人教版九年级上册数学学案：24.2.2切线长定理

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人教版九年级(上)数学导学案：24.2.2切线长定理

24.2.2切线长定理主备人：符后丽审核：数学备课组课型：新授课学习目标：1、掌握切线长定理，能利用切线长定理解决相关的计算和证明问题。

2、培养抓基本图形的能力，规范、严谨的书写计算和证明的过程。

学习重点：切线长定理的证明和应用学习过程：一复习回顾1、如图1，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是过A 点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么 ∠CAB= 时，AC 才能成为⊙O 的切线。

2、如图2，AB 切⊙O 于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若∠A=36°，则∠C=3、如图3，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上的一点，PA 切⊙O 于A ，若PA=3，PB=1，则⊙O 的半径为。

二新知探究1、画图：如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线，2、可以作条。

2、度量：圆外点P 到两个切点的距离是（填“相等”或“不相等”）；操作：将上面的图形沿着直线PO 折叠，你发现了，∠APO 与∠BPO 的大小（填“相等”或“不相等”）；3、根据你的度量和操作，你的猜想是。

4、你能证明你的猜想吗？5、归纳总结：如图所示，PA,PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B 。

直线OP 交⊙O 于点D ，E ，交AB 于点C 。

（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的等腰三角形；（3）写出图中所有的全等三角形；图1 图2 图3（4）若∠APB=70°，你可求出哪些角的度数？6、基础训练（1）如图4，PA,PB 是⊙O 的切线，且∠APB=40°，下列说法不正确的是（）A PA=PB B ∠APO=20°C ∠OBP=70°D ∠AOP=70°（2）如图5，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA,PB ，切点分别为A ，B 。

如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB 的长是（）A 4 B 8 C 34 D 38（3）如图6PA,PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B 。

人教版九年级数学上册24.2.2切线长定理教案

此外，小组讨论的环节中，我发现学生们在讨论切线长定理的实际应用时，思路不够开阔。这可能是因为他们在日常生活中对几何图形的观察不够细致，或者是缺乏将理论知识应用到实际中的经验。我打算在之后的课程中，增加一些观察和分析实际几何图形的练习，帮助学生培养从生活中发现数学的能力。
在难点解析部分，我发现通证明过程有了更清晰的认识。但仍有学生反映在理解证明思路时感到困难。我考虑在下一节课中，引入更多的辅助手段，如动画演示或实物模型，来帮助学生们更好地理解几何证明的思路。
-证明思路：证明过程中涉及到的几何变换和逻辑推理对学生来说是难点。
-举例：在证明过程中，如何通过构造全等三角形和使用圆的性质来推导切线长定理。
-问题解决：学生在应用切线长定理解决具体问题时，往往难以找到合适的解题切入点。
-举例：在求解切线长或证明线段相等的问题时，学生可能不知道如何利用切线长定理来简化问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对切线长定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间观念：通过切线长定理的学习，使学生能够观察和理解几何图形，发展空间想象力，提高解决几何问题的能力。
2.提升学生的逻辑推理与证明能力：引导学生探索切线长定理的证明过程，训练学生运用逻辑推理、几何论证的方法，培养严谨的数学思维。
3.增强学生的解决问题能力：通过切线长定理在具体题目中的应用，让学生掌握解决问题的方法和策略，提高解题效率，形成良好的数学解题习惯。

24.2.2切线长定理和三角形的内切圆(教案)

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理和三角形内切圆的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
三角形内切圆的部分，学生们在小组讨论和实验操作中表现出了很高的热情。通过实际操作，他们能够更好地掌握内切圆半径的计算方法，这也证明了实践活动在数学教学中的重要性。今后，我会继续加大实践环节的比重，让学生在实践中学习和探索。
在小组讨论环节，我发现有些学生较为内向，不太愿意主动表达自己的观点。为了鼓励他们积极参与，我会在今后的教学中更加关注这些学生，多给予他们肯定和鼓励，提高他们的自信心。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理和三角形内切圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
24.2.2切线长定理和三角形的内切圆（教案）
一、教学内容
本节课选自教材24.2.2节，主要内容包括：
1.切线长定理：探讨圆的切线与半径的关系，推导并掌握切线长定理，即从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
2.三角形的内切圆：介绍三角形内切圆的概念，探讨内切圆的半径与三角形面积的关系，掌握内切圆半径的计算公式。

