反比例函数基础知识表格
(完整版)初中数学反比例函数知识点及经典例
04
利用相似三角形求解线段长度或角度大小
通过相似三角形的性质，我们可以建立 比例关系，从而求解未知线段长度或角 度大小。
解方程求解未知量。
具体步骤
根据相似比建立等式关系。
确定相似三角形，找出对应边或对应角 。
经典例题讲解和思路拓展
例题1
解题思路
例题2
解题思路
已知直角三角形ABC中， ∠C=90°，AC=3，BC=4，将 △ABC沿CB方向平移2个单位 得到△DEF，若AG⊥DE于点G ，则AG的长为____反比例函数$y = frac{m}{x}$的图像经过点$A(2,3)$，且与直线$y = -x + b$相 交于点$P(4,n)$，求$m,n,b$的
值。
XXX
PART 03
反比例函数与不等式关系 探讨
REPORTING
一元一次不等式解法回顾
一元一次不等式的定义
01
在材料力学中，胡克定律指出弹簧的 伸长量与作用力成反比。这种关系同 样可以用反比例函数来描述。
牛顿第二定律
在物理学中，牛顿第二定律表明物体 的加速度与作用力成正比，与物体质 量成反比。这种关系也可以用反比例 函数来表示。
经济学和金融学领域应用案例分享
供需关系
在经济学中，供需关系是决定商品价 格的重要因素。当供应量增加时，商 品价格下降；反之，供应量减少时， 商品价格上升。这种供需关系可以用 反比例函数来表示。
XXX
PART 02
反比例函数与直线交点问 题
REPORTING
求解交点坐标方法
方程组法
将反比例函数和直线的方程联立 ，解方程组得到交点坐标。
图像法
在同一坐标系中分别作出反比例 函数和直线的图像，找出交点并 确定其坐标。
数学反比例函数知识点大全
数学反比例函数知识点大全反比例函数知识点反比例函数定义一般地，如果两个变量某、y之间的关系可以表示成y=k/某(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是某的反比例函数。
因为y=k/某是一个分式，所以自变量某的取值范围是某≠0。
而y=k/某有时也被写成某y=k或y=k·某^(-1)。
反比例函数图像性质反比例函数的图像为双曲线。
1.当k>0时，反比例函数图像经过一，三象限，每一象限内，从左往右，y随某的增大而减小。
2.当k<0时，反比例函数图像经过二，四象限，每一象限内，从左往右，y随某的增大而增大。
反比例函数图像是中心对称图形，对称中心是原点;反比例函数的图像也是轴对称图形，其对称轴为y=某和y=-某;反比例函数图像上的点关于坐标原点对称。
知识点1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
2.对于双曲线y=k/某，若在分母上加减任意一个实数m(即y=k/某(某±m)m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移m个单位。
(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移)反比例性质1规律：反比函数与一次函数(与正比例函数相交，交点关于原点对称)相交，求线段数量关系时，切记“原点O到两交点的距离是相等的”若给出反比函数解析式，那么最终求得的结果的过程肯定要转化成关于“k”的几何意义。
2规律：一次函数与反比函数相交且两函数解析式都未知，此时一次函数所在直线与交点分别于某轴，y轴做垂线的交点所连接的线段是相互平行的，同时一次函数与反比函数的交点到一次函数与某轴，y轴的交点的距离是相等的。
3规律：题目中给出线段比例和四边形的面积求k问题，利用同底等高三角形面积与高之间的关系，面积与k之间的关系。
求出k(此时不用具体求出点坐标)。
4规律：有中点时利用中点坐标公式，再根据反比函数上任何一点处的几何意义都相同的思想转化出面积问题。
5规律：若反比例函数图像经过多个点，那么在这几点处的几何意义是相同的。
反比例函数基础知识表格
①根据两变量之间的反比例关系，设y＝ ；
②代入图像上一个点的坐标，即x，y的一对对应值，求出k的值；
③写出表达式
反比例函数与一次函数的图像的交点的求法
求直线y＝k1x＋b(k1≠0)和双曲线y＝ (k2≠0)的交点坐标，解这两个函数表达式组成的方程组即可
(2)反比例函数的性质
函数
字母取值
图像Байду номын сангаас
所在象限
性质
y＝ (k≠0)
k>0
第一、三象限(x，y同号)
在每个象限内，y随x增
大而减小
k<0
第二、四象限(x，y异号)
在每个象限内，y随x增
大而增大
考点3 反比例函数比例系数k的几何意义
k的几何意义
反比例函数图像上的点(x，y)具有两数之积为常数(xy＝k)这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|
反比例函数基础知识表格
反比例函数
考点1 反比例函数的概念
形如________(k≠0，k为常数)的函数叫做反比例函数，其中x是________，y是x的函数，k是比例系数.
