5关联速度问题
专题+关联速度的问题
N端在水平地面上向右以v0匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆向平台B端
靠近，平台高h，当BN＝2h时，则此时被救人员向B点运动的速率是（
）
A．v0
B．2v0
C．
D
．
ℎ
1
解析：设杆与水平面CD的夹角为，由几何关系可知 = 2ℎ = 2
A．
B．
C．
D．
）
绳下端实际速度0
绳上端实际速度
1.使下端绳子伸长
将0 沿绳方向分解为⁄⁄ = 0 cos
2.使下端绳子旋转
将0 沿垂直于绳方向分解为⊥ = 0 sin
作用效果
作用效果
使上端绳子缩短
绳子下端伸长的速度⁄⁄ 和上端缩
短的速度大小相等，即⁄⁄ =
绳子的“关联”速度问题
杆以及相互接触物体的“关联”速度问题
变换参考系相关的运动合成与分解
02
典例分析
【例题】如图所示，物体放在水平平台上，系在物体上的绳子跨过定滑轮，由地
面上的人以速度 向右水平匀速拉动，设人从地面上平台的边缘开始向右行至绳
与水平方向夹角为30°处，此时物体的速度为（
即 = 30°；将杆上N点的速度分解成沿杆的分速度1 和垂直杆转动的速度2 ，由矢量三角形可知
1 = 0 =
故选C。
3
3
0 ；而沿着同一根杆，各点的速度相同，故被救人员向B点运动的速率为 0 ，
2
2
4．光滑半球A放在竖直面光滑的墙角，并用手推着保持静止．现在A与墙壁之间放入
第五讲 关联速度
第五讲关联速度所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度．比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系．常用的结论有：1，杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．2，接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．3，线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．4，如果杆（或张紧的绳）围绕某一点转动，那么杆（或张紧的绳）上各点相对转动轴的角速度相同·类型1质量分别为ｍ1、ｍ2和ｍ3的三个质点Ａ、Ｂ、Ｃ位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软轻绳ＡＢ和ＢＣ连接，∠ＡＢＣ＝π－α，α为锐角，如图５-１所示．今有一冲量Ｉ沿ＢＣ方向作用于质点Ｃ，求质点Ａ开始运动时的速度．图5-1 图5-２类型2绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为Ｒ，放在与水平面成α角的光滑斜面上，如图５-２所示．当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速度为ω（此时绳未松弛），试求此刻圆筒轴Ｏ的速度、圆筒与斜面切点Ｃ的速度。
类型3直线ＡＢ以大小为ｖ1的速度沿垂直于AB的方向向上移动，而直线CD以大小为ｖ2的速度沿垂直于ＣＤ的方向向左上方移动，两条直线交角为α，如图5-３所示．求它们的交点Ｐ的速度大小与方向．（全国中学生力学竞赛试题）图5-３图5-４以上三例展示了三类物系相关速度问题．类型1求的是由杆或绳约束物系的各点速度；类型2求接触物系接触点速度；类型3则是求相交物系交叉点速度．三类问题既有共同遵从的一般规律，又有由各自相关特点所决定的特殊规律，我们若能抓住它们的共性与个性，解决物系相关速度问题便有章可循．首先应当明确，我们讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的．如图5-４所示，三角板从位置ＡＢＣ移动到位置Ａ′Ｂ′Ｃ′，我们可以认为整个板一方面做平动，使板上点Ｂ移到点Ｂ′，另一方面又以点Ｂ′为轴转动，使点Ａ到达点Ａ′、点Ｃ到达点Ｃ′．由于前述刚体的力学性质所致，点Ａ、Ｃ及板上各点的平动速度相同，否则板上各点的相对位置就会改变．这里，我们称点Ｂ′为基点．分析刚体的运动时，基点可以任意选择．于是我们得到刚体运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和．我们知道转动速度ｖ＝ｒω，ｒ是转动半径，ω是刚体转动角速度，刚体自身转动角速度则与基点的选择无关．根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）．因此，我们可以得到下面的结论．结论1杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．我们再来研究接触物系接触点速度的特征．由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，从而违反接触或刚性的限制．至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度．因此，我们可以得到下面的结论．结论2接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．相交物系交叉点速度的特征是什么呢?我们来看交叉的两直线ａ、ｂ，如图5-５所示，设直线ａ不动，当直线ｂ沿自身方向移动时，交点Ｐ并不移动，而当直线ｂ沿直线ａ的方向移动时，交点Ｐ便沿直线ａ移动，因交点Ｐ亦是直线ｂ上一点，故与直线ｂ具有相同的沿直线ａ方向的平移速度．同理，若直线ｂ固定，直线ａ移动，交点Ｐ的移动速度与直线ａ沿直线ｂ方向平动的速度相同．根据运动合成原理，当两直线ａ、ｂ各自运动，交点Ｐ的运动分别是两直线沿对方直线方向运动的合运动．于是我们可以得到下面的结论．图5-５结论3线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．这样，我们将刚体的力学性质、刚体运动的速度法则运用于三类相关速度问题，得到了这三类相关速度特征，依据这些特征，并运用速度问题中普遍适用的合成法则、相对运动法则，解题便有了操作的章法．下面我们对每一类问题各给出3道例题，展示每一条原则在不同情景中的应用．例1如图5-６所示，杆ＡＢ的Ａ端以速度ｖ做匀速运动，在杆运动时恒与一静止的半圆周相切，半圆周的半径为Ｒ，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度ω及杆上与半圆相切点Ｃ的速度．图5-6分析与解考察切点Ｃ的情况．由于半圆静止，杆上点Ｃ速度的法向分量为零，故点Ｃ速度必沿杆的方向．