数列的基本性质及常用结论.doc

数列的基本性质和常用结论

一、等差数列

1.等差数列的判定方法

（ 1）用定义：对任意的n，都有a n 1 a n d （d为常数）{ a n } 为等差数列（定义法）

（ 2）2a n 1a n a n 2（ n N*）{ a n } 为等差数列（等差中项）

(3) a n=pn+q (p，q为常数且p≠0)（即为关于n的一次函数）{ a n} 为等差数列

(4) S n pn2 qn (p，q为常数)（即为关于n的不含常数项的二次函数）{ a n } 为等差数列

2.常用性质

(1) 若数列 { a n } ， { b n} 为等差数列，则数列{ a n k} ， { kga n } ， { a n b n } ， { ka n b } (k，b为非零常数)

均为等差数列 .

(2) 对任何 m， n N*，在等差数列{ a n}中，有a n a m (n m) d ，特别的，当m=1 时，便得到等差数

列的通项公式。另外可得公差d= a n a

1，或 d= a

n a m

n 1 n m

(3) 若 m+n=p+q (m ， n， p， q N *)，则 a n a m= a p a q.特别的，当n+m=2k时，得 a n a m= 2a k

(4){ a n} 是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即

a1a n a2a n 1a3a n 2a i 1a n i。

(5)在等差数列 { a n} 中，每隔k(k N *)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公

差为 (k+1)d(例如：a1，a4，a7，a10 仍为公差为 3d 的等差数列 )

(6) 如果 { a n } 是等差数列，公差为d，那么a n，a n 1，a2， a1也是等差数列，其公差为 d .

(7) 若数列 { a n } 为等差数列，则记 S k a1 a2 a k ， S2k S k a

k 1

a

k 2 a2k，

S 3k S

2 k

a

2 k 1

a

2k 2 a3k，则 S k， S2k S k， S3 k S2k仍成等差数列，且公差为k 2d

3.等差数列前 n 项和公式：S n n(a1 a n ) n(n 1) d 2

( a1

d 2

na1

2

d n )n

2 2

4.等差数列前 n 项和S n常用的基本性质：

（ 1）在等差数列{ a n}中，当项数为 2n (n N *)时，S偶S奇nd, S奇a

n (即中间两项之比

)，S偶

a

n 1

当项数为 2n +1(n N * )时， S 偶 S 奇 a , S 奇

n 1 (即奇偶项数之比 )

n 1

S 偶 n

a 1

a

2 n 1

n( a 1

a 2n 1

)

(2).若等差数列 { a n } ， { b n } 的前 n 项和为 S n , T n (n 为奇数 )，则

a n

2

2 S 2 n 1

b n

b 1

b

2 n 1

n(b 1

b

2n 1

) T

2 n 1

2

2

(3)在等差数列 { a n } 中 . S n =a ， S m b ，则 S n m

n m b) ，特别地， 当 S n S m 时， S n m 0 ，

n (a 当

m

S n =m ， S m =n 时 S n m (n m)

(4) 若 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和，则数列 {

S n

} 也为等差数列 .

n

(5) a n 0 记等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ：①若 a 1 >0，公差 d<0，则当

时，则 S n 有最大值； ②若 a 1 <0，

a n 1

a n 0 S n 最值的方法也可先求出 S n ，再用配方法求解。

公差 d>0，则当

时，则 S n 有最小值。求

a n 1

二、等比数列

1.等比数列的判定方法

（ 1）用定义：对任意的

n ，都有 a n 1 qa n (a n

a n 1

q (q 0)

{ a n } 为等比数列（定义法）

0)

a n

（ 2） a 2

a a

（

a n 1

a

n 1

0）

{ a n } 为等比数列（等比中项）

n

n 1 n 1

(3) 若数列通项公式为： a n aq n 1

(a,q 是不为 0的常数 )

{ a n } 为等比数列（通项公式法）

2.常用性质

(1).若数列

{ a n } ，{ b n } 为等比数列，则数列

{

1

a n

} ，{ k ga n } ，

{ a n

2 } ，

{ a 2n 1}

，{ a n b n } {

a n }

b n

(k 为非零常数

)

均为等比数列

.

(2) 对任何

m ， n

N *

，在等比数列 { a n } 中，有

a n

a m q n m ，特别的，当

m=1

时，便得到等比数列的通

项公式

.因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性

.

(3) 若 m+n=p+q (m ，

n ，

p ，

q

N *

)，则

a n ga m = a p ga q .特别的，当

n+m=2k 时，得

a n ga m =a

k

2 (4) { a n } 是 有 穷 等 比数 列 ， 则 与 首 末 两 项 等 距 离的 两 项 之 积 都相 等 ， 且 等 于首 末 两 项 之 积， 即

a 1 ga n a 2 ga n 1 a 3 ga n 2 a i 1 ga n i

。