078小涵8684▲▲（第13题）（第14题）（第15题）19.（本题9分）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞.该大桥限重标志牌（如图）显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行.现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由l 个A 部件和3个B 部件组成，这种设备必须成套运输.已知1个A 部件和2个B 部件的总质量为2.8吨，2个A 部件和3个B 部件的质量相等.（1）1个A 部件和1个B 部件的质量分别是多少？（2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备?20.（本题8分）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022-2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流人选.在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）.某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告.请根据活动报告计算BC 和AB 的长度（结果精确到0.1m.参考数据：73.13≈，41.12≈）课题母亲河驳岸的调研与计算调查方式资料查阅、水利部门走访、实地查看了解调查内容功能驳岸是用来保护河岸、阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物材料所需材料为石料、混凝土等驳岸剖面图材料相关数据及说明：图中，点A 、B 、C 、D 、E 在同一竖直平面内，AE 和CD 均与地面平行，岸墙AB ⊥AE于点A ，o 135=∠BCD ,o 60=∠EDC ,m 6=ED ,m 5.1=AE ,m5.3=CD 计算结果交流展示21.（本题7分）阅读与思考下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图（1），在四边形ABCD 中，点E、F、G、H 分别是边AB、BC、CD、DA 的中点，顺次连接E、F、G、H 得到的四边形EFGH 是平行四边形.我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH 被称为瓦里尼翁平行四边形，瓦里尼翁（Varingnon ，Pierre l654—1722）是法国数学家、力学家，瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形.②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半，此结论可借助图（1）证明如下：证明：如图(2)，连接AC ，分别交EH、FG 于点P、Q ,过点D 作DM ⊥AC 于点M ,交HG 于点N .∵H、G 分别为AD、CD 的中点∴HG //AC ,AC HG 21=,（依据1）∴GC DGNM DN =∵GCDG =∴DMNM DN 21==∵四边形EFGH 是瓦里尼翁平行四边形∴HE //GF ，即HP //GQ 又 HG //AC ,即HG ∥/PQ∴四边形HPQG 是平行四边形，（依据2）∴S ☐=HPQG MN HG ⋅=DMHG ⋅21∵DMHG DM AC S ADC ⋅=⋅=∆21∴S ☐=HPQG ADCS ∆21同理……任务：（1）填空：材料中的依据1是指.依据2是指.（2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD 及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH ，使得四边形EFGH 为矩形.（要求同时画出四边形ABCD 的对角线）（3）在图（1）中，分别连接AC、BD 得到图（3），请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH 的周长与四边形ABCD 对角线AC、BD 长度的关系，并证明你的结论.22.（本题12分）综合与实践问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图（1）中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC 和△DFE ，其中o 90=∠=∠DEF ACB ，D A ∠=∠.将△ABC 和△DFE 按图（2）所示方式摆放，其中点B 与点F重合（标记为点B ）.当A ABE ∠=∠时，延长DE 交AC 于点G .试判断四边形BCGE 的形状，并说明理由.数学思考：（1）请你解答老师提出的问题.深入探究：（2）老师将图（2）中的△DBE 绕点B 沿逆时针方向旋转，使点E 落在△ABC 内部，并让同学们提出新的问题.①“善思小组”提出问题：如图（3），当BAC ABE ∠=∠时，过点A 作AM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ，BM 与AC 交于点N .试猜想线段AM 和BE 的数量关系，并加以证明.请你解答此问题.②“智慧小组”提出问题：如图（4），当BAC ABE ∠=∠时，过点A 作AH ⊥DE 于点H ，若9=BC ，12=AC ，求AH 的长.请你思考此问题，直接写出结果.23.（本题13分）综合与探究如图，二次函数x x y 42+-=的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点B （1，3)，与y 轴交于点C（1）求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标.（2）点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m①当OC PD 21=时，求m 的值.②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ ⊥x 轴于点Q ，BQ 与OP 交于点F ，连接DF.设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值.2023年山西省初中学业水平考试数学（答案）10~1题：11题：312题：（22+n ）13题：314题：6115题：39716题：（1）原式=212418⨯-⨯112=-=（2）原式=124122222+=-++++x x x x x x 17题：原方程可化为)1(23111-=+-x x 方程两边同乘)1(2-x ，得3)1(22=-+x 解得23=x 检验：当23=x 时，0)1(2≠-x ∴原方程的解是23=x 18题：（1）696970（2）82244270484486=++⨯+⨯+⨯答：小涵的总评成绩为82分.（3）小涵能入选，小悦不一定能入选.理由：由题中20名学生的总评成绩频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且低于80分的学生有6名.小涵和小悦的总评成绩分别是82分、78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选.12345678910A C D C B B C D B A（1）设1个A 部件的质量为x 吨，1个B 部件的质量为y 吨.根据题意，得⎩⎨⎧==+y x y x 328.22（2）解得⎩⎨⎧==8.02.1y x 答：1个A 部件的质量为1.2吨，1个B 部件的质量为0.8吨.（2）设该卡车一次可运输m 套这种设备通过此大桥根据题意得308)38.02.1(≤+⨯+m 解得959≤m 因为m 为整数，所以m 的最大值为6答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥.20题：如图，过点E 作EF ⊥CD 于点F ，则o 90=∠EFD 在Rt△EFD 中，o 60=∠EDF ，6=ED ,ED EF EDF =∠sin ，EDFDEDF =∠cos ∴3323660sin 6sin o =⨯=⨯=∠⋅=EDF ED EF 321660cos 6cos o =⨯=⨯=∠⋅=EDF ED FD 延长AB 、DC 交于点H ，由题意得，o 90=∠H ，四边形AEFH 是矩形∴33==EF AH ，5.1==AE HF ∵5.035.3=-=-=FD CD CF ∴15.05.1=-=-=CF HF CH 在Rt△BCH 中，o 90=∠H ,o o o o 45135180180=-=∠-=∠BCD BCH ，BCCHBCH =∠cos ，CHBH BCH =∠tan ∴4.1222145cos 1cos o≈===∠=BCH CH BC 145tan 1tan o =⨯=∠⋅=BCH CH BH ∴2.4173.13133≈-⨯≈-=-=BH AH AB 答：BC 的长约为1.4m ，AB 的长约为4.2m（1）三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）（2）如图即为所求.（答案不唯一，只要符合题意均可得分）例如：（3）瓦里尼翁平行四边形EFGH 的周长等于四边形ABCD 对角线AC 与BD 长度的和.证明：∵点E、F、G、H 分别是边AB、BC、CD、DA 的中点∴AC EF 21=，ACGH 21=∴AC GH EF =+同理BDFG EH =+∴四边形EFGH 的周长BDAC FG EH GH EF +=+++=即瓦里尼翁平行四边形EFGH 的周长等于四边形ABCD 对角线AC 与BD 长度的和.22题：（1）四边形BCGE 为正方形.理由：∵o90=∠BED ∴o o 90180=∠-=∠BED BEG ∵A ABE ∠=∠∴AC//BE∴o 90=∠=∠BED CGE 又 o 90=∠，o 90=∠BEG ∴四边形BCGE 为矩形.∵△ACB ≌△DEB ∴BEBC =∴矩形BCGE 为正方形.（2）①BE AM =证明：∵AM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ∴CM ∠==∠o 90又∵BAC ABE ∠=∠,BA AB =∴△BAM ≌△ABC∴BCAM =又∵BCBE =∴BEAM =②AH 的长为527解答提示：如图，设AB 、DE 的交点为M ，过点M 作MG ⊥BD 于点G ∵△ACB ≌△DEB∴9==BC BE ，12==AC DE ,D BAC ∠=∠,DBEABC ∠=∠∴DBMCBE ∠=∠又∵BACCBE ∠=∠∴DBMD ∠=∠∴MB MD =（等角对等边）又∵MG ⊥BD∴点G 是BD 的中点（等腰三角形三线合一）由勾股定理得1522=+=DE BE BD ∴21521==BD DG ∵BD DE DM DG D ==∠cos ∴875121525=⨯=⋅=DE BD DG DM ∴875==DM BM ∴84587515=-=-=BM AB AM ∵AH ⊥DE ,BE ⊥DE ,BMEAMH ∠=∠∴△AMH ∽△BME∴53==BM AM BE AH ∴52795353=⨯==BE AM 23题：（1）对于x x y 42+-=，当y =0时，042=+-x x ，解得01=x ,42=x ∵点A 在x 轴正半轴上∴点A 的坐标为（4，0）设直线AB 的函数表达式为)0(≠+=k b kx y 将A、B 两点的坐标（4，0），（1，3）分别代入b kx y +=得⎩⎨⎧=-=41b k ∴直线AB 的函数表达式为4+-=x y将x =0代入4+-=x y ，得y =4∴点C 的坐标为（0，4）（2）①∵点P 在第一象限内二次函数x x y 42+-=的图象上，且PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，其横坐标为m∴点P、D 的坐标分别为P（m ，m m 42+-）、D （m ，4+-m ）∴m m PE 42+-=,4+-=m DE ,mOE =∵点C 的坐标为（0，4）∴4=OC ∵OC PD 21=∴2=PD 如图（1），当点P 在直线AB 上方时，45)4(422-+-=+--+-=-=m m m m m DE PE PD ∵2=PD ∴2452=-+-m m ，解得21=m ，32=m 如图（2），当点P 在直线AB 下方时，45)4(422+-=+--+-=-=m m m m m PE DE PD ∵2=PD ∴2452=+-m m ，解得275±=m ∵10<<m ∴2175-=m 综上所述，m 的值为2、3或2175-②如图（3），由①得m OE =,m m PE 42+-=,4+-=m DE ∵BQ ⊥x 轴于点Q ,交OP 于点F ，点B 的坐标为（1，3）∴1=OQ ,o90=∠OQF ∵点P 在直线AB 上方∴1-=m EQ ∵PE ⊥x 轴于点E∴o90=∠=∠OEP OQF∵FQ //DE∴△FOQ ∽△POE ∴OE OQ PE FQ =∴mm m FQ 142=+-∴442+-=+-=m mm m FQ ∴四边形FQED 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）又∵PE ⊥x 轴∴四边形FQED 为矩形∴45)4)(1(2-+-=+--=⋅=m m m m FQ EQ S ∵49)25(4522+--=-+-=m m m S ,01<-,41<<m ∴当25=m 时，S 取最大值，最大值为49。
2024年山西省学业水平考试数学试题
2024年山西省学业水平考试数学试题一、单选题1．计算134⎛⎫÷- ⎪⎝⎭的结果是（ ）A ．12B ．12-C ．43-D ．112-2．百度地图秉持“科技让出行更简单”的品牌使命，以“科技”为手段不断探索创新，已经发展成为国内领先的互联网地图服务商．下面是百度地图APP 中的四个图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列运算正确的是（ ） A ．23534a a a += B ．()3326a a -=-C ．2D 4．如图，是一种结构简单的长方体空心结构件，具有较高的强度和刚性，其应用广泛．图中箭头所指方向为正面，则该结构件的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点A 的坐标为(11)，--，点B 的坐标为(11)，，则点C 的坐标为（ ）A ．()2,2-B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,1-6．不等式组()52234x x -≥⎧⎨+>⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知点()11,A x y ，()22,B x y 在反比例函数6y x=的图象上，若120x x <<，则下列结论正确的是（ ） A ．120y y >> B ．120y y << C ．120y y <<D ．120y y <<8．《山西省城乡垃圾管理条例》于2024年1月1日起施行，以推动实现城乡垃圾减量化、资源化、无害化．据统计，2023年我省某城区生活垃圾无害化处理能力为0.8万吨/日，预计2025年生活垃圾无害化处理能力将达到1.2万吨/日．如果设这两年该城区生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x ，那么根据题意可列方程为（ ） A ．()0.81 1.2x += B ．()0.812 1.2x += C ．()20.81 1.2x -=D ．()20.81 1.2x +=9．如图，在两个大小相同的玻璃瓶中分别装有质量相同且初始温度均为16℃的豆浆和牛奶，同时浸入100℃的热水中加热相同的时间，已知牛奶比豆浆的温度升高得慢，则上述实验的一段时间内，牛奶和豆浆的温度T （℃）随加热时间()min t 变化的图象是（ ）A．B．C．D．10．将直尺和量角器按如图方式摆放，其中AB为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与量角器所在半圆相切于点C，并与BA的延长线交于点D．已知点C，D在直尺上对应的刻度分别为0和3，点C在量角器上对应的外圈刻度为60 ，则图中阴影部分的面积为（）A B C ．2πD二、填空题11．计算()23a +的结果是12．如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形……按此规律，第n 个图案中有个正三角形．（用含n 的代数式表示）13．山西是戏剧大省，典型剧种以晋剧、蒲剧、北路梆子和上党梆子为代表，被称为“四大梆子”．在“戏曲文化进校园”活动中，某班开展戏剧知识宣讲，每个小组可随机选择“四大梆子”中的一个剧种进行宣讲，则甲、乙两个小组选择同一剧种的概率为．14．如图，在ABC V 中，AB AC =，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧交AC 于点C 和点D ，再分别以点C 和点D 为圆心，大于12DC 长为半径画弧，两弧相交于点F ，作射线BF 交AC于点E ．若40A ∠=︒，则EBC ∠=度．15．如图，在矩形ABCD 中，4,6AB BC ==，点E ，F 分别是AB BC ，的中点，连接DE ，点G 在线段DE 上，若45FGE ∠=︒，则FG 的长为．三、解答题16．（1）计算：()311153532-⎛⎫⎛⎫-⨯-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）先化简再求值：2132111a a a a a --⎛⎫+÷ ⎪+-+⎝⎭，其中3a =- 17．山西科技馆是一座集科普展览、科教影视、科技培训、学术交流和天文观测等多功能为一体的重要科普场所．为让学生直观感受科技的魅力，学校组织九年级师生参观科技馆．已知学校租用了A ，B 两种型号的大巴车共6辆，其中每辆A 型大巴车载客45人，每辆B 型大巴车载客60人，前往参观的师生330人正好坐满全部座位．求租用A 型和B 型大巴车的数量．18．2024年3月23日是第64个世界气象日，今年世界气象日的主题是“气候行动最前线”．学校借此机会举行气象知识竞赛，要求每班选派10名同学参加（满分10分，成绩为整数），比赛结束后，竞赛组委会将八年级甲、乙两班参赛同学的成绩汇总并绘制成下面的条形统计图．(1)两个班的成绩分析如表：填空：a =，b =．(2)参赛同学小婷说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游略偏上！”观察上表可知，小婷是班的学生（填“甲”或“乙”）；(3)你认为甲乙两班哪个班成绩更好？请结合上表中的两种统计量说明理由．19．在省城太原轨道交通1号线工程建设中，迎泽公园北门牌楼穿着“轮滑鞋”向南平移24米，开创了我市仿古类建筑物平移施工先河！综合实践小组的同学按如图的方式测量迎泽公园北门牌楼高度AB ：①在牌楼前空地上取测量点P ，测得牌楼最高点A 的仰角35ACD ∠=︒；②改变测量点至Q 处，测得此时点A 的仰角45AEF ∠=︒；③测得6PQ =米，0.5CP =米，1EQ =米（已知图中各点均在同一竖直平面内，点B ，P ，Q 在同一水平直线上）．请根据该小组的测量数据计算牌楼的高度AB ．（结果精确到1米，参考数据：350.57350.82350.70sin cos tan ︒≈︒≈︒≈，，）20．阅读与理解下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网格由边长为1的小正方形组成的正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形．利用正方形网格可以构造格点直角三角形的角平分线．如图1，已知ABC V 是格点三角形，由网格可知，90ABC ∠=︒，2AB BC =．可以用如下两种方法构造ABC V 的角平分线．方法一：延长BC 到格点D ，使CD BC =．连接AD ，利用网格找出AD 的中点F ，连接BF 交边AC 于点P ，线段BP 即为ABC V 的角平分线．理由如下： ∵CD BC =， ∴2BD BC =， ∵2AB BC =， ∴AB BD =，又∵点F 是AD 的中点， ∴BF 平分ABD ∠（依据）， 即BP 为ABC V 的角平分线．方法二：如图2，延长BC 到格点D ，使CD BC =．利用网格在AB 上取格点E ，使BE =BC ，连接DE 交AC 于点P ，连接BP ，线段BP 即为ABC V 的角平分线．理由如下： 同方法一可得，AB BD =， ∵BE BC =，ABC DBE ∠=∠， ∴ABC DBE ≌△△， ∴A D ∠=∠．∵AB BE BD BC -=-， ∴AE DC =． 又∵APE DPC ∠=∠， ∴APE DPC ≌△△． …(1)请写出方法一中“依据”的内容：； (2)请将方法二中的说理过程补充完整；(3)按照材料中的思路，请你在图3中作出ABC V 的角平分线BP ． 21．项目化学习项目主题：优化大豆种植密度项目背景：大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”．某校综合实践小组以探究“大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究大豆产量与种植密度的关系 研究步骤：（1）在劳动实践基地中选定6块单位面积（1平方米）的地块作为试验田，并选定适宜的大豆品种；（2）在不同试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其它变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计； （3）数据分析，形成结论． 试验数据：问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务：(1)根据表中信息可知，单位面积试验田中大豆单株的平均产量y （粒）是种植株数x （株）的函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y 与x 的函数关系式为（3080x ≤≤）；(2)若要使单位面积试验田中大豆的总产量（单位：粒）最大，请通过计算说明单位面积实验田中大豆植株种植数量的方案． 22．综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以矩形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在矩形ABCD 中，点O 为对角线BD 的中点，连接CO ．点E 在AB 边上，且BE BO =，线段EO 的延长线交CD 于点F ．猜想证明：（1）“笃学”小组发现DF OC =，请你证明这一结论； 操作探究：（2）“勤思”小组将图1中的BOE △绕B 点顺时针旋转（设点O ，E 的对应点分别为O E ''）在认真分析旋转到不同位置时的情形后，提出如下问题，请你解答：①如图2，当点O '落在AB 的延长线上时，连接CE '，判断四边形OBE C '的形状，并说明理由； ②若8,6AB AD ==，当线段O E ''所在直线与EF 所在直线垂直时，直接写出,A O '两点间的距离． 23．综合与探究如图，已知抛物线²y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -，B 4,0 两点，与y 轴交于点C ，作直线BC ．(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点C 的坐标；(2)如图2，点D 是第二象限抛物线上的一个动点，过点D 作y 轴的垂线，与第一象限的抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ，与y 轴交于点P ，点C 关于直线DE 的对称点为y 轴上的点C '．设点D 的横坐标为m ．请探究如下问题： ①当点F 是线段DE 的中点时，则线段CC '的长为； ②当CC DE '=时，求m 的值；③试探究：点D 在运动过程中，是否存在某一位置，使得12C AO ABC ∠∠'=若存在，请直接写出CC 的长；若不存在，请说明理由．。
