单元二 正弦交流电路
中职教育-《汽车电工与电子基础》第二版课件：单元二 正弦交流电路(任成尧 主编 人民交通出版社).ppt
t
dt
Im 2
同理： U Um 2
E Em 2
注意： 交流电压、电流表测量数据为有效值
交流设备铭牌标注的电压、电流均为有效值
三、初相位与相位差 i i Imsin( ωt ψ)
相位：t ψ
反映正弦量变化的进程。 O
ωt
初相位： 表示正弦量在 t =0时的相角。
:给出了观察正弦波的起点或参考点。
相量图: 把相量表示在平面直角坐标系上的图形
Im
Um 最大值相量
I
U 有效值相量
可不画坐标轴
最大值相量表示用符号Im：Um Em 实际应用中多采用有效值相量，符号： I U E
注意:
①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表 示。
③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。
Um Im 2
sin2 ω t
UI
sin 2 ω t
(2) 平均功率 Ｐ
C是非耗
1T
P T 0 p dt
能元件
大 写
1
T
UI sin (2ω t)dt 0
T0
(3) 无功功率 Q
由 u 2Usinω t
i 2Uω C sin( ω t 90)
p i u Um Im sinω t sin( ω t 90)
U2
U
解： 画出 U1 U2 相量图
从相量图上看
φ U1
U
U12
U
2 2
32 42 5V
φ≈53.1°
于是可得u的三要素为
Um 5 2V ω=100πrad/s φ=53.1
u 5 2 sin(100 πt 53.10 )V
电工电子技术-第2章 正弦交流电路
•
I m = 14.1∠36.9°A
其有效值相量为：I• = 10∠36.9°A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或 有效值，幅角对应正弦量的初相。
i u u、i 即时对应！ R
电流、电压的瞬时值表达式
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
RRR
相量图
U
I
（2）电阻元件上的功率关系
3
C -4
D
D 3 j4 第四象限 D 5 arctan 4
3
上式中的j 称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复
平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针
旋转90°。
※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别 于电流而改为j。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数所在象
限正确写出幅角的值。如：
+j
B4
A
A 3 j4 第一象限 A 553.1arctan 4 3
B 3 j4 第二象限 B 5180 arctan 4
-3 0
3
+1
3
模块二、电工基础知识--正弦交流电
阻抗三角形
阻抗：
Z R2 (XL XC )2
arctg X L X C
R 阻抗角
所以p UI sin2ω t
同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。
QC
UI
I 2XC
U2
XC
单位：乏（var）
例2: 电容器C=0.5μF，外加交流电压U=10V，
i
φ=30°，ω=106rad/s，求i。
+
解: （1）相量图法：先画相量图，
u
C
_
分别求I、 φ。
I
U
UI (1 cos2 t)dt
T0
UI I 2R U 2 / R
ωt
单位：瓦、千瓦 (W、kW)
电压与电流最大值的关系：
Im=URm/R
电压与电流有效值的关系：
I=UR/R
或 UR=IR
电路的功率
瞬时功率：瞬时电压与电流的乘积。 有功功率：瞬时功率的平均值。
P=URI=I2R=UR2/R
UR
R
U UL UC UR
电压三角形
电压与电流的相位差：
arctg U L UC arctg X L XC
UR
R
Z XL XC
R
阻抗三角形
阻抗：
Z R2 (XL XC )2
arctg X L X C
R 阻抗角
Z X XL XC
2.功率关系
由 u 2Usinω t
+
1
u
i 2U sin( ω t 90) (1) 瞬时功率 X C
_
p iu
单元二xt
单元二 正弦交流电流一、填空题1.随时间按正弦规律变化的交变电压（或电流），称为正弦交流电。
2.正弦交流电的三要素是有效值、频率和初相位。
ω与f 、T 三者之间的关系是：22f Tπωπ==。
