投资学第6章风险厌恶与风险资产配置

圣.彼得堡悖论对资产定价的启示 1、对资产的定价，必须假定投资者首先都是理性的，其次都是风险回避型的，风险回避型 的理性投资者只有当预期收益大于投资成本时，才能进行投资； 2、对于某些资产的定价(如上例)，应用期望效用比应用期望收益更合理，期望效用是一个 比期望收益更宽泛的概念，特别是在期望收益很高的不确定性投资中，风险回避和边际 财富效用递减规律会起更大的作用； 3、 圣.彼得堡悖论所给出的游戏定价的解，即 2 美元，实际上对该赌博者的效用函数来说 来说是一个公平游戏的价格，也即均衡价格，期望效用为 0 的价格。 4、 用期望效用而不是用期望收入来给资产定价，不仅解决了这个金融投资学上的悖论，也 为资产定价提出了一个新的思路。这种思想和方法为后来的金融资产定价奠定了基础。 因此我们说圣.彼得堡悖论的提出和解决是资产定价理论的起源。
表 6.3 风险厌恶系数A=4的投资者的 可能组合效用值
投资学 第6章
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图6.2 无差异曲线
无差异曲 线形状受 哪些因素 影响？？
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6.1.3 评估风险厌恶
观察个体面临风险时的决策过程 观察为避免风险而愿意付出的代价
保险支付（P109） 风险资产比例
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U(x)=blog(x/a)=blog(2n-1/a)=blog2n-1-bloga=b[(n-1)log2-loga]
根据期望效用原理，某人对参加此游戏所愿付出的最大代价是 x，即期望收益。由此数量得到 的效用 U(x)等于游戏期望效用 EU(x)。对游戏期望效用我们记为：
EU ( x ) P ( x )U ( x )
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6.4 单一风险资产与单一无风险资产 的资产组合
记风险资产组合 P的期望收益率为 E (rP ), 标准差为 P， 无风险资产组合 F的收益率为rf ， 则由y份风险资产和 (1 y )份无风险资产组成的新 组合C : E (rC ) yE(rP ) (1 y )rf rf y[ E (rP ) rf ]
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确定等价收益率（Certainty equivalent rate）
为使风险投资与无风险投资具有相同的吸 引力而确定的风险投资的经风险调整后的 报酬率，称为风险资产的确定等价收益率。 由于无风险资产的方差为0，因此，其效用 U就等价于无风险回报率，因此，U就是风 险资产的确定性等价收益率。
1.对于个人来讲如何判断 2.对于全社会如何判断？
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风险厌恶型投资者的无差异曲线 （Indifference Curves）
Expected Return 1.能否相交 2.谁的效用更高 3.为何向右下方凸出 1 P 2
3
4 Increasing Utility Standard Deviation
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从风险厌恶型投资来看，收益带给他正的 效用，而风险带给他负的效用，或者理解 为一种负效用的商品。 根据微观经济学的无差异曲线，若给一个 消费者更多的负效用商品，且要保证他的 效用不变，则只有增加正效用的商品。 根据均方准则，若均值不变，而方差减少， 或者方差不变，但均值增加，则投资者获 得更高的效用，此即风险厌恶者的无差异 曲线。
x 1
将前式代入此式，并记住 n 次抛掷首次出现正面的概率为（1/2n） ，我们得到：
将前式代入此式，并记住 n 次抛掷首次出现正面的概率为（1/2n） ，我 们得到：
1 b[(n 1) log 2 log a ] n n 1 2 n 1 1 b n log 2 b n log a n 1 2 n 1 2 不过因为 EU ( x)
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表6.2 各种风险厌恶投资者的投资组合的 效用值
准则：只有当风险资产的确定性等价收益至少不小于无风险 资产的收益时，这项投资才是值得的。 当无风险收益为0.06时，哪些投资是可行的？
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图6.1 投资组合P的收益与风险权衡
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均值方差准则（Mean-variance criterion) 若投资者是风险厌恶的，则对于证券A和证 券B，如果
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风险中性（Risk neutral）投资者的无差异曲线
Expected Return
风险中性型的 投资者对风险 无所谓，只关 心投资收益。
Standard Deviation
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风险偏好（Risk lover）投资者的无差异曲线
Expected Return
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资产组合的动态调整(续)
将risky部分从0.7降为0.56，则卖出risky部分42000 美元 300000 （0.7 0.56） 42000 其中： Vanguard减少22680 0.54 42000 Fidelity减少19320 0.46 42000 两者在risky部分中的比例保持不变 ，但 risky部分的比例下降为 0.56, risk free部分的比例上升为 0.44 risky部分收益分布不变，整 体收益被调整。
风险偏好型的 投资者将风险 作为正效用的 商品看待，当 收益降低时候， 可以通过风险 增加得到效用 补偿。
Standard Deviation 投资学 第6章
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表6.1 风险资产组合(无风险利率为 5%)
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附录6A：圣彼德堡悖论
期望收益无限的赌局，为何参加者愿意付 出的门票价格非常有限？ 边际效用递减规律
E(rA ) E(rB )
并且

2 A
2 B
则该投资者认为“A占优于B”，或A比B有优势(A dominates B)。
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占优原则（Dominance Principle）
期望回报 4 2 1 方差或者标准差 3
• 2 占优 1; 2 占优于3; 4 占优于3;
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2
n 1