切线长定理和内切圆.2.2切线长定理和内切圆教学设计

24.2.2切线长定理和内切圆
——直线与圆的位置关系（3）
一、教材分析
1、内容说明：本课时是九年制义务教育人教版九年级上册第24章第2节第2小节的第3课时，主要研究切线长定理和内切圆的概念。

2、内容解析：切线长定理是圆这一章里面比较直观的一个定理，相对来说比较容易理解，往往也容易被学生忽视，但是切线长定理为我们证明线段和角度的相等提供了一个新方法，特别是和内切圆相关的题目出现的频率也很高，所以本节课的内容也是非常重要，因此，确定了以下教学重点与难点：
【学习重点】切线长定理
【学习难点】切线长定理的运用
二、学情分析
学生在小学的时候也接触过圆，但是到了初中，我们进一步对圆的相关知识进行学习，学生已经学习了切线的性质和判定以及判定三角形全等，对于切线长定理的证明，我认为基础好的学生根本不是问题，所以本课时的设计多让学生自主探索，教学中可能遇到的障碍是切线长定理的应用，因此将其定为教学难点，要实现突破，主要在于学生对定理的理解，关键是它的应用，。

三、教学目标
1、知识与技能：
（1）理解切线长的概念,把握切线长定理；
（2）了解内切圆的相关概念。

2、过程与方法：
（1）通过自己动手折叠观察，探索切线长定理，让学生形象直观发现切线长定理；
（2）通过对例题的分析,培养学生动手分析总结问题的习惯,培养数形结合的思想；
3、情感态度与价值观：
（1）从学生已有的知识和水平出发，激发他们的求知欲，通过合作获得成功的体验；
（2）通过对定理的猜想和证明,激发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性。

四、教学方法：实践探索、观察，归纳。

五、教学流程
五、教学过程
图5
六、板书设计
七、教学反思。

《24.2.2 第3课时切线长定理》教案、导学案、同步练习

《第3课时切线长定理》教案【教学目标】1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．【教学过程】一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等．【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C. 三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.《第3课时切线长定理》教案【教学目标】：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。

人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》教学设计

人教版数学九年级上册24.2《切线的判定和性质定理、切线长定理》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.2节《切线的判定和性质定理、切线长定理》是九年级数学的重要内容，主要让学生了解和掌握切线的判定方法、性质定理以及切线长定理。

本节内容是在学习了函数图像、直线与圆的位置关系等知识的基础上进行学习的，为后续学习解析几何和高中数学打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数图像、直线与圆的位置关系等知识，具备了一定的几何直观能力和逻辑思维能力。

但是，对于切线的判定和性质定理、切线长定理的理解和应用还需要加强。

因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中发现切线，培养学生的几何直观能力，同时，通过实例讲解，使学生理解和掌握切线的性质定理和切线长定理。

三. 教学目标1.让学生了解和掌握切线的判定方法。

2.使学生理解和掌握切线的性质定理和切线长定理。

3.培养学生运用切线知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：切线的判定方法、性质定理和切线长定理。

2.教学难点：切线性质定理和切线长定理的理解和应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现和理解切线。

2.使用多媒体辅助教学，通过动画演示和实例讲解，使学生直观地理解和掌握切线的性质定理和切线长定理。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论和探究中加深对切线知识的理解。

六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件和教学素材。

2.准备切线相关的实际问题，用于引导学生学习。

3.准备黑板和粉笔，用于板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如：如何判断一条直线是否为圆的切线？圆的切线有什么特殊的性质？引发学生对切线的兴趣，从而导入新课。