3.交流电有效值是根据电流的热效应来规定的。
4.为简化计算，工程上采用数学中的复数来表示同频率的正弦量，并将它们称为相量。
5.三相对称交流电源的特点是：最大值相等、频率相同、相位互差120度。
6．电感线圈对交流电的阻碍作用称为感抗，其值与频率成正 比，流过纯电感线圈中的电流比它两端的电压在相位上滞后90°。
7.电容元件对交流电的阻碍作用叫容抗，电容对低频电流的阻碍作用大，对高频电流的阻碍作用小。
8.电工技术中，把复数)1(CL j R Z ωω-+=,叫做复阻抗，复数的模叫做 阻抗。
阻抗角ϕ＞0，电路呈感性；ϕ＜0,电路呈容性；ϕ=0，电路呈阻性，电压与电流同相位时，电路则发生了谐振。
9.在电工技术中，把电路端口电压有效值U 与端口电流有效值I 的乘积，称为二端网络的视在功率。
10.提高功率因数的意义是：提高电源设备的利用率；降低了电能在线路上的损失。
11．提高功率因数的方法是：并联电容器和提高自然功率因数。
并联后，负载上的电压和有功功率均保持不变。
12．在RLC 串联电路中，可以用调节电源频率和改变电路参数 的方法使电路谐振。
13．若三相负载对称，则不论星形联接还是角形联接，其三相有功功率都可用公式 3cos l l P U I φ=来计算。
14.三相对称电动势的特点是最大值相等，频率相同，相位互差120°。
15.对称三相四线制电源，可提供两种电压：线电压和相电压 ，p l U U 3=，相位关系是线电压超前相应的相电压30° 。
16．三相对称负载作三角形连接，接入三相对称电源，线电流是相电流的3倍。
17.三相四线制供电系统中，中线的作用是使不对称的三相负载的 相电压对称；中线上不准许安装熔断器和开关。
第2章_正弦交流电路
ψ
+
90
°
- jA
- jA = 1 - 90° × r ψ = r ψ − 90°
三. 正弦量的相量表示法 相量：表示正弦量的复数。 相量：表示正弦量的复数。
相量表示方法: 相量表示方法: 设正弦量: 设正弦量: i = I msin( ω t + ψi )
大写字母上打点， 大写字母上打点，表示相量 模 =正弦量的最大值 & 最大值相量 Im = Imejψi = Im ψi 辐角= 辐角=正弦量的初相角 有效值相量
i1 i3 i2
i2 =
2 I 2 sin ( ω t + ψ 2 ), 求 i3 = i1 + i2
结论： 同频正弦量运算后仍得到同频的正弦量。 结论：●同频正弦量运算后仍得到同频的正弦量。 直接进行正弦量的运算很繁琐。 ●直接进行正弦量的运算很繁琐。 解决办法：把正弦量用相量（复数）表示， 解决办法：把正弦量用相量（复数）表示，先进行复数 运算，求出相量解， 运算，求出相量解，再根据相量解写出正弦量瞬时值表 达式。这种分析方法称为相量法。 达式。这种分析方法称为相量法 相量法。
正弦量的波形
i
Im
ψ
ωt
i = I m sin(ω t + ψ )
幅值（最大值） I m ： 幅值（最大值） 角频率（弧度/ ω ： 角频率（弧度/秒）
特征量: 特征量:
ψ ： 初相角
2.1.1 正弦量的三要素
1. 幅度(最大值)： 幅度(最大值) 最大的瞬时值，对确定的正弦量而言是一个常 最大的瞬时值， 量。最大值必须用带下标m的大写字母表示。 最大值必须用带下标m的大写字母表示。 如：Um、Im。
超前i （1）ϕ >0， u超前 ， 超前 滞后u 或i滞后 滞后
第2章 正弦交流电路
同相反相的概念
同相:相位相同，相位差为零。 反相:相位相反，相位差为180°。 下面图中是三个正弦电流波形。 i1与 i2 同相， i1与 i3反相。
i
i1 i2
O
i3
ωt
总 结
描述正弦量的三个特征量：
幅值、频率、初相位
9
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2.2 正弦量的相量表示法
正弦量的表示方法：
★ 三角函数式： i
相位 表示正弦量的变化进程，也称相位角。 初相位 t =0时的相位。
i I m sint 相位： t 初相位： 0
i I m sin t
相位：
i
O
t
i
t
说 明
初相位：
ψ
t
初相位给出了观察正弦波的起点或参考点。
7
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相位差
两个同频率的正弦量的相位之差或初相位之差称为相位差。 正弦交流电路中电压和电流的频率是相同的，但初相不 一定相同，设电路中电压和电流为：
26
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2.3.3 电容元件的交流电路 电压电流关系
对于电容电路：
dq du i C dt dt
i
＋
如果电容两端加正弦电压：
u
