清华大学结构力学位移法

A
M AB 2iB M BA 4iB
A
i B B
MAB
A
MBA
iB
6i M AB M BA l
9
由上图可得：
M AB
4i A
2iB
6i l
M BA
2i A
4iB
6i l
此外，可得杆端剪力为
FQAB
FQBA
1 l
(M
AB
M BA )
即为:
FQAB
FQBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
位移法要点如下：
1.基本未知量是结构的结点位移 2.基本方程是平衡方程 3.建立基本方程的过程分为两步：a.离散结构，进行 杆件分析，得出杆件的刚度方程；b.组装结构，得到 基本方程。 4.杆件分析是结构分析的基础。（刚度法）
4
二．位移法计算刚架基本思路
分别分析杆AB和AC. 相对于杆AB和AC, A点分 别视为固定支座. 杆AB和AC分别受载荷和 支座位移作用.
m m
M BC 3i B 9kN • m
22
取结点B为隔离体，列出力矩平衡方程（位移法 基本方程）：
M B 0，M BA M BC 0
代入，平衡方程写为
7iB 6kN • m 0
由此可求出基本未知量
B
6kN • m 7i
l2
FQFAB FQFBA
19
四、正确判别固端弯矩的正负号
q
q
A
BA
B
l
l
M
F AB
ql 2 8
M
F BA
ql 2 8
B
B
q
M
F AB
ql 2 8
M
F AB
ql 2 8
q
A
A
20
§8-3 无侧移刚架和有侧移刚架的计算
一、无侧移刚架的位移法求解
建立位移法方程有两种方法： 1）直接利用平衡条件建立位移法方程。 2）利用位移法基本体系建立位移法方程。
Fp
A
B
C
D
B( )
3．杆件两端相对侧移
C( )
杆件两端相对侧移△，其与弦转角β 的正负
号一致。而β以顺时针方向为正，逆时针方向
为负。
A
l
B
l
A
B
8
二、等截面直杆的刚度方程
1. 两端固定梁
A
EI
A
l
i EI l
B
B
MAB EI
A
MBA
B
A
l B
M AB 4iA M BA 2iA
A
i
B
单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称 为固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时 针方向为负。
1. 两端固定梁 q
ql2 12 A
ql2 24
l
ql2 12
B
FPl 8
Fp FPl 8
A
B
FPl 8
l/2 l/2
M
F AB
M
F BA
ql 2 12
M
F AB
M
F BA
Fpl 8
16
2. 一端固定、一端辊轴支座的梁
MAB
A i
EI l
MBA
B
MAB
A
i
EI l
A
MBA
B
M AB
4i A
6i l
M BA
2i A
6i l
14
2)
MAB
A i
EI l
A
MAB
B
A
A
i EI l
B
M AB
3i A
3i l
3)
A
MAB i EI l
A
MBA
B
MAB i EI MBA
A
l
B
A
M AB iA
M BA iA
15
三、固端弯矩
10
为紧凑起见，可写成矩阵形式
M M
AB BA
FQAB
4i
2i
6i l
2i
4i 6i
l
6i l
6i l
12i
BA
l 2
以上就是弯曲杆件的刚度方程。
以上矩阵为刚度矩阵, 系数称为刚度系数, 该系 数只与截面尺寸和材料性质有关的常数, 称为形常 数.
11
2. 一端固定、一端辊轴支座的梁
载作用下求固端弯矩。
一、符号规则
1．杆端弯矩 规定顺时针方向为正，
逆时针方向为负。
杆端弯矩的双重身份：
B MBC
MBA
A
C MCB
1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力偶，顺时 针方向为正，逆时针方向为负。
2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内
力，弯矩图仍画在受拉边。
7
2．结点转角
顺时针为正，逆时针为负。
FNi
EAi li
ui
（刚度方程）
2
第二步，组装结构 变形协调条件： 节点平衡条件：
ui Δsin i
n
FNi sin i FP
i 1
(n 5)
即
5
i 1
EAi li
sin 2 i
FP
于是得
FP
5
i 1
EAi li
sin 2 i
基本未知量求出后，每根杆件的位移和轴力可求出。3
上述方法既可用于超静定结构（n>3），又可用于静 定结构（n=2）。
第八章 位移法
§8-1 位移法的基本概念 §8-2 等截面直杆的刚度方程 §8-3 无侧移刚架和有侧移刚架的计算 §8-4 位移法的基本体系 §8-5 对称结构的计算
§8-1 位移法的基本概念
一、关于位移法的简例
只要求出结点B位移，各杆伸长变形即可求出。然 后进一步可以求出杆件内力
第一步，分析单杆
FPl 2
各种单跨超静定梁的固端弯矩可查教材附表。
18
在既有荷载作用，又有端点位移情况下，
杆端弯矩为：
M AB
M
BA
4i A 2i A
2i B 4i B
6i 6i
l
l
M
F AB
M
F BA
杆端剪力为： FQAB
FQ
6i l
B
6i l
B
12i
l2 12i
ql2 8
A
q
ql2 16
l
3FPl 16
Fp
BA
B
5FPl 32
l/2 l/2
M
F AB
ql 2 8
M
F AB
3FPl 16
17
3. 一端固定、一端滑动支座的梁
q
ql2 3 A
l
FPl 2
Fp
BA ql2 6
B
l
FPl 2
M
F AB
ql 2 3
M
F BA
ql 2 6
M
F AB
FPl 2
M
F BA
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解:
取结点角位移θB作为基本未知量
（铰支座C角位移可不选），
由上节表可求各杆固端弯矩：
M
F AB
M
F BA
20kN 6m 8
15kN • m
M
F BC
2kN/m (6m) 2 8
9kN • m
故各杆杆端弯矩如下（各 杆的线刚度相等）：
M M
AB BA
2i B 4i B
15kN • 15kN •
M AB
A
EI
A
l
i EI l
B
M AB 3iA
A
i
B
A
A
iB
3i
M AB l
M
AB
3i A
3i l
12
3. 一端固定、一端滑动支座的梁
MAB
MBA
A
EI
A
M AB iA
M BA iA
B
i EI l
13
4. 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同， 则相应的杆端力也相同。
1)
A
基本未知量取为A点水平线位移和转角.
5
结点位移是处于关键地位的未知量。
基本思路：
首先把刚架拆成杆件，进行杆件分析——杆件在已知 端点位移和已知荷载作用下的计算； 其次把杆件组合成刚架，利用平衡条件，建立位移法 基本方程，借以求出基本未知量。
6
§8-2 等截面直杆的刚度方程
两个问题：已知端点位移下求杆端弯矩；已知荷