以点Ｃ为基点，将杆上点Ａ速度ｖ分解成沿杆方向分量ｖ1和垂直于杆方向分量ｖ2（如图5-７所示），则ｖ1是点Ａ与点Ｃ相同的沿杆方向平动速度，ｖ2是点Ａ对点Ｃ的转动速度，故可求得点Ｃ的速度为图5-7ｖＣ＝ｖ1＝ｖ·ｃｏｓθ，又ｖ2＝ｖ·ｓｉｎθ＝ω·ＡＣ．由题给几何关系知，Ａ点对Ｃ点的转动半径为：ＡＣ＝Ｒ·ｃｏｔθ，代入前式中即可解得：ω＝(ｖｓｉｎ2θ)/(Ｒｃｏｓθ)．例2如图5-8所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3∶2∶1，顶点Ａ3以速度ｖ沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点Ｂ2的速度ｖB2．图5-8分析与解顶点Ｂ2作为Ｂ2Ａ1杆上的一点，其速度是沿Ｂ2Ａ1杆方向的速度ｖ1及垂直于Ｂ2Ａ1杆方向速度ｖ1′的合成；同时作为杆Ｂ2Ａ2上的一点，其速度又是沿Ｂ2Ａ2杆方向的速度ｖ2及垂直于Ｂ2Ａ2杆方向的速度ｖ2′的合成．由于两杆互成直角的特定条件，由图5-９显见，ｖ2＝ｖ1′，ｖ1＝ｖ2′．故顶点Ｂ2的速度可通过ｖ1、ｖ2速度的矢量和求得，而根据杆的约束的特征，得图5-9ｖ1＝(/２)ｖＡ1；ｖ2＝(/２)ｖＡ2，于是可得由几何关系可知ｖＡ1∶ｖＡ2∶ｖＡ3＝Ａ0Ａ1∶Ａ0Ａ2∶Ａ0Ａ3＝３∶５∶６，则ｖＡ1＝ｖ/２，ｖＡ2＝(５/６)ｖ，由此求得ｖB2＝(/６)ｖ．图5-10上述解析，我们是选取了速度为沿杆方向的某一点为基点来考察顶点Ｂ2的速度的．当然我们也可以选取其他合适的点为基点来分析．如图5-１０所示，若以Ａ1、Ａ2点为基点，则Ｂ2点作为Ｂ2Ａ1杆上的点，其速度是与Ａ1点相同的平动速度ｖＡ1和对Ａ1点的转动速度ｖｎ1之合成，同时Ｂ2点作为Ｂ2Ａ2杆上的点，其速度是与Ａ2点相同的平动速度ｖＡ2和对Ａ2点的转动速度ｖｎ2之合成，再注意到题给的几何条件，从矢量三角形中由余弦定理得而由矢量图可知ｖn1＝(/２)（ｖA2－ｖA1），代入前式可得ｖB2＝(/６)ｖ．两解殊途同归．例3如图5-11所示，物体Ａ置于水平面上，物体Ａ上固定有动滑轮Ｂ,Ｄ为定滑轮，一根轻绳绕过滑轮Ｄ、Ｂ后固定在Ｃ点，ＢＣ段水平．当以速度ｖ拉绳头时，物体Ａ沿水平面运动，若绳与水平面夹角为α，物体Ａ运动的速度是多大?图5-11分析与解首先根据绳约束特点，任何时刻绳ＢＤ段上各点有与绳端Ｄ相同的沿绳ＢＤ段方向的分速度ｖ，再看绳的这个速度与物体Ａ移动速度的关系：设物体Ａ右移速度为ｖx，则相对于物体Ａ(或动滑轮B的轴心)，绳上Ｂ点的速度为ｖx，即ｖBA＝ｖx，方向沿绳BD方向；而根据运动合成法则，在沿绳BD方向上，绳上B点速度是相对于参照系Ａ(或动滑轮B的轴心)的速度ｖx与参照系Ａ对静止参照系速度ｖxｃｏｓα的合成，即ｖ＝ｖBA＋ｖxｃｏｓα；由上述两方面可得ｖx＝ｖ/(１＋ｃｏｓα)．例4如图5-１２所示，半径为Ｒ的半圆凸轮以等速ｖ０沿水平面向右运动，带动从动杆ＡＢ沿竖直方向上升，Ｏ为凸轮圆心，Ｐ为其顶点．求当∠ＡＯＰ＝α时，ＡＢ杆的速度．图5-12 图5-13分析与解这是接触物系相关速度问题．由题可知，杆与凸轮在Ａ点接触，杆上Ａ点速度ｖＡ是竖直向上的，轮上Ａ点的速度ｖ0是水平向右的，根据接触物系触点速度相关特征，两者沿接触面法向的分速度相同，如图5-13所示，即ｖＡｃｏｓα＝ｖ0ｓｉｎα，则ｖＡ＝ｖ0ｔａｎα．故ＡＢ杆的速度为ｖ0ｔａｎα．例5如图5-14所示，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子Ａ上，以恒定的速度ｖ拉绳，当绳与竖直方向成α角时，求线轴中心Ｏ的运动速度ｖO．设线轴的外径为Ｒ，内径为ｒ，线轴沿水平面做无滑动的滚动．分析与解当线轴以恒定的速度v拉绳时，线轴沿顺时针方向运动．从绳端速度ｖ到轴心速度ｖO，是通过绳、轴相切接触相关的．考察切点Ｂ的速度：本题中绳与线轴间无滑动，故绳上Ｂ点与轴上Ｂ点速度完全相同，即无论沿切点法向或切向，两者均有相同的分速度．图5-１５是轴上Ｂ点与绳上Ｂ点速度矢量图：轴上Ｂ点具有与轴心相同的平动速度ｖO 及对轴心的转动速度ｒω（ω为轴的角速度），那么沿切向轴上Ｂ点的速度为ｒω－ｖO sinα；而绳上Ｂ点速度的切向分量正是沿绳方向、大小为速度ｖ，于是有关系式，即图5-14图5-15 ｒω－ｖO ｓｉｎα＝ｖ．① 又由于线轴沿水平地面做纯滚动，故与水平地面相切点Ｃ的速度为零，则轴心速度为ｖO ＝Ｒω，② 由①、②两式可解得ｖO ＝(Ｒｖ)/(ｒ－Ｒｓｉｎα)．若绳拉线轴使线轴逆时针转动，ｖO ＝(Ｒｖ)/(ｒ－Ｒｓｉｎα)，自行证明．例6如图5-１６所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，并且线端Ａ点速度为ｖ，方向水平．以铰链固定于点Ｂ的木板靠在线轴上，线轴的内、外径分别为ｒ和Ｒ．试确定木板的角速度ω与角α的关系．图5-16 图5-17 分析与解设木板与线轴相切于Ｃ点，则板上Ｃ点与线轴上Ｃ点有相同的法向速度ｖn ，而板上Ｃ点的这个法向速度正是Ｃ点关于Ｂ轴的转动速度，如图５-17所示，即ｖn ＝ω·ＢＣ＝ω·Ｒｃｏｔ(α/２)．①现在再来考察线轴上Ｃ点的速度：它应是Ｃ点对轴心Ｏ的转动速度ｖＣn和与轴心相同的平动速度ｖO的矢量和，而ｖＣn是沿Ｃ点切向的，则Ｃ点法向速度ｖn应是ｖn＝ｖOｓｉｎα．②又由于线轴为刚体且做纯滚动，故以线轴与水平面切点为基点，应有ｖ/(Ｒ＋ｒ)＝ｖO/Ｒ．③将②、③两式代入①式中，得ω＝(１－ｃｏｓα)/(Ｒ＋ｒ)ｖ．例7如图5-18所示，水平直杆ＡＢ在圆心为Ｏ、半径为ｒ的固定圆圈上以匀速ｕ竖直下落，试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环Ｍ的速度，设ＯＭ与竖直方向的夹角为φ．图5-18分析与解当小环从圆圈顶点滑过圆心角为φ的一段弧时，据交叉点速度相关特征，将杆的速度ｕ沿杆方向与圆圈切线方向分解，则Ｍ的速度为ｖ＝ｕ/ｓｉｎφ．例8如图5-１９所示，直角曲杆ＯＢＣ绕Ｏ轴在如图5-19所示的平面内转动，使套在其上的光滑小环沿固定直杆ＯＡ滑动．已知ＯＢ＝10ｃｍ，曲杆的角速度ω＝０.５ｒａｄ／ｓ，求φ＝６０°时，小环Ｍ的速度．图5-19 图5-20分析与解本题首先应该求出交叉点Ｍ作为杆ＢＣ上一点的速度ｖ，而后根据交叉点速度相关特征，求出该速度沿ＯＡ方向的分量即为小环速度．由于刚性曲杆ＯＢＣ以Ｏ为轴转动，故其上与ＯＡ直杆交叉点的速度方向垂直于转动半径ＯＭ、大小是ｖ＝ω·Ｍ＝10ｃｍ／ｓ．将其沿ＭＡ、ＭＢ方向分解成两个分速度，如图5-20所示，即得小环Ｍ的速度为：ｖＭ＝ｖＭＡ＝ｖ·ｔａｎφ＝10cm／s．例9如图5-21所示，一个半径为Ｒ的轴环Ｏ1立在水平面上，另一个同样的轴环Ｏ2以速度ｖ从这个轴环旁通过，试求两轴环上部交叉点Ａ的速度ｖＡ与两环中心之距离ｄ之间的关系．轴环很薄且第二个轴环紧邻第一个轴环．图5-21 图5-22分析与解轴环Ｏ2速度为ｖ，将此速度沿轴环Ｏ1、Ｏ2的交叉点Ａ处的切线方向分解成ｖ1、ｖ2两个分量，如图5-22，由线状相交物系交叉点相关速度规律可知，交叉点Ａ的速度即为沿对方速度分量ｖ1．注意到图5-22中显示的几何关系便可得。