山西省太原市2024-2025学年高二上学期11月期中学业诊断数学试题(含答案)
2024~2025学年第一学期高二年级期中学业诊断数学试卷（考试时间：上午7：30-9：00）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分.题号一二三四总分得分一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D.2.圆的圆心坐标为（ ）A. B. C. D.3.过点和的椭圆的标准方程为（ ）A. B. C. D.4.已知，，且，则（ ）A. B. C. D.5.已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为（ ）A. B. C. D.6.已知直线与圆相交于，两点，则的最小值是（ ）A.1B.2D.7.已知椭圆的左、右焦点分别是，，若椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围为（ ）y x =30︒60︒120︒150︒22620x y x y ++-=()3,1-()3,1-()6,2-()6,2-()3,0()0,222132x y +=22194x y +=22123x y +=22149x y +=()1,1,a m =- ()2,,6b n =-a b ∥(),m n =()3,2-()2,3-()3,2-()2,3-l ()1,021y x =-+l 220x y +-=220x y --=210x y +-=210x y --=()():10l x m y m m +-+=∈R 22:4C x y +=A B AB ()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F C M12120F MF ∠=︒C eA. B. C. D.8.在如图所示的试验装置中，正方形框ABEF 的边长是2，矩形框ABCD 中，它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在线段AC 和BF 上移动，则MN 的长的最小值为（ ）A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知椭圆，则下列说法正确的是（ ）A.是椭圆的一个顶点 B.是椭圆的一个焦点C.椭圆的离心率 D.椭圆的短轴长为10.已知正四棱锥中，，是PB 的中点，是底面ABCD 的中心，则下列说法正确的是（ ）A.B.直线DE 与APC.直线DE 与平面ABCDD.点到直线DE11.已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭2AB AD =M N 2322:134x y C +=()2,0C ()0,1C C 12e =C P ABCD -PA AB ==E O DE AC⊥O (),P x y ()22:21M x y -+=A.的最小值为B.的最小值为C.的最大值为D.的最大值为三、填空题（本题共3小题，每小题3分，共9分）12.直线在轴上的截距为______.13.已知圆经过直线与圆的公共点和点，则圆的一般方程为______.14.已知点是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值是______.四、解答题（本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分8分）已知的三个顶点，，.（1）求边AB 上的中线所在直线的一般式方程；（2）求边AB 上的高所在直线的斜截式方程.16.（本小题满分8分）如图，四面体OABC 各棱的棱长都是，是的中点，在上，且，记，，.（1）用向量，，表示向量；（2）求OE 的长.17.（本小题满分10分）已知圆与圆.（1）若圆与圆相内切，求的值；yx2226x y x y ++-9-x y -1+2x y +410x y +-=y C 1y x =-221x y +=()1,1C F 22:143x y C +=P C ()0,1A PA PF +ABC △()1,2A -()3,0B ()0,2C -1D AB E CD2DE EC = OA a = OB b = OC c = a b c OE221:1C x y +=222:40C x y y F +-+=1C 2C F（2）在（1）的条件下，直线被圆截得的弦长为的值.18.（本小题满分10分）如图、四棱锥的底面ABCD 是菱形，，.（1）求证：平面平面ABCD ；（2）求平面PAB 与平面PCD 的夹角的余弦值.19.（本小题满分13分）椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，有一根旋杆将两个滑标连成一体，为旋杆上的一点且在，两点之间.当滑标在滑槽内作往复运动时，滑标在滑槽GH 内随之运动，放置于处的笔尖便可画出椭圆，即动点的轨迹为椭圆.如图2所示.设EF 与GH 交于点，以EF 所在的直线为轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，记，.（1）若，，求椭圆的方程；（2）证明：动点的轨迹为椭圆；（3）若，过作两条互相垂直的射线分别交椭圆于点、，求证：点到直线PQ 距离为定值.y kx =2C k P ABCD -PA PD ==2PB AB BD ===PAD ⊥M N D M N ()ND DM ≠M EF N D D C O x ND a =DM b =()0,0a b >>4MN =3ND DM =C D C a b >O C P Q O2024～2025学年第一学期高二年级期中学业诊断数学试题参考答案及评分建议一.单项选择题：DA B C A D B C 二.多项选择题：9.B CD10.ACD11.ABD三.填空题：12.113.14.四.解答题：15.解：（1）设是边AB 的中点，则，…2分边AB 上的中线CD 的一般式方程为；……4分（2），，，边AB 上的高所在直线的斜率，…6分边AB 上的高所在直线的斜截式方程为.……8分16.（1）解：连接OD ，则；……4分（2）由（1）得，，.……8分17.解：（1），，，……2分，，，，……4分圆与圆相内切，，，；……5分（2）由（1）得，圆的方程为，，，……7分故圆心到直线的距离，……10分18.（1）证明：设是AD 的中点，连结OP ，OB ，四边形ABCD 是菱形，，，2220x y x y ++--=4(),D x y 131,2201,2x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪-+===⎩=+()1,1D ∴∴320x y --=()1,2A - ()3,0B 12AB k ∴=-∴2k =∴22y x =-()221333OE OD DE OD DC OD OC OD OD =+=+=+-=+()212112363663OC OA OB OC a b c =++=++()146OE a b c =++()()22222114162883636OE a b c a b c a b b c c a∴=++=+++⋅+⋅+⋅ 111131116288362224⎛⎫=+++⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭OE ∴= 221x y += ()10,0C ∴11r =2240x y y F +-+= ()2224x y F ∴+-=-()20,2C ∴2r = 1C 2C 1221C C r r ∴=-21∴=-5F ∴=-5F =-2C ()2229x y +-=()20,2C 23r =2C y kx =1d ===k ∴=O 2AB BD ==OB AD ∴⊥OB =，，，平面ABCD ，平面平面ABCD ；（2）由（1）得，，，以为原点，OA ，OB ，OP 所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，设是平面PAB 的一个法向量，则令，……6分设是平面PCD 的一个法向量，则令，则，……8分，平面PAB 与平面PCD的夹角的余弦值为.……10分19.解：（1）由题意可设椭圆的方程，则，，椭圆的方程为；…3分（2）解法一：设，，，PA PD == OP AD ∴⊥1OP =2224PB OP OB ∴=+=,OP OB OP ∴⊥∴⊥∴PAD ⊥OB AD ⊥OP OA ⊥OP OB ⊥O x y z ()1,0,0A ()B ()C -()1,0,0D -()0,0,1P ()111,,m x y z =11110,,0,,x z m PA x m AB ⎧-=⎧⊥⎪⎪∴⎨⎨-+=⊥⎪⎪⎩⎩1x =m = ()222,,n x y z =2222220,,,0,x z n PC n CD x ⎧⎧+=⊥⎪⎪∴⎨⎨⊥=⎪⎪⎩⎩ 21y =n = 1cos ,7m n m n m n ⋅∴==⋅∴17C ()222210x y a b a b+=>>334a ND MN ===114b DM MN ===∴C 2219x y +=(),D x y (),0M m ()0,N n由题意得，，，，，整理得，当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆；当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆.……8分解法二：设，，由题意得，，则，即，当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆；当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆.……8分（3）由题意可得椭圆的方程，当直线PQ 的斜率不存在时，设其方程为，则点到直线PQ9分当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为，，，由得，x x m NDaa b==+y y n DMba b==+()a b x m a+∴=()a b yn b+=()()()22222a b x a b y m n a b a b ⎡⎤⎡⎤++∴+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22221x y a b+=a b >D C ND DM a b <D C DM ND (),D x y OMN θ∠=cos x NDθ=sin y DMθ=2222cos sin 1x y ND DM θθ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221x y a b +=a b >D C ND DM a b <D C DM ND C ()222210x y a b a b+=>>()00x x a x a =-<<0x =∴O y kx m =+()11,P x y ()22,Q x y 2222,1y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()()2222222220a k b x a kmx a m b +++-=()212222222122222,,a kmx x a k b a m b x x a k b ⎧+=-⎪+⎪∴⎨-⎪=⎪+⎩，，，即，……12分点到直线PQ 距离为，综上所述，点到直线PQ.……13分OP OQ ⊥ ()()221212121210OP OQ x x y y k x x km x x m ∴⋅=+=++++=()()2222221a b k m a b ∴+=+()2222221a b k m a b +=+∴O d ==O。
2023年山西省普通高中学业水平考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知是第二象限角，，则（ ）A．B．C．D．2. 中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ）A ．3斤B ．6斤C ．9斤D ．12斤3.（ ）A．B．C．D．4.已知展开式中的常数项为,且,则（ ）(附：若随机变量,则,)A．B．C．D．5. 对于个向量，若存在个不全为0的示数，使得：成立；则称向量是线性相关的，按此规定，能使向量，，线性相关的实数，则的值为（ ）A．B ．0C ．1D ．26. 球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的球面距离.已知正的顶点都在半径为的球面上，球心到所在平面距离为，则、两点间的球面距离为（ ）A ．B．C．D．7. 已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（ ）A．B．C．D ．88. 已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9. 甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b ，得到的根为或，乙写错了常数c ，得到的根为或，则下列是原方程的根的是（ ）A．B．C．D．10. 若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则与同向的单位向量为C ．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为2023年山西省普通高中学业水平考试数学试题2023年山西省普通高中学业水平考试数学试题三、填空题四、解答题D ．若，则的最小值为11. 如图所示，平行六面体中，，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且，则下列结论正确的是（）A．B ．平面C．D．12.已知数列的前项的和为，，，，则下列说法正确的是（ ）A．B ．是等比数列C．D．13.设二项式的展开式中常数项为A ，则________．14. 已知函数，在点处的切线与直线平行，则的值为___________.15. 已知，与一条坐标轴相切，圆心在直线上.若与相切，则的一个方程为________.16.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图；（1）求高一参赛学生的成绩的众数、中位数；（2）求高一参赛学生的平均成绩．17. 已知函数（其中为自然对数的底数）.(1)讨论函数的导函数的单调性；(2)设，若x ＝0为g （x ）的极小值点，求实数a 的取值范围.18.如图所示，在三棱锥中，平面，，，、分别为线段、上的点，且，.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.19. 某老师对全班名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如下所示：参加社团活动不参加社团活动合计学习积极性高学习积极性一般合计(1)请把表格数据补充完整；(2)若从不参加社团活动的人按照分层抽样的方法选取人，再从所选出的人中随机选取两人作为代表发言，求至少有一个学习积极性高的概率；(3)运用独立性检验的思想方法分析：请你判断是否有的把握认为学生的学习积极性与参与社团活动由关系？附：20. 如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．(1)求证：平面平面；(2)点在线段上运动，且，若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求的值．21. 已知是各项均为正数的等比数列，是与的等差中项且．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．。
山西省晋中市榆次区2023-2024学年八年级上学期期中学业水平质量监测数学试卷(含解析)