_
C
u Um sin t
则：
注意u 和i的参考方向！
dU m sint i C CUm cost CUm sin t 90 I m sin t 90 dt
2.1.1 频率和周期
正弦量变化一次所需要的时间（秒）称为周期（T）。 每秒内变化的次数称为频率（ f ），单位是赫兹（Hz）。
u i
频率是周期的倒数:
电路 第二章 正弦交流电路(1)
所以交流电的有效值就是与它热效应相等的直流电的数值， 它们之间的关系由焦耳－楞次定律确定。为了区别，交流电 流、电压和电动势的有效值分别用大写字母I、U、E表示。 设正弦电流i＝Imsin(ωt+ψ)，通过计算可知，正弦电流的有 效值是其最大值的1/√2倍，如图2—9(c)所示，即 I＝Im/√2 ＝0.707Im (2—9) 同理，正弦电压和电动势的有效值分别为 U＝Um/√2 ; E＝Um/√2 在工程上，主要使用有效值，今后不加特别声明，交流电 的大小均指有效值。从交流电流表和电压表上读取的数值也 是有效值。电气设备所标明的交流电压、电流数值也都是有 效值。可以证明有效值为正弦量在一个周期内的方均根值， 即它不随时间变化，因此，和最大值比较，有效值更为实用。
15
相量也可以用复平面上的有向线段来表示。如图所示。这种 用来表示相量的图形，叫相量图，相量图与力学和物理学中 的向量图相似。但是，相量表示的是随时间作正弦变动的函 数，而向量指的是力、电 场强度等空间向量。 2 因为实际工程中，常采用正弦量的有效值，而且最大值与 有效值之间有着固定的 2关系，所以有效值相量应用较多。 它等于最大值相量除以 2 ，即 U=Um/ 2 同理 I＝Im/ 2
上式表明，为了保证电动势的频率稳定，必须保 持发电机转速稳定。 周期T、频率f及角频率ω反映了正弦量随时间作 ω 周期性交变的快慢。各国在电力工业上所用交流 电的频率都规定了各自的标准。我国和有些国家 电力工业的标准频率为50Hz，称为工频。一般我 们讲交流电时，如果不加说明，指的就是50Hz的 工频。还有一些国家工频采用60Hz。
采用适当的磁极形状，使电枢表面的磁感应强度B 沿圆周按正弦规律分布，如图 (a)所示。由于铁芯 的磁导率远大于空气的磁导率，故磁力线的方向 与铁芯表面垂直。在磁极之间的分界面O～O',B＝ 0，称为磁中性面。在磁极的轴线上，磁感应强度 具有最大值Bm 。设线圈的一条有效边AA'(切割磁 力线的部分)和转轴所组成的平面，与磁中性面的 夹角为α，则AA'边所处位置的磁感应强度为(见图 2—2) B＝Bmsinα 当电枢被原动机拖动，在磁场中以逆时 针方向作 等速旋转时，电枢线圈有效 边因切 割磁力线而产生感 应电动势。其表达式为 e＝Emsinωt (2—1)
第二章正弦交流电路
第2章 正弦交流电路判断题正弦交流电的基本概念1．若电路的电压为)30sin(︒+=t U u m ω，电流为)45sin(︒-=t I i m ω， 则u 超前i的相位角为75°。
[ ]答案:V2．如有电流t i 100sin 261=Ａ，)90100sin(282︒+=t i Ａ，则电流相量分别是︒=0/61I &Ａ，︒=90/82I &Ａ。
所以二者的电流相量和为：21I I I &&&+= [ ] 答案:V3．若电路的电压为u ＝I m sin(ωt+30°)，电流为i =I m sin(ωt-45°)，则u 超前i 的相位角为15°。
[ ]答案:X4．正弦量的三要素是指其最大值、角频率和相位。
[ ]答案:X5．正弦量可以用相量表示，因此可以说，相量等于正弦量。
[ ]答案:X6．任何交流电流的最大值都是有效值的2倍。
[ ]答案:X7．正弦电路中，相量不仅表示正弦量，而且等于正弦量。
[ ]答案:X正弦量的相量表示法1．如有电流t i 100sin 261=Ａ，)90200sin(282︒+=t i Ａ，则电流相量分别是︒=0/61I &Ａ，︒=90/82I &Ａ。
所以二者的电流相量和为：21I I I &&&+= 。
[ ] 答案:X单一参数的正弦交流电路1．电容元件的容抗是电容电压与电流的瞬时值之比。
[ ]答案:X2．在电感元件的电路中，电压相位超前于电流90º，所以电路中总是先有电压后有电流。
[ ]答案:X3．电感元件的感抗是电感电压与电流的瞬时值之比。
[ ]答案:X4．电感元件的感抗是电感电压与电流的有效值之比。
[ ]答案:V5．直流电路中，电容元件的容抗为零，相当于短路。
[ ]答案:X6．直流电路中，电感元件的感抗为无限大，相当于开路。
[ ]答案:X7．直流电路中，电容元件的容抗为无限大，相当于开路。
2正弦交流电路
图2-12 电感元件交流电路
设
则
uL=u=L di =ImωLsin(ωt+ψi +90˚)
= Umsin(ωt+ψu)
i=Imsin(ωt+ ψi)
dt
