复数与参数方程( )-推荐下载
《复变函数》第1章
(3) 除法: z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) z ( x2 iy 2 )( x2 iy 2 ) z 2 x2 iy2 x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质 z1 z1 i) z1 z 2 z1 z 2 , z1 z 2 z1 z 2 , ; z2 z2 ii) z z ; 2 2 iii) z z Re( z ) Im( z ) ; iv) z z 2 Re( z ) , z z 2 i Im( z ) .
3 1 5 . zz 2 2 2
2
2
2013-7-12
《复变函数》(第四版)
第6页
§2 复数的几何意义
1. 复平面, 复数的其它表示法 (1) z = x + iy ↔ 点( x, y ) ( 几何表示法 ) (2) z = x + iy ↔ 向量OP ( 向量表示法 )
2
辐角: Arg z
( z 0 ) 无穷多个, 相差2kπ . y tan( Arg z ) x 辐角主值: 0 arg z 0 k = 0, ±1, ±2, …… Arg z arg z 2k 当z = 0时, | z | = 0 , 而辐角不确定.
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第8页
, y x | z |
y Arg z的主值arg z (z 0)可由Arc tan x 的主值 y arc tan x 来确定: y arctan x x 0， — 在第一、四象限 2 x 0， 0 y arg z y 0 — — 二象限 y arctan x x 0， 0 — — 二象限 x 0， 0 y arctan y 其中 (图示) x 2 2 3 arg z . 例: z = －3 + 3i 2 4 4 (或 arg z arctan( 1) arctan 1 4
复数与参数方程( )
2 i ， z 2 1 3i ，则复数
B.第二象限
z1 z2
2
在复平面内对应点在（ D.第四象限
）
C.第三象限 ） C. 13i
17、复数 A. 13
3 2i 4 6i 的值是（ 1 i 2
B. 13
D. 13i
高考链接
1、 （2010 年安徽文）已知 i A.
上课时间
能够解决复数的常见考题及参数方程的常见题型 能够适当与其他知识相结合的应用
复数知识点总结
（一） 复数的概念和意义 1、复数：形如 a bi
ab R 的数叫做
2
复数（其中 i 叫做虚部单位，且满足 i
1 ） 。
2、复数的表示方法：复数常用字母 z 表示， 即z
a bia, b R。
3） z1 z 2
a bi c di ac bci adi bdi2 ac bd ad bci ；
第 1 页/共 8 页
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4）
z1 a bi a bi c di ac bd bc ad ic di 0 ； z 2 c di c di c di c 2 d 2 c 2 d 2
A． y x 2 B． y x 2 C． y x 2(2 x 3) ） D． y x 2(0 y 1)
例 2．化极坐标方程 cos 0 为直角坐标方程为（
2
） D． y 1
A． x y 0或y 1
2 2
B． x 1
3、实部和虚部：对于复数 z 1） 2） 3）
《复变函数》第一章 复数与复变函数
的定义域, w 值的全体组成的集合称为函数 w = f ( z ) 的值域. 及 w = z +1
z 1
( z ≠ 1)
均为单值函数,w = n z
均为多值函数.
今后如无特别说明,所提到的函数均为单值函数.
设 w = f ( z ) 是定义在点集 则
容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律. 全体复数并引进上述运算后称为复数域,必须特别提出的是,在复数域 中,复数是不能比较大小的.
2.复平面
从上述复数的定义中可以看出,一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有 序实数 ( x, y ) 唯一确定.因此,如果我们把平面上的点 ( x, y )与复数 z = x + iy 对应,就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系. 由于 x 轴上的点和 y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数,因而 通常称
对应相等,即 x1 = x2 且 y1 = y2 虚部为零的复数可看作实数,即x + ii0 = x ,
0 特别地, + ii0 = 0 ,因此,全体实数是全体复数的一部分.