考点2 反比例函数的图像与性质
(1) 反比例函数的图像:反比例函数y＝ (k≠0)的图像是________关于________对称
推导
如图，过双曲线上任一点P作x轴，y轴的垂线段PM，PN，所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|. ∵y＝ ， ∴xy＝k,∴S＝|k|
拓展
过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数
考点4 反比例函数的应用
01-第六章1反比例函数
解析 ∵24= 1 xy,∴xy=48,即y= 48 (x>0),
2
x
∴y是x的反比例函数.
当x=6时,y= 48 =8.
6
因此斜边长= 62 82 =10(m).
答:两条直角边长x与y之间的关系式是y= 48 (x>0),y是x的反比例函数,
x
当x=6时,另一条直角边长为8 m,斜边长为10 m.
型,最后解决实际问题. (2)一定要在列出的关系式后面注明自变量的取值范围.
1 反比例函数
栏目索引
例2 由欧姆定律可知,电压不变时,电流强度I与电阻R成反比例,已知电 压不变,电阻R=12.5欧姆时,电流强度I=0.2安培. (1)求I与R的函数表达式; (2)当R=5欧姆时,求电流强度.
分析 因为I与R成反比例,所以可设I=U R (U≠0),解析式中只有U一个待定 系数,所以只要将R=12.5,I=0.2这一组数据代入I=U (U≠0)即可.
每小时注水量h(单位:m3)的函数关系式为
,自变量的取值范围
是
.
答案 t= 60 ;h≥6
h
解析 依题意可得t= 60 .
h
∵要在10 h内注满水,∴ 60 ≤10,解得h≥6.
h
1 反比例函数
栏目索引
7.用反比例函数表达式表示下列问题中两个变量间的对应关系: (1)小明完成100 m赛跑时,所用时间t(s)随他跑步的平均速度v(m/s)的变 化而变化; (2)一个密闭容器内有0.5 kg气体,气体的密度ρ随容器体积V的变化而变化; (3)压力为600 N时,压强p随受力面积S的变化而变化; (4)三角形的面积为20,一边上的高h随这一边的长a的变化而变化.
x
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如xky =〔k 为常数，0k ≠〕的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；⑵自变量x 的取值X 围是0x ≠的一切实数，函数值的取值X 围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成局部； ⑷反比例函数有三种表达式： ①xky =〔0k ≠〕， ②1kx y -=〔0k ≠〕， ③k y x =⋅〔定值〕〔0k ≠〕； ⑸函数xky =〔0k ≠〕与y k x =〔0k ≠〕是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。
〔k 为常数，0k ≠〕是反比例函数的一局部，当k=0时，xky =，就不是反比例函数了，由于反比例函数xky =〔0k ≠〕中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xky =〔0k ≠〕中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越准确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右〔或从右至左〕用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数 xky =〔0k ≠〕 k 的符号 0k > 0k <图像性质①x 的取值X 围是0x ≠，y 的取值X 围是0y ≠②当0k >时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小。
反比例函数知识点汇总
反比例函数知识点汇总1.定义与图像特征：反比例函数的定义为y=k/x，在此函数中，x不等于0，k为常数。
反比例函数的图像特点是：经过第一、二象限两点，以y轴和x轴为渐进线，图像在x轴的正半轴和y轴的正半轴上都不会出现，图像呈现出一种双曲线的形状。
2.反比例函数的基本性质：(a)定义域：x≠0，即x不能为0。
(b)值域：排除0，即y不能为0。
当x趋近于0时，y趋近于无穷大；当x趋近于无穷大时，y趋近于0。
(c)对称中心：该函数关于原点(0,0)对称。
(d)渐进线：图像与x轴和y轴都有渐进线，即当x趋近于无穷大时，y趋近于0；当y趋近于无穷大时，x趋近于0。
(e)单调性：反比例函数在定义域内是单调递减的。