“关联”速度问题模型归类例析
关联”速度问题模型归类例析绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，如果两端点的速度方向不在绳、杆所在直线上，两端的速度通常是不样的，但两端点的速度是有联系的，称之为“关联”速度。
关联速度”问题特点：沿杆或绳方向的速度分量大小相等。
绳或杆连体速度关系：①由于绳或杆具有不可伸缩的特点，则拉动绳或杆的速度等于绳或杆拉物的速度。
②在绳或杆连体中，物体实际运动方向就是合速度的方向。
③当物体实际运动方向与绳或杆成一定夹角时，可将合速度分解为沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向的两个分速度。
关联速度”问题常用的解题思路和方法：先确定合运动的方向，即物体实际运动的方向，然后分析这个合运动所产生的实际效果，即一方面使绳或杆伸缩的效果；另一方面使绳或杆转动的效果，以确定两个分速度的方向，沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同。
、绳相关联问题1.一绳一物模型1）所拉的物体做匀速运动例 1 如图 1 所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为厂，当轻绳与水平面的夹角为e 时，船的速度为u,此时人的拉力大小为T,则此时小结人拉绳行走的速度即绳的速度，易错误地采用力的分解法则，将人拉绳行走的速度。
即按图 3 所示进行分解，则水错选 B 选项.平分速度为船的速度，得人拉绳行走的速度为u /cos e ，会2)匀速拉动物体例2 如图 4 所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳的速度为v，当拉船头的绳索与水平面的夹角为a时，船的速度是多少？解析方法1——微元分析法取小角度e ,如图5所示，设角度变化e 方法2——运动等效法因为定滑轮右边的绳子既要缩短又要偏转，所以定滑轮右边绳上的 A 点的运动情况可以等效为：先以滑轮为网心，以AC为半径做圆周运动到达B,再沿BC直线运动到D。
做圆周运动就有垂直绳子方向的线速度，做直线运动就有沿着绳子方向的速度，也就是说船的速度（即绳上 4 点的速度）的两个分速度方向是：一个沿绳缩短的方向，另一个垂直绳的方2.两绳一物模型例3 如图7 所示，两绳通过等高的定滑轮共同对称地系住个物体 A ，两边以速度v 匀速地向下拉绳，当两根细绳与竖直方向的夹角都为60。
高考物理计算题复习《关联速度问题》(解析版)
《关联速度》一、计算题1.如图所示，竖直平面内放一直角杆，杆的各部分均光滑，水平部分套有质量为m A=3kg的小球A，竖直部分套有质量为m B=2kg的小球B，A、B之间用不可伸长的轻绳相连。
在水平外力F的作用下，系统处于静止状态，且OA=3m，OB=4m，重力加速度g=10m/s2．(1)求水平拉力F的大小和水平杆对小球A弹力F N的大小；(2)若改变水平力F大小，使小球A由静止开始，向右做加速度大小为4.5m/s2的匀拉力F所做的功。
加速直线运动，求经过23s2.如图所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，绳某时刻与水平方向夹角为α.求：(1)若人匀速拉绳的速度为v o，则此时刻小船的水平速度v x为多少？(2)若使小船匀速靠岸，则通过运算分析拉绳的速度变化情况？3.如图，足够长光滑斜面的倾角为θ=30°，竖直的光滑细杆到定滑轮的距离为a=3m，斜面上的物体M和穿过细杆的m通过跨过定滑轮的轻绳相连，开始保持两物体静止，连接m的轻绳处于水平状态，放手后两物体从静止开始运动，已知M=5.5kg，m=3.6kg，g=10m/s2．(1)求m下降b=4m时两物体的速度大小各是多大？(2)若m下降b=4m时恰绳子断了，从此时算起M最多还可以上升的高度是多大？4.如图所示，水平光滑长杆上套有一个质量为m A的小物块A，细线跨过O点的轻小光滑定滑轮一端连接小物块A，另一端悬挂质量为m B的小物块B，C为O点正下方杆上一点，滑轮到杆的距离OC=ℎ.开始时小物块A受到水平向左的拉力静止于P 点，PO与水平方向的夹角为30°．(1)求小物块A受到的水平拉力大小；(2)撤去水平拉力，求：①当PO与水平方向的夹角为45°时，物块A的速率是物块B的速率的几倍？②物块A在运动过程中的最大速度．5.如图所示，左侧为一个半径为R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑。
(推荐)关联速度的问题
（推荐）关联速度的问题
关联速度是指在数据分析中，计算两个或多个变量之间关系的速度。
以下是几种提高关联速度的方法：
1. 数据压缩：对于大型数据集，可以使用数据压缩技术来减少数
据的体积，从而提高关联分析的速度。
2. 并行计算：使用并行计算技术可以将计算任务分配给多个处理
器或计算机进行并行处理，从而加快关联分析的速度。
3. 使用索引：在进行关联分析时，可以使用索引来加快数据的检
索速度，从而提高关联分析的效率。
4. 数据预处理：在进行关联分析之前，对数据进行预处理，如去
除重复项、缺失值处理等，可以减少数据的量，从而提高关联分
析的速度。
5. 采样方法：对于大型数据集，可以使用采样方法来获取一个较
小的数据子集，然后对子集进行关联分析，从而提高关联速度。
6. 使用高效的算法：选择适合的关联算法是提高关联速度的关键。
一些高效的关联算法如Apriori算法、FP-Growth算法等。
7. 数据分区：将数据划分为多个分区，然后对每个分区进行独立
的关联分析任务，最后将结果合并，可以提高关联速度。
8. 内存优化：合理利用内存可以减少磁盘读写的次数，从而提高
关联分析的速度。
高中物理竞赛_话题18：关联速度问题
