等比数列的通项公式及性质

× ×
④已知a1=2，an=3an+1√；
⑥2a，2a，2a，…，2a. √
3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？
非零的 常数列
二.等比数列的通项公式
问题：如何用a1 和 q 表示第 n 项an.
①归纳猜想法 a2 a1q, a3 a2q a1q2 , a4 a3q a1q3,, an a1qn1
(q为常数）则数列an 是等比数列吗？
思考：
1.已知等比数列{ an }： (1) an 能不能是零？
(2)公比q能不能是1？
不能 能
2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① ④ ⑥ .
① 1，-1，1，…，(-1)n+1√； ②1，2，4，6…； ×
③a，a，a，…，a；
⑤ m, 2m, 4m2 ,8m3,...
n,
p,
q
N
，
若m n p q,则am an ap aq.
若m n 2 p,则am an 2ap.
等比数列中有类似性质吗？？？
想一想
探究一
在等比数列{an}中，a2.a6=a3.a5是否成立？ a32=a1.a5是否成立?
你能得到更一般的结论吗？
思考 设等比数列an首项为a1,公比为q
练习2：P53A组第一题
等比数列通项公式的变形
已知等比数列的公比为q,第m项为 am,求 an .
解：由等比数列的通项公式可知
an a1qn1
am a1qm1
两式相除，得 an am
qnm
an amqnm
试比较 a n =a1qn-1 与an amqnm
练习
已知等比数列｛an｝中，a5=20,a15=5,求a20.
解：由a15=a5q10，得
q10 a15 5 1 a5 20 4
q5 1 2
a20
a15q5
5
1 2
5 2
或a20
5 2
例：由下列等比数列的通项公式，求首项与公比
（1）an=2n
(2) an= 3×10n
思考:你能判断它们的增减性吗?
解：n=1 a1=21=2 n=2 a2=22=4
且 m , n , s , t N+ ,若m+n=s+t
am,an,as ,at有什么关系
证明 则a a qn1, a a qm1,
n
1
m
1
从而an am
a q2 mn2 1
同理可得as at
a q2 st2 1
又因为m n s t
所以aman asat .
要积极 思考哦
性质：
若等比数列{an}的首项为a1 ，公比q，且 且 m , n , s , t N+
（2）-1， ±2 ，-4
（3）-12，±6 ，-3
（4）1，±1 ，1
在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那
么G叫做a与b的等比中项。
G ab
即G 2 ab
求下列两组数的等比中项： (1) 4,9; (2) 4 3 , 4 3 .
(1) 6 (2) 13
设数列an
为等差数列，且m,
等比数列
an1 an
q(q
0, an
0)
q叫公比
通项公式 an= a1+(n-1)d
an=a1qn-1
性质
an=am+(n-m)d
an=amqn-m
你还知道等差数列有什么性质吗? 你能类比写出等比数列的性质吗?
三.等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成 为一个等比数列：
（1）1，±3， 9
可得：q=2
解：由等比数列的 通项公式的特点可 得：q=10,a1=-30
an An+B（等差）
an A×Bn（等比）
公比q对数列的影响
q>1 0<q<1 q=1 q<0
a1>0 递增 递减
常数列 摆动数列
a1<0 递减 递增
常数列 摆动数列
五.小结
数列 定义 同一常数
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
一般地，如果一个数列从第2项起，每一
项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列
就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公
比，公比通常用字母q表示。 (q≠0)
其数学表达式：
an q(n 2) 或 an1
an1 q(n N *) an
思考：能否改写为若数列的项依次满足 an1 an q (n N * )
②叠乘法
a2 q, a3 q, a4 q, an1 q, an q
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a2
a3
an2
an1
这
n
1个式子相乘得
an a1
q n 1，所以 an
a1qn1
.
例3: 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求
它的第1项与第2项.
解：设这个等比数列的第1项是 a1 ，公比是 q，那么
a1q2 12
你能得到一般性结论吗？
性质：在等比数列中，把序号成等差数列的项按 原序列出，构成新的数列，仍是等比数列
①
a1q3 18
②
作差（等差）
把②的两边分别除以①的两边，得
q3
2
16
把③代入① ，得 a1 3
因此
a2
a1q
16 3
3 2
8
作商（等比）
答：这个数列的第1项与第2项分别是 16 与 8 .
3
练习1.在等比数列
a n
中,
(1)a4 27, q 3,求an; (2)a3 12, a4 18,求a1.
若m+n=s+t ,则aman=asat 若m n 2s,则aman as2.
1. 等比数列{an}中，a4=4,则a2·a6等于 （ ）
A.4 B.8 C.16
D.32
2、在等比数列{an}中，an＞0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 那么a3+a5=_________
探究二
已知等比数列{an}首项a1, 公比q，取出数列中的所有 奇数项，构成新的数列，是否还是等比数列？ 取出a1 , a4 , a7 , a11 …… 呢？
③1，20， 202 ， 203 ， 204 ，…（计算机病毒传播）
④100001.0198，100001.01982 ，
100001.01983 ，100001.01984 ，100001.01985 ，… …（复利） 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数 列有什么共同特征？
一、等比数列的概念
等比数列的通项公式及性质
课前小练
数列
等差数列
定义 同一常数
an+1-an=d d 叫公差
通项公式 性质
an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
观察
课本P48的4个例子：
①1，2，4，8，16，…（细胞分裂）
②1， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ，…（一尺之棰，日取其半） 2 4 8 16