(f)异号性：当x与y异号时，k为负数；当x与y同号时，k为正数。
(g)零点：当x与y相等时，即x=y≠0。
3.确定反比例函数的常数k：y1=k/x1和y2=k/x2通过消去k，可以得到：y1*y2=k因此，可以通过已知点的y值的乘积来确定k的值。
4.反比例函数的应用：(a)正比例与反比例的混合问题：当一个问题与正比例和反比例函数有关时，可以通过组合两种函数来解决问题。
例如，当一个物体的质量与加速度成反比例关系，而力与加速度成正比例关系时，可以通过设置两个函数来解决问题。
(b)流速与管道宽度：根据波的传播速度，流速与管道宽度成反比例关系。
当管道宽度较小时，流速较大；当管道宽度较大时，流速较小。
(c)投资与收益率：投资的利润与投资金额成反比例关系。
当投资金额较小时，相对的利润率较大；当投资金额较大时，相对的利润率较小。
(d)电阻与电流：电阻与电流成反比例关系，即当电阻较大时，电流较小；当电阻较小时，电流较大。
总结起来，反比例函数是一种特殊的函数关系，其图像呈现出一种双曲线的形状。
反比例函数具有一些基本性质，如定义域、值域、对称中心和渐进线等。
确定反比例函数的常数k可以通过已知点进行求解。
反比例函数在实际生活中有很多应用，特别是与强度、速度和功率等相关的问题。
反比例函数知识点归纳--最经典最好的笔记
反比例函数知识点归纳（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B 点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．。
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成\（y ＝＼frac{k}｛x}＼）（k 为常数，＼（k ≠ 0\））的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。
其中，x 是自变量，y 是函数，k 称为比例系数。
例如，当速度 v 一定时，路程 s 与时间 t 的关系可以表示为\（s ＝vt\），如果时间 t 与路程 s 成反比例关系，那么可以表示为\（t ＝＼frac{s}｛v}＼）（其中 v 是常数），此时 t 就是 s 的反比例函数。
需要注意的是，反比例函数中自变量 x 的取值范围是\（x ≠ 0\），因为在分式中分母不能为 0。
二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、＼（y ＝＼frac{k}｛x}＼）（k 为常数，＼（k ≠ 0\）），这是反比例函数的基本形式。
2、＼（y ＝ kx^｛－1}＼）（k 为常数，＼（k ≠ 0\）），将\（＼frac{k}｛x}＼）变形可得。
3、＼（xy ＝ k\）（k 为常数，＼（k ≠ 0\）），通过\（y ＝＼frac{k}｛x}＼）两边同时乘以 x 得到。
三、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线。
当\（k ＞ 0\）时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小；当\（k ＜ 0\）时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。
例如，函数\（y ＝＼frac{2}｛x}＼），因为\（k ＝ 2 ＞ 0\），所以图像在第一、三象限，且在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。
绘制反比例函数图像的一般步骤：1、列表：在自变量取值范围内选取一些值，算出对应的函数值，列成表格。
2、描点：以表中对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点。
3、连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线将所描的点依次连接起来。
四、反比例函数的性质1、对称性反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形。
反比例函数知识点框架
反比例函数知识点框架
反比例函数是数学中一种重要的函数类型，本文将介绍反比例函数的基本定义、性质及其运用。
一、定义及性质
1、定义
反比例函数是以x为自变量而y为因变量的函数，它是满足以下关系的函数：
y=k1/x
其中k1是常数，反比例函数的图像具有以下性质：
2、性质
（1）反比例函数的图像关于y轴对称，关于原点对称；
（2）反比例函数的导数与比例函数相反，即y′＝ k1/x2；
（3）反比例函数的凹凸性与比例函数相反，即比例函数是凹函数，而反比例函数是凸函数。
