常见函数单调性
函数的基本性质及常用结论
函数的基本性质及常用结论一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。
定义：（略）定理1：[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数. 定理2：（导数法确定单调区间） 若[]b a x ,∈，那么()[]b a x f x f ,)(0在⇔>'上是增函数； ()[]b a x f x f ,)(0在⇔<'上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。
3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：(1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同，②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定； (2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么：①1()()()F x f x g x =+、②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠、5()()(()0)()g x F x f x f x =≠的增减性不能确定；③3()()()F x f x g x =-为增函数。
函数的单调性及单调区间
函数的单调性及单调区间1．函数的单调性及单调区间【知识点的认识】一般地，设函数f （x ）的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2， 当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是增函数；当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是减函数．若函数f （x ）在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f （x ）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y ＝f （x ）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，那么①f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0⇔f （x ）在[a ，b ]上是增函数；f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0⇔f （x ）在[a ，b ]上是减函数．②（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0⇔f （x ）在[a ，b ]上是增函数；（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0⇔f （x ）在[a ，b ]上是减函数．函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．。
单调性总结
1.常见函数的单调性：（1）一元一次函数：)0(≠+=a b ax y ，当0>a 时，是增函数；当0<a 时，是减函数；（2）一元二次函数：一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ；对称轴方程是x=-a b 2；顶点为（-a b 2，a b ac 442-）； 两点式：))((21x x x x a y --=；对称轴方程是x=221x x +与x 轴交点（x 1，0）（x 2，0）； 顶点式：h k x a y +-=2)(；对称轴方程是x=k ；顶点为（k ，h ）；①一元二次函数的单调性： 当0>a 时：(-+∞,2a b ）为增函数；（-a b 2,-∞）为减函数； 当0<a 时：（-a b 2,-∞）为增函数；(-+∞,2ab ）为减函数； （3）反比例函数：)0(≠=x x a y ⇒bx c a y -+= )0(>+=k x k x y 的图象：定义域：{x|x 0≠}；值域：(][)∞+⋃-∞-,22,k k ； 奇偶性：奇函数； 单调性：(][)+∞-∞-,,,k k 是增函数；(][)0,,,0k k -是减函数。
（4）形如求y ＝cx ＋d ax ＋b(ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解． 定义的变式 设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. 3. 复合函数的单调性讨论函数y ＝f ［g(x)］的单调性时要注意两点：(1) 若u ＝g(x)，y ＝f （u ）在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y ＝f ［g(x)］为增函数；(2) 单调性的单调区间不能用“∪”连接.4. 单调函数的运算性质若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定义容易证得，在个区间上：(1)函数f(x)与f(x)+C(C 为常数)具有相同的单调性.(2)C ＞0时，函数f(x)与C·f(x)具有相同的单调性；C ＜0时，函数f(x)与C·f(x)具有相反的单调性.(3)若f(x)≠0，则函数f(x)与)(1x f 具有相反的单调性. 5.二次函数在闭区间上的最值一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
函数单调性判断方法
，0上是减函数。
C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)[小结](1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．(3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量x 1，x 2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量．题型二、分段函数单调性判断及应用使用情景：分段函数的单调性问题解题模板：第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步 根据常见函数的单调性，分别计算每段函数的单调性；第三步 满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）；第四步 得出结论.【例1】 已知函数()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是 （ ） A ．()1,2 B ．(][),12,-∞+∞ C ．[]1,2 D ．()(),12,-∞+∞+∞+∞ D(2,) (1,)【变式练习3】已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是[小结] 1、最值问题使用情景：分段函数的最值问题解题模板：第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步 根据常见函数的最值，分别计算每段函数的最值；第三步 满足函数在整个区间上的最值，即比较每段函数的最值大小，谁最大谁是最大值，谁最小谁是最小值；第四步 得出结论.2、单调性问题其一是分段函数在每一个区间上的增函数（或减函数）与整体函数相同；其二是满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）.题型三、抽象函数的单调性【例1】已知奇函数()f x 的定义域为[]2,2-，且在[]2,0-内递减，求满足：2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围．【例2】定义在上的偶函数满足：，在区间与上分别递增和递减，则不等式的解集为 ．【变式练习1】设奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-.当[1,1]x ∈-时，函数2()21f x t at ≤-+，对一切[1,1]a ∈-恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A.22t -≤≤B.2t ≤-或2t ≥C.0t ≤或2t ≥D.2t ≤-或2t ≥或0t =【变式练习2】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 足1(2)(2)a f f ->-，则a 的取值范围是______[小结]不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有： (1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效． (2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．题型四、函数单调性判断方法（性质）的应用函数单调性的性质：(1)若f (x )，g (x )均为区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≠0)与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )单调性相反；(4)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≥0)与y ＝f (x )单调性相同；(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反． 【常见判断方法】方法一 定义法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 取值定大小：设任意，且； 第二步 作差：；第三步 变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）； 第四步 定符号； 第五步 得出结论. 【例1】 判断并证明：21()1f x x =+在(,0)-∞上的单调性．12,x x D ∈12x x <12()()f x f x -x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)[方法技巧]用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略(1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(2)有时，在不等式一边没有符号“f ”时，需转化为含符号“f ”的形式．如若已知f (a )＝0，f (x －b )<0，则f (x －b )<f (a )．应用(三) 求参数的取值范围[例5] (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)[易错提醒](1)若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的．(2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．【变式练习3】1．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)2．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( ) A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )3．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则满足f log 19x >0的x 的集合为________．随堂检测1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．2．讨论函数f (x )＝x ＋a x(a >0)的单调性．。
