直线的参数方程 (3)
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r
（x,
y)
(
x0
y0
)
(x x0, y
y0 )
设re是直线l的单位方向向量，则
e (cos,sin )
y
M(x,y)
er(cos , sin )
uuuuuur r
因为uuuMuuu0rM
// e,所以存在实数t r
R,
使M0M te,即
M0(x0,y0)
(x x0, y y0) t(cos,sin)
参数t的几何意义吗？
uuuuuur r uuuuuur r
解: Q M0M te M0M te
r
r
y
又Q e是单位向量， e 1
M
uuuuuur r
M0M t e t
M0
r
所以,直线参数方程中参
e
数t的绝对值等于直线上 动点M到定点M0的距离.
O
x
|t|=|M0M|
uuuuuur r Q M0M te
•t只有在标准式中才有上述几何意义
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参 数值分别为t1,t2.
（1）|AB|＝t1 t2
（2）M是AB的中点，求M对应的参
t1 t2 2
小结:
1.直线参数方程的标准式
x=x0
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
|t|=|M0M|
2.参数直线方程的应用
直线的参数方程
课题引入
1. 在平面直角坐标系中，确定一条直线的几 何条件是什么？
一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线
3. 根据直线的这个几何条件，你认为应当怎 样选择参数？
直线的参数方程 的推导
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
在直线上任取一点M(x,y),则
uuuuuur
M
0
M
此时,若t>0,则 M0M 的方向向上;
若t<0,则 M0M 的点方向向下; 若t=0,则M与点M0重合.
y M(x,y)
r M0(x0,y0) e
O
x
解
：
由
x y
y x2
1
如0 果得在：x学2 习x 直1 线0 的参(数*) 方程之前,你会怎样
由韦达求定解理得本：题x1呢 x？2 1，x1 x2 1
2
2
2
2
3 5 3 5 4 2
（1）如何写出直线l的参数方程？
（2）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2 ?
（3）
AB、MA
MB
与t1，t
有什么关系？
2
···· y
B A M（x，y）
M0（x0，y0）
x
y
x0 y0
t cos t sin
(t是参数）
O
x
•t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M|
（1）
直
线
x y
3 t sin20（0 t为 t cos 200
参
数
）
的
倾
斜
角
是
（B）
A.200 B.700 C .1100 D.1600
（2） 直 线x
y
1
x 1
0的
一
个
参
数
方
程
是
ຫໍສະໝຸດ Baidu
y
2 2
2
t
2 （t为参数）
t
。
uuuuuur r 由M0M te, 你能得到直线l的参数方程中
AB 1 k2 ( x1 x2 )2 4x1 x2 2 5 10
由(*)解得：x1
1 2
5 ，x2
1 2
5
y1
3 2
5 ，y2
3 2
5
记直线与抛物线的交点坐标A( 1 5 , 3 5 )，B( 1 5 , 3 5 )
2
2
2
2
则 MA MB (1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2
O
x
x x0 t cos, y y0 t sin
即，x x0 t cos, y y0 t sin
直线的参数方程(标准式）
直
线
的
参
数
方
程xy
x0 y0
t t
cos sin
(t为
参
数)
思考：
（1）直线的参数方程中哪些是常量？哪些是变量？ （2）参数t的取值范围是什么？ （3）该参数方程形式上有什么特点？
求（线段）弦长
作业：
书面作业：习题2.3 第1题
课后思考：结合课本第26页习题第2题，思考：直线的 参数方程唯一吗？和本节课所学的参数方程
x=x0
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
对比要注意什么？参数t的意义还一样吗？
（x,
y)
(
x0
y0
)
(x x0, y
y0 )
设re是直线l的单位方向向量，则
e (cos,sin )
y
M(x,y)
er(cos , sin )
uuuuuur r
因为uuuMuuu0rM
// e,所以存在实数t r
R,
使M0M te,即
M0(x0,y0)
(x x0, y y0) t(cos,sin)
参数t的几何意义吗？
uuuuuur r uuuuuur r
解: Q M0M te M0M te
r
r
y
又Q e是单位向量， e 1
M
uuuuuur r
M0M t e t
M0
r
所以,直线参数方程中参
e
数t的绝对值等于直线上 动点M到定点M0的距离.
O
x
|t|=|M0M|
uuuuuur r Q M0M te
•t只有在标准式中才有上述几何意义
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参 数值分别为t1,t2.
（1）|AB|＝t1 t2
（2）M是AB的中点，求M对应的参
t1 t2 2
小结:
1.直线参数方程的标准式
x=x0
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
|t|=|M0M|
2.参数直线方程的应用
直线的参数方程
课题引入
1. 在平面直角坐标系中，确定一条直线的几 何条件是什么？
一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线
3. 根据直线的这个几何条件，你认为应当怎 样选择参数？
直线的参数方程 的推导
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
在直线上任取一点M(x,y),则
uuuuuur
M
0
M
此时,若t>0,则 M0M 的方向向上;
若t<0,则 M0M 的点方向向下; 若t=0,则M与点M0重合.
y M(x,y)
r M0(x0,y0) e
O
x
解
：
由
x y
y x2
1
如0 果得在：x学2 习x 直1 线0 的参(数*) 方程之前,你会怎样
由韦达求定解理得本：题x1呢 x？2 1，x1 x2 1
2
2
2
2
3 5 3 5 4 2
（1）如何写出直线l的参数方程？
（2）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2 ?
（3）
AB、MA
MB
与t1，t
有什么关系？
2
···· y
B A M（x，y）
M0（x0，y0）
x
y
x0 y0
t cos t sin
(t是参数）
O
x
•t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M|
（1）
直
线
x y
3 t sin20（0 t为 t cos 200
参
数
）
的
倾
斜
角
是
（B）
A.200 B.700 C .1100 D.1600
（2） 直 线x
y
1
x 1
0的
一
个
参
数
方
程
是
ຫໍສະໝຸດ Baidu
y
2 2
2
t
2 （t为参数）
t
。
uuuuuur r 由M0M te, 你能得到直线l的参数方程中
AB 1 k2 ( x1 x2 )2 4x1 x2 2 5 10
由(*)解得：x1
1 2
5 ，x2
1 2
5
y1
3 2
5 ，y2
3 2
5
记直线与抛物线的交点坐标A( 1 5 , 3 5 )，B( 1 5 , 3 5 )
2
2
2
2
则 MA MB (1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2
O
x
x x0 t cos, y y0 t sin
即，x x0 t cos, y y0 t sin
直线的参数方程(标准式）
直
线
的
参
数
方
程xy
x0 y0
t t
cos sin
(t为
参
数)
思考：
（1）直线的参数方程中哪些是常量？哪些是变量？ （2）参数t的取值范围是什么？ （3）该参数方程形式上有什么特点？
求（线段）弦长
作业：
书面作业：习题2.3 第1题
课后思考：结合课本第26页习题第2题，思考：直线的 参数方程唯一吗？和本节课所学的参数方程
x=x0
y
y0
t cos t sin
(t是参数）
对比要注意什么？参数t的意义还一样吗？