第2章 正弦交流电路
ULm=ImωL 或UL=IωL ψu= ψi+90° 或ψi = ψu–90° 其相量式为 则
U jX L I j LI i I L i 90
u i
第2章 正弦交流电路
【例2-4】 已知 i1=311sin(ωt+45°)A，i2=110 2 sin (ωt -20°)A。求i=i1+i2的大小。 画出i1、i2的相量图，如图2-7所示，按平行四边 形法则求出两相量的合成相量。
• I1 • I 45˚ 25˚ 20˚ • I2
图2-7 例2-4相量图
图2-8 电阻元件交流电路
第2章 正弦交流电路
可见有 Um=RIm 或 U=IR ψi＝ψu 其相量式为 U I R IR i (1) 电阻两端电压和电流是同频率的正弦量，且同相。 (2)电压幅值(有效值)与电流幅值(有效值)的关系，符 合欧姆定律。 2．电阻元件功率关系 瞬时功率 p=ui=UmImsin2ωt =UI(1-cos2ωt) p p=UI–UIcosωt p 在一个周期内的平均值 称平均功率或有功功率，用 UI P表示，由图2-9得
q C= u
(2-24)
第2章 正弦交流电路
当u、i为关联参考方向，在电容两端加上交流， 当电压u增加时，极板上的电荷q增加，电容充电；电 压u减小时，极板上的电荷q减少，电容放电。电路中 的电流i为
i N Φ
铁心电感 Φ
第2章 正弦交流电路(RL部分)
2.当Φ ＜0时，反映出电压u的相位滞后 电流i的相位一个角度Φ ，简称电压u滞后电
流i。
将上面（a）图中的u、i交换过来即可。
超前、滞后是相对而言的，u超前i，也可
以说是i滞后u。
3.当Φ =0时，电压u和电流i同相位如 图（b）所示。
4.当Φ =π /2时，称正交，如图（c）所 示。
5.当 Φ=π 时，称反相，如图 2-4 （ d） 所示。
≈11Ω
ƒ = 1000 Hz时，
XL=2π ƒL= (2π ×l000×35×10-3)Ω
≈220Ω
（2）当U = 220V ，ƒ = 50Hz时， 电流： I = U/XL = 220/11A= 20A 有功功率： P = 0 无功功率： QL =UI = (220×20) V=4400var
1.电感的电压
设L中流过的电流为i=Imsinω t，则电压 瞬时值为：
uL =ω LImsin（ω t+π /2）
表明：纯电感电路中，电感两端电压与电
流同频率，在相位上超前电流π /2电角度。
纯电感电路的矢量图如图所示：
2.电感的感抗 XL =UL/I =ω L =2π ƒL XL称为感抗，单位是Ω 。与电阻相似，感 抗在交流电路中也起阻碍电流的作用，这种 阻碍作用与频率有关。当L一定时，频率越 高，感抗越大。在直流电路中，因频率f = 0，其感抗也等于零。
P=UmIm/2=UI=I2R＝U2/R
单位：W（瓦）
【例2.5】已知电阻R =440Ω ，将其接在U = 220V的交流电路上，试求电流I和功率P。 解：电流为： I = U/R = 220/440 = 0.5 A 功率为： P = UI = 220×0.5 = 110 W
《电工与电子技术基础》第2章正弦交流电路习题解答
67
（1）i= u Z
（2）I= U R + XC
（3）
I
=
R
U − jωC
（4）I= U Z
（7） I = − j U ωC
（5）U=UR+UC
（8）
I
=
j
U ωC
（6）U =UR + UC
解：在
R、C
串联电路中，总阻抗 Z
=
R
−
j
X
C
=
R
−
j
1 ωc
而 Z=
R2
+
X
2 C
I = U Z
L = XL =
8
= 25.5 (mH)
2πf 2 × 3.14 × 50
2.10 题 2.10 图中，U1=40V，U2=30V，i=10sin314t A，则 U 为多少？写出其瞬时值表 达式。
解：由电路图可知，电压 u1 与电流 i 同方向，而电压 u2 超前电流 i90º，所以
U=
U12
+
U
2.2 两个频率相同的正弦交流电流，它们的有效值是 I1=8A，I2=6A，求在下面各种情况 下，合成电流的有效值。
（1）i1 与 i2 同相。 （2）i1 与 i2 反相。 （3）i1 超前 i2 90º角度。 （4）i1 滞后 i2 60º角度。
解：（1） I = I1 + I2 = 8 + 6 = 14 （A）
− j4 2 − j2
=
2+
2j
+
− j4(2 + j2) (2 − j2)(2 + j2)
=3+
j (Ω)
电工学 第二章正弦交流电路
(1-2)
. 一、正弦量的三要素
二、同频率正弦量的相位差
三、正弦量的有效值
(1-3)
一、正弦量的三要素
i = Im sin (wt + j ) i
Im
j
wt Im：电流幅值（最大值）
三要素
w： 角频率（弧度/秒）
.