函数的单调性求函数的最值
函数的单调性与最值复习：按照列表、描点、连线等步骤画出函数2x y =的图像.图像在y 轴的右侧部分是上升的，当在区间[0，+∞)上取值时，随着x 的增大,相应的y 值也随着增大，如果取21,x x ∈[0，+∞)，得到11()y f x =,2()y f x =,那么当1x <2x 时，有1y <2y .这时就说函数y =2()f x x =在[0,+ ∞)上是增函数.图像在y 轴的左侧部分是下降的，当x 在区间[0，+∞)上取值时，随着x 的增大,相应的y 值反而随着减小，如果取21,x x ∈[0，+∞)，得到11()y f x =,2()y f x =,那么当1x <2x 时，有12y y <。
这时就说函数y =2()f x x =在[0,+ ∞)上是减函数.1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间．注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性； （2）注意区间上所取两点x 1,x 2的任意性；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。
（4）若函数()f x 在其定义的两个区间A 、B 上都是单调增（减）函数，一般不能认简单地认为()f x 在区间A B U 上是增（减）函数. 例如1()f x x=在区间(,0)-∞上是减函数，在区间(0,)+∞上也是减函数，但不能说它在定义域(,0)(0,)-∞+∞U 上是减函数.（3）用定义法判断函数的单调性：①定义域取值；任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ②作差；作差f (x 1)－f (x 2)； ③变形；通常是因式分解和配方； ④定符号；即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负⑤下结论．指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性例1 证明函数xx f 1)(=在(0,+∞)上是减函数. 证明：设1x ,2x 是(0,+∞)上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(0,+ ∞)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即)(1x f > )(2x f ∴xx f 1)(=在(0,+ ∞)上是减函数.练习：讨论函数21)(x x f -=在[-1,0]的单调性.在[-1,0]上任取x 1,x 2且x 1<x 2则2111)(x x f -=,2221)(x x f -= 从而)(1x f -2221211)(x x x f ---== 2221222111)1()1(xx x x -+----=222112122221212211))((11xx x x x x xx x x -+--+=-+--∵21x x < ∴012>-x x 另外，恒有0112221>+++x x∵-1≤x 1<x 2≤0 则 x 1+x 2<0 则)(1x f -0)(2<x f )(1x f <)(2x f ∴ 在[-1，0]上f (x )为增函数2.基本函数的单调性例：讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)的单调性.解：∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴a x = ∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)是增函数；若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)是减函数,在[a,2]是增函数 若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)是减函数.3.判断函数的单调性的常见结论①设任意x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1＜x 2，那么()()210f x f x ->⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；()()210f x f x -<⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②设任意x 1，x 2∈[a ，b ]，那么()()21210f x f x x x ->-⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； ()()21210f x f x x x -<-⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．③ (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．例：求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间.4. 关于分段函数的单调性(1)若函数()()[]()[],,,,g x x a b f x h x x c d ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩,()g x 在区间[],a b 上是增函数, ()h x 在区间[],c d 上是增函数,则()f x 在区间[][],,a b c d U 上不一定是增函数,若使得()f x 在区间[][],,a b c d U 上一定是增函数,需补充条件: ()()g b h c ≤(2)若函数()()[]()[],,,,g x x a b f x h x x c d ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩,()g x 在区间[],a b 上是减函数, ()h x 在区间[],c d 上是减函数,则()f x 在区间[][],,a b c d U 上不一定是减函数,若使得()f x 在区间[][],,a b c d U 上一定是减函数,需补充条件: ()()g b h c ≥例：已知函数()(0)(3)4(0)x a x f x a x a x ⎧<⎨-+≥⎩＝若对任意x 1，x 2，都有()()21210f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值围是( )A ．(0,14] B ．(0,1) C ．[14,1) D ．(0,3)5．函数的最值例：f(x)＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为__________；f(x)max ＝________.6.利用函数的单调性求最值例题：已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明:令0x y ==,则(0)0f =;再令y x =-,则应有()()f x f x -=-,从而在R 上任取12x x >,则121212()()()()()f x f x f x f x f x x -=+-=-.1212,0.x x x x >∴->Q 又0x >Q 时,()0f x <,从而12()0f x x -<,即12()()f x f x <,由定义可知函数()f x 在R 上的减函数.(2)Q 函数()f x 是R 上的减函数,()f x ∴在区间[3,3]-上也是减函数.从而可知在区间[3,3]-上,(3)f -最大,(3)f 最小.2(3)(2)(1)(1)(1)(1)3(1)3()2,3f f f f f f f =+=++==⨯-=-Q (3)(3) 2.f f ∴-=-=即()f x 在[3,3]-上的最大值为2,最小值为－2.练习：已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f (yx)＝f (x )－f (y ).，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值；（2）判断f(x)的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.（1）f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。
高中数学知识点：基本初等函数的单调性
第 1 页 共 1 页 高中数学知识点：基本初等函数的单调性
1．正比例函数(0)y kx k =≠
当k>0时，函数y kx =在定义域R 是增函数；当k<0时，函数y kx =在定义域R 是减函数.
2．一次函数(0)y kx b k =+≠
当k>0时，函数y kx b =+在定义域R 是增函数；当k<0时，函数y kx b =+在定义域R 是减函数.
3．反比例函数(0)k y k x =≠
当0k >时，函数k y x =的单调递减区间是()(),0,0,-∞+∞，不存在单调增区间；
当0k <时，函数k y x
=的单调递增区间是()(),0,0,-∞+∞，不存在单调减区间.
4．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠
若a>0，在区间(]2b a -∞-
，，函数是减函数；在区间[)2b a -∞，+，函数是增函数；
若a<0，在区间(]2b a -∞-
，，函数是增函数；在区间[)2b a -∞，+，函数是减函数．。
函数的单调性、奇偶性、周期性
函数的单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性 1．增函数定义设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调增函数．I 称为y=f(x)的单调增区间。
2、减函数定义：设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1) >f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调减函数．I 称为y=f(x)的单调减区间。
注意：（1）函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； （2）必须是对于区间I 内自变量x 的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)（或f(x 1) >f(x 2)），才能说函数y=f(x) 在区间I 上具有单调增减性。
（3）判断函数的单调性：一利用定义，二利用函数的图象，三是利用导数。