榆次区2023-2024学年第一学期期中学业水平质量监测题（卷）八年级数学注意事项：1．本试卷共8页，满分100分，考试时间90分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1. 64的平方根是（）A. 8B.C.D. 4答案：C解析：解：64的平方根是：，故选：C．2. 在平面直角坐标系中，点的位置在（）A. 第二象限B. 第四象限C. 轴上D. 轴上答案：D解析：解：平面直角坐标系中，点所在的位置是轴上，故选：D．3. 下列实数中的无理数是（）A. B. C. D.答案：A解析：解：开方开不尽，是无理数；，是分数，是整数，都属于有理数；故选：A．4. “赵爽弦图”（图1）通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了一个重要的数学定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，这个图案被选为2002年国际数学家大会的会徽（图2）．利用这个图形证明的重要数学定理是（）A. 三角形内角和定理B. 勾股定理C. 勾股定理的逆定理D. 全等三角形的判定定理答案：B解析：解：由勾股定理相关的数学背景可知：“赵爽弦图”是对勾股定理的验证．故选：B．5. 下列计算正确的是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：A、，此选项不符合题意；B、，此选项不符合题意；C、，此选项不符合题意；D、，此选项符合题意．故选：D．6. 以下四组数据中不能作为直角三角形的三边长的是（）A. B. C. D.答案：D解析：解：A、，故不符合题意；B、，故不符合题意；C、，故不符合题意；D、，故符合题意；故选：D．7. 某校开展了主题为“生活中的一次函数”的项目学习，同学们找到了许多生活中的函数．下面实例中，变量之间的关系不是一次函数的是（）A. 家庭用水的单价为4.1元，每月的水费支出与用水量之间的关系B. 百米赛跑中，时间与速度之间的关系C. 相同规格的A4纸整齐放置，纸的厚度与纸的张数之间的关系D. 普通钟表指针转动的角度与所用时间的关系答案：B解析：解：A、家庭用水的单价为4.1元，每月的水费支出与用水量之间的关系是一次函数关系，不符合题意；B、百米赛跑中，时间与速度之间的关系是不是一次函数关系，符合题意；C、相同规格的A4纸整齐放置，纸的厚度与纸的张数之间的关系是一次函数关系，不符合题意；D、普通钟表指针转动的角度与所用时间的关系是一次函数关系，不符合题意．故选：B．8. 如图1，大树移植后常用木头支撑．将其中一根木头的支撑情况抽象为数学图形（图2），如果木头的长为1.8米，木头底端A到树底端C的距离长为1米，则的长度在（）A. 1.2米到1.3米之间B. 1.3米到1.4米之间C. 1.4米到1.5米之间D. 1.5米到1.6米之间答案：C解析：解：由勾股定理，得(米)∵，，∴∴长度在1.4米到1.5米之间故选：C．9. 如图是一个数值转换器，如果输入的为81，则输出的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：当时，取算术平方根为9，是有理数，代入，取算术平方根为3，是有理数，代入，取算术平方根为，是无理数，则输出为．故选：A．10. 小磊在画一次函数的图象时列出了如下表格，小颖看到后说有一个函数值求错了．这个错误的函数值是…012……852…A. 5B. 2C.D.答案：C解析：解：设一次函数的表达式为：，由表得：，解得：，，当时，，当时，，当时，，当时，，这个错误函数值为，故选C．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11. 的绝对值是_____．答案：12. 如图是杭州亚运会火炬传递线路图，小红和小亮想利用平面直角坐标系的相关知识标记各站点．他们将其置于正方形网格中，宁波站的坐标为，舟山站的坐标为，则丽水站的坐标为________．答案：解析：解：由，可建立如图所示的平面直角坐标系：∴点C的坐标是．故答案为：．13. 复习课上，同学们根据一次函数所满足的性质写表达式．小华说：“一次函数图象经过点，小丽说：“该函数中，的值随着值的增大而减小”，则该一次函数表达式可以是________．（写出一种即可）答案：（答案不唯一）解析：解：设一次函数的解析式为，∵y随着x的增大而减小，∴，∵图象过点，∴，∴符合条件的解析式可以为：．故答案为：（答案不唯一）．14. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是________ ．答案：15解析：解：由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示：，∴在中，；②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示：，∴在中，；∵，∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是15，由长方体的特征可得其他途径必定比①②两种更远，故不作考虑；故答案为：15．15. 如图，在中，，动点在射线上移动，连接．如果，则线段的长为________．答案：或解析：解：由勾股定理，得，①当点P在线段上时，如图，∵，，∴∴，设，则，在中，由勾股定理，得解得：；②当点P在线段延长线上时，如图，在上截取，连接，∵，∴，∵，∴∴，∵，，∴∴∴，由①可得，∴，∴，综上，线段的长为或．三、解答题（本大题共8个小题，共55分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. 计算：（1）；（2）；（3）．答案：（1）（2）（3）小问1解析：解：原式；小问2解析：解：原式；小问3解析：解：原式17. 如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点均在格点上，且．（1）请在图中画出与正方形关于轴对称正方形；（2）直接写出正方形与正方形的对应顶点的坐标满足的关系：横坐标，纵坐标；（3）正方形的面积为．答案：（1）见解析（2）互为相反数，相同（3）20小问1解析：如图所示；小问2解析：直接写出正方形与正方形的对应顶点的坐标满足的关系：横坐标互为相反数，纵坐标相同；小问3解析：正方形的面积．18. 某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间可以用下面的公式“”来估计，其中是雷雨区域的直径．（1）如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约持续多长时间？（结果精确到）（2）如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径是否超过？答案：（1）如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约能持续大约持续（2）如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径没有超过小问1解析：当时，，根据题意，得，答：如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约能持续大约持续．小问2解析：当时，，即，所以．又因为，且，所以．答：如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径没有超过．19. 已知，，，（为大于1的正整数）．试问是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由．答案：是直角三角形，且边所对角是直角，理由见解析解析：解：∵，；∴；∵；∴为最长边；，且，．是直角三角形，且边所对角是直角．20. 如图，正比例函数的图象经过点．（1）求的值；（2）请在如图的坐标系中画出一次函数的图象；（3）根据图象，写出与一次函数有关的一个结论：．答案：（1）（2）见解析（3）随的增大而增大小问1解析：解：将代入，得：，解得：．小问2解析：将的图象向上平移3个单位得到的图象，函数图象如图所示：小问3解析：，随的增大而增大（答案不唯一）．21. 如图，某学校劳动实践基地有一块正方形空地，七、八年级分别在空地上开垦出两块面积为和的正方形区域进行种植试验．求这块正方形空地（正方形）的面积．答案：这块正方形空地的面积为解析：解：答：这块正方形空地的面积为．解法二：答：这块正方形空地的面积为．22. 阅读下列材料，并完成相应任务．巧用勾股定理测算旗杆高度数学活动课上，老师让同学们利用升旗的绳子、卷尺设计一个方案，测算出学校旗杆的的高度．小李同学将升旗的绳子拉直到其末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端的距离为(如图1)．小李同学发现无法求出旗杆的高度．小明同学将绳子拉直到其末端距离旗杆处，测得此时绳子末端距离地面的高度为(如图2)．小明同学也发现无法求出旗杆的高度．他俩去请教老师，老师给出提示：你俩的方法结合一下便可以解决问题，因为不管怎么拉动绳子，绳子的长度不变，…任务：请你按照老师的提示帮小李和小明求出旗杆的高度．答案：旗杆的高度为解析：解：设旗杆的高度为，由图1得，绳子的平方为：，由图2得，绳子的平方为：，∴，解得：，答：旗杆的高度为．23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于两点，一次函数的图象经过点，并与轴交于点．（1）求两点的坐标；（2）求的面积；（3）在平面内是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．答案：（1），（2）（3）存在，点的坐标为或小问1解析：令，得，解得，．令，得．小问2解析：将代入中，得，所以．令，得，所以，所以．所以．小问3解析：如图所示，当是等腰直角三角形时，过点B作，过点P作，过点A作，∵，∴，∵∴∵∴∵，∴∴，∴点的横坐标为，点的纵坐标为，∴点的坐标为；当是等腰直角三角形时，同理可得，∴，∴∴点的坐标为综上所述，当点P的坐标为或时，是以点为直角顶点的等腰直角三角形．。
山西省2023-2024学年高二上学期普通高中学业水平合格性考试适应性测试数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知是定义域为的奇函数，满足.若，则（ ）A．B．C ．50D．2. 点到直线的距离的最大值为（ ）A ．1B．C．D．3. 已知向量，，则在方向上的投影为（ ）A．B．C．D．4. 拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若在上满足以下条件：①在上图象连续，②在内导数存在，则在内至少存在一点，使得（为的导函数）．则函数在上这样的点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45. 函数的部分图象大致是（ ）A．B．C．D．6. 某单位为了解办公楼用电量y （度）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了四个工作日用电量与当天平均气温，如下表：气温x （℃）181310－1用电量y （度）24343864由表中数据得到线性回归方程为，当气温为－4℃时，预测用电量为（ ）A ．69度B ．68度C ．66度D ．52度7.（ ）A ．9B ．3C ．2D．8. 已知集合，则（ ）A．B．C．D．9. 若函数，则下列说法正确的是（ ）A ．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到B．函数的图象关于直线对称C ．函数的图象关于点对称D ．函数在上为增函数山西省2023-2024学年高二上学期普通高中学业水平合格性考试适应性测试数学试题三、填空题四、解答题10.已知正方体的棱长为为空间中任一点，则下列结论中正确的是（ ）A．若为线段上任一点，则与所成角的余弦值范围为B．若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为C．若在正方形内部，且，则点轨迹的长度为D．若三棱锥的体积为恒成立，点轨迹的为圆的一部分11.已知，则下列不等式正确的是（ ）A．B．C．D．12.已知函数的部分图象如图所示，则（）A．函数的最小正周期为πB ．点是曲线的对称中心C ．函数在区间内单调递增D ．函数在区间内有两个最值点13.若，则___________.14. 已知双曲线的焦距为4，焦点到C 的一条渐近线的距离为1，则C 的渐近线方程为______15. 已知，其中e 是自然对数的底数，若，则实数a 的取值范围是_________．16.公比为的等比数列的前项和.(1)求与的值；(2)若，记数列的前项和为，求.17. 若抛物线的焦点为，是坐标原点，为抛物线上的一点，向量与轴正方向的夹角为60°，且的面积为.（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，求当取得最大值时，直线的方程.18. 已知函数.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)当，时，证明：.19. 如图，在四棱锥中，，且.（1）证明：平面平面；（2）若，，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．20.如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，，是棱的中点．(1)证明：平面；(2)若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值．21. 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.单位：只抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.参考公式：(其中为样本容量)参考数据：0.500.400.250.150.1000.0500.025 0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024。
2023年山西省普通高中学业水平考试数学试题(1)
一、单选题1. 已知，是平面内互相垂直的单位向量，且，，则与夹角余弦值为（ ）A．B．C．D．2. 复数满足为纯虚数，且，则可能为（ ）A．B．C．D．3. 已知定义在R上的函数的图象关于点对称，若对任意的有（是函数的导函数）成立，且，则关于x的不等式的解集是（ ）A．B．C．D．4. 已知复数（，是虚数单位）．若，则的虚部是（ ）A．B．C．D．5. 第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举办.某学院对该院收看第一轮小组赛的16场比赛每场比赛的人数进行统计，整理数据，得到如图所示的折线图，根据此折线图判断，下列结论正确的是（）A ．这16场比赛中，收看每场比赛的人数的极差大于85B ．这16场比赛中，收看每场比赛的人数的平均数大于132C ．这16场比赛中，收看每场比赛的人数的中位数为130D ．收看前5场比赛的人数的方差小于收看后5场比赛的人数的方差6. 三棱锥中，平面，，．过点分别作，交于点，记三棱锥的外接球表面积为，三棱锥的外接球表面积为，则（）A．B．C．D．7. 已知复数（为虚数单位），则（ ）A．B．C．D ．28. 某人周一至周五每天6：30至6：50出发去上班，其中在6：30至6：40出发的概率为0.4，在该时间段出发上班迟到的概率为0.1；在6：40至2023年山西省普通高中学业水平考试数学试题(1)2023年山西省普通高中学业水平考试数学试题(1)二、多选题三、填空题6：50出发的概率为0.6，在该时间段出发上班迟到的概率为0.2，则小王某天在6：30至6：50出发上班迟到的概率为（ ）A ．0.3B ．0.17C ．0.16D ．0.139. 2020年突如其来的新冠肺炎疫情对房地产市场造成明显的冲击，如图为某市2020年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，某同学根据折线图对这7天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套）作出如下判断，则判断正确的是（）A ．日成交量的中位数是16B ．日成交量超过平均成交量的只有1天C ．10月7日认购量量的增长率大于10月7日成交量的增长率D ．日认购量的方差大于日成交量的方差10.如图，在正三棱柱中，，，则下列结论正确的是（）A ．不存在，使得异面直线与垂直B．当时，异面直线和所成角的余弦值为C ．若，当时，三棱锥的外接球的表面积为D．过且与直线和直线所成角都是的直线有两条11.已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点）则下列说法正确的是（ ）A ．若、、三点共线，则的最小值为B．若，则的面积为C ．若，则直线过定点D ．若，过的中点作于点，则的最小值为12. 下列说法正确的是（ ）A ．一组数据2、3、3、4、5、7、7、8、9、11的第80百分位数为8.5B．在回归分析中，可用决定系数判断模型拟合效果，越小，模型的拟合效果越好C ．若变量服从，，则D ．将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差13. 已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥侧面展开图的圆心角的大小为_________．四、解答题14.定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集是__．15. 写出一个截两坐标轴所得的弦长相等且半径为1的圆的标准方程______．16. 已知双曲线的离心率是，实轴长是8.(1)求双曲线C 的方程；(2)过点的直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点A 和B ，若直线l 上存在不同于点P 的点D 满足成立，证明：点D 的纵坐标为定值，并求出该定值.17.如图，在五面体中，点O 是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱且．(1)证明：平面；(2)设，证明：平面．18. 已知，函数（是自然对数的底数）(1)求函数的单调区间;(2)若函数在区间内无零点，求的最大值.19. 已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间（2）若对，不等式恒成立，求c 的取值范围.20. 已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线与椭圆交于两点，且椭圆的离心率为，的周长等于.（1）求椭圆的方程；（2）当时，求直线的方程.21. 的内角的对边分别是，已知，且的面积为24.(1)求；(2)若，求.。
2022年山西省普通高中学业水平考试数学试题
一、单选题二、多选题1.设抛物线，直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，若S 为的准线上一点，的面积为，则（ ）A．B．C．D．2. 已知全集，集合，则（ ）A．B．C．D．3. 已知函数的图象如图所示，则此函数可能是（）A．B．C．D．4.设函数的定义域为，有下列三个命题：（1）若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最大值；（2）若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；（3）若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值；这些命题中，真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5. 复数满足，则（为的共轭复数）（ ）A．B．C．D ．6. 某医药研究所研发了一种治疗某疾病的新药，服药后，当每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效．据监测，服药后每毫升血液中的含药量y （单位：毫克）与时间t（单位：时）之间满足如图所示的曲线，则服药一次后治疗疾病的有效时间为（ ）A．B．C ．5D ．67. 把不超过的最大整数记作，如，，，若实数，满足，且，则（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98. 已知单位向量，的夹角为，若向量，，且，则( )A．B ．2C ．4D ．69.已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有两条，则实数的值为（ ）A．B．C ．D．10.在矩形中，，，以对角线BD 为折痕将△ABD 进行翻折，折后为，连接得到三棱锥，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）2022年山西省普通高中学业水平考试数学试题2022年山西省普通高中学业水平考试数学试题三、填空题四、解答题A ．三棱锥体积的最大值为B ．点都在同一球面上C ．点在某一位置，可使D ．当时，11.已知数列的前项和为，若，且对，都有，则（ ）A．是等比数列B．C．D．12. 以下关于概率与统计的说法中，正确的为（ ）A ．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本.已知该校高一､高二､高三年级学生之比为，则应从高二年级中抽取20名学生B ．10件产品中有7件正品，3件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为C ．若随机变量服从正态分布，，则D．设某学校女生体重(单位：)与身高(单位：)具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，若该学校某女生身高为，则可断定其体重必为13.不等式的解集为_________．14. 已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥的体积为________15. 设全集若集合则______.16. 为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型：以表示第个时刻进入园区的人数；以表示第个时刻离开园区的人数.设定以分钟为一个计算单位，上午点分作为第个计算人数单位，即；点分作为第个计算单位，即；依次类推，把一天内从上午点到晚上点分分成个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）.（1）试计算当天点至点这一小时内，进入园区的游客人数、离开园区的游客人数各为多少？（2）假设当日园区游客总人数达到或超过万时，园区将采取限流措施.该单位借助该数学模型知晓当天点（即）时，园区总人数会达到最高，请问当日是否要采取限流措施？说明理由.17. 为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响．（1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望；（2）若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．①求，，；②规定，且有，请根据①中，，的值求出、，并求出数列的通项公式．18. 为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送位同行专家进行评审，位专家中有位以上（含位）专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在问题毕业论文”.位专家中有位专家评议意见为“不合格”，将再送位同行专家（不同于前位）进行复评.复评阶段，位复评专家中有位以上（含位）专家评议意见为“不合格”，将认定为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为，且各篇毕业论文是否被判定为“不合格”相互独立.(1)若，求每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”的概率是多少；(2)学校拟定每篇论文需要复评的评审费用为元，不需要复评的评审费用为元，则每篇论文平均评审费用的最大值是多少？19. 解关于x的不等式：.20. 某市为了解本市2万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，发现其成绩全部介于之间，将其成绩按如下分成六组，得到频数分布表成绩人数410161064(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；(2)估算该校50名学生成绩的平均值和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)以该校50名学生成绩的频率作为概率，试估计该市分数在的人数.21. 随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用……等.其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元.新个税政策的税率表部分内容如下：级数一级二级三级四级…每月应纳税所得额（含税）不超过3000元的部分超过3000元至12000元的部分超过12000元至25000元的部分超过25000元至35000元的部分…税率（%）3102025…（1）现有李某月收入19600元，膝下有一名子女，需要赡养老人，（除此之外，无其它专项附加扣除）请问李某月应缴纳的个税金额为多少？（2）现收集了某城市50名年龄在40岁到50岁之间的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，有一个孩子的有40人，没有孩子的有10人，有一个孩子的人中有30人需要赡养老人，没有孩子的人中有5人需要赡养老人，并且他们均不符合其它专项扣除（受统计的50人中，任何两人均不在一个家庭）.若他们的月收入均为20000元，试求在新个税政策下这50名公司白领的月平均缴纳个税金额为多少？。