二、运用
1、求反比例函数
用反比例函数可以解决求所求函数表达式的问题。
例如：若一个问题中x与y的大小关系为：越大的x对应越小的y，即满足：
y=k/x，则可求出反比例函数的表达式：y=k1/x
2、应用于实际问题
反比例函数还可以应用于实际问题，如：
（1）价格和数量之间的关系：如果某种商品的价格上涨，那么该商品的销量就会下降，可用反比例函数来描述这一关系；
（2）在流体力学中，当水流的流量增加，水流的压力就会下降，反之，当水流的流量减小，水流的压力也会相应增加，也可以用反比例函数来说明此种关系。
三、总结
反比例函数是以x为自变量而y为因变量的函数，它是满足以下关系的函数：y=k1/x，其图象具有对称性，导数为负值，凹凸性与比例函数相反。
它可以用来求反比例函数，以及应用于实际问题，如价格与数量之间的关系、水流的压力和流量之间的关系等。
总之，反比例函数是一个非常有用的工具，可以用来解决实际问题。
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结一、反比例函数定义反比例函数是形如y = k/x (k ≠ 0，x ≠ 0) 的函数，其中 k 为常数，称为比例常数，x 为自变量，y 为因变量。
二、图象特征1. 反比例函数的图象是一组双曲线。
2. 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限。
3. 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二象限和第四象限。
4. 双曲线的对称轴是 y 轴。
三、性质1. 反比例函数不是定义在全体实数上的函数，其定义域为 (-∞, 0) ∪ (0, +∞)。
2. 反比例函数的值域为全体实数 R。
3. 反比例函数是奇函数，具有对称性，其对称中心为原点 (0, 0)。
4. 当 x 的值增大时，y 的值减小；当 x 的值减小时，y 的值增大。
5. 反比例函数没有渐近线，但当 x 趋向于 0 时，y 趋向于无穷大或负无穷大。
四、运算法则1. 反比例函数的加法法则：若 y1 = k1/x1，y2 = k2/x2，则 y1 + y2 = (k1x2 + k2x1) / (x1x2)。
2. 反比例函数的减法法则：若 y1 = k1/x1，y2 = k2/x2，则 y1 - y2 = (k1x2 - k2x1) / (x1x2)。
3. 反比例函数的乘法法则：若 y1 = k1/x1，y2 = k2/x2，则 y1 * y2 = (k1 * k2) / (x1 * x2)。
4. 反比例函数的除法法则：若 y1 = k1/x1，y2 = k2/x2，则 y1 /y2 = (k1 / k2) * (x2 / x1)。
五、实际应用反比例函数在物理学、经济学、生物学等领域有广泛的应用。
例如，在电路分析中，电流与电阻的关系可以由欧姆定律表示为 I = V/R，其中 V 为电压，I 为电流，R 为电阻，这可以看作是反比例函数的一个特例。
六、常见问题及解析1. 问题：如何确定反比例函数的定义域和值域？解析：反比例函数的定义域为除去 0 的所有实数，即 (-∞, 0) ∪ (0, +∞)。
北师大版九年级数学上册 反比例函数
【详解】（1）∵hS=450，∴ h
450
S
，∴比例系数为 450.
W
（2）∵Fs=W，∴ F s ，∴比例系数为W .
（3）∵xy=1000，∴ y
1000
x
，∴比例系数为 1000.
（4）∵xy=12000-4000，∴ y
3
【答案】B
【分析】根据反比例函数的定义确定 m 的值即可．
【详解】解：∵函数 y (m 1)x 是反比例函数，
m2 2
m2 2 1
∴ m 1 0 ，
解得： m 1 ；
故选：B
）
6．若函数 y m 1 x
m2 m1
是反比例函数，则 m 的值为 _____．
当 y＝35 时，即 35
解得： x
20
700
x
700
x
，
，
，
∵20－7＝13，
∴水温从 100 ℃降到 35 ℃所用的时间是 13 min，
故选：C．
4．已知经过闭合电路的电流 I（单位：A ）与电路的电阻 R（单位： ）是反比例函数关系．
根
据下表判断 a 和 b 的大小关系为（
I /A
R/
（2）功是常数W 时，力 F 与物体在力的方向上通过的距离 s 的函数关系式；
（3）某实验中学八（2）班同学为校运动会制作小红花 1000 朵，完成的天数 y 与该班同
学每天制作的数量 x 之间的函数关系式；
（4）某商场推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑售价 1.2 万元，首期付款 4 千元后，
分 x 次付清，每次付款相同. 每次的付款数 y （元）与付款次数 x 的函数关系式.