（4）利用函数的图象分别指出： 一次函数y=kx+b 、 反比例函数y= kx(k ≠0)、二次函数y=a x 2+bx+c 的单调区间(5) 定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.(6)、利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：① 任取x 1，x 2∈I ，且x 1<x 2； ② 作差f(x 1)－f(x 2)；③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间I 上的单调性）． （7）函数单调性的判定：（1）图象法；（2）定义法 （3导数法） 二、复合函数))((x g f y =单调性的判断：对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性， 当),(b a x ∈ ，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性， 则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同得增，异得减”或“同增异减”.三、单调性的有关结论：1．若f(x), g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x) 函数； 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为 ；3．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。
函数单调性常见类型
函数的单调性题型一 判断、讨论、证明函数的单调性1判断函数y=x-x 1在其定义域上的单调性。
2讨论并证明y=x+x 1在定义域上的单调性。
3定义在R 上的函数f （x ）对任意不相等实数a ，b 总有()()ba b f a f -->0成立，则必有 A 、函数f （x ）是先增加后减小B 、函数f （x ）是先减小后增加C 、f （x ）在R 上是增函数D 、f （x ）在R 上是减函数 4已知b x k x f ++=)12()(在实数R 是减函数，则k 的取值范围为（ ）5已知函数),0(,)(2+∞∈++=x c bx x x f 是单调函数，则实数b 的取值范围为（ ） .0.≥b A 0.≤b B 0.>b C 0,<b D6已知2)1(2)(2+--=x a x x f 在]4,(-∞上是减函数，求实数a 的取值范围。
题型二 抽象函数的单调性 1、已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数，且f(x-2)<f(1-x), 求x 的取值范围.2 、f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f （x ）>f （8（x —2））的解集是A 、（2，716）B 、（—∞，716）C 、（2，+∞）D 、（2，716）题型三 用图形讨论函数单调性1函数y=|x —3|—|x+1|的单调递减区间是 。
2画出函数223.y x x =-++的图像，并指出函数的单调区间3画出函数y=|x|的图像，并判断其单调性。
4画出函数y=|x 2+2x-1|的图像，并指出其在R 上的单调性。
题型四 基本初等函数的单调性问题1.设函数243,[1,4]y x x x =-+∈，则()f x 的最小值和最大值为（ ）A.-1 ，3B.0 ，3C.-1，4D.-2，02．函数f （x ）=—x 2+2（a —1）x+2在（—∞，4）上是增函数，则a 的范围是A 、a ≥5B 、a ≥3C 、a ≤3D 、a ≤—53.已知22(2)5y ax a x =+-+在区间(4,)+∞上是减函数，则a 的范围是（ ） A.25a ≤ B.25a ≥ C.25a ≥或0a = D.0a ≤ 3.若函数242--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为[]2,6--，则m 的取值范围是（ ）A 、(]4,0B 、[]4,2C 、(]2,0D 、()4,2 4.函数32++=bx ax y 在(]1,-∞-上是增函数，在[)+∞-,1上是减函数，则（ ）A 、00<>a b 且B 、02<=a bC 、02>=a bD 、的符号不确定b a ,5.已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是 A (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B (1,2)- C (2,1)- D (,2)(1,)-∞-⋃+∞7.已知函数(21)32f x x +=+，且()4f a =，则a =_____________8.函数]1,1[)20(32-<<++=在a ax x y 上的最大值是 ，最小值是 . 9.函数222(03)()6(20)x x x f x x x x ⎧-<≤=⎨+-≤≤⎩的值域为_______________________ 10.函数212+=x y 的值域为______________________. 11．已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]上有最大值5和最小值2，则a 、b 的值是题型五 解答题1.已知函数y =(0)a <在区间(,1]-∞上有意义，求实数a 的取值范围.2.二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且1)0(=f .（1）求)(x f 的解析式；（2）在区间[]1,1-上，)(x f y =的图象恒在直线m x y +=2上方，试确定实数m 的取值范围.3.已知函数2,(1),()2,(11),2,(1).x x f x x x x ≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩4.已知函数2()(2)f x x a x b =+++满足2)1(-=-f ；（1）若方程()=2f x x 有唯一的解；求实数b a ,的值；（2）若函数()f x 在区间[]-22，上不是单调函数，求实数a 的取值范围5.已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==。
高中数学常见基本初等函数单调性汇总表
定义域
增区间
减区间
对数函数
定义域
增区间
减区间
定义域
增区间
减区间
正弦函数
定义域
增区间
减区间
余弦函数
定义域
增区间
减区间
正切函数
定义域
增区间
减区间
高中数学常见基本初等函数的单调性汇总表—1
函数类型
图象
单调性
一次函数
定义域
增区间
减区间
定义域
增区间
减区间
二次函数
定义域
增区间
减区间
定义域
增区间
减区间
反比例型函数
定义域
增区间
减区间
定义域
增区间
减区间
对勾数
定义域
增区间
减区间
高中数学常见基本初等函数的单调性汇总表—2
函数类型
图象
单调性
指数函数
定义域
增区间
函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）
函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称⾮奇⾮偶例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数常⽤性质：1．0)(=x f 是既奇⼜偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满⾜)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满⾜：（1）奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=⾮奇⾮偶（2）奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成⼀个奇函数2)()()(x f x f x --=和⼀个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应⽤：（⼀）常⽤定义法来证明⼀个函数的单调性⼀般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（⼆）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常⽤结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）⼀般地对于函数内⼀切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在⼀个最⼩正数，就把这个最⼩正数叫最⼩正周期。
高三数学函数的单调性
一次式：直线看端点
变：设函数 y=x2+(t-2)x-t+1,t在 区间[-2,2）上变动时，y恒为正 值，试求x 的取值范围。
例2、函数f(x)=x2+2(a－1)x+2在区 间(-∞，4］上是减函数，则a的取 值范围是（ ） A.a≥－3 C.a≤5 B.a≤－3 D.a≥3
若函数
f(x)＝(m－1)x2+mx+3(x∈R)是 偶函数，则f(x)的单调增区间是＿ ＿。
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
05《函数的单调性》
一、常见函数的单调性： ①y=kx+b ②y=ax2+bx+c(a≠0) ③y=k/x x x ④y=a ⑤y=loga √ ⑥y=sinx ⑦y=cosx ⑧y=tanx
√ 重要函数： 3 ⑨y=x ⑩y=x+a/x(a>0)
例1：若不等式mx＞m－1对任意 x∈［-1,1］总成立，则m的取值 范围是＿＿。
变 2 ：定义在R上的函数f(x)满足 f(2－x)=f(x)，且f(x)在(1，＋∞)上 是增函数，设a=f(0), b=f(log21/4), c=f(lgπ/3)，则a、b、c从小到大次 序应为_____.
数形结合 把自变量化到同一单调 区间
变 3：
1、(1)若奇函数f(x)在定义域(-1,1) 上是减函数，求满足f(1-m)+f(1m2)<0的实数 m的取值范围
咱对手或许十分强大,不排除会偷摸来泄恨,咱亦有可能来不及救援丶""三,去咱南风城,咱自会保你尤家,最后壹条,就是你们举亭搬迁,离开天海城系城,未来如何,咱没有能力管丶"根汉淡淡道,语气没有丝毫波澜,似乎在讲述壹件事不关己の事情,接着他又补充道："你们不
函数单调性的判断与证明例题讲解
点评 事实上,函数 y x3 与函数 y x 在 R 上均为增函数,根据函数单调性的运算性质,函
数 f x x3 x 在 R 上也是增函数.
函数 y x3 的图象如下图所示.
y fx = x3
2
1
–2 –1 O –1 –2
1
2x
例 2.利用函数单调性的定义,证明函数 f x x 在区间 0, 上是增函数. 证明:任取 x1, x2 0, ,且 x1 x2 ,则有 f x1 f x2 x1 x2
当 x1, x2 0, a 时, x1x2 a 0 ,此时 f x1 f x2 0, f x1 f x2 . ∴函数 f x在 0, a 上为减函数;
函数单调性的判断与证明例题讲解 第 6 页
当 x1, x2 a , 时, x1x2 a 0 ,此时 f x1 f x2 0 , f x1 f x2 . ∴函数 f x 在 a, 上为增函数. 同理可证:函数 f x 在 a,0 为减函数,在 , a 上为增函数. 综上所述,函数 f x在 0, a 和 a,0 上为减函数,在 a, 和 , a 上为
x2 ,
f
x1
x1
f x2
x2
0;
任取 x1, x2 a,b,且 x1 x2 , x1 x2 f x1 f x2 0 ;
任取 x1 , x2
a,b,且 x1
x2 ,
f
x1
x1
x2
f x2
0.