U Z = I
j = j u - ji
结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比， 而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。
(1-46)
Z 和电路性质的关系
Z = R+ j (XL－ XC )
阻抗角
j = ju－ ji = arctg
(1-39)
以电流为 参考量时
正 误 判 断
在电阻电路中：
瞬时值
有效值
U I= R
？
U i= R
？
u ？ i = R
(1-40)
正 误 判 断
在电感电路中：
u i= XL
？
U I= ωL
u i= ωL
？
？
& U = XL & I
U = jω L I
？
？
(1-41)
第四节
RLC串、并联电路及功率因数的提高 一、RLC串联的正弦交流电路
& I U=&R
& I & U
(1-25)
相量图
总结功率关系
因为：
i= Im sinwt u =Ri=R Im sinwt p=u·=R·2=u2/R i i
小写，瞬时值功率
所以：
i
u
wt
《电工学》教案02正弦交流电路
7. 掌握三相四线制供电系统中单相及三相负载的正确联接方法，理解中线的作用；
8. 掌握对称三相电路电压、电流及功率的计算。
2.1 正弦电压与电流
1. 正弦电流及其三要素
随时间按正弦规律变化的电流称为正弦电流，同样地有正弦电压等。这些按正弦规律变
化的物理量统称为正弦量。
设图 2.1 中通过元件的电流 i 是正弦电流，其参考方向如图所示。正弦电流的一般表达
式为：
i (t)= I m sin(ωt+ψ)
图 2.1 电路元件
图 2.2 正弦电流波形图
它表示电流 i 是时间 t 的正弦函数，不同的时间有不同的量值，称为瞬时值，用小写字
母表示。电流 i 的时间函数曲线如图 2.2 所示，称为波形图。
I m 为正弦电流的最大值（幅值），即正弦量的振幅，用大写字母加下标 m 表示正弦量 的最大值，例如 I m 、U m 、 Em 等,它反映了正弦量变化的幅度。( t +ψ)随时间变化，称
少角度或时间，以角度表示时为ψ1-ψ2，若以时间表示，则为(ψ1-ψ2)/ω。如果两个正弦 电流的相位差为 12 = ，则称这两个正弦量为反相。如果 12 = 2 ，则称这两个正弦量为正
交。
图 2.4 正弦量的相位关系
3. 有效值
周期电流 i 流过电阻 R 在一个周期所产生的能量与直流电流 I 流过电阻 R 在时间 T 内所
从以上分析可知：
（1） 电感两端的电压与电流同频率；
（2） 电感两端的电压在相位上超前电流 90°；
（3） 电感两端的电压与电流有效值(或最大值)之比为 L。
令
X L = L =2 f L
X L 称为感抗，它用来表示电感元件对电流阻碍作用的一个物理量。它与角频率成正比。
第2章 正弦交流电路
eU Em sin t eV Em sin(t 120 ) eW Em sin(t 120 )
（2-31）
相应的波形图、相量图如图2-16（a）、 （b）所示。
图2-16 三相对称电动势
2．三相电源的星形联结
（1）星形联结
把上述三相绕组的末端U2、V2和W2连在一 起，就构成星形联结，如图2-17所示。
UR U 311 2 V 220V
【例2-4】
根据式（2-10），电流有效值为
P 100W IR 0.455A U R 220V
2.2.2 纯电感电路
1．电压和电流的关系
纯电感电路如图2-10（a）所示，电感电
流与电压参考方向一致，设电感电流为
iL 2 I L sin t
2.3.1 电压和电流关系 2.3.2 电路的功率和能量转换
2.3.1 电压和电流关系
RLC串联电路如图2-12所示，取电压和电 流的参考方向一致。 为便于分析，电路中各量均采用相量表 示，各元件也采用相量化模型。
图2-12 RLC串联电路
用相量法分析电路如下。
（1）作相量图
图2-13 相量图
（2）求相量和
IL IP
【例2-8】三相电源作星形联结，线电压是 380V，负载是额定电压为220V的电灯组，问： （1）三相负载采用什么联结方式； （2）若三相负载的等效电阻 R1=R2=R3=510 ， 求相电流、线电流和中线电流； （3）若三相负载的等效电阻分别为 R1=510 ， R2=510，R3=2k，求中线电流。
QC UC IC 50 0.157 var 7.85var
当 f 5 000Hz 时，
XC IC 1 1 3.19 2π fC 2 3.14 5 000 10 106
电工学第2章正弦交流电路PPT课件
p=ui=Um sin(ωt+90°) Imsinωt
=UmIm cosωtsinωt =UIsin2ωt
电感元件的功率波形
上式表明， 电感元件的瞬时功率是一个幅值为UI 并以2ω的角频率随时间而变化的正弦量。瞬时功率 的变化曲线如右图所示。