反比例函数知识点与题型归纳非常全面
反比例函数讲义第1节 反比例函数■例1下列函数中是反比例关系的有___________________填序号; ①3x y -= ②131+=x y ③x y 2-= ④2211x y -= ⑤xy 23-= ⑥21=xy ⑦28xy = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x ky =k (为常数,)0≠k■ 例2由欧姆定律可知,电压不变时,电流强度I 与电阻R 成反比例,已知电压不变,电阻R=欧姆,电流强度I=安培;（1） 求I 与R 的函数关系式； （2） 当R=5欧姆时,求电流强度;本节作业：1、小明家离学校,小明步行上学需x min,那么小明的步行速度min)/(m y 可以表示为xy 1500=；水名地面上重1500N 的物体,与地面的接触面积为x 2m ,那么该物体对地面的压强)/(2m N y 可以表示为x y 1500=;函数表达式xy 1500=还可以表示许多不同情境中变量之间的函数关系,请你再列举一例; 2、某工人打算利用一块不锈钢条加工一个面积为2m 的矩形模具,假设模具的长与宽分别为y 与x ;1你能写出y 与x 之间的函数表达式吗 变量y 与x 之间是什么函数2若想使模具的长比宽多,已知每米这种不锈钢条6元钱,求加工这个模具共花多少钱3、若函数满足023=+xy,则y 与x 的函数关系式为______________,你认为y 是x 的______________函数;4、已知y =21y y +,1y 与x 成正比例,2y 与x 成反比例,并且当x =2时,y = —4；当x = —1时,y =5,求出y 与x 的函数关系式;5、已知y 是x 的函数,且其对应数据如下表所示,你认为y 是x 的正比例函数还是反比例函数你能写出函数的表达式,并填上表格中的空缺吗6、函数xky =的图象经过点A1,—2,则k 的值为 ; A ．21 B. 21- C. 2 D. —27、若函数132)1(+++=m mx m y 是反比例函数,则m 的值为 ;A ．m = —2 B. m = 1 C. m = 2或m = 1 D. m = —2,或m = —1 8、若甲、乙两城市间的路程为1000千米,车速为每小时x 千米,从甲市到乙市所需的时间为y 小时,那么y 与x 的函数表达式是_______________________不必写出x 的取值范围,y 是x 的__________函数;9、已知y 是x 的反比例函数,当x =5时,y = —1,那么,当y =3时,x =_________；当x =3时,y =________;第2节 反比例函数的图象与性质1、 反比例函数的图象及其画法 反比例函数图象的画法——描点法：（1） 列表——自变量取值应以0但)0(≠x 为中心,向两边取三对或三对以上互为相反数的数,再求出对应的y 的值；（2） 描点——先描出一侧,另一侧可根据中心对称点的性质去找；（3） 连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸,注意双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交;反比例函数xky =的图象是由两支曲线组成的;当0>k 时,两支曲线分别位于第一、三象限内,当0<k 时,两支曲线分别位于第二、四象限内;小注：1这两支曲线通常称为双曲线;2这两支曲线关于原点对称; 3反比例函数的图象与x 轴、y 轴没有公共点; 例1：画出反比例函数x y 6=与xy 6-=的图象; 解：1列表：2描点：（3） 连线;1 反比例函数的性质反比例函数 xky =)0(≠k k 的符号k >0k<0图象 双曲线x 、y 取值范围 x 的取值范围x ≠0 y 的取值范围y ≠0 x 的取值范围x ≠0 y 的取值范围y ≠0 位置第一,三象限内第二,四象限内增减性 每一象限内,y 随x 的增大而减小 每一象限内,y 随x 的增大而增大渐近性 反比例函数的图象无限接近于x,y 轴,但永远达不到x,y 轴,画图象时,要体现出这个特点.对称性 反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.反比例函数的图象也是轴对称图形.例2 已知 2(1)m y m x -=+是反比例函数,则函数的图象在A 、一、三象限B 、二、四象限C 、一、四象限D 、三、四象限例3 函数2y kx =-与ky x=k ≠0在同一坐标系内的图象可能是例4 已知反比例函数xky =的图象经过点P 一l,2,则这个函数的图象位于 A ．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、四象限3反比例函数xky =)0(≠k 中的比例系数k 的几何意义难点k 的几何含义：反比例函数y ＝k x k ≠0中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y ＝kxk ≠0上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线,设垂足分别为A 、B,则所得矩形OAPB 的面积为 .