2024年山西省初中学业水平考试定心卷数学试题
2024年山西省初中学业水平考试定心卷数学试题一、单选题1．计算123-⨯的结果是（ ）A ．23-B ．32-C ．43D ．43-2．下列消防安全标识中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．山西省2024年政府工作报告中指出，2024年我省将着力构建新型电力系统，加快5个在建煤电项目建设，完成煤电机组“三改联动”630万千瓦．其中“630万千瓦”用科学记数法表示为（ ） A ．463010⨯千瓦 B ．66.310⨯千瓦 C ．56.310⨯千瓦 D ．56310⨯千瓦4．下列运算正确的是（ ） A ．()3253m n m n -=- B ．()22141m m -=-C ．22532a b ab ab -=D ．5=5．不等式组37426x x -+≥⎧⎨-<⎩的解集是（ ）A ．<4x -B ．42x -≤<C ．4x ≤-D ．2x <6．如图，小辰准备在妈妈生日当天订购鲜花送给她，在付款时忘了支付密码的后三位数，只记得密码后三位数是由“2，3，5”这三个数字组成的（不同数位上的数字不同），现随机输入这个三位数，一次就能支付成功的概率为（ ）A ．17B ．16C ．15D ．147．已知反比例函数ky x=的图象经过()()1122,,A x y B x y ，两点，当120x x <<时21y y <，则k 的值可能为（ ） A ．5-B ．3-C ．0D ．68．下面是老师给出的一道尺规作图题．如图，已知AOB ∠，求作：BOC ∠，使BOC AOB ∠=∠．作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画¼MN ，分别交OA OB ，于点E ，F ；（2）以☆为圆心，EF 的长为半径画弧，交¼MN 于点C ；（3）作射线OC ，BOC ∠即为所求作的角，则下列结论正确的是（ ）A ．2EC EF =B ．☆表示点EC ．AOC OEF ∠=∠D ．EOC △是等腰三角形9．排水量一般指的是物体漂浮在水中时排开的水的质量，设物体在水中的体积为v ，水的密度为ρ，则该物体的排水量:M v ρ=，如图，分别将甲、乙两个铁块（甲的体积>乙的体积）按照同样的速度匀速浸入装满水的烧杯中，则从铁块底面接触水到水完全浸没铁块这一段时间里，两个铁块各自的排水量M 随时间t 变化的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．10．半圆的直径AB 在直尺上所对的刻度如图所示，点C 在半圆上，且»»2AC BC=，连接AC ，取AC 的中点D ，连接BD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．256πB ．152πC ．252πD ．656π二、填空题 11．化简26193x x+--的结果是． 12．俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以O 为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块向左移动2个格子，再向下移动6个格子，点A 恰好落在点()3,1B 处，则上方的方块移动前点A 所在位置的坐标为．13．如图，AB 是O e 的直径，C ，D 为O e 上两点，且BD 平分CBA ∠，连接CD ，AC ，若32CDB ∠=︒，则ACD ∠的度数为︒．14．榫卯被称为“巧夺天工”的中国古典智慧，是中国传统木艺的灵魂．下图结构为固定榫槽的连接结构，彼此按照同样的拼接方式紧密相连，当连接结构数分别有1个和2个时，总长度如图所示，则当有n 个连接结构时，总长度为cm ．15．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，，对角线,AC BD 交于点O ，点E 是OB 的中点，点F 是CD 的中点，连接EF 交AC 于点G ，则线段GF 的长为．三、解答题16．（1）计算：2133-⎛⎫-- ⎪⎝⎭（2）解方程组：34923x y x y -=⎧⎨+=⎩．17．平遥牛肉已有2000多年的传统加工技艺，是中国国家地理标志产品．为提高分装效率，平遥某牛肉加工厂计划增购一台包装机，现推荐有A ，B 两台不同型号的包装机可供选择．试用时，从A ，B 两台包装机已包装好的产品中各随机抽取10袋测得每袋的实际质量（单位：g ），设定每袋的标准质量为500g ，与之相差大于2g 为不合格，将所得数据进行收集整理，部分信息如下：信息一：A ，B 两台包装机包装的牛肉每袋的实际质量折线统计图信息二：A ，B 两台包装机包装的牛肉每袋的实际质量统计表请根据以上信息，回答下列问题： (1)请直接写出表格中a ，b 的值；(2)由统计图可知，型号包装机包装的牛肉每袋的质量比较稳定（填“A ”或“B ”）； (3)综合以上信息，你认为哪种型号包装机包装牛肉的情况较好？请说明理由．18．为了提高道路的通行效率，阳泉市对大连街五渡口至保晋路口实行了灯控路口智能化改造，优化了交通信号灯配时，驾驶员只要控制好车速，便能达到“一路绿灯”的效果．据了解，该路段总长约4.2公里，改造后通过该路段的车辆的平均行驶速度提高了60%，平均行驶时间减少了3分钟，求改造前通过该路段车辆的平均速度．19．太原解放纪念碑位于太原市杏花岭区牛驼寨，始建于1988年，向世人展示了永垂不朽的革命精神．某班学生利用课余时间完成了“测量太原解放纪念碑的高度”的实践活动．如图，小组成员从纪念碑的底部（台阶下）出发，向前走到点F 处，用测角仪测得A 处的仰角78ACB ∠=︒，继续向前走28m 到达点E 处，再测得点A 的仰角52ADB ∠=︒，该成员眼睛到地面的距离 1.6m DE =，且点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 均在同一竖直平面内，点E ，F ，G 在同一条直线上，请根据所给数据计算太原解放纪念碑（含台阶部分）的高度（结果精确到0.1m ，参考数据：sin780.98,cos780.21,tan78 4.70,sin520.79,cos520.62,tan52 1.28︒=︒=︒=︒=︒=︒≈）．20．如图，抛物线2=23y x x --与x 轴正半轴交于点B ，与y 轴交于点A ，作直线AB ．(1)求点B 的坐标，并直接写出直线AB 的函数表达式； (2)若点C 为抛物线的顶点，求四边形OACB 的面积． 21．阅读与思考下面是小颖的一篇数学探究活动日记，请仔细阅读并完成相应任务． 平移的巧妙运用平移是初中常见的几种几何变换之一，它可以在不改变线段或角的大小的情况下，将线段或角平移到一个新的位置，使得复杂问题简单化，从而快速解决数学问题．例如下面的结论及证明过程：结论：如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在边,,CD AD BC 上，且．FG BE ⊥，则BE FG =．该结论的一种证明过程如下：如图①，过点A 作AH FG ∥交BC 于点H ，交BE 于点P ， ∵四边形ABCD 是正方形，FG BE ⊥，,90,AB BC ABC BCD AD BC ∴=∠=∠=︒∥,90APB ∠=︒，90ABP CBE ABC ∠+∠=∠=︒Q ， BAP CBE ∴∠=∠， ABH BCE ∴≅V V （依据），… 任务：(1)请写出上述证明过程中括号内“依据”的内容：； (2)请将该探究活动日记中结论的证明过程补充完整；(3)如图，在由边长均为1的小正方形组成的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，且线段AB 与CD 交于点O ，请根据材料中的思路，求AOD ∠的度数．22．学科实践 问题情境：某学校举办了校园科技节活动，培养学生的科学探究精神，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在校园科技节主题活动当天进行投石试验展示． 试验步骤：第一步：如图，在操场上放置一块截面为OCD V的木板，该木板的水平宽度（5OD =米，竖直高度0.5CD =米，将投石机固定在点O 处，紧贴木板OCD 的矩形厚木板BDGF 表示城墙；第二步：利用投石机将石块(石块大小忽略不计）从点A 处抛出，石块飞行到达最高点后开始下降，最终落地，其中点A 到地面的高度0.3OA =米，测得0.7BC =米． 试验数据：科学小组的同学借助仪器得到石块飞行过程中的一组数据：石块飞到最高点P 时离地面的高度PE 为1.5米，飞行的水平距离OE 为4米． 问题解决：已知石块的飞行轨迹是抛物线的一部分，以O 为原点，OG 所在直线为x 轴，OA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．（1）求石块飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式；（2）在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度BF 的取值范围； 拓展应用：（3）如图，在进行第二次试验前，小组同学准备在OC 上与y 轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木杆用于瞄准，为确保木杆不会被石块击中，则这支木杆的最大长度是多少？ 23．综合与实践 问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知ABC V 和DEF V 均为等边三角形，O 是BC 和DF 的中点，将DEF V 绕点O 顺时针旋转． 猜想证明：(1)如图①，在DEFV旋转的过程中，当点E恰好在CB的延长线上时，AB交EF于点H，△的形状，并说明理由；试判断BEH(2)如图②，在D E FV旋转的过程中，当点E恰好落在边AC上时，连接CF，试猜想线段AE 与线段CF的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若2==，连接BF，设DE所在直线与BC所在直线交于点M，在AB DEV旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O两点中的其中一点恰好是DEF另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时BF的长．。
2023年山西省普通高中学业水平考试数学试题
一、单选题1. 以下函数图象中为奇函数的一项是（）A．B．C．D．2. 函数的图象可能为（）A．B．C．D．3.已知，若，则（）A．2B．C．1D．04.已知函数的部分图像如图所示，则（）A．B．C．1D．5. 在中，分别为角、、的对边，若，，，则= （）A．1B．C．2D．6. 若曲线在点处的切线与直线平行，则（）A．B．1C．D．2 2023年山西省普通高中学业水平考试数学试题二、多选题三、填空题四、填空题五、填空题7.已知双曲线，过右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（ ）A．B．C．D．8. 已知各项为正的等比数列的公比为q ，前n 项的积为，且，若，数列的前n 项的和为，则当取得最大值时，n 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．99. 某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有A．在水平地面上任意寻找两点，，分别测量旗杆顶端的仰角，，再测量，两点间距离B．在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角和C ．在地面上任意寻找一点，测量旗杆顶端的仰角，再测量到旗杆底部的距离D ．在旗杆的正前方处测得旗杆顶端的仰角，正对旗杆前行5m 到达处，再次测量旗杆顶端的仰角10. 已知函数且的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（ ）A．B．C．D．11.已知正方体，则（ ）A ．异面直线与所成的角为B ．异面直线与所成角的正切值为C ．直线与平面所成的角为D ．直线与平面所成角的正切值为12. 函数，则曲线在处的切线方程为______.13. 复数（是虚数单位）是方程的一个根，则实数___________.14. 已知函数，满足（a ，b 均为正实数），则ab 的最大值为______．15. 已知菱形ABCD中，，，现将此菱形沿对角线BD 对折，在折的过程中，当三棱锥体积最大时，______；当三棱锥表面积最大时，______.16.已知数列的前项和为，且，记，则________；若数列满足，则的最小值是________．17. 阅读下面题目及其解答过程．六、解答题七、解答题八、解答题．）求证：函数是偶函数；）求函数的单调递增区间．的定义域是，都有又因为是偶函数．时，，在区间上单调递减．时， 时， ④ ，在区间 ⑤ 上单调递增．的单调递增区间是．以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出正确的选项，并填写在相应的横线上（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①（A ）（B ）②（A ）（B ）③（A ）2（B ）④（A ）（B ）⑤（A ）（B ）18. 在长方体中，，．(1)在边上是否存在点，使得，为什么？(2)当存在点，使时，求的最小值，并求出此时二面角的正弦值．19. 学生视力不良问题突出，是教育部发布的我国首份《中国义务教育质量监测报告》中指出的众多现状之一.习近平总书记作出重要指示，要求全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来.为了落实总书记指示，掌握基层情况，某单位调查了某校学生的视力情况，随机抽取了该校100名学生(男生50人，女生50人)，统计了他们的视力情况，结果如下：不近视近视男生2525女生2030（1）是否有的把握认为近视与性别有关？附：，其中.2.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.8280.150.100.050.0250.0100.0050.001（2）如果用这100名学生中男生和女生近视的频率分别代替该校男生和女生近视的概率，且每名学生是否近视相互独立.现从该校学生中随机抽取4人(2男2女)，设随机变量表示4人中近视的人数，试求的分布列及数学期望.20. 若椭圆与椭圆满足，则称这两个椭圆为“相似”，相似比为m .如图，已知椭圆的长九、解答题十、解答题轴长是4，椭圆的离心率为，椭圆与椭圆相似比为.(1)求椭圆与椭圆的方程；(2)过椭圆左焦点F 的直线l与、依次交于A 、C 、D 、B 四点.①求证：无论直线l 的倾斜角如何变化，恒有.②点M 是椭圆上异于C 、D 的任意一点，记面积为，面积为，当时，求直线l 的方程.21. 现在世界正处于百年未见之大变局，我国面临着新的考验，为增强学生的爱国意识和凝聚力，某学校高二年级组织举办了“中国国情和当今世界局势”的知识对抗竞赛，主要是加深对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得的成就和最新世界经济、政治时事的了解．组织者按班级将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等．比赛得分规则为：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分；选手抢到试题但回答错误或没有回答得0分，对方选手得5分；2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立．2道试题抢答后的各自得分作为两位选手的个人总得分．(1)求乙总得分为10分的概率；(2)记X 为甲的总得分，求X 的分布列和数学期望．22. 已知椭圆，过点且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）已知是椭圆的左右顶点，动点M 满足，连接AM 交椭圆于点P ，在x 轴上是否存在异于A 、B 的定点Q ,使得直线BP 和直线MQ 垂直.。
2023年山西省普通高中学业水平考试数学试题(含解析)
2023年山西省普通高中学业水平考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、填空题
(1)求证//BM 平面AEF ；(2)求BM 与EF 所成角的余弦值．
21．在ABC 中，,,a b c 分别为内角(1)求ABC 的面积；
参考答案：
由于AB ⊥平面BCD ，故所作垂线与设外接球的半径为R ，而1O 则外接球的半径为1R O O =即当sin 1θ=即BC BD ⊥时，三棱锥的外接球的半径取得最小值此时三棱锥A BCD -的外接球表面积取得最小值：
【点睛】本题考查基底表示向量，考查运算求解能力，是中档题[]()0,1BM x BC x →
→
=∈得111222AN x AC x →
→⎛=+- ⎝17．lg5
【详解】试题分析：令10x ＝t ，则lg x t =，∴考点：本题考查函数解析式的求法及求值
点评：此类问题常常用换元法求出函数的解析式，然后代入值求解，属基础题18．2024
∵,O M 分别为,AE AC 的中点，由//BF CE ，且2EC FB =∴//OM FB ，且 OM FB =∴四边形OMBF 为平行四边形，故又BM ⊄平面AEF ，OF
则1BF CG ==，FG AF EF =，所以△Rt ACE 中，AE =。
山西省2024年（2022级冬）普通高中学业水平考试试题 数学
山西省2024年（2022级冬）普通高中学业水平考试试题数学
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来源：《山西教育·招考》2024年第04期
本试题分第玉卷和第域卷两部分，第玉卷为选择题，第域卷为非选择题。
满分100分，考试时间60分钟。
第玉卷选择题（共60分）
一、单项选择题：本题包含8小题，每小题6分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
7.我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了了解居民用水的实际情况，通过简单随机抽样，获得了该市1000户居民的月均用水量（均在0.3t到24.9t之间），整理得到如下图所示的频率分布直方图.据图，估计该市居民月均用水量的中位数为
二、多项选择题：本题包含2小题，每小题6分，共12分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项符合题目要求。
全部选对得6分，选对但不全得3分，有选错的得0分。
第域卷非選择题（共40分）
三、填空题：本题包含4小题，每小题6分，共24分。
四、解答题：本题包含2小题，每小题8分，共16分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.函数f（x）=sin2x+1.