2.呈现（10分钟）讲解切线的判定方法，通过多媒体动画演示和实例讲解，让学生直观地理解和掌握切线的判定方法。

3.操练（10分钟）让学生通过练习一些切线的判定问题，加深对切线判定方法的理解和应用。

24.2.2 切线长定理

教学目标
知识目标：1．理解切线长的概念。
2．掌握切线长定理及其应用。
能力目标：培养学生识图能力和逻辑思维能力。
情感目标：激发学生学习兴趣，培养探索精神和创新能力。
德育目标：渗透事物之间相互转化的思想，培养学生良好的学习习惯和严谨的思维品质。
教学重点
1.切线长定理的应用。
教学难点
切线长定理的灵活应用。
小制作：名称：圆的半径测量仪
材料：两把刻度尺
用途：测量水杯口的半径
过程：
（1）出示问题，学生尝试；
（2）遇到困难，设法解决；
（3）设计方案，说明道理；
（4）完成制作，实物测量。
教师出示问题，学生尝试，在尝试中遇到困难，师生共同设法解决。在设计时，寻求多种方案，并说明方案的合理性，比较方案的简洁性，最后由学生完成制作，并进行实物测量。
作业布置
课后反思（不少于100字）
运用所学知识解决实际问题，发展应用意识，在数学活动中体验策略的多样性，发展实践能力与创新精神。在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。真正做到“以参与求体验，以创新求发展”。
五、合作探索
连结图3中的两个切点AB交O
、N、P
想一想： ABCD与
ADBC之间有什么关系
说明你结论的正确性。图6
学情分析
通过前一段时间的学习，学生对点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系以及圆的基本性质有了一个大概的了解，尤其是通过垂径定理、四者关系（圆心角、弧、弦、弦心距）定理、圆周角定理、切线的判定定理、切线的性质定理等定理的学习和应用，学生的各种能力已经得到一定的锻炼。因此，本课定理的证明学生不会感到困难，但定理的应用，尤其是复杂的应用，学生将会感到一定的困难。

人教版九年级数学上册24.2.2切线长定理及三角形的内切圆(教案)

举例解释：
(1)对于切线长定理的证明，教师可以采用构造辅助线、利用相似三角形等方法，逐步引导学生理解证明过程，降低难度。
(2)在讲解内切圆半径计算时，可以针对不同类型的三角形，给出具体的计算步骤和方法，让学生通过练习逐步掌握。
(3)针对解决实际问题时思路的拓展，教师可以设置一些具有挑战性的题目，引导学生运用所学知识，培养学生的问题分析和解决能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理及内切圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-解决实际问题的能力培养：通过典型例题，重点训练学生运用切线长定理和内切圆性质解决实际问题的能力。
举例解释：
(1)在讲解切线长定理时，可以通过图形演示和实际测量，让学生直观地理解切线长的概念，并掌握切线长的计算方法。
(2)对于三角形内切圆的性质，通过构造具体的三角形模型，让学生观察内切圆与三角形各边的关系，理解并掌握内切圆半径的计算方法。
2.教学难点
-切线长定理的证明：对于定理的证明过程，学生可能难以理解，需要教师通过直观演示和逐步引导，帮助学生突破这一难点。
-内切圆半径的计算：学生在计算内切圆半径时，可能会对涉及到的几何关系和代数运算感到困惑，需要教师详细讲解并举例说明。
-解决实际问题时思路的拓展：学生在面对复杂的几何问题时，可能会缺乏解题思路，教师需要指导学生如何将问题转化为切线长定理和内切圆性质的应用。
四、教学流程