三 单调函数的运算性质
增函数
增函数
函数的单调性
x y' y
(,1)
(1,2)
－
(2,)
+
+
例2.
y ( x 1) 2 ( x 2)3 .
y f ( x) ( x 1)( x 2) 2 (5 x 7).
解：定义域是 R. 由
令 f ( x) 0 解得 x 1,
7 和 2. 5
现列表讨论如下：
Th.3 （极值的必要条件）
若x0 是f ( x)的极值点 则x0只可能是 ( x)的零点 , f
或f ( x)的不可导点 .
由此求出可能使 f (x) 取极值的点之后，如何判定 它是取极大值还是极小值呢？
y
y
o
x0
x
o
x0
x
图示可见, 由导数符号可判定极大极小值点.
Th. 4 （极值判别法之一）
x O( x0 , ) 都有
f ( x) f ( x0 )
(或 f ( x) f ( x0 ))
则称f ( x)在x0取（局部）极大值（或 极小值） x0 称为极大 , 点（或极小点）统称为极值、极值点若上述两不等式 , . 中等号不成立 则称为严格意义下的极 . , 值
y
o a
有f ( x0 ) 0, 即x0 是方程f ( x) 0的解, 称为f ( x)的
稳定点或驻点.
(2) 若f ( x)在x0 不可导, 则x0也可能是极值点 例如, .
f ( x) | x | 在x 0不可导, 但x 0是其极小值点 .
稳 f 结论 f ( x)的 极 值 点 只 可 能 是 它 的 定 点 （ 即 ( x)的 零 点) 和f ( x)不 存 在 的 点 但f ( x)在 其 稳 定 点 和 不 可 导 点 . 不 一 定 就 取 局 部 极 值例 如 ： .
函数的单调性自己总结
函数的单调性(局部性质)及最值1、增减函数（1）设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x 1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.（2）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种2、图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3、单调性的判定方法(A) 定义法：○1任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.习 题1、判断函数单调性（1）下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）A. y=-x+1B. y=xC. y=x2-4x+5D. y=x 2（2）已知f(x)是R 上的增函数，若令F （x ）=f(1-x)-f(1+x)，则F （x ）是R 上的（ ）A.增函数B.减函数C.先减后增的函数D.先增后减的函数 (3) 在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y=2x ＋1B ．y=3x2＋1C ．y=x 2D ．y=2x2＋x ＋1（4）下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝3x2＋1C ．y ＝2xD ．y ＝|x|(5) 下列函数中,在)0,(-∞上为减函数的是( )A.y=3xB.y=-x2C.y=︱x ︱D.y=2x+1(6) 下列函数中,在区间上为增函数的是( ).A ．B ．C ．D ．（7）定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≥0，x 3＋1，x <0D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0，e －x ，x <0以下注意复合函数单调性的判断（8）已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ）A ．在区间(－1，0)上是减函数B ．在区间(0，1)上是减函数C ．在区间(－2，0)上是增函数D ．在区间(0，2)上是增函数答案：（1）B （2）B (3) C （4）C (5) C (6) D （7）C （8）A2、 求函数的单调区间（1） 函数y=542)21(--x x 的递减区间是__________________.（2） 函数y ＝－(x －3)|x|的递增区间是________．（分段函数作图） （3） 函数|1|ln )(-=x x f 的单调递减区间为 ________．（分段函数作图） （4） 函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是（ ）A ．(3，8)B ．(－7，－2)C ．(－2，3)D ．(0，5)（5）函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞（6） 求函数f (x )＝x ＋a 2x (a >0)的单调区间．答案：（1）［2，+∞］ （2）[0，32] （3）)1,(-∞ （4）B （5）C（6）解：∵函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，设x 1、x 2≠0，且x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a 2x 1－x 2－a 2x 2＝(x 1－x 2)＋a 2x 2－x 1x 1·x 2＝x 1－x 2x 1·x 2－a 2x 1·x 2.(1)当x 1<x 2≤－a 或a ≤x 1＜x 2时，x 1－x 2<0，x 1·x 2>a 2，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－a ]上和在[a ，＋∞)上都是增函数．(2)当－a ≤x 1<x 2<0或0<x 1<x 2≤a 时，x 1－x 2<0， 0<x 1·x 2<a 2，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在[－a,0)和(0，a ]上都是减函数．3、 根据函数单调性求得参数的取值范围（x 的取值范围）（1）函数y=(2k+1)X+b 在(-∞，+∞)上是减函数，则（ ）A.k>21 B.k<21 C.k>-21 D.k<-21 (2) 函数f(x)=21++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0<a<21 B.a<-1或a>21 C.a>21D.a>-2 (3) 函数y ＝2x2－(a －1)x ＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a 的值是( )A ．1B ．3C ．5D ．－1（4）已知函数f(x)=ax+logax （a ＞0且a ≠1）在［1，2］上的最大值与最小值之和为loga2+6，则a 的值为________．（5）已知关于x 的函数y=loga(2-ax)在［0，1］上是减函数，则a 的取值范围是________ （6）函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．(21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)（7）已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥3(8) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)(9)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x(x >1)⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)(10) 若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．(11)设函数f(x)=x+xa(a>0). ①求函数在（0，+∞）上的单调区间，并证明之； ②若函数f(x)在［a-2,+∞］上递增，求a 的取值范围.(12) 已知函数f (x )＝a －1|x |.①求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；②若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．(13) 函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a 的取值范围．答案：(1)D (2)C (3)C (4) 2 （5）（1，2） （6）B （7）A (8)C(9)B (10) 12<a ≤23（11）解析：（1）f(x)在(0,+∞)上的增区间为［a ,+∞］，减区间为（0，a ）. 证明：∵f ′(x)=1-2xa,当x ∈［a ,+∞］时， ∴f ′(x)>0,当x ∈（0，a ）时，f ′(x)<0.即f(x)在［a +∞］上单调递增，在（0，a ）上单调递减.（或者用定义证） （2）［a-2,+∞］为［a ，+∞］的子区间，所以a-2≥a ⇒a-a -2≥0⇒(a +1)( a -2)≥0⇒a -2≥0⇒a ≥4.（12）解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0. f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0. ∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意a －1x ＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a ＜h (x )在(1，＋∞)上恒成立．可证h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3，∴a 的取值范围为(－∞，3]． （13）解：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2ax ＋2＋a .