实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数,复数 x + iy 为互为共轭复数,记为
( x + iy ) = x iy
和 x iy
2.区域与约当(Jordan)曲线
定义1.5 若非空点集 D 满足下列两个条件: (1) D 为开集. (2) D 中任意两点均可用全在 D 中的折线连接起来,则称 D 为区域 (图) 定义1.6 若 z0 为区域 D 的聚点且 z0 不是 D 的内点,则称 z0 为 D 的界点, D 的所有界点组成的点集称为 D 的边界,记为 D , 若 r > 0 ,使得 N r ( z0 ) ∩ D = ,则称 z 0 为 D 的外点 定义1.7 区域 D 加上它的边界 C 称为闭区域,记为 D = D + C
2023新教材高中数学第7章复数复数的几何意义课件新人教A版必修第二册
() A．1 或 3
B．1
C．3
D．2
A [依题意可得 m－32＋m－12＝2，解得 m＝1 或 3，故选 A．]
4．i 为虚数单位，设复数 z1，z2 在复平面内对应的点关于原点对 称，若 z1＝2－3i，则 z2＝________．
－2＋3i [∵z1＝2－3i， ∴z1 对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2，3)．∴z2 ＝－2＋3i．]
[跟进训练] 3．若复数 z＝2aa＋－21＋(a2－a－6)i 是实数，则 z1＝(a－1)＋(1－ 2a)i 的模为________．
29 [∵z 为实数，∴a2－a－6＝0， ∴a＝－2 或 3．∵a＝－2 时，z 无意义，∴a＝3， ∴z1＝2－5i，∴|z1|＝ 29．]
4．已知复数 z＝3＋ai，且|z|<4，求实数 a 的取值范围．
类型 2 复数与复平面内向量的对应 【例 2】 (对接教材 P71 例 2)在复平面内，点 A，B，C 对应的 复数分别为 1＋4i，－3i，2，O 为复平面的坐标原点． (1)求向量O→A＋O→B和A→C对应的复数；
[解] 由已知得O→A，O→B，O→C所对应的复数分别为 1＋4i，－3i， 2，则O→A＝(1，4)，O→B＝(0，－3)，O→C＝(2，0)，
3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)复数的模一定是正实数．
()
(2)两个复数相等，它们的模一定相等，反之也成立． ( )
[答案] (1)× (2)×
4．已知复数 z＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z|＝________． 5 [∵z＝1＋2i， ∴|z|＝ 12＋22＝ 5．]
－3＋2i 13 [z＝－3－2i 的共轭复数 z ＝－3＋2i，| z |＝ －32＋22＝ 13．]
高中新教材数学人课件必修第二册第章复数的几何意义
复数的三角形式具有一些重要的性质，如模的乘积等于乘 积的模、辐角的和等于和的辐角等，这些性质在复数运算 中非常有用。
三角形式与其他形式的关系
复数的三角形式与代数形式、指数形式等之间存在一定的 联系和转化关系，掌握这些关系有助于更好地理解复数的 性质和应用。
三角形式下复数运算规则
加法和减法运算规则
04
乘方运算
设复数 z=r(cosθ+isinθ)，则
它的
n
次方为
zⁿ=rⁿ[cos(nθ)+isin(nθ)]（
n∈Z）。
04
复数三角形式及性质
三角函数在复数中应用
利用三角函数表示复数的模和辐角
01
通过三角函数的性质，可以将复数表示为模和辐角的形式，进
而方便地进行复数的运算和分析。
三角函数在复数域中的周期性
02
与实数域中的周期性类似，三角函数在复数域中同样具有周期
性，这一性质在解决某些复数问题时非常有用。
三角函数与复指数函数的关系
03
复指数函数与三角函数之间存在密切的联系，通过欧拉公式可
以将它们相互转化，从而简化复数的运算过程。
复数三角形式表示方法
三角形式的定义
复数的三角形式是指将复数表示为模和辐角的形式，即 z=r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的辐角。
高中新教材数学人课件必 修第二册第章复数的几何
意义
汇报人：XX 20XX-01-22
目录
• 复数基本概念与运算 • 复数在平面直角坐标系中表示 • 复数极坐标形式及性质 • 复数三角形式及复数基本概念与运算
复数定义及表示方法
复数定义
复数是实数和虚数的和，形如 $z = a + bi$，其中 $a$ 和 $b$ 是 实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
数系的扩充和复数的概念课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
数集.