人教版数学九年级上册24.2.2切线长定理、三角形的内切圆、内心教案

-设计一些综合性的问题，如涉及多边形内切圆的问题，让学生在解决问题中加深对内切圆和内心性质的理解，并学会如何在实际问题中寻找切入点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《切线长定理、三角形的内切圆、内心》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在画图或制作模型时，是否遇到过需要求出某个点到三角形三边的距离？”这个问题与我们将要学习的内切圆的性质密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形内切圆的奥秘。
-三角形内切圆的作法及其性质：学生需要了解内切圆的定义，掌握内切圆的作法，以及内切圆与三角形边、角的关系。
-内心的性质及其应用：学生应掌握内心的定义，理解内心与三角形的关系，并能够利用内心的性质解决几何问题。
举例：
-通过具体图形，演示切线长定理的推导过程，强调定理中的关键点，如切点、切线与半径的关系。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三角形内切圆的基本概念。三角形内切圆是与三角形三边都相切的圆，它能够帮助我们解决与三角形边长和面积相关的问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何利用内切圆的性质来求解三角形的面积，以及它如何简化我们的计算过程。
-以实际操作的方式，让学生动手画出三角形的内切圆，并观察内切圆与三角形边、角的关系，突出内切圆的性质。
2.教学难点
-切线长定理的证明：理解并掌握切线长定理的证明过程对于学生来说是难点，需要教师通过直观演示和逻辑推理相结合的方式进行讲解。
-内切圆与内心的综合应用：在解决具体问题时，学生可能会难以将内切圆和内心的性质与问题相结合，需要教师引导和训练。
2.在教学中，将理论知识与实际问题相结合，能够激发学生的兴趣，提高他们解决实际问题的能力。

人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》教学设计

人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》是九年级数学中的一个重要知识点。

切线长定理是指：圆的切线长等于半径的长度。

这个定理在几何学中有着广泛的应用，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象力有重要作用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对圆的相关概念和性质有所了解。

但是，对于切线长定理的证明和应用，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解切线长定理的证明过程，并通过例题让学生掌握切线长定理的应用。

三. 教学目标1.让学生理解切线长定理的定义和证明过程。

2.培养学生运用切线长定理解决实际问题的能力。

3.提高学生的逻辑思维能力和空间想象力。

四. 教学重难点1.切线长定理的证明过程。

2.切线长定理在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过探究问题来理解切线长定理。

2.使用多媒体课件，直观展示切线长定理的证明过程。

3.通过例题和练习题，让学生巩固切线长定理的应用。

六. 教学准备1.多媒体课件。

2.练习题和测试题。

3.黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些与圆和切线有关的图片，引发学生的兴趣。

然后提出问题：“圆的切线长和半径有什么关系？”让学生思考。

2.呈现（10分钟）讲解切线长定理的定义和证明过程。

首先，解释切线的概念，然后说明切线与半径的关系，最后证明切线长等于半径的长度。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组尝试证明一个圆的切线长等于半径的长度。

每组派代表进行讲解，老师点评并给予指导。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。

题目包括判断题、选择题和解答题，涵盖切线长定理的证明和应用。

5.拓展（10分钟）让学生思考：切线长定理在实际生活中有哪些应用？可以举例说明。

鼓励学生发表自己的观点和想法。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行简要回顾，强调切线长定理的定义和证明过程，以及其在实际问题中的应用。

人教版九年级数学上册学案：24.2.2 第3课时切线长定理

第3课时切线长定理学习目标：1. 理解切线长的定义；2. 掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题。

学习重点：切线长定理的理解学习难点：切线长定理的应用学习过程：一、知识准备：1. 直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？2. 切线的判定和性质是什么？3. 角的平分线的判定和性质是是什么？二、引入新课：过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？三、课内探究：（一）探究切线长的定义：如下图，过⊙O外一点P，画出⊙O的所有切线。

P引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

跟踪训练：判断1. 圆的切线长就圆的切线的长度。

（）2. 过任意一点总可以作圆的两条切线。

（）（三）探究切线长定理：如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线，试指出图中相等的量，并证明。

切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等。

该定理用数学符号语言叙述为：∵ ∴跟踪训练： 1. 如图，⊙O 与△ABC 的边BC 相切，切点为点D ，与AB 、AC 的延长线相切，切点分别为店E 、F ，则图中相等的线段有__________________________ _____________________________。