例5 A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点,BC ∥x 轴,AC ∥y 轴,△ABC 的面积记为S ,则A ． 2S =B ． 4S =C ．24S <<D ．4S >例6如图A 在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上,AM x ⊥轴于点M ,AMO △的面积为3,则k =4反比例函数与正比例函数图象的交点凡是交点问题就联立方程例7如图,一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于(21)(1)A B n -，，，两点．1试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； 2求AOB △的面积．O BxyC A 图1OyxBA本节练习一、选择题每小题6分,共36分1. 已知2(1)my m x-=+是反比例函数,则函数的图象在A、一、三象限B、二、四象限C、一、四象限D、三、四象限2.若反比例函数kyx=的图象经过点(12)-，,则这个函数的图象一定经过点Ａ、(21)--，Ｂ、122⎛⎫-⎪⎝⎭，Ｃ、(21)-，Ｄ、122⎛⎫⎪⎝⎭，3.反比例函数5nyx+=的图象经过点2,3,则n的值是A、－2B、－1C、0D、14.反比例函数1kyx-=的图象在每个象限内,y随x的增大而减小,则k的值可为A、1- B、0 C、1 D、25.如果两点1P1,1y和2P2,2y都在反比例函数1yx=的图象上,那么A．2y＜1y＜0B．1y＜2y＜0C．2y＞1y＞0 D．1y＞2y＞06.函数(0)ky kx=≠的图象如图所示,那么函数y kx k=-的图象大致是A B C D二、填空题每小题6分,共24分7.如果反比例函数kyx=0k≠的图象经过点1,－2,则这个函数的表达式是_________.当0x<时,y随x的增大而______ 填“增大”或“减小8.如图7,双曲线xky=与直线mxy=相交于A、B两点,B点坐标为－2,－3,则A点坐标为_________．9. 如图8,点A 在反比例函数xky =的图象上,AB 垂直于x 轴,若4=∆AOB S ,那么这个反比例函数的解析式为__________.图810.老师给出一个函数,甲、乙各指出了这个函数的一个性质：甲：第一、三象限有它的图象； 乙：在每个象限内,y 随x 的增大而减小． 请你写一个满足上述性质的函数______________________三、解答题每小题,共40分11. 20分如图,一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =图象交于A －2,1、B1,n 两点．1求反比例函数和一次函数的解析式；2根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．12. 20分如图,已知反比例函数1(0)my m x=≠的图象经过点(21)A -，,一次函数2(0)y kx b k =+≠的图象经过点(03)C ，与点A ,且与反比例函数的图象相交于另一点B ．1分别求出反比例函数与一次函数的解析式；2求点B 的坐标．第3节 反比例函数的应用 本节内容：运用函数的图象和性质解答实际问题例题1 .面积一定的梯形,其上底长是下底长的21,设下底长x =10 cm 时,高y =6 cm 1求y 与x 的函数关系式； 2求当y =5 cm 时,下底长多少16.一定质量的二氧化碳,当它的体积V=6 m 3时,它的密度ρ= kg/m 3. 1求ρ与V 的函数关系式.2当气体体积是1 m 3时,密度是多少3当密度为 kg/m 3时,气体的体积是多少例题2如图,Rt △AOB 的顶点A 是一次函数y =－x +m +3的图象与反比例函数y =xm的图象在第二象限的交点,且S △AOB =1,求点A 的坐标.例题3某厂要制造能装250mL1mL=1 cm 3饮料的铝制圆柱形易拉罐,易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是 cm,顶部厚度是底部厚度的3倍,这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来,设一个底面半径是x cm 的易拉罐用铝量是y cm 3.用铝量=底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度,求y 与x 间的函数关系式.