任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x 1＋2－1－2ax 2＋2＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴f (x 1)－f (x 2)<0.∵x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴1－2a <0，a >12.即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.4、根据函数单调性求x 的取值范围（1）若函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f(x)>f(8x-16)的解集为_______________. （2）已知函数f(x)为R 上的减函数，则满足f(|x|)<f(1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)（3）已知函数f(x)是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f(x ＋1)|＜1的解集的补集是（ ）A ．(－1，2)B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）（4）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是A ．（13，23）B ．（∞-，23）C ．（12，23）D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32答案：（1）（2，716） （2）D （3）D （4）C5、根据函数单调性求函数最值（1）已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在区间[3,5]上单调递增，则函数f(x)在区间[1,3]上的( )A ．最大值是f(1)，最小值是f(3)B ．最大值是f(3)，最小值是f(1)C ．最大值是f(1)，最小值是f(2)D ．最大值是f(2)，最小值是f(3)（2）定义新运算⊕：当a≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a<b 时，a ⊕b ＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x －(2⊕x)， x ∈[－2,2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6D ．12（3）函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为a ，则a ＝________.（4）已知定义域为[0,1]的函数f (x )同时满足：①对于任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)．Ⅰ求f (0)的值； Ⅱ求f (x )的最大值；Ⅲ若对于任意x ∈[0,1)，总有4f 2(x )－4(2－a )f (x )＋5－4a ≥0，求实数a 的取值范围．答案：（1）A （2）C （3）12（4）解：Ⅰ对于条件③，令x 1＝x 2＝0得f (0)≤0， 又由条件①知f (0)≥0，故f (0)＝0. Ⅱ设0≤x 1<x 2≤1，则x 2－x 1∈(0,1)，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)≥f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)≥0. 即f (x 2)≥f (x 1)，故f (x )在[0,1]上递增，从而f (x )的最大值是f (1)＝1.Ⅲ因f (x )在[0,1]上是增函数，则f (x )∈[0,1]，又4f 2(x )－4(2－a )f (x )＋5－4a ≥0⇒a ≤4f 2(x )－8f (x )＋54－4f (x )对x ∈[0,1)恒成立，设y ＝4f 2(x )－8f (x )＋54－4f (x )＝1－f (x )＋14[1－f (x )]≥1，则a ≤1.6、 根据函数单调性判断函数值大小（1）设函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，则下列不等式正确的是（ ）A.f(2a)<f(a)B.f(a 2)<f(a) C.f(a 2+a)<f(a) D.f(a 2+1)<f(a) 答案：D（2）定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)（3）已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是（ ）A ．f (－1)＜f (9)＜f (13)B ．f (13)＜f (9)＜f (－1)C ．f (9)＜f (－1)＜f (13)D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) （4）已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ）A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )C ． f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) （5）定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，当x >2时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负答案：（1）D （2）A （3）C （4）B （5）A。
专题07 函数：高中常见函数的单调性
专题7 常见函数的单调性与值域、最值目录【题型一】单调性定义 .............................................................................................................................................. 1 【题型二】1：反比例函数 ........................................................................................................................................ 2 【题型三】2：一元二次函数 .................................................................................................................................... 3 【题型四】3：分段函数 ............................................................................................................................................ 4 【题型五】4：“对勾”函数 ...................................................................................................................................... 5 【题型六】5：“双刀”函数（双曲函数） .............................................................................................................. 6 【题型七】6：无理函数 ............................................................................................................................................ 6 【题型八】7：max 与min 函数 ................................................................................................................................. 7 【题型九】8：“放大镜”函数 .................................................................................................................................. 8 【题型十】9：取整函数（高斯函数） .................................................................................................................... 9 培优第一阶——基础过关练 .................................................................................................................................... 10 培优第二阶——能力提升练 .................................................................................................................................... 