（1）求f（x）的最小正周期及最大值；
（2）求f（x）的单调递增区间.
16.如图所示，在三棱锥D-ABC中，DC彝底面ABC，AB彝BC，E，F分别是BC，CD 的中点.
（1）求证：EF椅平面ABD；
（2）若AB=BC=CD=2，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值.。
山西省太原市古交市2024-2025学年六上数学期末学业水平测试试题含解析
山西省太原市古交市2024-2025学年六上数学期末学业水平测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、认真审题，细心计算(每题6分，共18分）1．直接写出得数．453+198= 10﹣0.03= 3.4×= 0.1÷0.01=4×0.025= 13÷= 4.5﹣0.75﹣= 5×4÷5×4=2．脱式计算，能简算的要简算。
（1）23×511＋611÷32（2）9－0.64－0.36（3）72×（14＋56－78）（4）67÷[（67－38）×89]3．解方程。
75%x－12x＝15 x－25x＝21二、认真读题，准确填写(每小题2分，共22分）4．25瓶钙片,其中有一瓶少了几片,其余的都一样重。
如果用天平称,至少要称（____）次,就能保证找出少了几片的那一瓶。
5．有红黄蓝三种颜色的小球各5个放入同一个箱子内（小球除颜色外其余均相同），至少取（______）个球，可以保证取到两个颜色相同的球。
6．________都是比0小的数，________都是比0大的数．7．图形的旋转有三个要素，一是旋转的（___），二是旋转的（____），三是旋转的（____）．8．灰色方格是总数的（________），也就是（________）%。
9．与条形统计图相比，拆线统计图的优点是（______）。
10．下图中三角形的面积占总面积的（________）%。
11．6.4千克=（_____）克3分24秒=（_____）分 1.02升=（_____）毫升12．把5克盐溶解在75克的水里，盐与水的比是（_______），盐占盐水的（______）％。
山西省朔州市2024-2025学年数学三上期末学业水平测试模拟试题含解析
山西省朔州市2024-2025学年数学三上期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、用心思考，认真填写。
1．308的3倍是（________），63是7的（________）倍，38与3的积是（________）。
2．22：00 __ 9：45 __ 13：00晚上10时下午3时20分__ 凌晨4时30分__3．5个17是（________）；（________）个15等于1。
4．把一张边长是20厘米的正方形对折后，沿着折痕剪开，可以得到两个完全一样的长方形．每个长方形的周长是_____厘米．5．3个菠萝与12个橘子一样重，2个菠萝和4个苹果一样重。
1个菠萝的质量相当于（_________）个橘子的质量；1个苹果的质量相当于1个橘子的（_________）倍。
A．2 B．3 C．46．8426读作（_______），这个数8在（________）位上，表示（_________）。
7．丁丁有123个珠子，丽丽有479个珠子，丽丽比丁丁多（_____）个珠子.8．用分数表示下面图里的空白部分。
（______）（______）（______）9．在“（）”中填上“＞”、“＜”或“＝”．3 5（______）251 8（______）162 4（______）1210．拧水龙头时,水龙头所做的运动是（____）。
2023年山西省普通高中学业水平考试数学试题
一、单选题1. 已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（ ）A ．1B ．2C．D ．42. 已知集合，，则的子集共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个3. 设复数，则（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34.若有下列四个不等式：①；②③；④则下列组合中全部正确的为（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③5. 某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有（）A ．360种B ．420种C ．480种D ．540种6.的展开式中，的系数为( )A．B．C．D．7.若函数的图象如图所示，则的解析式可以是（）A．B．C．D．8. 已知函数是定义在上的单调函数，若对任意恒成立，则的值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．89. 已知直线经过双曲线：的一个虚轴端点以及一个焦点，且点（为坐标原点）到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．10. 已知正四棱锥的侧棱长为2，高为.则该正四棱锥的表面积为（ ）A．B．C．D．11. 已知集合，集合，则A．B．C．D．2023年山西省普通高中学业水平考试数学试题二、多选题三、填空题四、填空题五、解答题12. 函数的最小正周期是（ ）A．B ．C．D．13. 已知函数在处取得最大值，的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ）A．B ．在上的单调递减区间是C．将图象上的所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象D ．将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到的图象14.已知数列满足，，且，则（ ）A．B ．数列是等差数列C．数列是等差数列D ．数列的前n项和为15. 已知椭圆的左焦点为，为的上顶点，，是上两点．若，，构成以为公差的等差数列，则（ ）A ．的最大值是B．当时，C ．当，在轴的同侧时，的最大值为D ．当，在轴的异侧时（，与不重合），16. 甲、乙、丙、丁四名教师分配到，，三个学校支教，每人分配到一个学校且每个学校至少分配一人.设事件：“甲分配到学校”；事件：“乙分配到学校”，则（ ）A ．事件与互斥B．C ．事件与相互独立D．17. 向量，满足，，，则向量与夹角的大小为___________.18. 已知向量，.若，，则______.19. 已知向量与向量满足：，，且与的夹角为，则______．20. 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为（）件．当时，年销售总收入为（）万元；当时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为万元，则（万元）与（件）的函数关系式为_________，该工厂的年产量为______件时，所得年利润最大．（年利润=年销售总收入年总投资）21.为等边三角形，且边长为2，则与的夹角大小为___________，若，则的最小值为___________.22. 计算求值：(1)；(2)已知，均为锐角，，，求的值．六、解答题七、解答题八、解答题九、解答题23. 求值.（1）；（2）.24. 某晚报曾刊登过一则生活趣事，某市民唐某乘坐出租车时，在半途中骂骂咧咧要求司机临时停靠，打表计价结账，然后重新计价，继续前行，该市民解释说，根据经验，这样分开支付车费比一次性付费便宜一些，他的这一说法有道理吗？确实，由于出租车运价上调，有些人出行时会估计一下可能的价格，再决定是否乘坐出租车.据了解，2018年上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米（不含15千米）部分按超起租里程单价加50%.此外，相关部门还规定了低速等候费和其他时段的计价办法，以及适合其他车型的计价办法.你乘坐过出租车吗？你会仿效那位市民唐某的做法吗？为什么？(1)根据上述情境你能提出什么数学问题？为了解决你的问题，你能否作出一些合理假设？(2)你能否根据你的假设建立数学模型，并回答你所提出的问题.25.如图，已知椭圆的上、下顶点为，右顶点为，离心率为，直线和相交于点，过作直线交轴的正半轴于点，交椭圆于点，连接交于点.(1)求的方程；(2)求证：.26. 已知函数（，为自然对数的底数），是的导函数．(1)当时，求证；(2)是否存在正整数，使对一切恒成立?若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由．27. 某服装批发市场1–5月份的服装销售量x 与利润y 的统计数据如表：月份12345销售量x （万件）36478利润y （万元）1934264146（1）从这五个月的利润中任选2个，分别记为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于30”的概率；（2）已知销售量x 与利润y 大致满足线性相关关系，请根据前4个月的数据，求出y 关于x 的线性回归方程x +；（3）若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，则认为得到的利润的估计数据是理想的．请用表格中第5个月的数据检验由（2）中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想？参考公式：，28.如图，在几何体中，四边形是边长为2的菱形，平面，平面，，.（1）当长为多少时，平面平面？（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.。
2022年山西省普通高中学业水平考试数学试题
2022年山西省普通高中学业水平考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{1U =，2，3，4}，{1A =，3}，{1B =，4}，则()U A B ⋂=（ ） A ．{2，3}B ．{3}C ．{1}D ．{1，2，3，4}2．设21log 3a =，312b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，123c =，则（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．c<a<b D ．a c b <<3．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．至少有1个白球；都是白球 B ．至少有1个白球；至少有1个红球 C ．恰有1个白球；恰有2个白球D ．至少有1个白球；都是红球4．已知l ，m 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥ B ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ C ．若//l m ，m α⊂，则//l αD ．若//l α，m α⊂，则//l m5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．如果不等式1-<x a 成立的充分不必要条件是1322x <<；则实数a 的取值范围是（ ） A ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,,22∞∞⎛⎫⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．13,,22∞∞⎛⎤⎡⎫-⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭7．函数lg(1)y x =+的图像是（ ）A ．B ．8．将函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，那么下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的最小正周期为2π B ．函数()g x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．函数()g x 为奇函数D ．函数()g x 的图象关于直线2x π=对称9．已知平面内一点P 及△ABC ，若PA PB PC BC ++=，则P 与△ABC 的位置关系是（ ） A ．P 在△ABC 外部 B ．P 在线段AB 上 C ．P 在线段AC 上D ．P 在线段BC 上10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,,E F 分别是棱1,BC CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，若1PA 面AEF ，则线段1PA 的长度范围是（ ）A ．⎡⎣B ．[]2,3C ．⎤⎥⎣⎦ D ．⎣二、填空题11．已知i 是虚数单位，复数13i1i+=+______. 12．已知tan 2θ=，且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2θ=______.13．甲､乙､丙三位同学站成一排照相，则甲丙相邻的概率为______. 14．已知0,0.42a b a b >>+=，则11a b+的最小值为___________ 15．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则=a ________．16．若不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是__________．17．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为_________18．如图是甲､乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，下列说法正确的是______.△若甲､乙射击成绩的平均数分别为12,x x ，则12x x <△若甲､乙射击成绩的方差分别为2212,s s ，则2212s s <△乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数 △乙比甲的射击成绩稳定三、解答题19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)20,30，[)30,40，⋅⋅⋅，[]80,90，并整理得到如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图估计分数的样本数据的70%分位数；（2）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中女生的人数.20．在ABC 中，内角,,A B C 的对面分别为,,a b c cos sin C c B =. （1）求C ；（2）若5,7a c ==，求b 及ABC 的面积.21．已知函数()4cos sin()16=+-f x x x π.（△）求()f x 的最小正周期：（△）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.22．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，E 为1DD 中点.（1）求证：1//BD 平面ACE ； （2）求证：1BD AC ⊥.23．为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元，每生产x （百辆）新能源汽车，需另投入成本()C x 万元，且()210500,04064009016300,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩.由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．(1)请写出2022年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本）(2)当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．参考答案：1．B【解析】先计算得到{}2,3U C B =，再计算U A C B ⋂得到答案.【详解】集合{1U =，2，3，4}，{1A =，3}，{1B =，4}，则{}2,3U C B =，{}3U A C B ⋂= 故选：B【点睛】本题考查了交集和补集的运算，属于简单题. 2．B【分析】根据指数和对数函数单调性，结合临界值0,1即可判断出大小关系.【详解】31222111log log 1013328⎛⎫<=<=<< ⎪⎝⎭，a b c ∴<<.故选：B. 3．C【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念以及二者之间关系，一一判断各选项，可得答案. 【详解】A ：“至少有1个白球”和“都是白球”，可同时发生，故它们不是互斥事件,A 错误； B ：“至少有1个白球”和“至少有1个红球”，因为1个白球1个红球时两种情况同时发生，故它们不是互斥事件，B 错误；C ：“恰有1个白球”和“恰有2个白球”，不可能同时发生，所以它们是互斥事件； 当2个球都是红球时它们都不发生，所以它们不是对立事件，C 正确；D ：“至少有1个白球”和“都是红球”，不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件，D 错误， 故选：C 4．A【解析】根据线面垂直的判定与性质、线面平行的判定与性质依次判断各个选项可得结果. 【详解】A 选项：由线面垂直的性质定理可知A 正确；B 选项：由线面垂直判定定理知，l 需垂直于α内两条相交直线才能说明l α⊥，B 错误；C 选项：若l ⊂α，则平行关系不成立，C 错误；D 选项：,l m 的位置关系可能是平行或异面，D 错误.故选：A【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直相关命题的辨析，关键是能够熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定与性质定理. 5．D【分析】方法一：不妨设()f x x =-，解1(2)1f x -≤-≤即可得出答案.方法二：取=0x ，则有21()1f --≤≤，又因为1(12)()f f ->=-，所以与21()1f --≤≤矛盾，即可得出答案.方法三：根据题意，由函数的奇偶性可得()11f -=，利用函数的单调性可得121x -≤-≤，解不等式即可求出答案. 【详解】［方法一］：特殊函数法由题意，不妨设()f x x =-，因为1(2)1f x -≤-≤， 所以121x -≤-≤，化简得13x ≤≤． 故选：D.［方法二］：【最优解】特殊值法 假设可取=0x ，则有21()1f --≤≤，又因为1(12)()f f ->=-，所以与21()1f --≤≤矛盾， 故=0x 不是不等式的解，于是排除A 、B 、C ． 故选：D.［方法三］：直接法根据题意，()f x 为奇函数，若(1)1f =-，则()11f -=， 因为()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且1(2)1f x -≤-≤， 所以()()1(2)1f f x f ≤-≤-，即有：121x -≤-≤， 解可得：13x ≤≤. 故选：D.【整体点评】方法一：取满足题意的特殊函数，是做选择题的好方法； 方法二：取特殊值，利用单调性排除，是该题的最优解； 方法三：根据题意依照单调性解不等式，是该题的通性通法． 6．B【分析】解绝对值不等式，得到11a x a -<<+，结合题干条件得到13<<22x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是{}1<<1+x a x a -的真子集，从而得到不等式组，求出实数a 的取值范围.【详解】1-<x a ，解得：11a x a -<<+， 所以11a x a -<<+成立的充分不必要条件是1322x <<， 故13<<22x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是{}1<<1+x a x a -的真子集，所以1123+1>2a a -≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩或11<23+12a a -≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得：1322a ≤≤， 故实数a 的取值范围是13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B 7．