2. 从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，则从这点到圆的最短距离为________。

3. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB=70°。

则∠P=________。

四、典例解析：例：如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B 两点，PA=PB=4cm ，∠P=40°，C 是劣弧AB 上任意一点，过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 与点D 、E ，试求：（1）△PDE 的周长；（2）∠DOE 的度数。

巩固训练：1.如图，PC 是⊙O 的切线，C 是切点，PO 交⊙O 于点 A ，过点A 的切线交 PC 于点D ，CD ∶DP= 1∶2，AD=2cm ，求⊙O 的半径。

人教版初三数学上册24.2.2.切线长定理教案

《切线长定理》教案茂南中学陈佳莹【教学目标】1)知识目标：1．理解切线长的概念。

2．掌握切线长定理，并能解决一些简单问题。

2)能力目标：通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．3)情感目标：激发学生发现数学探究数学的兴趣，发扬既合作又竞争的精神，养成认真细致、独立思考、严谨开放的学习习惯，树立科学的学习态度。

【教学重点】切线长定理及其应用是教学重点【教学难点】切线长定理的灵活运用是教学难点教学过程设计:一、复习提问1.如图，已知⊙O 的半径O A ⊥直线l 于点A ，则直线l 是⊙O 的2.OA 是⊙O 半径,直线l 切⊙O 于点A ，则OA 与直线l 的位置关系是3．判断：（1）过半径的外端的直线是圆的切线（）（2）与半径垂直的直线是圆的切线（）（3）过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一不可：(1) 直线经过半径的外端；(2)直线与这半径垂直。

二、讲授新知【一】经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？【二】观察、猜想、证明，形成定理1、切线长的概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB的距离叫做点P到⊙O的切线长．引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是切线上一条线段的长，即圆外一点与切点之间的距离，可以度量.即时训练：①过任意一点总可以作圆的两条切线（）②从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。

（）如图，已知AB，BC, AC分别与圆O相切于点D, E, F,则点A到圆O的切线长是线段的长；点B到圆O的切线长是线段的长；点C到圆O的切线是线段的长。

2、观察由学生动手实验和利用PPT来展示点P 位置的变化，观察图形的特征和各量之间的关系．3、猜想引导学生直观判断，猜想图中PA 与PB ，∠OPA 与∠OPB 有什么关系？4、证明猜想，形成定理．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

人教版九年级上册数学学案 24-2-2切线长定理

切线长定理学习目标1知道切线长的概念．会证明切线长定理（重点）2 知道三角形的内切圆和三角形的内心的概念及性质，并能熟练应用．（难点）回顾复习 1 直线与圆有哪几种位置关系？2 回顾切线的性质定理和切线的判定定理新知学习一切线长定理1 在经过圆外一点的圆的两条切线点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的．2 探索：已知PA、PB是⊙O的两条切线．切点为A Ｂ求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB．我们得到切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的相等，这一点和圆心的连线平分的夹角．例1、PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。

（1）写出图中所有的垂直关系（2）写出图中与∠OAC 相等的角（3）写出图中所有的全等三角形（4）写出图中所有的等腰三角形（5）若PA=4、PD=2，求半径OA对应练习 1 PA 、PB 分别切圆O 于A 、B ，并与圆O 的切线，分别相交于C 、D ，已知PA=7cm ，求△PCD 的周长。

知识点二三角形的内切圆（与三角形各边都相切的圆）１回顾复习（1）三角形外接圆的圆心叫做三角形的；（2）三角形的外心是三角形三边的交点；（3）三角形的外心到三角形的的距离相等．２自学课本97页思考填空（1）和三角形各边都相切的圆叫做三角形的，内切圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做圆的．（2）三角形内心是三角形的交点．（3）三角形的内心到三角形的距离相等．（4）三角形的内心都在三角形的．例1．已知：如图，在△ABC 中，BC=14cm ，AC=9cm ，AB=13cm ，它的内切圆分别和BC 、AC 、AB 切于点D 、E 、F ，求AF 、BD 、CE 的长．PB A对应练习在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是内心，求∠BOC的度数．小结本节课的收获是。