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课堂探究·素养培育
(3)复数通常用字母z表示,即z= a+bi(a,b∈R)
中 a 叫做复数z的实部, b 叫做复数z的虚部.
.其
3.复数相等
若a,b,c,d∈R,则复数a+bi与c+di相等当且仅当 a=c 且
(+)
-
2
+(m +2m-3)i 是下列数?
(1)实数;
2
解:(1)要使 z 是实数,m 需满足 m +2m-3=0,且
解得 m=-3.所以当 m=-3 时,z 是实数.
(+)
-
有意义,
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(2)虚数;
2
解:(2)要使 z 是虚数,m 需满足 m +2m-3≠0,且
b=d .
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思考:若x+yi=c+di,则一定有x=c,y=d吗?
答案:不一定,因为此处没有说明x,y,c,d是实数,比如y是
纯虚数,则应设y=bi(b∈R,且b≠0),然后再根据复数相等
求相应的参数.
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4.复数的分类
(1)对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,它是 实数 ;
解析:由复数虚部定义知C正确.
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1
2
3
4
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2.已知i是虚数单位,若复数z=3+2a+(2-3a)i的实部与虚
复数、极坐标参数方程
1.复数2(12)i -的共轭复数是 _____ ．2.设复数z 满足(2)12z i i +=-（为虚数单位），则z =___________3.已知i 为虚数单位，复数z 满足(1－i)z ＝2，则z ＝ .4. 已知复数z 满足13=++i z ，则z 的最大值是___________5.已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = ___________.6.已知曲线C 的参数方程为x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.7.在平面直角坐标系xoy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x 21 (t 为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan 2tan 22y x (θ为参数),试求直线l 与曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.8．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos α，y ＝sin α (α为参数)．(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．9．在直角坐标系xoy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭. (I)求1C 与2C 交点的极坐标;(II)设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为()3312x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b 的值.。
高中数学基础知识大筛查(9)-复数,参数方程和极坐标等七个内容
- 1 -基础知识大筛查-算法初步，参数方程和极坐标等七个内容 一、参数方程和极坐标1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
5．极坐标与直角坐标的互化：6.圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =； 在极坐标系中，以 )2,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =；7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos .8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。
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4）
；()()()()()0222221≠++-+++=-⋅+-⋅+=++=di c i d
c a
d bc d c bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z 复数的练习题
1、若复数（为虚数单位），则的共轭复数（ ）()i i +=1z
i z =z A. B. C. D.i +1i +-1i -1i
--12、复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于（
）
()i
i z -+=122
i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3、复数满足，则的虚部等于（
）
z ()i i z
+=-11z A. B.
C.
D.1-1i -i
4、复数
的值为（ ）
i -12
A.
B.
C. D.
i -1i +1i --1i +-15、若复数是纯虚数，则实数（
）
()
()i m m m z
3652-++-==m A. B. C.或 D.32230
6、复数
在复平面内的对应点到原点的距离为（ ）i i
+1A. B. C. D.
212
212
7、设（为虚数单位）
，是的共轭复数，则的值为（ ）
i z
-=1i z z z
z z 2
+⋅A. B.
C.
D.i --1i +1i -3i
+38、设复数
是纯虚数，则（
）
()()21++i mi =m A. B.
C.
D.11-22
1
-
9、“”是“复数为纯虚数”的（
）
2-=a
()
()i a a z 142++-=()R b a ∈,A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条
10、如果复数
（其中为虚数单位，）的实部与虚部互为相反数，则（
）
i bi
212+-i R b ∈=b A. B. C. D.32-3
222。