综合检测题一、填空题：1、u 与t 成反比,且当u ＝6时,81=t ,这个函数解析式为 ； 2、函数2x y -=和函数xy 2=的图像有 个交点； 3、反比例函数x k y =的图像经过－23,5点、a ,－3及10,b 点,则k ＝ ,a ＝ ,b ＝ ；4、若函数()()414-+-=m x m y 是正比例函数,那么=m ,图象经过 象限；5、若反比列函数1232)12(---=k kx k y 的图像经过二、四象限,则k = _______6、已知y -2与x 成反比例,当x =3时,y =1,则y 与x 间的函数关系式为 ；7、已知正比例函数kx y =与反比例函数3y x=的图象都过A m ,1,则m ＝ ,正比例函数与反比例函数的解析式分别是 、 ； 8、 设有反比例函数y k x=+1,(,)x y 11、(,)x y 22为其图象上的两点,若x x 120<<时,y y 12>,则k 的取值范围是___________9、右图3是反比例函数xk y =的图象,则k 与0的大小关系是k 0.10、函数xy 2-=的图像,在每一个象限内,y 随x 的增大而 ； 11、反比例函数()0>=k xky 在第一象限内的图象如图,点M 是图像上一点,MP 垂直x 轴于点P,如果△MOP 的面积为1,那么k 的值是 ； 12、()7225---=m mx m y 是y 关于x 的反比例函数,且图象在第二、四象限,则m 的值为 ；二、选择题： 分数3分×14=42分,并把答案填在第12题后的方框内 1、下列函数中,反比例函数是 A 、 1)1(=-y x B 、 11+=x y C 、 21xy = D 、 x y 31=2、已知反比例函数的图像经过点a ,b ,则它的图像一定也经过yO PMA 、 －a ,－bB 、 a ,－bC 、 －a ,bD 、 0,0 3、如果反比例函数xky =的图像经过点－3,－4,那么函数的图像应在 A 、 第一、三象限B 、 第一、二象限C 、 第二、四象限D 、 第三、四象限 4、若y 与－3x 成反比例,x 与z4成正比例,则y 是z 的 A 、 正比例函数B 、 反比例函数C 、 一次函数 D 、 不能确定 5、若反比例函数22)12(--=m x m y 的图像在第二、四象限,则m 的值是A 、 －1或1B 、小于21的任意实数 C 、 －1 Ｄ、 不能确定 6、函数x k y =的图象经过点－4,6,则下列各点中不在xky =图象上的是A 、 3,8B 、 3,－8C 、 －8,－3D 、 －4,－67、正比例函数kx y =和反比例函数ky =在同一坐标系内的图象为8、如上右图,A 为反比例函数xky =图象上一点,AB垂直x 轴于B 点,若S △AOB ＝3,则k的值为 A 、6B 、3C 、23 D 、不能确定9、如果矩形的面积为6cm 2,那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数关系用图象表示大致A10、在同一直角坐标平面内,如果直线x k y 1=与双曲线xk y 2=没有交点,那么1k 和2k 的关系一定是 A 1k <0,2k >0B 1k >0,2k <0C 1k 、2k 同号D 1k 、2k 异号11、已知变量y 与x 成反比例,当x =3时,y =―6；那么当y =3时,x 的值是 A 6 B ―6 C 9 D ―912、当路程s 一定时,速度v 与时间t 之间的函数关系是A 正比例函数B 反比例函数C 一次函数D 二次函数 13、2001北京西城在同一坐标系中,函数x ky =和3+=kx y 的图像大致是14、已知反比例函数)0(<=k xky 的图像上有两点A 1x ,1y ,B 2x ,2y ,且21x x <,则21y y -的值是A 、 正数B 、 负数C 、 非正数D 、 不能确定 三、解答题：第1、2小题各7分、第3小题8分,共22分1、在某一电路中,保持电压不变,电流I 安培与电阻R 欧姆成反比例,当电阻R=5欧姆时,电流I=2安培;1求I 与R 之间的函数关系式 2当电流I=安培时,求电阻R 的值；2、如图,Rt △ABO 的顶点A 是双曲线xky =与直线)1(+--=k x y 在第二象限的交点, AB ⊥x 轴于B 且S △ABO =23 1求这两个函数的解析式2求直线与双曲线的两个交点A,C 的坐标和△AOC 的面积;3、如图,一次函数b kx y +=的图像与反比例函数xmy =的图像相交于A 、B 两点, 1利用图中条件,求反比例函数和一次函数的解析式2根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围2001江苏苏州。
26.1.2反比例函数的图象和性质
1.（2018•香坊区）对于反比例函数y 2
不正确的是（ ）
x
C
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上
B．它的图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
，下列说法
课堂检测
基础巩固题
2.（2018•上海）已知反比例函数y k 1 （k是常数，k≠1） 的图象有一支在第二象限，那么k的取x值范围是 k＜1
－5
解析式说明理由吗？
－6
探究新知
(3) 对于反比例函数y k (k＞0)，考虑问题(1)(2)， x
你能得出同样的结论吗？
y
O
x
探究新知
归纳： 反比例函数 y k (k＞0) 的图象和性质： x
y
（1）由两条曲线组成，且分别位
于第一、三象限，它们与 x 轴、y
轴都不相交；
O
x （2）在每个象限内，y 随 x 的增
若 x1＞ x2，则 y1与y2的大小关系为 （ ） C
A. y1 > y2 B. y1 = y2 C. y1 < y2 D. 无法确定
解析：因为8＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一 象限部分，根据 x1＞x2，可知y1，y2的大小关系.