布置作业1 在△ABC中，∠A=75°，点O是内心，求∠BOC的度数．2 已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的距离为32厘米，经过点P和⊙O的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长．。

人教版数学九年级上册：24.2.2 直线和圆的位置关系教案(附答案)

24．2.2 直线和圆的位置关系第1课时直线和圆的位置关系教学目标1．理解掌握同一平面内的直线与圆的三种位置关系．2．理解记忆割线、切线、切点等概念．3．能根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，准确判断出直线与圆的位置关系．预习反馈阅读教材P95～96，完成下列知识探究．1．直线和圆有两个公共点时，直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．2．直线和圆只有一个公共点时，直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．3．直线和圆没有公共点时，直线和圆相离．4．设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则有：直线l 和⊙O 相交⇔d ＜r ；直线l 和⊙O 相切⇔d ＝r ；直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ．例题讲解例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4 cm ，BC ＝2 cm ，以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有何种位置关系？请你写出判断过程．(1)r ＝1.5 cm ；(2)r ＝ 3 cm ；(3)r ＝2 cm.【解答】过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D.∵AB ＝4 cm ，BC ＝2 cm ，∴AC ＝2 3 cm.又∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12BC ·AC ，∴CD ＝BC ·AC AB ＝ 3 cm. (1)r ＝1.5 cm 时，相离；(2)r ＝ 3 cm 时，相切；(3)r ＝2 cm 时，相交．【跟踪训练1】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆．当r 满足0<r<125__cm 时，⊙C 与直线AB 相离；当r 满足r ＝125__cm 时，⊙C 与直线AB 相切；当r 满足r>125__cm 时，⊙C 与直线AB 相交．【跟踪训练2】已知⊙O 的半径为5 cm ，圆心O 到直线a 的距离为3 cm ，则⊙O 与直线a 的位置关系是相交．直线a 与⊙O 的公共点个数是2．例2 已知⊙O 的半径是3 cm ，直线l 上有一点P 到O 的距离为3 cm ，试确定直线l 和⊙O 的位置关系．【解答】相交或相切．【跟踪训练2】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，若以C 为圆心，r 为半径的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是多少？【点拨】分相切和相交两类讨论．解：r ＝2.4或3<r ≤4.巩固训练1．已知⊙O 的半径为5，直线l 是⊙O 的切线，则点O 到直线l 的距离是(C)A ．2.5B ．3C ．5D ．102．已知OA平分∠BOC，P是OA上任意的一点．若以点P为圆心的圆与OC相离，则⊙P 与OB的位置关系是(B)A．相切B．相离C．相交 D．相离或相切3．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以点A为圆心，4为半径作⊙A，则BC与⊙A的位置关系是(C)A．相交 B．相离C．相切 D．不确定4．已知∠AOB＝30°，M为OB上的一点，且OM＝5 cm，以M为圆心，r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？(1)r＝2 cm；(2)r＝4 cm；(3)r＝2.5 cm.解：圆心M到OA的距离d＝0.5OM＝0.5×5＝2.5(cm)．(1)r＝2 cm时，d>r，直线OA与⊙M相离；(2)r＝4 cm时，d<r，直线OA与⊙M相交；(3)r＝2.5 cm时，d＝r，直线OA与⊙M相切．第2课时切线的判定和性质教学目标1．探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系．2．能判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．预习反馈阅读教材P97～98，完成下列问题．1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2．切线的性质：①切线和圆只有一个公共点；②切线到圆心的距离等于半径；③圆的切线垂直于过切点的半径．3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，那么半径垂直于切线．例题讲解例(教材P98例1)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，求证：AC是⊙O的切线．【解答】证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB.又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线．∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与⊙O相切．