话题18：关联速度问题一、刚体的力学性质:讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的．如图所示，三角板从位置ABC 移动到位置A B C '''，可以认为整个板一方面做平动，使板上点B 移到点B '，另一方面又以点B '为轴转动，使点A 到达点A '、点C 到达点C '．由于前述刚体的力学性质所致，点A 、C 及板上各点的平动速度相同，否则板上各点的相对位置就会改变．这里，我们称点B '为基点．分析刚体的运动时，基点可以任意选择．于是我们得到刚体运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和．我们知道转动速度v r ω=，r 是转动半径，ω是刚体转动角速度，刚体自身转动角速度则与基点的选择无关．根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）． 结论一、杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度．再来研究接触物系接触点速度的特征．由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，从而违反接触或刚性的限制．至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度．因此，我们可以得到下面的结论． 结论二、接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同．相交物系交叉点速度的特征是什么呢?我们来看交叉的两直线a 、b ，如图所示，设直线a 不动，当直线b 沿自身方向移动时，交点P 并不移动，而当直线b 沿直线a 的方向移BC A 'B 'C '动时，交点P 便沿直线a 移动，因交点P 亦是直线b 上一点，故与直线b 具有相同的沿直线a 方向的平移速度．同理，若直线b 固定，直线a 移动，交点P 的移动速度与直线a 沿直线b 方向平动的速度相同．根据运动合成原理，当两直线a 、b 各自运动，交点P 的运动分别是两直线沿对方直线方向运动的合运动．于是我们可以得到下面的结论．结论三、线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和．二、相关的速度所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度．比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系．(一)、当绳（杆）端在做既不沿绳（杆）方向，又不垂直于绳（杆）方向的运动时，一般要将绳（杆）端的运动分解为沿绳（杆）方向和垂直于绳（杆）方向二个分运动。
关联速度的问题
关联速度的问题【专题概述】1、什么就是关联速度:用绳、杆相连的物体,在运动过程中,其两个物体的速度通常不同,但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等,即连个物体有关联的速度。
2、解此类题的思路:思路(1)明确合运动即物体的实际运动速度(2)明确分运动:一般情况下,分运动表现在:①沿绳方向的伸长或收缩运动;②垂直于绳方向的旋转运动。
解题的原则:速度的合成遵循平行四边形定则3、解题方法:把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)与平行于绳(杆)两个分量,根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。
常见的模型如图所示【典例精讲】1、绳关联物体速度的分解典例1(多选) 如图,一人以恒定速度v0通过定滑轮竖直向下拉小车在水平面上运动,当运动到如图位置时,细绳与水平成60°角,则此时( )A.小车运动的速度为v0B.小车运动的速度为2v0C.小车在水平面上做加速运动D.小车在水平面上做减速运动2、杆关联物体的速度的分解典例2如图所示,水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A.另一竖直杆B以速度v水平向左匀速直线运动,则从两杆开始相交到最后分离的过程中,两杆交点P的速度方向与大小分别为( )A. 水平向左,大小为vB. 竖直向上,大小为vtanθC. 沿A杆向上,大小为v/cosθD. 沿A杆向上,大小为vcosθ3、关联物体的动力学问题典例3 (多选)如图所示,轻质不可伸长的细绳绕过光滑定滑轮C与质量为m的物体A连接,A放在倾角为 的光滑斜面上,绳的另一端与套在固定竖直杆上的物体B连接.现BC连线恰沿水平方向,从当前位置开始B以速度v0匀速下滑.设绳子的张力为F T,在此后的运动过程中,下列说法正确的就是( )A. 物体A做加速运动B. 物体A做匀速运动C. F T可能小于mgsinθD. F T一定大于mgsinθ【总结提升】有关联速度的问题,我们在处理的时候主要区分清楚那个就是合速度,那个就是分速度,我们只要把握住把没有沿绳子方向的速度向绳方向与垂直于绳的方向分解就可以了,最长见的的有下面几种情况情况一:从运动情况来瞧:A的运动就是沿绳子方向的,所以不需要分解A的速度,但就是B运动的方向没有沿绳子,所以就需要分解B的速度,然后根据两者在绳子方向的速度相等来求解两者之间的速度关系。
如何将“关联速度”问题讲得通俗易懂
以上教 学方 法 在教 学 实 践 中遇 到 很 大 的 困难 ， 大 部 分学 生 不能 理解 ： 为 什 么人 的运 动 是 合 运 动 ？人 在 水 平面 运 动 ， 为 什 么有 相对 于悬 点 的转 动 ？为 什 么 不
把 绳 子 的 运 动 分 解 为水 平 方 向 和竖 直 方 向 的 ２个 分
图４
示． 也 就是 说 ， 绳子 的转 动不 会 改 变 物块 的 速度 ， 只有
圈 １
沿 绳 方 向收绳 子时 物块 才会 上升 ．
Hale Waihona Puke ２ “ 关 联 速度 ” 教 学现 状 不 少教 师 是 按 照 运 动 的合 成 与 分 解 的思 想 教 学 的． 人 的运 动 是 合 运 动 ， 将 该 运 动 按 照 其 效 果 分解 为 沿 绳方 向 的运 动和 绕悬 点 的 转 动 ， 物块 上 升 的速 度 与 人 的速 度沿 绳 方 向的分 量 大 小相 等 ， 从 而得 出物 块 的
动， 双手 收绳 子 而使 物体 上 升 ， 则 物 块 上 升 的 速 度 与
人 收绳 子 的速 度 相 等 ；
假 如人 以滑 轮 为悬 点 ， 保 持 悬 点 到 人 手 之 间 的绳 长不 变 ， 在 竖 直 平 不 会 上 升， 如 图 ４ 所
面 内转 动 绳 子 ， 则 物 块
上 各点 的运 动情 况 （ 线速度） 就
扣锕将 “ 羡 联运麇 ０ ； 喾 ≥ 娘 辍 ”
问 题讲得渔 俺 懂
毒
◇ 湖北 魏 文超
不 同了， 离 悬 点 越 远 的点 线 速 度 越 大．
以上 ２个 实 例 告 诉 我 们 ，
同一 绳子 上各 点 的速度 不一 定
运动的合成与分解——“关联”速度问题
运动的合成与分解——“关联”速度问题●问题概述：绳、杆等有长度的物体,在运动过程中,其两端点的速度通常是不一样的,但两端点的速度是有联系的,称之为“关联”速度。