26
当p>0时，表明电感元件吸收能量并作负载 使用，即将电能转换成磁场能量储存起来；
1. 相位角（或相位）——（ωt +ψi） 2. 初相位——t=0时的相位角，即ωt +ψi|t=0＝ψi
初相位不同，正弦波的起始点不同，如下图所 示。
(a)ψi＝0
(b)ψi＞0
(c)ψi<0
由于正弦量是周期性变化量，其值经2π后又重复，所
以一般取主值，| ψi |≤π。
8
2.1.3 初相位
在一个正弦交流电路中， 电压u和电流i的频率是相同的， 但初相位却可以不同。设：
19
在电阻元件的交流电路中，电压u与电流i 相 位相同、频率相同。其波形图、相量图如下所示：
根据 i=Imsinωt ；u=iR=ImRsinωt
可知电压幅值: Um=Im R；
U=I R
如果用相量来表 示电压与电流的
•
•
U
•
Um
•
R
或
••
U IR
关系，则有： I I m
20
瞬时功率：p=ui= Umsinωt Imsinωt=UmImsin²ωt
③指数形式可改写为极坐标形式：
A=r
三种复数式可以互相转换。复数的加减运 算可用直角坐标式；复数的乘除运算用指数形 式或极坐标形式则比较方便。
13
e e 例如: 设A1= a1+jb1 ＝r1 j 1 ；A2= a2+jb2 ＝r2 j 2
电路 第二章 正弦交流电路2
归纳上述的讨论可知；由于任一瞬时电感元件上的电压u 正比于电流的变化率△i/△t，因此在相位上电感电压超前 电流900，即u比i早1／4周期达到最大值或零值。
电感元件上u、i的波形，如图 (b)所示。显然，电感元 件上的电压和电流为同频率的正弦量。
(二)大小关系
将式(2—13)的正弦电流代入式(2—14)，经过数学 运算可得到电感电压的表达式为 u=ωLImcosωt =Umsin(ωt+900)
U ＝U R+UL十U C＝I R+j IXL－jIXC
＝I [(R+j（XL－XC ）＝ Z
上RL式C称串为联相电量路形对式正的弦欧电姆流定的阻律碍。作式用中。的它Z＝概R括+j了(X前L－述X电c)反阻映、了感 抗及容抗的性质。它是一个复数，故称为复阻抗。
为X为超见LU前，电>了X电L阻方c与，U流端便便c电反作9可0相压图0画；，相，U出它量在cR为们，L串电C的它联串容相与电联端量电路电电和流中路压为I同的一相U相相量般x＝；量，选UU图它电LL为+，滞流U电如后I作c感称图电为端为流(b参电电)。9考压抗0图0相相端。中量量电由，，，压图U设它相可1R6
流容则上它的元式表Xωc表件中示1=cω达上，1电ωc=1式电U容c =称m为压元1/I为/m与（件=i＝容电2U对πω抗/流If交CC，之U）流用m间电c符o的的s号ω大阻tX小＝碍c表关I作m示系s用in，为(。ω即ωt若+C9频U0m0率)=由Ifm的此单可位得为出赫电，
电容C的单位为法，则容抗Xc的单位为欧。
Xc=U/I 这就是电容元件上电压和电流之间的有效值关系。 容抗Xc的大小与电容C和频率f成反比。频率f越高，电容C
电工学I(电路与电子技术)[第二章正弦交流电路]山东大学期末考试知识点复习
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第二章正弦交流电路2．1．1 正弦量的三要素及表示方法(1)正弦交流电路：如果在线性电路中施加正弦激励(正弦交流电压源或正弦交流电流源)，则电路中的所有响应在电路达到稳态时，也都是与激励同频率的正弦量，这样的电路称为正弦交流电路。
(2)正弦交流电压或正弦交流电流等物理量统称为正弦量，它们的特征表现在变化的快慢、大小及初值3个方面，分别由频率(或周期)、幅值(或有效值)和初相位来确定。
所以称频率、幅值(或有效值)和初相位为正弦量的三要素。
(3)因为正弦量具有3个要素，它们完全可以表达对应的正弦量的特点和共性。
所以，只要能够反映出正弦的三要素，就可以找到多种表示正弦量的方法，其常见的表示方法如下。
①三角函数表示法和正弦波形图示法，比如正弦电压u=U m sin(ωt+φ)，其正弦波形如图2．1所示，但是正弦量的这两种表示方法都不利于计算。
②旋转矢量表示法，由于复平面上一个逆时针方向旋转的复数能够反映出正弦量的3个要素，因此可用来表示正弦量。
③相量及相量图表示法，由于正弦交流电路中的激励和响应均为同频率的正弦量，故可在已知频率的情况下，只研究幅值和初相位的问题。
这样，不仅可以用旋转矢量表示正弦量，而且也能把正弦量表示成复数(该复数与一个正弦量对应，称为相量)。
图2．1所示正弦电压的幅值相量和有效值相量分别为2．1．2 电路基本定律的相量形式将正弦量用相量表示有利于简化电路的分析和计算，其中电路分析的基本定律在频域中也是成立的，即为表2．1的电路基本定律的相量形式。
当用相量来表示正弦电压与电流，用复阻抗来表示电阻、电感和电容时，正弦交流电路的分析与计算也就类似于直流电路，复阻抗的串并联等效、支路电流法、叠加定理和戴维宁定理等分析方法均可应用。
