魔方格数学难题本

难 题 本

高三数学

昵称：艾丽亚尔

学校：克拉玛依市高级中学

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线

题型：解答题

考察范围：三角函数的诱导公式|正切、余切函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）|两角和与差的三角函数及三角恒等变换|向量模的计算

试题：定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx 的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点），记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S。

（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；

（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；

（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x= x0处取得最大值，当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围。

答案：解：（1）g（x）=3sin（x+ ）+4sinx=4sinx+3cosx，

其‘相伴向量’ =（4，3），g（x）∈S。

（2）h（x）=cos（x+α）+2cosx =（cosxcosα-si nxsinα）+2cosx =-sinαsinx+（cosα+2）cosx

∴函数h（x）的‘相伴向量’=（-sinα，cosα+2）

则| |= =。

（3）的‘相伴函数’f（x）=asinx+bcosx=sin（x+φ），

其中cosφ=，sinφ=．

当x+φ=2kπ+，k∈Z时，f（x）取到最大值，故x0=2kπ+-φ，k∈Z

∴tanx0=tan（2kπ+-φ）=cotφ=，tan2x0===

为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[-，0）∪（0，]

令m=，则tan2x0=，m∈[-，0）∪（0，}

当-≤m＜0时，函数tan2x0=单调递减，

∴0＜tan2x0≤；

当0＜m≤时，函数tan2x0=单调递减，

∴-≤tan2x0＜0

综上所述，tan2x0∈[-，0）∪（0，]。

备注：

题型：单选题

考察范围：两角和与差的三角函数及三角恒等变换|等差数列的定义及性质

试题：设函数f（x）=2x-cosx，{a n}是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则=

A．0

B．

C．

D．

答案：D

备注：

题型：填空题

考察范围：微积分基本定理|二项式定理与性质

试题：若a=，则在（3x2-）5的二项展开式中，常数项为（）。

答案：

备注：

题型：解答题

考察范围：二项式定理与性质

试题：在(1+x)n的展开式中，已知第3项与第5项的系数相等，

（1）求展开式中的系数最大的项和系数最小的项；

（2）求(x2+x-2)n展开式中含x2项的系数．

答案：解：由已知得，

（1）的通项，

当r=3时，展开式中的系数最小，即为展开式中的系数最小的项；

当r=2或4时，展开式中的系数最大，即为展开式中的系数最大的项。（2）展开式中含x2项的系数为．

备注：

题型：单选题

考察范围：二项式定理与性质

试题：若能被7整除，则x，n的值可能为

[ ]

A．x=4，n=3 B．x=4，n=4 C．x=5，n=4 D．x=6，n=5 答案：C

备注：