关联速度的关系——沿杆(或绳)方向的速度分量大小相等。
●关键点：1.绳子末端运动速度的分解,应按运动的实际效果进行。
2.速度投影定理:不可伸长的杆(或绳),尽管各点速度不同,但各点速度沿绳方向的投影相同。
●例题：如图所示,人用绳子通过定滑轮拉物体A,当人以速度v0匀速前进时,物体A将做( )A.匀速运动B.加速运动B.C.匀加速运动 D.减速运动解题探究:①物体A的运动有两个运动效果,分别是什么?②将该物体的速度沿哪两个方向分解?●规律总结求解绳(杆)拉物体运动的合成与分解问题的思路和方法:①先明确合运动的方向：物体的实际运动方向②然后弄清运动的实际效果：沿绳或者杆的伸缩效果；使绳子或者杆转动的效果。
③再确定两个分运动的方向：沿着绳子（杆）、垂直于绳子（杆）●常见的模型●巩固练习1、如图所示，人以水平速度v跨过定滑轮匀速拉动绳子，当拉小车的绳子与水平地面的夹角为β时，小车沿水平地面运动的速度为( )A．V B.vcosβC.vsinβD．v cosβ2、如图所示，纤绳以恒定速率v1沿水平方向通过定滑轮牵引小船靠向岸边，设小船速度为v2，则小船靠岸过程的运动情况是( )A．加速靠岸，v2＞v1 B．加速靠岸，v2＜v1C．减速靠岸，v2＞v1 D．匀速靠岸，v2＜v13、两根光滑的杆互相垂直地固定在一起,上面分别穿有一个小球,小球a、b间用一细直棒相连,如图所示。
当细直棒与竖直杆夹角为θ时,两小球实际速度大小之比为( )A.sinθB.cosθC.tanθD.cotθ4、如图所示，物体A以速度v沿杆匀速下滑，A用细绳通过定滑轮拉物体B，当绳与水平夹角为θ时，B的速度为（）A．v cosθ B．v sinθC．v/cosθ D．v/sinθ5、（不定项）如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的小车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若小车和被吊的物体在同一时刻速度分别为1v 和2v ，绳子对物体的拉力为T ，物体所受重力为G ，则下面说法正确的是( )A ．物体做匀速运动，且v 1=v 2B ．B ．物体做加速运动，且v 1>v 2C ．物体做加速运动，且T>GD ．物体做匀速运动，且T ＝G6、如图所示，套在竖直细杆上的环A 由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B 相连。
速度关联问题常见模型与解题方法
速度关联问题常见模型与解题方法1. 速度与时间的关系1.1 速度、时间与距离的基本关系速度问题就像是生活中的“速食餐”，简单快捷但又能让你饱腹。
要搞懂速度问题，我们得知道几个基本概念：速度、时间和距离。
速度就像你开车的速度，时间是你开车的时长，距离则是你走过的路。
公式是这样的：距离等于速度乘以时间。
简单吧？比如说，你开车的速度是60公里每小时，开了2小时，那你就跑了120公里。
这个公式很基础，却是解题的“必杀技”。
1.2 常见的速度问题类型有时候，速度问题就像是刮风的日子，复杂又不确定。
比如说，两个小伙伴一起跑步，一个跑得快，一个跑得慢，他们要怎么才能赶到同一个地点？这时候，你得用到“相对速度”了。
相对速度就是两者之间的速度差。
比如说，甲和乙一前一后跑，甲的速度是5米每秒，乙的速度是3米每秒，那他们之间的相对速度就是2米每秒。
这种问题看似简单，但解决起来却需要耐心和细心。
2. 速度与其他因素的关系2.1 速度与加速度的关系说到加速度，这就像是在开车的时候突然踩油门，车子一下子就飞了起来。
加速度就是速度变化的快慢，越大表示速度变得越快。
公式是这样的：加速度等于速度变化量除以时间。
如果你车子的速度从0到60公里每小时用了5秒，那加速度就是12公里每小时每秒。
这种计算常见于物理题目里，不过有时候它就像是恶作剧一样，搞得你一头雾水。
2.2 速度与阻力的关系我们生活中常常会碰到阻力，比如走在风中感觉特别累，或者水里的游泳感觉有些费劲。
阻力就是影响速度的那个“无形敌人”。
在物理问题中，阻力会影响物体的速度，导致物体的运动变得缓慢。
阻力的计算有点儿复杂，通常需要考虑很多因素，比如物体的形状、表面光滑程度等。
不过，掌握了这些，你就能在遇到实际问题时得心应手。
3. 解题方法与技巧3.1 基本公式的应用速度问题最基础的解题方法就是用公式。
公式就像是你的“万用工具”，简单易懂却功能强大。
只要你把公式运用熟练了，各种速度问题就像是手到擒来的小猫咪。
高三物理一轮复习中的问题式教学法——以“关联速度问题”为例
高三物理一轮复习中的问题式教学法——以“关联速度问题”为例高三物理一轮复习一般经过三个阶段，每个阶段各有侧重点。
一轮复习是以章节按顺序进行复习的，是扫除知识障碍的过程。
复习过程中，由于内容繁琐，各种概念、知识、规律和方法全都杂乱的装在学生的大脑中，学生难免会觉得力不从心。
以问题为线索的情景式教学方法不仅能让学生学习起来倍感轻松，而且能在较短的时间内让学生掌握好课程内容。
本文将以“关联速度问题”为例进行展开。
一.以问题为线索梳理基础知识教师提出问题，学生回忆并作答，前期主要是学生自己在构建思维导图，遇到重要问题的时候，可以以例题的形式加以补充。
比如可以设置如下问题：高中物理中几个基本的运动物理量是什么？哪些是矢量，哪些是标量?矢量的运算遵循什么规则？运动的合成和分解是什么？合运动和分运动有什么关系？【例题】在一光滑水平面内建立平面直角坐标系,一物体从t=0时刻起,由坐标原点O(0,0)开始运动,其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图象分别如图1、图2所示,下列说法中正确的是( )A.前2 s内物体沿x轴做匀加速直线运动B.后2 s内物体继续做匀加速直线运动,但加速度沿y轴方向C.4 s末物体坐标为(4 m,4 m)D.4 s末物体坐标为(6 m,2 m)这一例题是在复习了运动的合成和分解的基本知识的基础上提出的，可以让学生思考：x和y两个方向上物体各做什么运动？这段时间内速度如何变化？如何求物体的合加速度合速度、合位移？这一例题不仅对本节课内容进行了巩固，而且对图像信息的读取进行了一定地复习。
不是教师通篇地讲，而是学生自己思考讨论得来的结果，增加了课堂的趣味性。
二.以问题为线索掌握基本模型例题设置可由浅入深，使学生在不知不觉中逐步提升，从而学会解决问题的能力。
比如连接体中经常会出现的绳模型和杆模型，由此产生的关联速度问题又会经常被嵌入到机械能守恒和多过程的问题中，所以我们有必要对此类问题进行探讨。