11 培优第三阶——培优拔尖练 (12)【题型一】单调性定义【典例分析】下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为(),a b ，若()12,,x x a b ∀∈，当12x x <时，()()21f x f x <，则函数()f x 是(),a b 上的减函数B ．函数()f x 的定义域为(),a b ，若()12,,x x a b ∃∈，当12x x <时，()()21f x f x <，则函数()f x 不是(),a b 上的增函数C ．若函数()f x 在[],a b 上是增函数，在(],b c 上也是增函数，则函数()f x 在[],a c 上是增函数D ．若函数()f x 在[],a b 上是增函数，在[],b c 上也是增函数，则函数()f x 在[],a c 上是增函数【提分秘籍】 基本规律单调性的运算关系：①一般认为，－f (x )和1f (x )均与函数f (x )的单调性 相反 ；②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ；(2)单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么有： ①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )是[a ,b ]上的 增函数 ；②f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )是[a ,b ]上的__减函数__；(3)复合函数单调性结论： 同增异减 ．1.若函数()f x 在[],a b 上是增函数，对于任意的1x ，[]2,x a b ∈（12x x ≠），则下列结论不正确的是（ ）A ．()()12120f x f x x x ->- B ．()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦ C ．()()()()12f a f x f x f b ≤<≤ D ．()()12f x f x ≠2.下列有关函数单调性的说法，不正确的是（ ）A ．若()f x 为增函数，()g x 为增函数，则()()f x g x +为增函数B ．若()f x 为减函数，()g x 为减函数，则()()f x g x +为减函数C ．若()f x 为增函数，()g x 为减函数，则()()f x g x +为增函数D ．若()f x 为减函数，()g x 为增函数，则()()f x g x -为减函数3.下列函数f x （）中，满足“对任意()120x x ∈+∞，，，且12x x <都有()()12f x f x >”的是（ ） A ．f x x =（）B ．2f x x x=-（） C ．22f x x x =+-（） D ．3f x x =-（）【题型二】1：反比例函数【典例分析】()20212022x f x x -=-*N x ∈，则()f x 取得最大值时的x 值为______．【提分秘籍】基本规律反比例函数分式函数求值域： 1.若分子与分母同次用：分离常数法， 2.若分子与分母不同次用：上下同除法1.关于函数3125x y x -=-，下列说法正确的是（ ） A ．若x N ∈，则函数只有最大值没有最小值 B ．若x N ∈，则函数只有最小值没有最大值 C ．若x N ∈，则函数有最大值没有最小值 D ．若x N ∈，则函数有最小值也有最大值2.已知函数()211x f x x +=-，其定义域是[)8,4--，则下列说法正确的是A ．()f x 有最大值53，无最小值B ．()f x 有最大值53，最小值75C ．()f x 有最大值75，无最小值D ．()f x 无最大值，最小值753..已知函数31()1x f x x -=-，其定义域是[4-，2)-，则（ ）A ．()f x 有最大值73-，最小值135-B ．()f x 有最大值73-，无最小值C ．()f x 有最大值135-，最小值73-D ．()f x 有最小值135-，无最大值【题型三】2：一元二次函数【典例分析】若函数2()f x x =在区间[,]a b 上的值域为[,1]()t t t +∈R ，则b a -（ ） A ．有最大值，但无最小值 B ．既有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值【提分秘籍】 基本规律二次函数求值域用： 1.配方法2.对称轴单调性法二次函数基础知识：①一般式顶点式：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a. ②顶点是⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a ，对称轴是：x ＝－b2a.③方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)求根公式：x ＝－b ±b 2－4ac2a1.函数 23y x x + ）A ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)0,+∞D ．(],3∞--2..已知2()2a f x x ax =-+在区间[0，1]上的最大值为g (a )，则g (a )的最小值为（ ） A ．0B ．12C ．1D ．23.若函数2()45f x x mx =-+在区间[1,)-+∞上是增函数，则(2)f 的最小值是 A ．8 B ．8- C ．37 D ．37-【题型四】3：分段函数【典例分析】.已知函数()21,=,2x c f x x x x c x ⎧-<⎪⎨⎪-≤≤⎩ ，若()f x 值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数c 的范围是（ ）A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,-+∞【提分秘籍】 基本规律分段函数求值域或者最值，分段讨论，数形结合画图1.已知()32f x x =-，()22g x x x =-，若()()()()()()(),,g x f x g x F x f x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则()F x 的最值是（ ）A ．最大值为3，最小值1-B ．最大值为727-C ．最大值为3，无最小值D ．无最大值，最小值为1-2..函数2,[1,0]()1,(0,1]x x f x x x⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩的最值情况为（ ）.A ．最小值0，最大值1B ．最小值0，无最大值C ．最小值0，最大值5D ．最小值1，最大值5【题型五】4：“对勾”函数【典例分析】.函数()41f x x x =++在区间1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（ ） A ．103B ．152C ．3D ．4【提分秘籍】 基本规律对勾函数：by ax a b 0x=+>，（，）图像特征 1.有“渐近线”：y=ax 2.“拐点”：解方程bax x =（即第一象限均值不等式取等处）1.若函数()f x 的值域是132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则函数()()()1F x f x f x =+的值域是（ ）A ．132⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．1023⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．51023⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．556⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2.设0a >，函数100()f x x x=+在区间(0,]a 上的最小值为m 1，在区间[,)a +∞上的最小值为m 2，若122020m m =，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．100 D ．1或1003..函数()()2404xf x x x x x =++>+的最小值为（ ）A ．2B ．103C ．174D ．2654.．函数224y x =+ ）A ．2B ．52C ．1D ．不存在【题型六】5：“双刀”函数（双曲函数）【典例分析】已知函数4(),[,)af x x b x b x=++∈+∞，其中0,b a R >∈，记M 为()f x 的最小值，则当2M =时，a 的取值范围为（ ）A ．13a > B ．13a < C ．14a > D ．14a <【提分秘籍】基本规律b by ax y ax a b 0x x =-=->（两支各自增），或者（两支各自减），（，）1.有“渐近线”：y=ax 与y=-ax2.“零点”：解方程bax x =（即方程等0处）1.函数y ＝x －1x在[1，2]上的最大值为（ ）A ．0B ．32C ．2D ．32..函数()12f x x x=-在区间[]1,2上的最小值是（ ）A ．72- B ．72 C ．1D ．-13.已知0x >，则92535x x x x ⎛⎫⎛⎫+-⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为A ．15B ．48C ．79316D ．60【题型七】6：无理函数【典例分析】若()2224f x x x x --+()g x x a x a =+-（0a >）的最大值相等，则a 的值为（ ）A ．1B 2C ．2D ．22【提分秘籍】 基本规律无理函数，注意几点： 1.定义域；2.是否具有单调性3.双根号，是否可以“分子有理化”来化简。
2.函数的基本性质之单调性