【方法归纳】在解决有关圆的切线问题时，常常需要作过切点的半径．【跟踪训练】如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，C 为BE ︵的中点，过点C 作直线CD ⊥AE 于D ，连接AC.试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．解：直线CD 与⊙O 相切，理由：连接OC.∵C 为BE ︵的中点，∴BC ︵＝CE ︵.∴∠DAC ＝∠BAC.∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠OCA.∴∠DAC ＝∠OCA.∴OC ∥AD.∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD.又∵OC 为⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．巩固训练1．在正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上的任意一点(不包含端点)，以P 为圆心的圆与AB 相切，则AD 与⊙P 的位置关系是(B)A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定2．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，AC 是过点A 的一条直线，如果∠AOB ＝120°，那么当∠CAB 的度数等于60°时，AC 才能成为⊙O 的切线．第2题图第3题图3．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于C.若∠A ＝25°，则∠D ＝40°．4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点E ，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为F ，连接DE.求证：直线DF 与⊙O 相切．证明：连接OD.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠C.∴∠ODC ＝∠B.∴OD ∥AB.∵DF ⊥AB ，∴OD ⊥DF.又∵点D 在⊙O 上，∴直线DF与⊙O相切．课堂小结1．有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径；2．“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切．①当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；②当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．第3课时切线长定理教学目标1．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题．2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．预习反馈阅读教材P99～100，完成下列知识探究．1．经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长．图中的切线长为PA，PB．2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，图中相等的线段有PA，PB，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，图中相等的角为∠APO＝∠BPO．3．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．4．三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，它到三边的距离相等．例题讲解例(教材P100例2)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13.求AF，BD，CE的长．【解答】设AF＝x，则AE＝x，CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x.由BD＋CD＝BC，可得(13－x)＋(9－x)＝14.解得x＝4.因此AF＝4，BD＝5，CE＝9.【跟踪训练】如图，已知⊙O是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆，切点分别为D，E，F.(1)求证：四边形ODCE 是正方形；(2)设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，求⊙O 的半径r.解：(1)证明：∵BC ，AC 分别与⊙O 相切于D ，E ，∴∠ODC ＝∠OEC ＝∠C ＝90°.∴四边形ODCE 为矩形．又∵OE ＝OD ，∴矩形ODCE 是正方形．(2)由(1)得CD ＝CE ＝r ，∴a ＋b ＝BD ＋AE ＋2r ＝BF ＋AF ＋2r ＝c ＋2r ，解得r ＝a ＋b －c 2. 巩固训练1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则△ABC 的内切圆半径r ＝2．第1题图第2题图第3题图2．如图，AD ，DC ，BC 都与⊙O 相切，且AD ∥BC ，则∠DOC ＝90°．3．如图，点O 为△ABC 的外心，点I 为△ABC 的内心．若∠BOC ＝140°，则∠BIC ＝125°．4．如图，△ABC 切⊙O 于D ，E ，F 三点，内切圆⊙O 的半径为1，∠C ＝60°，AB ＝5，则△ABC 的周长为课堂小结1．切线长定理． 2．三角形的内切圆及内心． 3．直角三角形内切圆半径公式．。