【例题】如图所示,将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端,轻绳的另一端绕过光滑的定滑轮系一质量为m的小环,小环套在竖直固定的光滑直杆上,光滑定滑轮与直杆的距离为d。
关联速度问题
关联速度问题(总5页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除关联速度问题(高一)河南省信阳高级中学陈庆威绳子末端速度的分解问题，是“运动的合成与分解”中的一个难点也是易错点。
同学们在处理此类问题时，往往因搞不清哪一个是合速度（实际速度），哪一个是分速度而导致解题失败。
希望能通过下面几个例题，帮助同学们消除解题中的困惑。
例1：如图1的A所示，在河岸上利用定滑轮拉绳使小船靠岸，拉绳的速度为v，当绳与水平面成θ角时，船的速度是多少？解析：方法一：图11、找关联点（A点）2、判断合速度（水平向左）3、速度的合成与分解（沿绳子与垂直绳子）4、验证正误（新位置在两坐标轴方向上）船的实际运动是水平运动，它产生的实际效果可以从图B中的A 点为例说明：A是绳子和船的公共点，一是A点沿绳的收缩方向的运动，二是A点绕O点沿顺时针方向的转动，所以，船的实际速度v可分解为船沿绳方向的速度v1和垂直于绳的速度v2，如图1所示。
由图可知：v＝v1/cosθ方法二：微元法：如图C1、关联点在很短时间内经过一小位移S2、绳子缩短了S′=OA-OB=PA=Scosθ<S3、速度比即是位移比。
例2.如图2所示，一辆匀速行驶的汽车将一重物提起，在此过程中，重物A的运动情况是（）A. 加速上升，且加速度不断增大B. 加速上升，且加速度不断减小C. 减速上升，且加速度不断减小D. 匀速上升解析:物体A的速率即为左段绳子上移的速率，而左段绳子上移的速率与右段绳子在沿着绳长方向的分速率是相等的。
右段绳子实际上同时参与两个运动：沿绳方向拉长及向上摆动。
将右段绳子与汽车相连的端点的运动速度v沿绳子方向和与绳子垂直方向分解，如图3所示，则沿绳方向的速率即为物体A的速率v A=v1=vsinθ。
随着汽车的运动，θ增大，v A=v1增大，故A应加速上升。
由v-t图线的意义知，其斜率为加速度，在0°～90°范围内，随θ角的增大，曲线y=sinθ的斜率逐渐减小，所以A上升的加速度逐渐减小。
关联速度问题
关联速度问题关联速度分解问题指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题：(1)物体的实际速度一定是合速度.(2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量大小相等. (3)常见的速度分解模型 情景图示(注：A 沿斜面下滑) 分解图示定量结论 v B ＝v A cos θ v A cos θ＝v 0 v A cos α＝v B cos β v B sin α＝v A cos α 基本思路 确定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求解阻力恒为F f ，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v ，人的拉力大小为F ，则此时( )A.人拉绳行走的速度大小为v cos θB.人拉绳行走的速度大小为v cos θC.船的加速度大小为F cos θ－F f mD.船的加速度大小为F －F f m【题型2】如图所示， 一根长直轻杆AB 在墙角沿竖直墙和水平地面滑动.当AB 杆和墙的夹角为θ时，杆的A 端沿墙下滑的速度大小为v 1，B 端沿地面滑动的速度大小为v 2，则v 1、v 2的关系是( )A.v 1＝v 2B.v 1＝v 2cos θC.v 1＝v 2tan θD.v 1＝v 2sin θ【题型3】人用绳子通过光滑轻质定滑轮拉物体A ，A 穿在光滑的竖直杆上，当以速度v 0匀速地拉绳使物体A 到达如图所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A 实际运动的速度大小是( )A.v 0sin θB.v 0 sin θC.v 0cos θD.v 0 cos θ【题型4】如图所示，一根长为L 的轻杆OA ，O 端用铰链固定，轻杆靠在一个高为h 的物块上，某时杆与水平方向的夹角为θ，物块向右运动的速度为v ，则此时A 点速度为( )A.Lv sin θhB.Lv cos θhC.Lv sin 2θhD.Lv cos 2θh【题型5】如图所示，长为L 的直棒一端可绕固定轴O 转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v 匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为( )A.v sin αLB.v L sin αC.v cos αLD.v L cos α针对训练1.如图所示，有人在河面上方20 m 的岸上用跨过定滑轮的长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°.人以恒定的速率v ＝3 m/s 拉绳，使小船靠岸，那么( )A.5 s 时绳与水面的夹角为60°B.5 s 时小船前进了15 mC.5 s 时小船的速率为5 m/sD.5 s 时小船到岸边距离为10 m2.一轻杆两端分别固定质量为m A 和m B 的两个小球A 和B (可视为质点)，将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时，球A 与球形容器球心等高，其速度大小为v 1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，球B 的速度大小为v 2，则( )A ．v 2＝12v 1 B ．v 2＝2v 1 C ．v 2＝v 1 D ．v 2＝3v 13.如图所示，人用轻绳通过定滑轮拉穿在光滑竖直杆上的物块A ，人以速度v 0向左匀速拉绳，某一时刻，绳与竖直杆的夹角为θ，与水平面的夹角为α，此时物块A 的速度v 1为( )A.v 1＝v 0sin αcos θB.v 1＝v 0sin αsin θC.v 1＝v 0cos αcos θD.v 1＝v 0cos αcos θ4.一探照灯照射在云层底面上，云层底面是与地面平行的平面，如图所示，云层底面距地面高h ，探照灯以恒定角速度ω在竖直平面内转动，当光束转到与竖直方向夹角为θ时，云层底面上光点的移动速度是( )A ．hω B.θωcos h C. θω2cos h D ．Hωtan θ5.如图所示，水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A ．另一竖直杆B 以速度v 水平向左匀速直线运动，则从两杆开始相交到最后分离的过程中，两杆交点P 的速度方向和大小分别为( )A ．