A【分析】由函数lg y x =的图象与x 轴的交点是(1,0)结合函数的平移变换得函数lg(1)y x =+的图象与x 轴的公共点是(0,0)，即可求解.【详解】由于函数lg(1)y x =+的图象可由函数lg y x =的图象左移一个单位而得到，函数lg y x =的图象与x 轴的交点是(1,0)，故函数lg(1)y x =+的图象与x 轴的交点是(0,0)，即函数lg(1)y x =+的图象与x 轴的公共点是(0,0)，显然四个选项只有A 选项满足.故选：A. 8．C【分析】根据三角函数平移变换和诱导公式可化简得到()g x ；由正弦型函数最小正周期、对称轴和对称中心、奇偶性的判断方法依次判断各个选项即可.【详解】由题意得：()2cos 2cos 2sin 23362g x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 对于A ，()g x 的最小正周期22T ππ==，A 错误； 对于B ，当12x π=时，26x π=，,012π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭不是()g x 的对称中心，B 错误； 对于C ，()()()sin 2sin 2g x x x g x -=--==-，()g x ∴为奇函数，C 正确； 对于D ，当2x π=时，2x π=，2x π∴=不是()g x 的对称轴，D 错误.故选：C.9．B【分析】运用向量的加减法运算进行化简，再结合共线定理判定出点P 位置. 【详解】因为PA PB PC BC PC PB ++==-， 所以2PA PB =- 所以点P 在线段AB 上 故选：B 10．D【分析】根据题意，找去过1A 与平面AEF 平行的平面，则可得到1A P 所在的平面，进而得到答案.【详解】由题意，取1BB 的中点G ，11B C 的中点H ，连接1A H ，1A G ，GH ，1D F ，1AD ， 作图如下：在正方体1111ABCD A B C D -中，易知11//AG D F ，1//A H AE ，1//EF AD ， 则1,,,A E F D 共面，1A G ⊄平面1AEFD ，1D F ⊂平面1AEFD ，1//A G ∴平面1AEFD ，同理可得：1//A H 平面1AEFD ，111A H AG A =，∴平面1//AGH 平面1AEFD ， 当1A P ⊂平面1AGH 时，1//A P 平面1AEFD ， 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，在11Rt A B H 中，2221111A B B H A G +=，解得1AG 1A H =在1Rt B GH 中，22211B G B H GH +=，解得GH =，则1A GH 中边GH上的高h =即12A P ⎡∈⎢⎣， 故选：D. 11．2i +【分析】根据复数的四则运算法则，直接计算即可. 【详解】13i1i +=+(13i)(1i)42i 2i (1i)(1i)2+-+===+-+ 故答案为：2i + 12．35##0.6- 【分析】利用二倍角余弦公式和同角三角函数平方关系可将所求式子化为2222cos sin sin cos θθθθ-+，由正余弦齐次式的求法可求得结果.【详解】22222222cos sin 1tan 143cos 2cos sin sin cos tan 1415θθθθθθθθθ---=-====-+++. 故答案为：35. 13．23【分析】分别计算出甲､乙､丙三位同学站成一排照相的基本事件和甲丙相邻包含的基本事件，即可求出所求概率【详解】甲､乙､丙三位同学站成一排照相，基本事件总数为：33A 6=，甲丙相邻包含的基本事件总数为：2222A A 4=则所求概率为：222233A A 2A 3= 故答案为：2314．92【分析】根据基本不等式，结合代数式的恒等变形进行求解即可. 【详解】解：因为a>0，b>0，且4a+b=2，所以有：111111119()2()(4)(5)(5222242a b a b a b a b b a ⋅+⋅=⋅++=++≥+=，当且仅当4b a a b =时取等号，即21,33b a ==时取等号，故答案为：92.15．-7【详解】分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.16．52-.【分析】分离参数，将问题转化为求函数()1f x x x=--最大值的问题，则问题得解. 【详解】不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，等价于1a x x ≥--对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立．设1()f x x x=--，则max ()a f x ≥．因为函数()f x 在区间10,2⎛⎤⎥⎝⎦上是增函数，所以max 15()22f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以52a ≥-，所以a 的最小值为52-．故答案为：5—2.【点睛】本题考查由一元二次不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.173R 【详解】由题可得，因为半径为R 的半圆卷成一个圆锥， 所以该圆锥的底面半径满足2r R ππ=，解得2R r =..所以该圆锥的体积为21π()32R V =3R .3R 18．△△ 【分析】从图中得到甲、乙的射击成绩进而求出其平均数、中位数，可以判断△错误，△正确；甲的成绩比较分散，而乙的成绩比较集中，所以甲的方差较大，可以判断△错误、△正确.【详解】由图可知甲的射击成绩为9、10、6、7、9、8，乙的射击成绩为6、7、5、5、7、7.甲､乙射击成绩的平均数分别12,x x ， 则()1149910679866x =⨯+++++=， ()213767557766x =⨯+++++=， 所以12x x >，所以△错误；从甲、乙射击成绩看，甲的成绩比较分散，而乙的成绩比较集中，所以甲的方差较大，即2212s s >，所以△错误；甲的射击成绩从小到大排序为6、7、8、9、9、10，则中位数为8.5，乙的射击成绩从小到大排序为5、5、6、7、7、7，则中位数为6.5，所以乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数，所以△正确；因为乙的成绩比较集中，所以乙比甲的射击成绩稳定，所以△正确.故答案为：△△19．（1）77.5；（2）160(人).【分析】（1）根据分位数的概念，结合题给频率分布直方图计算得出结果即可；（2）根据频率分布直方图计算出样本中分数不小于70的人数，进而计算出样本中男生及女生的人数，最后求出总体中女生的人数.【详解】（1）由频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为()0.020.04100.6+⨯=， 从而有：样本中分数小于70的频率为10.60.4-=，又由频率分布直方图可得：样本中分数小于80的频率为0.8，所以样本数据的70%分位数必定位于[)70,80之间.计算为：0.70.4701077.50.80.4-+⨯=- 所以其分数的样本数据的70%分位数估计值为77.5.（2）由题知，样本中分数不小于70的学生人数为()0.020.041010060+⨯⨯=，从而有，样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯=， 进而得，样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=， 所以总体中女生人数为40400160100⨯=(人).20．（1）3C π=；（2）8，【分析】（1cos sin C c B =，从而得到tan C =案.（2）首先利用余弦定理得到8b =，再利用正弦定理求解面积即可.【详解】（1cos sin C c B =，cos =sin sin B C B C ，因为0B π<<，所以sin 0B >，且易知cos 0C ≠所以tan C =0C π<<， 所以3C π=.（2）由（1）知3c π=，所以在ABC 中，由余弦定理得，2227525cos3b b π=+-⨯⨯，即25240b b --=， 因为0b >，解得8b =，所以11sin 5822ABC S ab C ==⨯⨯=△ 21．（△）（△）2，1-．【详解】（△）因为()4cos sin f x x = 16x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭14cos cos 12x x x ⎫=⋅+-⎪⎪⎝⎭22cos 1cos22sin 26x x x x x π⎛⎫+-=+=+ ⎪⎝⎭， 故()f x 最小正周期为π（△）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤． 于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2； 当ππ266x ，即6x π=-时，()f x 取得最小值1-． 点睛：本题主要考查了两角和的正弦公式，辅助角公式，正弦函数的性质，熟练掌握公式是解答本题的关键.22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；【分析】（1）设AC 与BD 交于点O ，接OE ，可得1//OE D BB ，即可证明1//BD 平面ACE ；（2）由底面ABCD 是菱形，得AC BD ⊥，又1DD ⊥底面ABCD ，可得1DD AC ⊥，证明AC ⊥平面11BDB D ，利用线面垂直的性质可证1AC BD ⊥．【详解】证明：（1）设AC 与BD 交于点O ，接OE ，底面ABCD 是菱形，O ∴为DB 中点，又因为E 是1DD 的中点，1//OE D BB ∴，OE ⊂面AEC ，1BD ⊂平面AEC1//BD ∴平面ACE ．（2）底面ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，1DD ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，1DD AC ∴⊥，且1DB DD D =，1,DB DD ⊂平面11BDB D ．AC ∴⊥平面11BDB D ．1BD ⊂平面11BDB D ，1AC BD ∴⊥．23．(1)()2104002500,04064003800,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； (2)2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元．【分析】（1）根据给定条件，分段求出()C x 的表达式即可作答.（2）利用（1）的结论，结合二次函数、均值不等式分段求出最大值，再比较作答.【详解】（1）当040x <<时，()229100105002500104002500L x x x x x x =⨯---=-+-，当40x ≥时，()640064009100901630025003800L x x x x x x ⎛⎫=⨯--+-=-+ ⎪⎝⎭， 所以()2104002500,04064003800,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）当040x <<时，()()210201500L x x =--+，当20x 时，()max 1500L x =，当40x ≥时，()64003800380038001603640L x x x ⎛⎫=-+≤--= ⎪⎝⎭， 当且仅当6400x x=，即80x =时取“=”，显然36401500>， 所以，当80x =，即2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元．。
2022年山西省普通高中学业水平考试数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 已知函数的最小值是4．则（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62. 电影《你好，李焕英》于年月日在中国内地上映，创造了连续多日的单日票房冠军．某新闻机构想了解全国人民对《你好，李焕英》的评价，决定从某市个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本．若个区人口数之比为，且人口最少的一个区抽出人，则这个样本的容量等于（ ）A．B．C．D．3. 四棱锥中，底面ABCD 为边长为4的正方形，，，Q 为正方形ABCD 内一动点且满足，若，则三棱锥的体积的最小值为（ ）A ．3B．C．D ．24.已知函数，则在上（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增5.给出以下不等关系：①；②；③；④，为自然对数的底数，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46. 甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法种数有（ ）A．B．C．D．7. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）A．B．C．D．8. 设函数为定义在R 上的偶函数，当时，，若，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A．B．C．D．9. 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则（ ）A．的面积为B ．点的横坐标为2或C．的渐近线方程为D ．以线段为直径的圆的方程为10.已知抛物线的顶点为，准线为，焦点为，过作直线交抛物线于两点（顺序从左向右），则（ ）A．B ．若直线经过点，则C．的最小值为1D ．若，则直线的斜率为11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．函数的最小正周期为B．函数在上单调递减2022年山西省普通高中学业水平考试数学试题 (2)2022年山西省普通高中学业水平考试数学试题 (2)三、填空题四、解答题C ．若，则的值可以是D ．函数有4个零点12. 已知某产品的单价以及销量情况统计如下表所示，由表中数据求得经验回归方程，则下列说法正确的是（ ）单价（元）456789销是（件）908483807568A ．销量的平均数为80件B ．根据经验回归方程可以测得，单价每上升1元，销量就减少4件C．D ．根据经验回归方程可以预测，单价为10元时，销量为66件13. 已知随机变量X 的分布列为X 01P0.20.40.4则随机变量的数学期望________．14. 已知向量，，且，则______．15.若，则__________.16. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴的交点都在圆上．（1）求圆的方程；（2）直线交圆于、两点，且，求．17. 在一次活动课上，老师准备了4个大小完全相同的红包，其中只有一个红包里面有100元，其余三个里面都是白纸.老师邀请甲上台随机抽取一个红包，但不打开红包，然后老师从剩下的三个红包中拿走一个装有白纸的红包，甲此时可以选择将自己选中的红包与剩下的两个红包中的一个进行置换.(1)若以获得有100元的红包概率的大小作为评判的依据，甲是否需要选择置换？请说明理由.(2)以（1）中的结果作为置换的依据，记表示甲获得的金额，求的分布列与期望.18. 已知中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C的对边，且（1）求角C ；（2）若，求的最大值.19. 已知椭圆：的左､右焦点分别为，，且，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程.（2）为椭圆上一点，射线，分别交椭圆于点，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.20.如图，在矩形中，，，是的中点，以为折痕将向上折起，变为，且平面平面.(1)求证：；(2)求点到平面的距离.21. 已知函数，．定义新函数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若新函数的值域为，求的取值范围．。
2022年山西省普通高中学业水平考试数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知双曲线，直线与双曲线交于A ，B两点，为坐标原点，若点在直线上且直线OP 把分成面积相等的两部分，则下列不能作为点的坐标的是（ ）A．B．C．D．2.是虚数单位，则的值为（ ）A ．13B．C ．5D．3. 函数，且与函数在同一坐标系内的图象不可能的是（ ）A．B．C．D．4. 设集合，，若集合中有且仅有2个元素，则实数的取值范围为A．B．C．D．5. 定义在上的偶函数满足：对任意的实数都有，且，．则的值为（ ）A ．2017B ．1010C ．1008D ．26. 若复数满足，则（ ）A ．1B ．2C．D．7.已知整数数列满足，，则（ ）A．B．C．D．8. 复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的范围为（ ）A．B．C．D．9. 已知正方体的棱长为2，M 为棱上的动点，平面，下面说法正确的是（ ）A ．若为中点，当最小时，B．若点为的中点，平面过点，则平面截正方体所得截面图形的面积为C ．直线AB 与平面所成角的正弦值的取值范围为D ．当点与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大2022年山西省普通高中学业水平考试数学试题(1)2022年山西省普通高中学业水平考试数学试题(1)三、填空题四、解答题10.函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．若对于任意，都存在，使得，则的可能值为（ ）A ．B．C．D．11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（）A ．三棱锥的体积为定值B ．线段上存在点，使平面C ．线段上存在点，使平面平面D ．设直线与平面所成角为，则的最大值为12. 已知曲线的方程为，下列说法正确的是（ ）A ．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则B ．曲线可能是圆C ．若，则曲线一定是双曲线D ．若为双曲线，则渐近线方程为13.已知圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为___________.14. 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，若，，则此球的体积为__________.15. 已知函数，若，则______.16. 某士特产超市为预估2021年元旦期间游客购买土特产的情况，对2020年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表．购买金额（元）人数101520152010（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关．不小于60元小于60元合计男40女18合计90（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为P （每次抽奖互不影响，且P 的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X （元）的分布列并求其数学期望．参考公式及数据：，附表：0.1500.1000.0500.0100.0052.072 2.7063.841 6.6357.87917. 已知函数．(1)若存在使得成立，求a的取值范围；(2)设函数有两个极值点，且，求证：．18. 已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：．19. 已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为的面积为1．(1)求的方程；(2)过点作一条直线，交于两点，试问在上是否存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．20. 为了了解大家对养宠物的看法，某单位对本单位450名员工（其中女职工有150人）进行了调查，发现女职工中支持养宠物的职工占，若从男职工与女职工中各随机选取一名，至少有1名职工支持养宠物的概率为.(1)求该单位男职工支持养宠物的人数，并填写下列列联表；支持养宠物不支持养宠物合计男职工女职工合计450(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关？附：，.0.100.050.0100.0012.7063.841 6.63510.82821. 记锐角内角的对边分别为，且，且．(1)求；(2)将延长至D，使得，记的内切圆与边相切于点T，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．。