1
n
1
n 1 1 n n 1 2 我们可知游戏的期望效 用等于 2 EU ( x) b log 2 b log a b log a
这 个 方 程 说 明 ， blog(2/a) 就 等 于
2
美 元 的 效 用 或
EU(x)=EU(2)=U(2) 。由此可见，具有贝努里效用函数所表示的偏好特 性的人最多愿意付 2 美元来参加这项游戏。或者说，此人对确保营利 2 美元与参加游戏的计划表示无差异。这样，引进期望效用函数后就解 决了圣彼得堡悖论。
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资产组合的动态调整(续)
Vanguard Fidelity Portfolio P Risk-Free Assets F Portfolio C
113,400/300,000 = 0.378 96,600/300,000 = 0.322 210,000/300,000 = 0.700 90,000/300,000 = 0.300 300,000/300,000 = 1.000
瑞士数学家贝努里和克拉默等人，用期望效用最大化原理解决了这一问题。 贝努里解法是建立在下述概念的基础上：人们对奖励所关心的是效用而非货币价值，而额外 货币增加所得的额外效用随着奖励的货币价值的增加而减少，也即货币边际效用递减原理。换句 话说，初始货币可以满足人们更多的基本需求，因此当整个效用随个人财富的增加而增加时，它 是以递减比率增加的。贝努里所做的特别假设是：货币效用是货币奖励大小的对数函数。即： U(x)=b×log(x/a)＝b[logx-loga]=blogx-bloga 这里 U(x)是由货币 x 导出的效用，a 和 b 是正系数。 这样，用 n 表示第一次出现正面时共抛掷的次数（n=1,2,3,…） ，n 次抛掷所得奖励的效用由 U(x)表示。这样如果抛掷 n 次后才出现正面，那么货币奖励将是 x=2n-1。此奖励的效用函数为：
表6.4 投资者愿意为灾难事件付出的保险
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6.2 风险与无风险资产组合的资本配置
控制资产组合风险的方法：
部分投资于无风险资产，部分投资于风险资产 记风险资产组合为P，无风险资产组合为F，风
险资产在整个组合中的比重为y，则我们可通 过y的调整来调整组合风险
研究表明，资产配置可以解释投资收益的 94%。
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例：资产组合的动态调整
Total portfolio value = $300,000 Risk-free value = 90,000 Risky (Vanguard & Fidelity) = 210,000 Vanguard (V) = 54% Fidelity (F) = 46%
问题
为何 风险厌恶者将拒绝参加公平博弈？？？
投资学 第6章
效用函数（Utility function）
一个风险厌恶投资者常用如下形式的效应函 数： 1 U E (r ) A 2 2
其中，A为投资者风险厌恶指数，收益率为小
数形式。 若A越大，表示投资者越害怕风险，在同等风 险的情况下，越需要更多的收益补偿。 若A不变，则当方差越大，效用越低。
第一次出现正面 结果描绘 1 H 2 TH 3 TTH 4 TTTH . . . . . . n ((n-1)个 T)H 该游戏的期望收益为： 结果的概率 1/2 1/4 1/8 1/16 . . . 1/2n 奖励 1 2 4 8 . . . 2n-1
1 1 1 1 1 E ( R) 1 2 4 8 ... n 2 n1 2 4 8 16 2 1 1 1 1 ＝ ＋ ＋ ＋...＋ ＝ 2 2 2 2
6.1.1 风险、投机与赌博
风险：能以概率测度的不确定性 投机：承担一定风险(considerable risk)，获 取相应报酬(commensurate return) 赌博：为一不确定结果下注 赌博与投机的关键区别：赌博没有相应报酬
投资学 第6章
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6.1.2 风险厌恶与效用价值
引子：如果证券A可以无风险的获得回报率 为10％，而证券B以50％的概率获得20％ 的收益，50％的概率的收益为0，你将选择 哪一种证券？ 对于一个风险规避的投资者，虽然证券B的 期望收益为10％，但它具有风险，而证券 A的无风险收益为10％，显然证券A优于证 券B。 结论：风险厌恶型的投资者会放弃公平博 弈(fair play)或更糟的投资组合。
投资学 第6章
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三、圣.彼得堡悖论(St.Petersburg paradox) 连续执硬币直至落在地上出现“正面”为止。如果第一次出现正面，奖励 1 元， 第二次出现正面奖励 2 元，第三次出现正面奖励 4 元，第四次出现正面奖励 8 元，等 等。每多一次抛掷出现正面，就加倍地偿付。这个试验的可能结果可以总结如下：
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你们是在投资还是赌博
1.购买彩票？ 2.购买股票？ 3.购买外汇？ 4.老虎机？
投资学 第6章
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投资者的风险态度
风险厌恶(Risk aversion) 风险中性(Risk neutral) 风险爱好(Risk lover)
投资学 第6章
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如何判断你的类型
投资学 第6章 32
6.3 无风险资产
无风险资产只是一种近似 短期国库券可视为一种无风险资产，但其 利率存在一定的低估 习惯以货币市场基金作为对绝大部分投资 者易接受的无风险资产
无风险利率有时可用LIBOR来代替
投资学 第6章
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Figure 6.3 Spread Between 3-Month CD and T-bill Rates
本章主要内容
投源自文库过程的分解：
选择一个风险资产组合
在风险资产与无风险资产间决定配置比例
配置比例的技术性要求：效用优化
投资学 第6章
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如何进行收益与风险的权衡
1.不同组别风险、收益的权衡 2.如何用一无量纲的数字来进行表示？ 3.经济学如何刻画显示效用的？
投资学 第6章
2
6.1 风险与风险厌恶
C y P