水平向左，大小为vB ．竖直向上，大小为vtanθC ．沿A 杆向上，大小为v/cosθD ．沿A 杆向上，大小为vcosθ6.如图所示，细绳一端固定在天花板上的O 点，另一端穿过一张CD 光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD 光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v 匀速移动，移动过程中，CD 光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为( )A ．v sin θB ．v cos θC ．v cos θD ．v sin θ关联速度问题参考答案【题型1】【答案】 AC【解析】 船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使滑轮与船间的绳偏转，因此将船的速度按如图所示(沿绳方向与垂直于绳方向)方式进行分解，人拉绳行走的速度大小v 人＝v ∥＝v cos θ，选项A 正确，B 错误；绳对船的拉力大小等于人拉绳的力的大小，即绳的拉力大小为F ，与水平方向成θ角，因此F cos θ－F f ＝ma ，解得a ＝F cos θ－F f m，选项C 正确，D 错误.【题型2】【答案】C【解析】将A 端的速度沿杆方向和垂直于杆的方向分解，沿杆方向的分速度为v 1∥＝v 1cos θ，将B 端的速度沿杆方向和垂直于杆方向分解，沿杆方向的分速度v 2∥＝v 2sin θ.由于v 1∥＝v 2∥.所以v 1＝v 2tan θ，故C 正确，A 、B 、D 错误.【题型3】【答案】D【解析】由运动的合成与分解可知，物体A 参与两个分运动：一个是沿着与它相连接的绳子的运动，另一个是垂直于绳子斜向上的运动.而物体A 的实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的，这一轨迹所对应的运动就是物体A 的合运动，它们之间的关系如图所示.由几何关系可得v ＝v 0 cos θ，所以D 正确.【题型4】【答案】 C【解析】 根据运动的效果可知物块向右运动的速度，如图所示．沿杆和垂直于杆的方向分解成1v 和2v ，根据平行四边形定则可得θθcos cos 1v v v B ==，θθsin sin 2v v v B ==，根据几何关系可得θsin h OB =，由于B 点的线速度为ωθ⋅==OB v v sin 2，所以h v OB v θθω2sin sin ==，所以A 点的线速度hLv L v A θω2sin ==，故C 正确。
专题提升课五 小船渡河与关联速度问题
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提升
3.掌握两类最值问题 (1)过河时间最短问题
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由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度。若要过河时 间最短，则船头垂直于河岸航行即可。由图甲可知，t 短＝vd船，此时船过河的
位移
s＝sind
根据运动的合成，船的速度必须减小，再根据 t＝vd船，可知渡河的时间变长， 故选 A。
01 02 03
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随堂对点自测
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2.(绳的关联问题)如图所示，物体A套在竖直杆上，经细绳通过光滑轻质定滑 轮拉动物体B在水平面上运动，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算 机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿杆匀速下滑(B始终未与滑轮相碰)，
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课后巩固训练
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2.(2022·江苏无锡期末)一小船要渡过一条50 m宽的河，已知船在静水中的速
度为4 m/s，水流速度为3 m/s。则以下说法中正确的是( C )
A.小船渡河的位移一定大于50 m B.小船渡河的速度一定小于或等于5 m/s C.小船渡河的最短时间为12.5 s D.小船不可能到达正对岸
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提升2 关联速度问题
1.关联速度 用绳、杆(高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩 的)相牵连的物体或者直接接触的两物体，在运动过程中两物体的速度通常 不同，但两物体的速度间存在某种联系，称为关联速度。
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2.解决关联速度问题的一般步骤 第一步：先确定合运动，即物体的实际运动。 第二步：确定合运动的两个实际作用效果，一是沿绳(或杆)方向的平动效 果，改变速度的大小；二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果，改变速度 的方向。即将实际速度正交分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向 的两个分量并作出运动矢量图。 第三步：根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解。
人教版必修第二精品PPT第五章专题强化 小船渡河与关联速度问题
解析 当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小， 因船在静水中的速度为v1＝5 m/s，大于水流速度v2＝3 m/s， 故可以使船的实际速度方向垂直于河岸. 如图乙所示，设船斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ， 则有 v1cos θ＝v2，cos θ＝vv21＝0.6，则 sin θ＝ 1－cos2 θ＝0.8， 船的实际速度大小为v＝v1sin θ＝5×0.8 m/s＝4 m/s， 所用的时间为 t′＝dv＝1040 s＝25 s.