函数的基本性质一. 函数的单调性1.复合函数的单调性的判定［例1］函数)(x f 在R 上为增函数，求函数)1(+=x f y 单调递减区间． 解析：令1+=x u ，则u 在(－∞,－1]上递减，又函数)(x f 在R 上为增函数， ∴ 函数)1(+=x f y 单调递减区间为(－∞,－1].【技巧提示】 这是一个求复合函数的单调性的例子，同时又含有抽象函数．只要知道函数1+x 的单调性，)1(+=x f y 与1+x 的单调性和单调区间相同．如果变函数)(x f 在R 上为减函数，那么函数)1(+=x f y 的单调性与函数1+x 的单调性相反，即函数)1(+=x f y 单调递增区间为(－∞,－1].练习 设函数)(x f 在R 上为减函数，求函数)1(xf y =单调区间．2.函数的和函数与差函数的单调性的判定 在函数)(x f 、)(x g 公共定义域内， 增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数．［例2］若ax y =与xb y -=在()+∞,0上都是减函数，则bx ax y +=2的单调性是( ) A. 在()+∞∞-,上是增函数 B. 在()+∞,0上是增函数C. 在()+∞∞-,上是减函数D. 在()0,∞-上是增函数，在()+∞,0上是减函数 解析: 由函数 ax y =在()+∞,0上是减函数，得 a ＜0，又函数xby -=在()+∞,0上是减函数，得 b ＜0， 于是，函数2ax ，bx 在()+∞∞-,上都是减函数， ∴ 函数bx ax y +=3在()+∞∞-,上是减函数，故选C ．【技巧提示】 熟悉函数ax y =，2ax y =，bx y =，xby =的单调性与a 、b 的符号的关系，就能正确的描述由它们组合而成的函数的单调性． ［例3］求函数31)(--+=x x x f 的最大值．解析：由31431)(-++=--+=x x x x x f ，知函数31)(--+=x x x f 在其定义域 [3，+∞ )上是减函数． 所以31)(--+=x x x f 的最大值是2)3(=f ．【技巧提示】 显然由31431-++=--+x x x x 使得问题简单化，当然函数定义域是必须考虑的．练习 1. 已知[]1,0∈x ，则函数x x y --+=12的值域是 .解析：∵ x x y --+=12在[]1,0∈x 上单调递增，∴ 函数x x y --+=12的值域是[])1(),0(f f ．即[]3,12-．2. 求函数x x y 21++=的值域．解析：∵ x x y 21++= 在定义域⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21上是增函数， ∴ 函数x x y 21++=的值域为 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21．3. 抽象函数的单调性例 已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)∵函数f(x)对于任意x ，y ∈R 总有f(x)＋f(y)＝f(x ＋y)，∴令x ＝y ＝0，得f(0)＝0.再令y ＝－x ，得f(－x)＝－f(x)． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f(x 1)－f(x 2)＝f(x 1)＋f(－x 2)＝f(x 1－x 2)．又∵x>0时，f(x)<0，而x 1－x 2>0，∴f(x 1－x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)．因此f(x)在R 上是减函数．(2)∵f(x)在R 上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.练习 定义在R 上的函数()y f x =，(0)0f ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意的a b R ∈、，有()()()f a b f a f b +=⋅. (1)求(0)f 的值；(2)求证：对任意的x R ∈，恒有()0f x >；(3)若2()(2)1f x f x x ⋅->，求x 的取值范围. 解：（1）解：令0a b ==，则2(0)(0).f f = 又(0)0f ≠，(0)1f =. （2）证明：当0x <时，0x ->，∴()1f x -> ∵(0)()()1f f x f x =⋅-=，∴1()0()f x f x =>- 又0x ≥时， ()10f x ≥> ∴对任意的x R ∈，恒有()0f x >. （3）解：设12x x <，则210x x ->. ∴21()1f x x ->. 又1()0f x > ∴ 1212111211()()()[()]()()()f x f x f x f x x x f x f x x f x -=--+=--⋅ =121()[1()]0f x f x x --<∴ 12()()f x f x <.∴ ()f x 是R 上的增函数. 由2()(2)1f x f x x ⋅->，(0)1f =得 2(3)(0)f x x f ->.∴ 230x x ->，∴03x <<∴所求的x 的取值范围为(0,3)二.一个特殊的函数 ---对号函数xb ax x f +=)()0,0(>>b a 被称为对号函数．对号函数是奇函数，其图象是双曲线，y 轴和直线 ax y =是其渐近线． ［例4］试判断函数xbax x f +=)()0,0(>>b a 在()0,+∞上的单调性并给出证明.解析：设120x x >> ，()()()12121212ax x bf x f x x x x x --=- 由于120x x -> 故当12,x x ⎫∈∞⎪⎪⎭ 时()()120f x f x ->，此时函数()f x在⎫∞⎪⎪⎭上增函数，同理可证函数()f x在⎛ ⎝上为减函数. 【技巧提示】 xbax x f +=)()0,0(>>b a 是一种重要的函数模型，要引起足够的重视．事实上，函数()()0,0bf x ax a b x =+>>的增函数区间为,⎛-∞ ⎝和⎫∞⎪⎪⎭，减函数区间为⎛ ⎝和⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．但注意本题中不能说()f x在,⎛-∞ ⎝⎫∞⎪⎪⎭上为增函数，在⎛ ⎝⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上为减函数, 在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”．练习 求函数2=y 解析：由()u g uu x x x x y =+=+++=++=1414452222,[)+∞∈,2u ,用单调性的定义法易证()u u u g 1+= 在[)+∞,2上是增函数，易求函数2=y 25为所求．再例：已知函数()[)+∞∈++=,1,22x x ax x x f . 若对于x [)+∞∈,1,)(x f ＞0恒成立，试求a 的取值范围.解析：由)(x f ＝ [)+∞∈++=++,1,222x xax x a x x .当a ＞0时， ()2++=xa x x f 显然有)(x f ＞0 在[)∞+.1恒成立；a ≤0时，由()[)+∞∈++=++=,x ,xax x a x x x f 1222知其为增函数，只需)(x f 的最小值)1(f ＝3＋a ＞0,解之，a ＞－3. ∴当a ＞－3时，)(x f ＞0在[)+∞,1上恒成立.［例5］已知)(x f 是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有)(x f ＞0，且)10(f ＝1， 设)(x F =)(1)(x f x f +，讨论)(x F 的单调性，并证明你的结论． 解析：在R 上任取1x 、2x ，设1x ＜2x ，∴)(2x f ＞)(1x f ，],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+=-∵)(x f 是R 上的增函数，且)10(f ＝1，∴当x ＜10时0＜)(x f ＜1，而当x ＞10时)(x f ＞1； ① 若1x ＜2x ＜10，则0＜)(1x f ＜ )(2x f ＜1， ∴0＜ )(1x f )(2x f ＜1，∴)()(1121x f x f -＜0，∴)(2x F ＜)(1x F ；② 2x ＞1x ＞10，则)(2x f ＞)(1x f ＞1 ， ∴)(1x f )(2x f ＞1，∴)()(121x f x f ＞0，∴ )(2x ＞)(1x F ； 综上，)(x F 在（－∞，10）为减函数，在（10，＋∞）为增函数.【技巧提示】 该题属于判断抽象函数的单调性问题，用单调性定义解决是关键．课后训练1、函数1()(0)f x x x x=+≠的单调性描述，正确的是（ ） A 、在(－∞，＋∞)上是增函数； B 、在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是增函数； C 、在(－∞，－1)∪(1，＋∞)上是增函数； D 、在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数2、已知函数()()2223f x x x =+-，那么（ ）A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数3、函数()f x 是定义在[0,)+∞上的单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是4、函数236xy x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是5、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y f x =-的单调递减区间为6、对于任意R x ∈，函数()x f 表示3+-x ，2123+x ，342+-x x 中的较大者，则()x f 的最小值是_____________.7、证明函数()x f ＝2x 在[0，＋∞）上是增函数．8、证明函数xx y 14+= 在),21[+∞上是增函数．9、已知函数)(x f 、)(x g 在R 上是增函数，求证：))((x g f 在R 上也是增函数.10、求函数12)(2--=ax x x f 在区间]2,0[上的最值．