山西省晋中学市榆次区2024年数学九年级第一学期开学学业水平测试试题【含答案】
山西省晋中学市榆次区2024年数学九年级第一学期开学学业水平测试试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，在RT ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，2AC =，则点C 到AB 的距离为（）A ．3B ．3C ．4D ．12、（4分）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A ．测量对角线，看是否互相平分B ．测量两组对边，看是否分别相等C ．测量对角线，看是否相等D ．测量对角线的交点到四个顶点的距离，看是否都相等3、（4分）关于直线l :y =kx +k (k ≠0),下列说法不正确的是()A ．点(0,k )在l 上B ．l 经过定点(-1,0)C ．当k >0时,y 随x 的增大而增大D ．l 经过第一、二、三象限4、（4分）下列给出的四边形ABCD 中,,,A B C D ∠∠∠∠的度数之比，其中能够判定四边形ABCD 是平行四边形的是（）A ．1：2：3：4B ．2:3:2:3C ．2：2：3：4D ．1：2：2：15、（4分）正方形ABCD 的边长为2，在其的对角线AC 上取一点E ，使得AE AB =，以AE 为边作正方形AEFG ，如图所示，若以B 为原点建立平面直角坐标系，点A 在y 轴正半轴上，点C 在x 轴的正半轴上，则点G 的坐标为()A ．3(,3)2B ．37(,22C．D．2+6、（4分）的正方形绕点B 逆时针旋转30°，那么图中点M 的坐标为（）A ．1）B ．（1）C ．，2）D ．（27、（4分）下列说法中正确的是（）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．每一条边都相等且每一个角也都相等的四边形是正方形D ．平行四边形的对角线相等8、（4分）已知关于x 的方程()21210x m x m -++-=的两根互为倒数，则m 的值为（）A ．1-B ．12C ．1D ．12-二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）某校四个绿化小组一天植树棵数分别是10、10、x 、8，已知这组数据的众数与平均数相等，则这组数据的中位数是_____．10、（4分）如图，在ABC ∆中，BD 和CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，过点D 作//EF BC ，分别交,AB AC 于点,E F ，若2,3BE CF ==，则线段EF 的长为_______．11、（4分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC =，对角线AC 、BD 相交于点O ，现将一个直角三角板OEF 的直角顶点与O 重合，再绕着O 点转动三角板，并过点D 作DH ⊥OF 于点H ，连接AH .在转动的过程中，AH 的最小值为_________．12、（4分）如图，在正方形中，是边上的点，过点作于，若，则的度数为______.13、（4分）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝4，E ，F 分别为边AB ，CD 上一动点，AE ＝CF ，分别以DE ，BF 为对称轴翻折△ADE ，△BCF ，点A ，C 的对称点分别为P ，Q ．若点P ，Q ，E ，F 恰好在同一直线上，且PQ ＝1，则EF 的长为_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲乙两家快递公司比较合适.甲公司表示：快递物品不超过1千克的,按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费，乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元，设小明快递物品x千克.(1)根据题意，填写下表：快递物品重量（千克）0.5134…甲公司收费（元）22…乙公司收费（元）115167…(2)设甲快递公司收费y1元，乙快递公司收费y2元，分别写出y1,y2关于x的函数关系式；(3)当x>3时，小明应选择哪家快递公司更省钱？请说明理由.15、（8分）某学生食堂存煤45吨，用了5天后，由于改进设备，平均每天耗煤量降低为原来的一半，结果多烧了10天.求改进设备后平均每天耗煤多少吨？16、（8分）如图，反比例函数y=kx（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．（1）求反比例函数的解析式；（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；②矩形的面积等于k的值．17、（10分）计算：（1（2）sin30°+cos30°•tan60°．18、（10分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．请解决下列问题：（1）已知：如图1，四边形ABCD 是等对角四边形，∠A≠∠C ，∠A=70°，∠B=75°，则∠C=°，∠D=°（2）在探究等对角四边形性质时：小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD ，其中，∠ABC=∠ADC ，AB=AD ，此时她发现CB=CD 成立，请你证明该结论；（3）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB 、BC 的端点均在网点上．按要求在图①、图②中以AB 和BC 为边各画一个等对角四边形ABCD ．要求：四边形ABCD 的顶点D 在格点上，所画的两个四边形不全等．（4）已知：在等对角四边形ABCD 中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求对角线AC 的长．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则23-+--x y x y ＝_____．20、（4分）如图，若△DEF 是由△ABC 沿BC 方向平移得到的，EF ＝5，EC ＝3，则平移的距离是_____．21、（4分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B=______22、（4分）函数2x 1x 2y 2x x 2⎧+≤=⎨⎩（）（＞）,则当函数值y=8时,自变量x 的值是_____.23、（4分）如图,DE 是Rt ABD ∆的斜边AB上的中线,12AB =,在ED 上找一点F ,使得2DF =,连结AF 并延长至C ,使得AF CF =,连结CD ,CB ,则CB 长为________.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，已知一次函数y=kx+b 的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x 轴于点C，交y 轴于点D．（1）求一次函数的解析式；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）求△AOB 的面积．25、（10分）由于受到手机更新换代的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？26、（12分）如图，已知等边△ABC ，点D 在直线BC 上，连接AD ，作∠ADN=60°，直线DN 交射线AB 于点E ，过点C 作CF ∥AB 交直线DN 于点F.（1）当点D 在线段BC 上，∠NDB 为锐角时，如图①.①判断∠1与∠2的大小关系，并说明理由；②过点F 作FM ∥BC 交射线AB 于点M ，求证：CF+BE=CD ；（2）①当点D 在线段BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图②，请直接写出线段CF ，BE ，CD 之间的数量关系；②当点D 在线段CB 的延长线上，∠NDB 为钝角或直角时，如图③，请直接写出线段CF ，BE ，CD 之间的数量关系.参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D【解析】根据直角三角形的性质、勾股定理分别求出AB、BC，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：设点C到AB的距离为h，∵∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，由勾股定理得，AB2-BC2=AC2，即（2BC）2-BC2=22，解得，BC=3，则AB=2BC=3，由三角形的面积公式得，12314322323h⨯⨯=⨯⨯，解得，h=1，故选：D．本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．2、D【解析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．【详解】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形，故本选项错误；B 、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形，故本选项错误；C 、对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状，故本选项错误；D 、根据对角线相等且互相平分四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形．故本选项正确．故选：D ．本题考查的是矩形的判定定理，牢记矩形的判定方法是解答本题的关键，难度较小．3、D 【解析】A ．当x =0时，y =k ，即点（0，k ）在l 上，故此选项正确；B ．当x =﹣1时，y =﹣k +k =0，此选项正确；C ．当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，此选项正确；D ．不能确定l 经过第一、二、三象限，此选项错误；故选D ．4、B 【解析】根据平行四边形的对角相等即可判断.【详解】∵平行四边形的对角相等，∴,,,A B C D ∠∠∠∠的度数之比可以是2:3:2:3故选B 此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的对角相等.5、D 【解析】作辅助线，根据正方形对角线平分内角的性质可证明△AGH 是等腰直角三角形，计算GH 和BH 的长，可解答．【详解】解：过G 作GH ⊥x 轴于H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAC=45°，∵四边形AEFG 是正方形，AE=AB=2，∴∠EAG=90°，AG=2，∴∠HAG=45°，∵∠AHG=90°，∴，∴G ，），故选：D ．本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，掌握等腰直角三角形各边的关系是关键，理解坐标与图形性质．6、B 【解析】由正方形和旋转的性质得出AB ＝BC '，∠BAM ＝∠BC 'M ＝90°，证出Rt △ABM ≌Rt △C 'BM ，得出∠1＝∠2，求出∠1＝∠2＝30°，在Rt △ABM 中，求出AM 的长即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC '，∠BAM ＝∠BC 'M ＝90°，在Rt △ABM 和Rt △C 'BM 中，'BM AMAB C B =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABM ≌Rt △C 'BM （HL ），∴∠1＝∠2，B 逆时针旋转30°，∴∠CBC '＝30°，∴∠1＝∠2＝30°，在Rt △ABM 中，AB 1＝30°，∴AB ，∴AM ＝1，∴点M 的坐标为（1；故选B ．本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．7、C 【解析】根据矩形的判定、正方形的判定、和菱形的判定以及平行四边形的性质判断即可．【详解】解：A 、对角线平分且相等的四边形是矩形，错误；B 、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，错误；C 、每一条边都相等且每一个角也都相等的四边形是正方形，正确；D 、矩形的对角线相等，错误；故选：C ．此题考查正方形的判定，关键是根据矩形的判定、正方形的判定、和菱形的判定以及平行四边形的性质解答．8、C【解析】设两根为x 1，x 2，根据当两根互为倒数时：x 1x 2=1，再根据根与系数的关系即可求解．【详解】解：设两根为x 1，x 2，∵关于x 的方程()21210x m x m -++-=的两根互为倒数，∴x 1x 2=1，即2m-1=1，解得m=1．故选：C 本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根则1212,b c x x x x a a +=-=二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1【解析】根据这组数据的众数与平均数相等确定x 的值，再根据中位数的定义求解即可．【详解】解：当x ＝8时，有两个众数，而平均数只有一个，不合题意舍去．当众数为1时，根据题意得（1+1+x+8）÷4＝1，解得x ＝12，将这组数据从小到大的顺序排列8，1，1，12，处于中间位置的是1，1，所以这组数据的中位数是（1+1）÷2＝1．故答案为1本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义，解题时需要理解题意，分类讨论．10、5.【解析】由BD 为角平分线，利用角平分线的性质得到一对角相等，再由EF 与BC 平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换可得出∠EBD=∠EDB ，利用等角对等边得到EB=ED ，同理得到FC=FD ，再由EF=ED+DF ，等量代换可得证．【详解】证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠EBD=∠CBD ，又∵EF ∥BC ，∴∠EDB=∠CBD ，∴∠EBD=∠EDB ，∴EB=ED ，同理FC=FD ，又∵EF=ED+DF ，∴EF=EB+FC=5.此题考查等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，解题关键在于得出∠EBD=∠EDB 11、﹣1【解析】取OD 的中点G ，过G 作GP ⊥AD 于P ，连接HG ，AG ，依据∠ADB =30°，可得PG 12=DG =1，依据∠DHO =90°，可得点H 在以OD 为直径的⊙G 上，再根据AH +HG ≥AG ，即可得到当点A ，H ，G 三点共线，且点H 在线段AG 上时，AH 最短，根据勾股定理求得AG 的长，即可得出AH 的最小值．【详解】如图，取OD 的中点G ，过G 作GP ⊥AD 于P ，连接HG ，AG ．∵AB =4，BC =4=AD ，∴BD ==8，∴BD =1AB ，DO =4，HG =1，∴∠ADB =30°，∴PG 12=DG =1，∴PD =AP ．∵DH ⊥OF ，∴∠DHO =90°，∴点H 在以OD 为直径的⊙G 上．∵AH +HG ≥AG ，∴当点A ，H ，G 三点共线，且点H 在线段AG 上时，AH 最短，此时，Rt △APG 中，AG ==AH =AG ﹣HG -1，即AH 的最小值为1．故答案为1．本题考查了圆和矩形的性质，勾股定理的综合运用，解决问题的关键是根据∠DHO =90°，得出点H 在以OD 为直径的⊙G 上．12、【解析】由正方形的性质得到∠BDC=∠CBD=45°，求得DF=EF ，∠FED=45°.根据等腰三角形的性质得到∠EFC=∠ECF ，于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BDC=∠CBD=45°，∵EF ⊥BD ，∴△DFE 是等腰直角三角形，∴DF=EF ，∠FED=45°，∵EF=EC ，∴∠EFC=∠ECF ，∵∠FED=∠EFC+∠ECF ，∴∠ECF=22.5°，∵∠BCD=90°，∴∠BCF=67.5°，故答案为：67.5°．本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．13、2或133【解析】过点E 作EG DC ⊥，垂足为G ，首先证明DEF 为等腰三角形，然后设AE CF x ==，然后分两种情况求解：I.当QF 与PE 不重叠时，由翻折的性质可得到21EF x =+，则1GF x =+，II.当QF 与PE 重叠时，：EF ＝DF ＝2x ﹣1，FG ＝x ﹣1，然后在Rt EGF 中，依据勾股定理列方程求解即可．【详解】解：I.当QF 与PE 不重叠时，如图所示：过点E 作EG ⊥DC ，垂足为G ．设AE ＝FC ＝x ．由翻折的性质可知：∠AED ＝∠DEP ，EP ＝AE ＝FC ＝QF ＝x ，则EF ＝2x+1．∵AE ∥DG ，∴∠AED ＝∠EDF ．∴∠DEP ＝∠EDF ．∴EF ＝DF ．∴GF ＝DF ﹣DG ＝x+1．在Rt △EGF 中，EF 2＝EG 2+GF 2，即(2x+1)2＝42+(x+1)2，解得：x ＝2(负值已舍去)．∴EF ＝2x+1＝2×2+1＝2．II.当QF 与PE 重叠时，备用图中，同法可得：EF ＝DF ＝2x ﹣1，FG ＝x ﹣1，在Rt △EFG 中，∵EF 2＝EG 2+FG 2，∴(2x ﹣1)2＝42+(x ﹣1)2，∴x ＝83或﹣2(舍弃)，∴EF ＝2x ﹣1＝133故答案为：2或133．本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，依据勾股定理列出关于x 的方程是解题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）11,19,52,1；（2）122(01)y 157(1)x x x x <≤⎧=⎨+>⎩；y 2=16x+3；（3）当3＜x ＜3时，小明应选择乙公司省钱；当x=3时，两家公司费用一样；当x ＞3，小明应选择甲公司省钱．【解析】（1）根据甲、乙公司的收费方式，求出y 值即可；（2）根据甲、乙公司的收费方式结合数量关系，找出y 1、y 2（元）与x （千克）之间的函数关系式；（3）x ＞3，分别求出y 1＞y 2、y 1=y 2、y 1＜y 2时x 的取值范围，综上即可得出结论．【详解】解：（1）当x=0.5时，y 甲=22×0.5=11；当x=1时，y 乙=16×1+3=19；当x=3时，y 甲=22+15×2=52；当x=3时，y 甲=22+15×3=1.故答案为：11；19；52；1．（2）当0＜x ≤1时，y 1=22x ；当x ＞1时，y 1=22+15（x-1）=15x+2．∴122(01)y 157(1)x x x x <≤⎧=⎨+>⎩y 2=16x+3（x ＞0）；（3）当x ＞3时，当y 1＞y 2时，有15x+2＞16x+3，解得：x ＜3；当y 2=y 2时，有15x+2=16x+3，解得：x=3；当y 1＜y 2时，有15x+2＜16x+3，解得：x ＞3．∴当3＜x ＜3时，小明应选择乙公司省钱；当x=3时，两家公司费用一样；当x ＞3，小明应选择甲公司省钱．本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据甲、乙公司的收费方式求出y 值；（2）根据甲、乙公司的收费方式结合数量关系，找出y 甲、y 乙（元）与x （千克）之间的函数关系式；（3）分情况考虑y 甲＞y 乙、y 甲=y 乙、y 甲＜y 乙时x 的取值范围．15、改进设备后平均每天耗煤1.5吨.【解析】设改进后评价每天x 吨，根据题意列出分式方程即可求解.【详解】解：设改进后评价每天x 吨，4545101052x x x -+=+，解得x=1.5.经检验，x=1.5是此分式方程的解.故故改进设备后平均每天耗煤1.5吨.