人教版九年级上册数学教案： 24.2.2切线长定理

杭后六中九年级数学科目课堂教学设计
教师引导：如图，连接AB①写出图中所有的垂直关系；②写出图中所有的全等三角形；③写出图中所有的等腰三角形。

（3分钟）
学生展讲
探究（2）掌握三角形的内切圆及内心的概念，会做三角形的内切圆（5分钟）如图，是一块三角形的铁皮，如何在它
上面截下一块圆形的用料，并且使截下
来的圆与三角形的三条边都相切？
（提示：假设符合条件的圆已经做出，那么它应当与三角形的三条边都相切，这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径。

如何找到这个圆心呢？）
并得出结论：
与三角形各边都的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条的交点，叫做三角形的内心。

家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。

我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。

学生活动请同学们先在草稿本中作出三角形的内切圆，并总结做法。

人教版九年级上册数学导学案：24.2.2切线长定理

切线长定理导教案学习目标 :认识切线长的观点 ,掌握切线长定理并能应用 .学习过程 :一.自主学习自学课本 93 页,解决以下问题 :1. 如图 :从圆外一点 P 作圆 O 的切线 ,能够作条.并画出切线 .2.什么叫切线长 ?3.如上图指出点 P 到圆 O 的切线长O4.切线和切线长有什么差别 ?二.导学沟通：合作研究切线长定理如图， PA、PB 为⊙O 的两条切线，切点分别为A、B猜想 : PA、PB 有何关系？∠APO 和∠ BPO 有何关系？证明 :概括切线长定理：文字语言：A符号语言：三．当堂检测：O1，如下图， PA，PB 是⊙ O 的切线，且∠ APB=40°，以下说法不正确的选项是（）BA．PA=PB B．∠ APO=20° C．∠ OBP=70° D．∠ AOP=70°1题2题3题PP P2，如图，PA、PB 是⊙ O 的两条切线， A 、B 是切点，若∠ APB=60°，PO=2，则⊙ O 的半径等于 ______．3．如图，从圆 O 外一点 P 引圆 O 的两条切线 PA，PB，切点分别为A，B．假如∠ APB=60°，PA=8，那么弦 AB 的长是（）C． 4D． 8家庭是少儿语言活动的课本、报刊重要环境，杂志中的成为了与家长语、名言警配合做好幼句等俯首皆A．4B．8儿阅读训练是,但学生写工作，孩子作文运用到一入园就召文章中的甚开家长会，少,即便运用给家长提出也很难做到初期抓好幼恰到好处。

儿阅读的要为何?还求。

我把幼是没有完全儿在园里的“记死”的缘阅读活动及故。

要解决阅读状况及这个问题,方时传达给家法很简单,每长，要求孩天花3-5分子回家向家钟左右的时长朗读儿间记一条成歌，表演故语、一则名事。

我和家言警语即长共同配可。

能够写合，一道训在后黑板的练，少儿的“累积专栏”阅读能力提上每天一换,高很快。

能够在每天课前的 3分钟让学生轮流解说 ,也可让学生个人收集 ,每天往笔录本上抄写,教师按期检查等等。

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切线长定理
学习目标
1知道切线长的概念．会证明切线长定理（重点）
2 知道三角形的内切圆和三角形的内心的概念及性质，并能熟练应用．（难点）
回顾复习 1 直线与圆有哪几种位置关系？
2 回顾切线的性质定理和切线的判定定理
新知学习
一切线长定理
1 在经过圆外一点的圆的两条切线
点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的．
2 探索：已知PA、PB是⊙O的两条切线．切点为A Ｂ
求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB．
我们得到切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的相等，这一点和圆心的连线平分的夹角．
例1、PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。

（1）写出图中所有的垂直关系
（2）写出图中与∠OAC相等的角
（3）写出图中所有的全等三角形
（4）写出图中所有的等腰三角形
（5）若PA=4、PD=2，求半径OA
对应练习 1 PA 、PB 分别切圆O 于A 、B ，并与圆O 的切线，分别相交于C 、D ，已知PA=7cm ，求△PCD 的周长。

知识点二三角形的内切圆（与三角形各边都相切的圆）
１回顾复习
（1）三角形外接圆的圆心叫做三角形的；
（2）三角形的外心是三角形三边的交点；
（3）三角形的外心到三角形的的距离相等．
２自学课本97页思考填空
（1）和三角形各边都相切的圆叫做三角形的，内切圆的圆心叫做三角形
的，这个三角形叫做圆的．
（2）三角形内心是三角形的交点．
（3）三角形的内心到三角形的距离相等．
（4）三角形的内心都在三角形的．
例1．已知：如图，在△ABC 中，BC=14cm ，AC=9cm ，AB=13cm ，它的内切圆分别和BC 、AC 、AB 切于点D 、E 、F ，求AF 、BD 、CE 的长．
对应练习在△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O 是内心，求∠BOC 的度数．
小结本节课的收获是。

P
B A
布置作业
1 在△ABC中，∠A=75°，点O是内心，求∠BOC的度数．
2 已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的距离为32厘米，经过点P和⊙O的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长．。