11、若函数22)(2+-=x x x f 当]1,[+∈t t x 时的最小值为()g t ，求函数()g t 当]2,3[--∈t 时的最值．12、讨论函数()f x ＝)0(12≠-a x ax，在－1＜x ＜1上的单调性．参考答案1．D 2．略 3．解析：设1x ＞2x ≥21， 则 )(2x f －)(1x f ＝2214x x +－（1114x x +） ＝212112)(4x x x x x x -+-＝21211214)(x x x x x x -⋅-， ∵ 012<-x x ，4121>x x ， ∴ )(2x f －)(1x f ＜0 ∴ 函数xx y 14+= 在),21[+∞上是增函数．4．25．证明：设1x ＞2x ，则)(1x f －)(2x f ＞0，)(1x g －)(2x g ＞0， 即 )(1x g ＞)(2x g于是 ))((1x g f －))((2x g f ＞0 ∴ ))((x g f 在R 上也是增函数.6．C 7．]1,0[ 8．)2,(--∞和),2(+∞- ]2,2(- 9．),3[+∞10．解析：函数12)(2--=ax x x f )1()(22+--=a a x ，当 0<a 时，)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f ＝)0(f ＝－1 )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)2(f ＝a 43-； 当 10<≤a 时，)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f ＝)1(2+-a )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)2(f ＝a 43-； 当 21<≤a 时，)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f ＝)1(2+-a )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)0(f ＝－1；当 2≥a 时，)(x f 在区间上的最小值为)(min x f ＝)2(f ＝a 43- )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)0(f ＝－1； 11．解析：因为函数22)(2+-=x x x f ＝1)1(2+-x 当t ≤0时，最小值)(t g ＝)1(+t f ＝12+t ； 当0＜t ≤1时，最小值)(t g ＝)1(f ＝1； 当t ＞1时，最小值)(t g ＝)(t f ＝222+-t t ；∴ ⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<≤+=1,2210,10,1)(22t t t t t t t g ，)(t g 当]2,3[--∈t 时的最大值为)3(-g ＝10；最小值为)2(-g ＝5．12．解析：函数)(x f ＝12-x ax＝xx a 1-作函数xx x g 1)(-=， )(x g 为奇函数且在)0,1(-和)1,0(上都是增函数， ∴ 当a ＜0时，)(x f 在)0,1(-和)1,0(上都是增函数； 当a ＞0时，)(x f 在)0,1(-和)1,0(上都是减函数．。
函数的单调性
． ． ．
1 的单调减区间为 x 1
7．函数 f ( x) 4x 2 mx 1 在 (,2] 上递减，在 [2,) 上递增，则实数 m ＝
8．已知函数 y （ f x) 在 R 上是增函数，且 f(m2)＞f(-m)，则 m 的取值范围是: __________． 9．函数 f ( x) x2 2x 8 的单调减区间
1 在其定义域内为减函数． f ( x)
1 在（1,2）上的增减情况． x
） C. (,1] D. [1,)
x 2 2x 3 的单调减区间是 （
B. [1,)
A. (,3]
4.函数 y＝|x2－2x－3|的单调增区间是________．
1
题型 2：单调性的应用： 1．已知 f ( x) (k 2 3k 4) x 2k 1 在 R 上是增函数,则 k 的取值范围 2．函数 f ( x) x2 (m 1) x 2 在 (, 4] 上是减函数,则求 m 的取值范围 3．已知函数 f ( x) x 2ax 2, x 5,5 上是单调函数， a 的取值范围是
1 在定义域内为增函数； x 1 ③若 f ( x) 为 R 上的增函数且 f ( x1 ) f ( x2 ) ，则 x1 x2 ；④函数 y 的单调减区间为 (,0) (0, ) ． x
①函数 y x 在 R 上为增函数；②函数 y
2
5．函数 f ( x) x 1 的增区间为 6．函数 f ( x )
f x1 f x2 0 x1 x2 f x1 f x2 0 f x 是增函数. x1 x2
减函数： 一般地， 设函数 f ( x) 的定义域为 I ， 如果对于属于定义域 I 内某个区间上任意两个自变量的值 x1 , x2 ， 当 x1 x2 ，都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，那么就说 f ( x) 在这个区间上是减函数，如下图（2）. 用数学符号表示：
函数统称为单调函数
函数统称为单调函数单调函数是数学中的一个重要概念，它在很多领域都有广泛的应用。
所谓单调函数，就是指函数的增减性保持一致，要么递增，要么递减。
在本文中，我们将介绍单调函数的定义、性质以及一些常见的例子。
一、单调函数的定义单调函数是指在定义域上具有单调性的函数。
对于一个定义在区间上的函数f(x)，如果对于任意的x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<=f(x2)，那么函数f(x)就是递增的；如果对于任意的x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)>=f(x2)，那么函数f(x)就是递减的。
二、单调函数的性质1. 单调函数的导数符号恒定。
对于单调递增的函数，其导数恒大于等于0；对于单调递减的函数，其导数恒小于等于0。
这是因为函数的单调性保证了其变化的方向，而导数则描述了函数的变化率。
2. 单调函数的反函数也是单调函数。
如果函数f(x)是递增的，那么它的反函数f^{-1}(x)也是递增的；如果函数f(x)是递减的，那么它的反函数f^{-1}(x)也是递减的。
这是因为反函数将原函数的自变量和因变量互换，保持了函数的单调性。
3. 单调函数的零点唯一。
对于一个连续的单调函数，在定义域上只有一个零点。
这是因为单调性保证了函数的符号不会发生突变，只有一个零点能够满足函数值等于0的条件。
三、常见的单调函数1. 线性函数线性函数是最简单的单调函数，其图像是一条直线。
例如，f(x) = kx+b，其中k和b为常数，当k>0时，函数是递增的；当k<0时，函数是递减的。
2. 幂函数幂函数是形如f(x) = x^n的函数，其中n为正整数。
当n为奇数时，函数是递增的；当n为偶数时，函数是递减的。
3. 指数函数指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a为大于0且不等于1的常数。
当a>1时，函数是递增的；当0<a<1时，函数是递减的。
4. 对数函数对数函数是幂函数的反函数，形如f(x) = log_a(x)，其中a为大于0且不等于1的常数。
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3,4、k>0时，函数f(x)在（﹣∞，﹢ ∞ ）上为增函数 k<0时，函数f(x)在（﹣∞，﹢ ∞ ）上为减函数 5、k>0时，函数f(x)在[-4,5]上为增函数 k<0时，函数f(x)在[-4,5]上为减函数
决定一次函数单调性的因素是什么？
应用练习题一
• 求下列函数的值域 • 1.f(x)=x+3 x∈[-4,5] 1. 值域为[-1,8] • 2. f(x)=kx+3 (k >0，k为常数) x∈[-4,5] 2.值域为[-4k+3,5k+3] 3. f(x)=kx+3 (k ≠0，k为常数) x∈[-4,5]
3. 当k>0时， 值域为[-4k+3,5k+3] 当 k<0时，值域为[5k+3, -4k+3]
问题探究二（二次函数单调性）
• 判断下列函数的单调性 2 x • 1.f(x)= 2 x 3 2 x 2x 3 • 2.f(x)=
3. f (x) ax bx c(a 0)
几种常见函数的单 调性问题
习题课
问题探究一（一次函数单调性）
• • • • • • 判断下列函数的单调性 1、f(x)= x+1 1函数f(x)= x+1在（﹣∞，﹢ ∞ ）上为增函数 2、f(x)= -x-2 2函数f(x)= -x-2在（﹣∞，﹢ ∞ ）上为减函数 3、f(x)= kx+1(k≠0，k为常数) 4、f(x)= kx+b(k≠0, k，b为常数) 5、f(x)= kx+b(k≠0, k，b为常数)x∈[ x (4 2a) x 2 在区间[-2，2]上是减函数， a≥4 • 则a= 2 • 5.若函数 f (x) x (4 2a) x 2 在区间[-2，2]上是单调函数， • 则a= a≥4或a≤0
问题探究三（双曲型函数单调性）
• 判断下列函数的单调性 2 在区间（-∞，0），（0，+ ∞ ）上是减函数 • 1.函数 f (x) x
2
思考：决定二次函数单调性的因素是？
应用练习题二
2 f (x) x (4 2a)x 2 在区间（-∞，2]上是减函数， 在[2,+ • 1.若函数
∞）是增函数，则a=
4 4
2 • 2.若函数 f (x) x (4 2a) x 2 的单调减区间是（-∞，2] 则a=
2 • 3.若函数 f (x) x (4 2a) x 2 在区间（-∞，2]上是减函数， • 则a= a≥4
2 2.函数 f (x) x
在区间（-∞，0），（0，+ ∞ ）上是增函数
k 3.函数 f (x) (k 0) x
当k>0时 当k<0时 在区间（-∞，0），（0，+ ∞ ）上是减函数 在区间（-∞，0），（0，+ ∞ ）上是增函数