此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行求解.16、（1）4y x =；（2）作图见解析.【解析】分析：（1）将P 点坐标代入y=k x ，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（2）根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可．详解：（1）∵反比例函数y=k x （x＞0）的图象过格点P（2，2），∴k=2×2=4，∴反比例函数的解析式为y=4x ；（2）如图所示：矩形OAPB、矩形OCDP 即为所求作的图形．点睛：本题考查了作图-应用与设计作图，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，矩形的判定与性质，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键．17、（1）；（2）2【解析】试题分析：（1）根据二次根式的乘除法法则计算即可；（2）根据特殊角的锐角三角函数值计算即可.解：（1）原式；（2）原式.考点：实数的运算点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，学生要特别慎重，尽量不在计算上失分.18、（1）140°，1°；（2）证明见解析；（3）见解析；（4）或【解析】试题分析：（1）根据四边形ABCD 是“等对角四边形”得出∠D=∠B=1°，根据多边形内角和定理求出∠C 即可；（2）连接BD ，根据等边对等角得出∠ABD=∠ADB ，求出∠CBD=∠CDB ，根据等腰三角形的判定得出即可；（3）根据等对角四边形的定义画出图形即可求解；（4）分两种情况：①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD ，BC 相交于点E ，先用含30°角的直角三角形的性质求出AE ，得出DE ，再用三角函数求出CD ，由勾股定理求出AC ；②当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥BC 于点N ，则∠AMD=90°，四边形BNDM 是矩形，先求出AM 、DM ，再由矩形的性质得出DN=BM=3，，求出CN 、BC ，根据勾股定理求出AC 即可．试题解析：（1）解：∵四边形ABCD 是“等对角四边形”，∠A≠∠C ，∠A=70°，∠B=1°，∴∠D=∠B=1°，∴∠C=360°﹣1°﹣1°﹣70°=140°；（2）证明：如图2，连接BD ，∵AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB ，∵∠ABC=∠ADC ，∴∠ABC ﹣∠ABD=∠ADC ﹣∠ADB ，∴∠CBD=∠CDB ，∴CB=CD ；（3）如图所示：（4）解：分两种情况：①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD ，BC 相交于点E ，如图3所示：∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，∴∠E=30°，∴AE=2AB=10，∴DE=AE ﹣AD=10﹣4═6，∵∠EDC=90°，∠E=30°，∴∴==；②当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥BC 于点N ，如图4所示：则∠AMD=90°，四边形BNDM 是矩形，∵∠DAB=60°，∴∠ADM=30°，∴AM=12AD=2，∴∴BM=AB ﹣AM=5﹣2=3，∵四边形BNDM 是矩形，∴DN=BM=3，，∵∠BCD=60°，∴∴，∴=．综上所述：AC 的长为或故答案为：140，1．【点睛】四边形综合题目：考查了新定义、四边形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、矩形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（4）中，需要进行分类讨论，通过作辅助线运用三角函数和勾股定理才能得出结果．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、23-+x y x y 【解析】根据分式的基本性质即可求出答案．【详解】原式＝(2)(3)x y x y ---+＝23-+x yx y ，故答案为：23-+x yx y本题考查分式的基本性质，分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变；熟练掌握分式的基本性质是解题关键．20、1【解析】平移的距离为线段BE 的长求出BE 即可解决问题；【详解】∵BC ＝EF ＝5，EC ＝3，∴BE ＝1，∴平移距离是1，故答案为：1．本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．1【解析】如图,连接BB′，∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′,∠BAB′=60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，AB BB AC B C BC BC ='⎧⎪'=''⎨⎪'='⎩，∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)，∴∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D ，则BD ⊥AB′，∵∠C=90∘，∴，∴BD=2×2=，C′D=12×2=1，∴−1.点睛:本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．22、或4【解析】把y=8直接代入函数2x 1x 2y2x x 2⎧+≤=⎨⎩（）（＞）即可求出自变量的值．【详解】把y=8直接代入函数2y x 1=+，得：x =，∵x 2≤，∴x =代入y 2x =，得：x=4，所以自变量x 的值为或4本题比较容易，考查求函数值．（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．23、1【解析】根据直角三角形的性质求出DE ，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵DE 是Rt △ABD 的斜边AB 上的中线，AB=12，∴DE=12AB=6，∴EF=DE-DF=6-2=4，∵AF=CF ，AE=EB ，∴EF 是三角形ABC 的中位线，∴BC=2EF=1，故答案为：1．本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）y=43x+53；（2）C 点坐标为（54-，0），D 点坐标为（0，53），（3）52．【解析】分析：（1）先把A 点和B 点坐标代入y=kx+b 得到关于k 、b 的方程组，解方程组得到k 、b 的值，从而得到一次函数的解析式；（2）令x=0，y=0，代入y=43x+53即可确定C 、D 点坐标；（3）根据三角形面积公式和△AOB 的面积=S △AOD +S △BOD 进行计算即可．详解：（1）把A （-2，-1），B （1，3）代入y=kx+b 得213k b k b -+-⎧⎨+⎩＝＝，解得，4353k b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝．所以一次函数解析式为y=43x+53；（2）令y=0，则0=43x+53，解得x=-54，所以C 点的坐标为（-54，0），把x=0代入y=43x+53得y=53，所以D 点坐标为（0，53），（3）△AOB 的面积=S △AOD +S △BOD =12×53×2+12×53×1=52．点睛：本题考查了待定系数法求一次函数解析式：①先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b ；②将自变量x 的值及与它对应的函数值y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．25、（1）今年甲型号手机每台售价为1元；（2）共有5种进货方案．【解析】分析:（1）先设今年甲型号手机每台售价为x 元，根据题意列出方程，解出x 的值，再进行检验，即可得出答案；（2）先设购进甲型号手机m 台，根据题意列出不等式组，求出m 的取值范围，即可得出进货方案.详解:（1）设今年甲型号手机每台售价为x 元，由题意得，8000060000500x x =+解得x =1．经检验x =1是方程的解．故今年甲型号手机每台售价为1元．（2）设购进甲型号手机m 台，由题意得，17600≤1000m +800（20－m ）≤18400，解得8≤m ≤2．因为m 只能取整数，所以m 取8、9、10、11、2，共有5种进货方案．点睛:此题考查了一元一次不等式组的应用，要能根据题意列出不等式组，关键是根据不等式组的解集求出所有的进货方案，注意解分式方程要检验，是一道实际问题．26、（1）①∠1=∠2，理由见解析，②证明见解析；（2）①BE=CD+CF ，②CF=CD+BE ．（1）①由等边三角形的性质和∠ADN=60°，易得∠1+∠ADC=120°，∠2+∠ADC=120°，所以∠1=∠2；②由条件易得四边形BCFM为平行四边形，得到BM=CF，BC=MF，再证明△MEF≌△CDA，得到ME=CD，利用等量代换即可得证；（2）①过F作FH∥BC，易得四边形BCFH为平行四边形，可得HF=BC，BH=CF，然后证明△EFH≌△DAC，得到CD=EH，利用等量代换即可得BE=CD+CF；②过E作EG∥BC，易得四边形BCGE为平行四边形，可得EG=BC，BE=CG，然后证明△EFG≌△ADC，得到CD=FG，利用等量代换即可得CF=CD+BE．【详解】（1）①∠1=∠2，理由如下：∵△ABC为等边三角形∴∠ACB=60°∴∠2+∠ADC=120°又∵∠AND=60°∴∠1+∠ADC=120°∴∠1=∠2②∵MF∥BC，CF∥BM∴四边形BCFM为平行四边形∴BM=CF，BC=MF=AC，∵BC∥MF∴∠1=∠EFM=∠2，∠EMF=∠ABC=60°在△MEF和△CDA中，∵∠EFM=∠2，MF=AC，∠EMF=∠ACD=60°∴△MEF≌△CDA（ASA）∴ME=CD∴ME=BM+BE=CF+BE=CD即CF+BE=CD（2）①BE=CD+CF，证明如下：如图，过F 作FH ∥BC ，∵CF ∥BH ，FH ∥BC ，∴四边形BCFH 为平行四边形∴HF=BC=AC ，BH=CF ∵△ABC 为等边三角形∴∠ABC=∠ACB=60°∴∠CAD+∠ADC=60°，∠DBE=120°，∠ACD=120°又∵∠AND=60°，即∠BDN+∠ADC=60°∴∠CAD=∠BDN ∵BD ∥HF ∴∠HFE=∠BDN=∠CAD ，∠EHF=∠ACD=120°在△EFH 和△DAC 中，∵∠EHF=∠ACD ，HF=AC ，∠HFE=∠CAD ∴△EFH ≌△DAC （ASA ）∴EH=CD ∴BE=BH+EH=CF+CD即BE=CD+CF ；②CF=CD+BE ，证明如下：如图所示，过E 作EG ∥BC ，∵EG∥BC，CG∥BE∴四边形BCGE为平行四边形，∴EG=BC=AC，BE=CG，∵∠AND=60°，∠ACD=60°∴∠ADC+∠CDE=120°，∠ADC+∠DAC=120°∴∠CDE=∠DAC又∵CD∥EG∴∠GEF=∠CDE=∠DAC，∠EGF=∠DCF∵AE∥CF∴∠DCF=∠ABC=60°∴∠EGF=∠ABC=60°在△EFG和△ADC中，∵∠GEF=∠DAC，EG=AC，∠EGF=∠ACD=60°∴△EFG≌△ADC（ASA）∴FG=CD∴CF=CG+FG=BE+CD即CF=CD+BE本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是根据“一线三等角”模型找到全等三角形，正确作出辅助线，利用等量代换找出线段关系．。
2023-2024学年山西省太原市小店区数学四下期末学业水平测试试题含解析
2023-2024学年山西省太原市小店区数学四下期末学业水平测试试题一、谨慎判一判。
（对的打√，错的打×。
每题 2 分，共 10 分）1．一个一位小数，去掉小数点后，比原来增加10倍．（______）2．0.5和0.9之间的一位小数有无数个。
（________）3．有一个角是锐角的三角形，可能是钝角三角形．（_______）4．两个数相乘，积一定大于任何一个因数。
（______）5．小红身高1.40米，小华身高140厘米，她俩一样高。
（____）二、仔细选一选。
（把正确答案序号填在括号里。
每题 2 分，共 10 分）6．把0.068的小数点，向右移动两位，再缩小到比原来的，得到的数是（）A．0.68 B．0.068 C．6.87．6.56＋8.8＋3.44＝8.8＋（6.56＋3.44），运用了加法（）。
A．交换律B．结合律C．交换律和结合律D．都不是8．若a＝1515…15×333…3（有1004个15，有2008个3），则整数a的所有数位上的数字和等于（）A．18063 B．18072 C．18079 D．180549．如果a×3.4＜3.4，那么a一定（）。
A．大于1 B．等于1 C．小于110．已知△÷○＝□，下面错误的算式是（）。
A．□×○＝△B．□÷○＝△C．△÷□＝○三、认真填一填。
（每题2分，共20 分）11．小红问王老师今年多大年纪，王老师说：把我的年龄加上9，除以4，减去2，再乘以3，恰好是30岁。
问王老师今年（____________）岁。
12．0.9905保留两位小数是（______）；保留三位小数是（______）。
13．1.5时＝（______）分；4050千克＝（______）吨。
14．如果4.26－Δ＝3.18，那么Δ＝（__________）；如果 ÷24＝35，那么 ＝（__________）。
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（）
C．{x | −1 < x < 1} D．{x |1 < x < 3}
2．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是
A. 圆柱
B. 圆台
C. 圆锥
D. 棱台
3. 函数 f (= x) lg x − 1 的零点所在的区间是
x
A． (0,1) B． (1,10) C． (10,100)
正视图 侧视图
俯视图
直线方程 yˆ =−2x + 60 ，现表中有一个数据被污损．则被污损的数据为__________．
气温（ C ） 18 13 10 −1 用电量(度) 24 34 ∗ 64
17. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的体积为 8 ,则这个球的表
面积为__________．
18 ． 过 点 M (−3, −3) 且 斜 率 为 2 的 直 线 l 被 圆 x2 + y2 + 4 y − 21 = 0 截 得 的 弦 长 为
=
cos
2x
图象上所有的点
（）
π
A．向左平行移动 个单位长度
3 π
C．向左平行移动 个单位长度
6
π
B．向右平行移动 个单位长度
3 π
D．向右平行移动 个单位长度
6
6．甲校有 3600 名学生，乙校有 5400 名学生，丙校有1800 名学生，为统计三校学生某
方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为 90 人的样本，应在这三校分别
( ) a b c
10. 已知非零向量 a,b, c, 满足 a+b+c=0 ， a − b ⊥ c ，m = + + ，则 m=（ ） b c a
A． 3 2
B． 3
2018 年高中学业水平考试，
C．1+ 3 2 2
D． 2 + 2 2
数学试题，第2页，共5页
得分 评卷人
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）请将答案填在题中横线上.
束条件
x
+
y
−
2
≤
0
,则
=z
3x − 4 y 的最小值为__________．
y ≥ 0
15．若直线 x + y = 1(a > 0,b > 0) 过点 (1, 2) ,则 2a + b 的最小值为__________．
ab
16. 某同学为了解秋冬季节用电量( y 度)与气温( xC )的关系曾由下表数据计算出回归
设
f
(
x
)
=
2ex log
−1 3
, x < 2, 2x −1
,
x
≥
则
2，
f
(
f
(2)) =
A． 0 B．1 C． 2 D． 3
（）
（）
9. 圆 C1 : x2 + y2 + 2x − 6 y − 26 = 0 与圆 C2 : x2 + y2 − 4x + 2 y + 4 =0 的位置关系为
ห้องสมุดไป่ตู้
（）
A．相离 B．相交 C．外切 D． 内切
抽取学生
（）
A． 30 人， 45 人，15 人 B． 30 人， 30 人， 30 人 C． 20 人， 30 人，10 人 D． 30 人， 50 人，10 人
7. 阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若
输入 N 的值为 24 ,则输出 N 的值为
A． 0 B．1 C． 2 D． 3
( ) 8.
11． 324 与135 两个数的最大公约数是__________．
12．函数 =y
1
−
1 2
x
的定义域为__________．
( ) 13. 已知 a = 2,b 是单位向量，且 a 与 b 夹角为 60 ,则 a· a − b = __________．
x − y ≥ 0
14.
若
x,
y
满足约
（1）求数列{an} 的通项公式 an ；
（2）求数列{an} 的前 n 项和 Sn.
得分 评卷人
于点 F
21．（本小题 10 分） 在四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥ 底 面 ABCD ，PD = DC ，E 是 PC 的中点，作 EF ⊥ PB 交 PB
（1）证明： PA 平面 EDB ； （2）证明： PB ⊥ 平面 EFD .
[来源:学_科_网 Z_X_
2018 年高中学业水平考试， 数学试题，第4页，共5页
得分 评卷人
22．（本小题 10 分） 在 ∆ABC 中， a,b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，且
( ) 2absin=C 3 b2 + c2 − a2 ，
（1）求角 A ；
（2）若 a = 3，且 ∆ABC 的面积为 3 3 ，求 ∆ABC 的周长. 2
座位号
2018 年山西省普通高中学业水平考试试卷
数学
说明： 1.答卷前考生务必将自己的座位号、姓名、准考证号、考点名称、考场
号等信息填写在相应位置. 2.答卷时考生务必用蓝、黑墨水笔或圆珠笔作答(作图可用黑色铅笔)，
请在答题卡上作答，在试题卷中作答无效。 3.本试卷共 5 页，答题时间 90 分钟，满分 100 分.
D． (100，+∞)
（） （）
4．已知数列{an} 为等差数列，且 a1=2，a2 +a3 =13，则 a4 +a5 +a6 =
A． 40
B． 42
C． 43
D． 45
（）
2018 年高中学业水平考试， 数学试题，第1页，共5页
5. 为了得到函= 数 y
cos
2x
−
π 3
的图象,只需把函数
y
得分 评卷人
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 在每小题列出的四个选项中，只．有．一．项．是符合题目要求 的.请将正确选项前的字母填写在下列表格中.
1．若集合 A= {x | −2 < x < 1} ，=B {x | x < −1或x > 3} ，则 A B =
A．{x | −2 < x < −1} B．{x | −2 < x < 3}
__________．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 46 分）解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤.
2018 年高中学业水平考试， 数学试题，第3页，共5页
得分 评卷人
19.（本小题 8 分） 某校有教职工 130 人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调
查，其结果如下：
本科
研究生
合计
35 岁以下
50
35
85
35∼50 岁
20
13
33
50 岁以上
10
2
12
随机地抽取一人，求下列事件的概率：
（1）具有本科学历； （2）35 岁以下具有研究生学历； （3）50 岁以上.
得分 评卷人
20. （本小题 8 分）
在数列{an} 中， Sn 为它的前 n 项和，已知= a2 3= , a3 7, 且数
列{an +1} 是等比数列，