为了研究复杂正弦交流电路中激励与响应之间的关系，以及研究电路中能量的转换与功率问题，就必须首先掌握单一参数(电阻、电感、电容)元件在正弦交流电路中的特性(见表2．2)，以作为分析复杂正弦交流电路的基础。
电工学第二章 正弦交流电
O
ωt
电压与电流同相 u i u i O
ψ1 ψ 2 0
ψ 1 ψ 2 180
电压与电流反相 u i u i O
ωt
ωt
注意: ① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关,仅取决于两者的初相位。
i
O
i1
i2
t
② 不同频率的正弦量比较无意义。
例1
已知：
幅度：
i sin 1000 t 30 A
I 1 2 0 . 707 A
I m 1A
频率：
1000 rad/s
f
2
1000 2
159 Hz
初相位：
30
例2:
i1 I m1 sin t 90 i2 I m2 sin t 90
小写
u i O p
2
i u
ωt p
p ui
U m I m sin ω t
1 2 U m I m (1 cos 2 ω t )
O
ω t
结论: p 0
（耗能元件）,且随时间变化。
(2) 平均功率(有功功率)P 瞬时功率在一个周期内的平均值
P
大写
i
+
1 T 1
0
T 0
p dt
I 2 11 60 A
I I1 I 2 12.7 30A 11 60A
12.7( cos 30 j sin 30 )A 11( cos 60 j sin 60 )A
电工电子应用技术 单元二自测题
电工电子应用技术课程自测题单元二 正弦交流电路及其应用一、选择题(共10题，每题2分，共20分。
选择一个正确的答案，将相应的字母填入题内的括号中。
)1.实际情况中，功率因数cos ϕ的取值范围是（ ）。
A.cos 0ϕ<B.cos 0ϕ>C.cos 0ϕ=D.0cos 1ϕ<<2.RLC 串联电路中，电路的性质取决于（ ）。
A.电路的外加电压的大小B.电路的连接形式C.电路各元件参数和电源频率D.电路的功率因数3.电器铭牌上标注的功率值均是（ ）。
A.有功功率B.无功功率C.视在功率D.瞬时功率4.如果正弦量的计时起点改变，则正弦量的（ ）也随之改变。
A.频率B.角频率C.相位D.初相位5.正弦量的振幅值一定是（ ）。
A.峰峰值B.最大值C.有效值D.平均值6.正弦电压u ab 和u ba 的相量关系是（ ）。
A.超前B.滞后C.同相D.反相7.用万用表测量正弦交流信号，所得数值是该正弦量的（ ）。
A.最大值B.有效值C.峰峰值D.平均值8.正弦交流电的三要素是指( )。
A.电阻、电感和电容B.有效值、频率的初相C.电流、电压和相位差D.瞬时值、最大值和有效值。
9.交流电路中视在功率的单位是( )。
A.焦耳B.瓦特C.伏安D.乏10.在纯电容的电路中，正确的关系式是( )。
A.I CU ω=B.U I C ω= C.m C U I X = D.C u I x =二、判断题(共10题，每题2分，共20分。
对者在括号内打√，错者打×） （ ）1.正弦量的初相位与计时起点的选择无关。
（ ）2.只有同频率的正弦量才能用相量运算。
（ ）3.电感元件两端的交流电压不变，提高频率，则通过它的电流将增大。
（ ）4.关联参考方向下，电感元件上的正弦电压滞后正弦电流90。
（ ）5.复数阻抗Z 是相量。
（ ）6.有功功率和无功功率反映了元件消耗能量的速率。
（ ）7.同一电路用不同三角形计算得到的阻抗角，其数值是不相等的。
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3 单一参数的正弦交流电路
3.2 纯电感电路
电感的功率 在纯电感电路中，电压瞬时值和电流瞬时值的乘积，称为瞬时功率。
p L ui U m sin t I m sin t 2
U m I m cost sin t
1 正弦交流电的三要素 2 正弦交流电的表示法 3 单一参数的正弦交流电路 4 电阻电感电容器串联电路
单元二 正弦交流电路
的相量表示及优点； 2.正确描述正弦交流电的基本概念和基本关系。
能力目标：
1.会做单相照明电路的安装和检查； 2.会分析和计算单相交流电路并且判断电路的 性质。
1 正弦交流电的三要素
1.2正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值 我们把正弦交流电在任意时刻的数值称为瞬时值，正弦电动 势、电压、电流的瞬时值分别用字母e、u、i表示。
最大的瞬时值称为最大值（或峰值、振幅）。正弦交流电动势、 电压和电流的最大值分别用Em、Um和Im来表示。 把热效应相等的直流电流（或电压、电动势）定义为交流电流 （或电压、电动势）的有效值。交流电流、电压和电动势有效值的符 号分别是I、U和E。