针对训练2 (2019·鹤壁市期末)如图7所示，物体A套在竖直杆上，经细
绳通过光滑轻质定滑轮拉动物体B在水平面上运动，开始时A、B间的细
绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿杆
匀速下滑(B始终未与滑轮相碰)，则
A.绳与杆的夹角为α时，B的速率为vsin α
√B.绳与杆的夹角为α时，B的速率为vcos α
答案 20 s 20 34 m
解析 由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时， 渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间， 所以当船头垂直于河岸渡河时，所用时间最短， 最短时间为 t＝vd1＝1500 s＝20 s. 如图甲所示，当船到达对岸时，船沿平行于河岸方向 也发生了位移， 由几何知识可得，船的位移大小为 l＝ d2＋x2，
随堂演练
1.(小船渡河模型)(多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v 的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线.则其中可能正 确的是
√
√
1234
解析 小船渡河的运动可看成水流的运动和小船运动的合运动.虚线
(11．)动光量的的波变粒为化二量象小：性Δp船＝p′－从p. 河岸M驶向对岸N的实际航线，即合速度的方向，小船合运
关联速度问题——绳端、杆端或接触面速度分解模型
高考理化 2021年1月关联速廈诃题绳端、杆端或接触面速度分解模型2!■河南省实验中学 王若冰两个或两个以上物体由轻绳或轻杆连接在一起，或直接挤压在一起，称为关联体，它们的运动称为关联运动。
相互关联的两个物体在运动过程中，一般不是都沿绳、杆或接触面运动的，即二者的速度通常不同，但存在某种联系，称为关联速度。
要想求解关联速度， 就需要找到关联速度间的联系，并正确分解已知速度，下面以由两个物体组成的关联体问o 为例，具体说明。
题型一：由绳连接物体的关联速度问题! !如图1所示，光滑定滑轮固定在天花板上的o 点，一根轻绳 跨过定滑轮系在A 、B 两物体上$若物体A 以速图1度（沿水平地面向左匀速运动，某时刻，系在物体A 、B 上的两段轻 绳分别与水平方向成a 』角，则此时物体B的速度为（）。
A. G l （，方向水平向左cos a B.方向水平向左cos aC.方向水平向右d . ^a ^，方向水平向右*解析：如图2所示，将物体A 的速度沿绳方向与垂直于绳方向进行分解，则v沿绳方向的分速 大小（1 = （cos a （将物体B 的速度 图2沿绳方向与垂直于绳方向进行分解，则沿绳 方向的分速度大小（3=（b C os *。
因为同一根轻绳上沿绳方向的速度大 等，所以（1 =、、、©、、、、a 、（3，解得（B =（，万向水平向右$*答案:C6评：求解由轻绳连接的两个物体的关联速度，需要先将两个物体的速度分别沿绳方向和垂直于绳方向进行分解，再根据两个 物体沿绳方向的分速度相等建立等量关系, 从而使问题得以解决。
题型二：由杆连接物体的关联速度问题!2如图3所示，一（根长直轻杆AB 在墙角沿竖 \直墙面和水平地面滑动，当轻 竖直墙面间的 为5"时，轻杆的A 端沿墙面下图3滑的速度大小为（1 B 端沿z地面滑动的速度大小为（2，则（1、（2的关系 是（）$A. （ 1（ 2 B . （1 （ 2 cos "C.（1 =（2>n "D.（1 =（2 sin "解析：如图4所示，将轻杆A 端的下滑 速度（1分解为沿杆方向的速度（1’和垂直于杆方向的速度5〃，将轻杆B 端的水平速度5 分解为沿杆方向的速度（乙和垂直于杆方向的速度（2〃。
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关联速度问题
考点规律分析
①对“关联速度”的理解
用绳、杆相牵连的物体在运动过程中的速度通常不同，但两物体沿绳或杆方向的分速度大小相等。
②“关联速度”问题的解题步骤
a．确定合速度：牵连物端点的速度(即所连接物体的实际速度)是合速度。
b．分解合速度：按平行四边形定则进行分解，作好矢量图。
合运动所产生的实际效果：一方面产生使绳或杆伸缩的效果；另一方面产生使绳或杆转动的效果。
两个分速度的方向：沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向。
常见的模型如图所示：
c．沿绳或杆方向的分速度大小相等，列方程求解。
例如：v＝v∥(甲图)；v∥′(乙图、丙图)。
＝v
∥
例题讲解
(多选)如图所示，做匀速直线运动的汽车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和汽车的速度的大小分别为v B、v A，则()
A．v A＝v B B．v A＜v B
C．v A＞v B D．重物B的速度逐渐增大
[规范解答]如图所示，汽车的实际运动是水平向左的运动，它的速度v A可以产生两个运动效果：一是使绳子伸长，二是使绳子与竖直方向的夹角增大，所以车的速度v A应有沿绳方向的分速度v0和垂直绳的分速度v1，由运动的分解可得v0＝v A cosα；又由于v B＝v0，所以v A＞v B，故C正确。
因为随着汽车向左行驶，α角逐渐减小，所以v B逐渐增大，故D正确。
[完美答案]CD
绳(杆)联问题，关键点是把合速度沿杆垂直杆，沿绳垂直绳分解。
沿杆或者沿绳分速度相等。
另外，实际运动方向就是合速度方向。
举一反三作业
1.如图所示，用船A拖着车B前进时，若船匀速前进，速度为v A，当OA绳与水平方向夹角为θ时，则：
(1)车B运动的速度v B为多大？
(2)车B是否做匀速运动？
答案(1)v A cosθ(2)不做匀速运动
解析(1)把v A分解为一个沿绳子方向的分速度v1和一个垂直于绳的分速度v2，如图所示，所以车前进的速度v B大小应等于v A的分速度v1，即v B＝v1＝v A cosθ。
(2)当船匀速向前运动时，θ角逐渐减小，车速v B将逐渐增大，因此，车B不做匀速运动。
2.如图所示，一根长直轻杆AB在墙脚沿竖直墙和水平地面滑动，当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2，则v1、v2的关系是()
A．v1＝v2B．v1＝v2cosθ
C．v1＝v2tanθD．v1＝v2sinθ
答案C
解析如图所示，轻杆A端下滑速度v1可分解为沿杆方向的速度v1′和垂直于杆方向的速度v1″，B端水平速度v2可分解为沿杆方向的速度v2′和垂直于杆方向的速度v2″，两端沿杆方向的速度相等，即v1′＝v2′，又v1′＝v1cosθ，v2′＝v2sinθ，解得v1＝v2tanθ，故C正确。
3.(绳联物体速度的分解)如图所示，中间有孔的物块A套在光滑的竖直杆上，通过滑轮用不可伸长的轻绳将物体拉着匀速向上运动。
则关于拉力F及拉力作用点的移动速度v的下列说法正确的是()
A．F不变、v不变B．F增大、v不变
C．F增大、v增大D．F增大、v减小
答案D
解析设与A相连的绳子与竖直方向的夹角为θ，因为A做匀速直线运动，在竖直方向上合力为零，有F cosθ＝mg，因为θ增大，则F增大，拉力作用点的移动速度即为物块A沿绳子方向上的分速度，v＝v物cosθ，因为θ增大，则v减小。
D正确。
4.(绳联模型)一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H。
车由静止开始向左做匀加速运动，经过时间t，绳子与水平方向的夹角为θ，如图所示。
试求：
(1)车向左运动的加速度的大小；
(2)重物m在t时刻速度的大小。
答案(1)
2H
t2tanθ(2)
2H cosθ
t tanθ
解析(1)分析可得：车在时间t内向左运动的位移
s＝H
tanθ
，
由车做匀加速运动，得s＝1
2at
2，
解得a＝2s
t2＝2H
t2tanθ。
(2)车的速度：v车＝at＝
2H
t tanθ
，
由运动的分解知识可知，车的速度v车沿绳的分速度大小与重物m的速度大小相等，
即v物＝v车cosθ，解得v物＝2H cosθ
t tanθ。
5．如图所示，已知m A＝3m B，C为内壁光滑、半径为R的半圆形轨道，D 为定滑轮，开始时A、B均处于静止状态，释放后，A沿圆弧轨道下滑，若已知A球下滑到最低点时A的速度为v，则此时B的速度为()
A．v B.2v C.
2
2v D．2v
答案C
解析A滑到最低点时速度方向水平向左，它的两个分速度如图所示，分别
为v1、v2，B球的速度与v1相等，由几何关系知v B＝v1＝2
2v，故C正确。