探究新知
观 察
当 k =－2，－4，－6时，反比例函数y k
的图象上，并说明理由；
解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析式， 因为点 B 的坐标不满足该解析式，点C的坐标满足该 解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点C 在该函 数的图象上．
巩固练习
(3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．
正比例函数与反比例函数
正比例函数与反比例函数正比例函数和反比例函数综合解说客观世界是不断运动和变化着的，在这些变化着的事物中，存在各种各样的变量。
在同一变化过程中，一些变量之间相互依存，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化。
函数是体现运动变化的基本数学概念，它从数量角度刻画事物变化的过程，表达变量之间确定的依赖关系。
本章引入了函数的概念，重点讨论正比例函数和反比例函数，并借助与图像的直观，得到它们的一些基本性质，进而应用这些概念和性质，解决一些简单的实际问题。
1正比例函数【知识结构框图表】【本节解读】人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征，量是用“数”来表明大小的。
数与度量单位结合在一起，就是数量。
反比例函数正比例函数定义域和值域函数解析式函数经常涉及的量有长度、面积、体积、质量、温度、时间、速度等。
【基础知识与要点拨】1.变量和常量在变化过程中，可以去不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫做常量。
比如：圆的周长C与直径D的关系为C＝πD。
C、D是变量，π是常量。
2.函数和自变量在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许范围内，变量y随着x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量。
“y是x的函数”用记号y＝f(x)表示，括号内的字母表示自变量，括号外的字母f表示y随着x的变化而变化的规律。
f(a)表示当x＝a时的函数值。
3.定义域和值域函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
对应于自变量的函数值的取值范围，叫做值域。
4.正比例如果两个变量的每一组对应值的比值是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例。
用数学式子表示两个变量x、y成正比例，就是y k=或者y kx=，其中，k是不为零的常数。
x5.正比例函数定义域是一切实数的函数y k x=（k是不为零的常数）叫做正比例函数。
其中常数k叫做比例系数。
确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数。
九年级数学下册《反比例函数》知识点人教版
九年级数学下册《反比例函数》知识点人教版九年级数学下册《反比例函数》知识点人教版知识点一、反比例函数的概念形如 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。
反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。
反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。
反比例函数的图像为双曲线。
二、反比例函数的性质函数y=k/x 称为反比例函数，其中k≠0，其中X是自变量，1.当k0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小;当k0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k0时，函数在x0上同为减函数、在x0上同为减函数;k0时，函数在x0上为增函数、在x0上同为增函数。
3.x的取值范围是：x≠0;y的取值范围是：y≠0。
4..因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y 轴相交。
但随着x无限增大或是无限减少，函数值无限趋近于0，故图像无限接近于x轴5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x(即第一三，二四象限角平分线)，对称中心是坐标原点。
课后习题1.已知点P(1，-3)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k的值是( )A.3B.-3C.13D.-132.对于反比例函数y=3x，下列说法正确的是( )A.图象经过点(1，-3)B.图象在第二、四象限C.x0时，y随x的增大而增大D.x0时，y随x增大而减小3.在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线y=1x的交点的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.不能确定4.已知反比例函数y=bx(b为常数)，当x0时，y随x的增大而增大，则一次函数y=x+b的图象不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限答案：1.B2.D3.C4.B。
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①根据两变量之间的反比例关系，设y＝ ；
②代入图像上一个点的坐标，即x，y的一对对应值，求出k的值；
③写出表达式
反比例函数与一次函数的图像的交点的求法
求直线y＝k1x＋b(k1≠0)和双曲线y＝ (k2≠0)的交点坐标，解这两个函数表达式组成的方程组即可
函数
字母取值
图像
所在象限
性质
y＝ (k≠0)
k>0
第一、三象限(x，y同号)
在每个象限内，y随x增
大而减小
k<0
第二、四象限(x，y异号)
在每个象限内，y随x增
大而增大
考点3 反比例函数比例系数k的几何意义
k的几何意义
反比例函数图像上的点(x，y)具有两数之积为常数(xy＝k)这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|
反比例函数
考点1 反比例函数的概念
形如________(k≠0，k为常数)的函数叫做反比例函数，其中x是________，y是x的函数，k是比例系数.
考点2 反比例函数的图像与性质
(1) 反比例函数的图像:反比例函数y＝ (k≠0)的图像是________关于________对称
(2)反比例函数的性质
推导
如图，过双曲线上任一点P作x轴，y轴的垂线段PM，PN，所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|. ∵y＝ ， ∴xy＝k,∴S＝|k|
拓展
过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数
考点4 反比例函数的应用
求函数表达式的方法步骤