1 U m I m sin 2t 2
UI sin 2t
在供电系统中，只要接有电感负载，就要出现电能与磁场能的相互转 换，能量在电源与负载之间往返传输。为了计量这一部分往返传输的 功率，我们取交换功率的最大值为计量数据，叫做电路的无功功率
3 单一参数的正弦交流电路
3.3 纯电容电路 由介质损耗很小、绝缘电阻很大的电容器组成的交流电路，都可 以近似看成是纯电容电路， 电压与电流的关系 （1）纯电容元件上的电压与电流同频率。 （2）纯电容元件上电压与电流的数值关系。
2正弦交流电的表示法
2.1解析表示法 函数式表示正弦交流电随时间变化的方法叫解析法。 e=Emsin(ωt+φe) u=Umsin(ωt+φu) i=Imsin(ωt+φi)
2.2波形表示法
根据解析式的计算数据，在平面直角坐标系中作出波形的方法叫 波形法，如图2-5b所示。图中，纵坐标表示交流电的瞬时值，横坐标 表示电角度ωt或时间t。我们把这种曲线叫做正弦交流电的曲线图或波 形图。
3 单一参数的正弦交流电路
3.1纯电阻电路
我们把负载中只有电阻的交流电路称为纯电阻电路。
电流与电压的关系 设加在电阻两端的电压为 在任意瞬间，电阻上的电压和电流之间符合欧姆定律
对比正弦交流电流的
通式 得
3 单一参数的正弦交流电路
3.1纯电阻电路
电阻的功率交流电的功率规定为一个周期内瞬时功率的平均值， 即平均功率。又因为电阻消耗电能说明电流做了功，从做功的角度来 讲又把平均功率叫做有功功率，简称功率，以P表示，单位仍是瓦 （W）。经数学证明，有功功率等于最大瞬时功率的一半，即
2正弦交流电的表示法
2.3相量表示法 旋转相量法:就是用一个在直角坐标系中绕原点作逆时针方向不 断旋转的相量来表示正弦交流电的方法。 最大值相量:旋转相量的长度代表正弦交流电的最大值。 旋转相 量沿逆时针方向旋转的角速度等于正弦交流电的角频率。旋转相量起 始时与x 轴正方向的夹角代表正弦交流电的初相角。 有效值相量 （1）相量的长度表示正弦交流电的有效值。 （2）相量与水平方向的夹角仍表示正弦交流电的初相角，沿逆时针转 动的角度为正，反之为负。 （3）在仅仅为了表示几个正弦交流电的相位关系时，既可以选横轴的 正方向为参考方向，也可任意选一个相量作参考相量，并取消直角坐 标轴。 （4）有效值相量用 和 来表示。
单元二 正弦交流电路
大小和方向都随时间作周期性变化的电动势、电压和电流分别称 为交变电动势、交变电压和交变电流，三者统称为交流电。交流电分 为正弦交流电和非正弦交流电两大类。正弦交流电是随时间按正弦规 律变化的。 正弦交流电和直流电比较有三个主要优点： 第一：交流电可用变压器来改变其电压的大小，便于远距离输电 和向用户提供各种不同等级的电压。 第二：交流电机比相同功率的直流电机构造简单、成本低、工作 可靠。 第三：交流电也可经过整流装置转换为电车、电镀、电子设备等 需要的直流电。因此交流电在生活中得到广泛的应用。
1 正弦交流电的三要素
1.3正弦交流电的相位、初相位和相位差
电压瞬时值表达式中的（ωt+φ）就是反映正弦交流电压在变 化过程中任意时刻所对应的电角度，它随着时间而变化。通常把它称 为相位角，也叫相位或相角。
t=0时的相位角φ称为初相角，也叫初相位或初相。 所谓相位差，就是两个同频率正弦交流电的相位之差，用字 母△φ表示。 △φ=（ωt+φ1）-(ωt+φ2)= φ1-φ2（2-5）
1 正弦交流电的三要素
1.1正弦交流电的周期、频率和角频率 交流电每重复一次变化所需要的时间称为周期，用字母T表示， 单位是秒,用字母s 表示。 交流电一秒内重复变化的次数称为频率，用字母f表示，单位 是赫兹，用字母Hz表示。
f 1 1 或T T f
所谓角频率（即电角速度）是指交流电在1s内变化的电角度， 用字母ω表示，单位是弧度/秒（rad/s）。如果交流电在1s内变化了 1次，则电角度正好变化了2π弧度，也就是说该交流电的角频率ω=2π 弧度/秒。若交流电1s内变化了f次，则可得角频率与频率的关系式为
1 正弦交流电的三要素
1.3正弦交流电的相位、初相位和相位差
图 2-4 交流电的同相和反相
如图a所示；若△φ=180°，即它们的初相相差180°，则称 它们的相位相反，简称反相，如图b所示。 由式e=Emsin（ωt+φ）可以看出，当正弦交流电的最大值、角频率 （或频率、周期）和初相角这三个量确定时，正弦交流电才能确定， 也就是说这三个量是描述正弦交流电必不可少的要素，所以称它们为 正弦交流电的三要素。
P为有功功率（W）,UR为电阻两端交流电压的有效值（V）,I为电阻上 交流电流的有效值（A）。
3 单一参数的正弦交流电路
3.2 纯电感电路 电阻为零的线圈称为纯电感线圈，如果把它接到交流电源上，则 构成纯电感电路。 电压与电流的关系 （1）纯电感元件上的电压与电流同频率。 （2）纯电感元件上电压与电流的数值关系。 Um=ImωL