特殊四边形知识点梳理
特殊四边形要点整理
特殊四边形要点整理一、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形性质: 平行四边形的对边相等平行四边形的对角相等平行四边形的对角线互相平分.判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形的一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.对角线互相平分的四边形是平行四边形.二、矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．1．矩形的性质(1)具有平行四边形的所有性质．(2) 特有性质：四个角都是直角，对角线相等．矩形是轴对称图形.2. 矩形的判定(1) 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．(3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．三、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质(1)具有平行四边形的一切性质. (2)菱形的四条边都相等.(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.(4)菱形是轴对称图形. (5)菱形面积=底×高=对角线乘积的一半.3．菱形的判定(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2)定理1：四边都相等的四边形是菱形．(3)定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．四、正方形1. 定义：正方形的定义我们可以分成两部分来理解：（1）有一个角是直角的菱形叫做正方形．（2）有一组邻边相等的矩形叫做正方形．2．正方形性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.(1)边——四边相等，邻边垂直. (2)角——四角都是直角.(3)对角线——①相等②互相垂直平分③每条对角线平分一组对角.(4)是轴对称图形，有4条对称轴.3、正方形的判定方法：(1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两条：①先证它是矩形，再证有一组邻边相等或对角线垂直.②先证它是菱形，再证它有一个角为直角或对角线相等.五、正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，其中正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图.六、中点四边形与原四边形的关系：依次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；依次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；依次连接对角线相等且垂直的四边形各边中点所得四边形是正方形；七、等腰梯形1、等腰梯形的性质：等腰梯形两腰相等；等腰梯形同一底上的两个角相等；等腰梯形对角线相等。
平行四边形和特殊平行四边形的知识要点
4、对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
1、有一组邻边相等的平行四边形
2、四条边都相等的四边形
3、对角线互相垂直平分的四边形
4、对角线互相垂直的平行四边形
5、菱形的面积=两对角线乘积的一半
既是中心对称也是轴对称图形
正
方
形
1、四条边都相等
2、四个角都是直角
3、对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角。
平行四边形和特殊平行四边形的知识要点
图形名称
性质定理
判定定理
对称性
平
行
四
边
形
1、对边平行且相等
2、对角相等
3、对角线互相平分
1.两组对边分别平行的四边形。
2.两组对边分别相等的四边形。
3.两组对角分别相等的四边形
4.对角线互相平分的四边形
5.一组对边平行且相等的四边形。中来自心对称
图
形
矩
形
1、对边平行且相等
1、邻边相等的矩形是正方形
2、有个角是直角的菱形
3、对角线互相垂直平分且相等的四边形
既是中心对称也是轴对称图形
等
腰
梯
形
1、等腰梯形两腰相等、两底平行．
2、等腰梯形在同一底上的两个角相等．
3、等腰梯形的对角线相等．
1、两腰相等的梯形是等腰梯形．
2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．
3、对角线相等的梯形是等腰梯形．
2、对角相等且四个角都是直角
3、对角线互相平分且相等
1、有一个角是直角的平行四边形
2、对角线相等的平行四边形
3、有3个角是直角的四边形（1、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。2、三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）
(完整版)特殊四边形知识点梳理
特殊四边形知识点梳理一、平行四边形1、定义：（ ）的四边形叫做平行四边形。
2、性质：①平行四边形的对边（ ）②平行四边形的对边（ ）③平行四边形的对角（ ）④平行四边形的邻角（ ）⑤平行四边形的两条对角线（ ）⑥平行四边形是（ ），对称中心是（ ）3、判定①一组对边（ ）的四边形是平行四边形②两组对边（ ）的四边形是平行四边形③两组对边（ ）的四边形是平行四边形④两条对角线（ ）的四边形是平行四边形４、常用结论：①平行四边形的两条对角线把它分成了四个（ ）的小三角形（等底等高），分成了四对（ ）。
②平行线间的（ ）处处相等③任意两个全等三角形都可以拼成一个（）④( )四个内角度数比可以为a:b:a:b二、菱形1、定义：（ ）的平行四边形叫做菱形2、性质：①具有（）的一切性质②菱形的四条边（ ）③菱形的两条对角线（ ）④菱形的每一条对角线（ ）⑤菱形是（ ），也是（ ），对称轴是（ ）所在的直线⑥菱形面积等于底乘以高，也等于（ ）3、判定：①（ ）的平行四边形是菱形②（ ）的四边形是菱形③（ ）的平行四边形是菱形４、常用结论：①直角三角形中，（ ）等于斜边的平方②直角三角形中,30度的角所对的直角边是（ ）③如果２２＋１２＝（√5）2，那么以2、1、√5为边的三角形是( ）三、矩形1、定义：（ ）的平行四边形叫做矩形2、性质：①具有（）的一切性质②矩形四个角都是（ ）③矩形的两条对角线（ ）且相等④矩形是（ ）,也是轴对称图形,对称轴是（ ）的垂直平分线3.判定:①（ ）的平行四边形是矩形②（ ）的平行四边形是矩形4、常用结论：直角三角形( )等于斜边长的一半四、正方形：1、定义：（ ）的矩形叫做正方形边：（ ）都相等且对边平行 角：（ ）都是直角对角线：对角线互相（ ）且相等3、判定：①一组邻边相等的（ ）是正方形②（ ）的矩形是正方形 ③（ ）的菱形是正方形④对角线相等的（ ）是正方形五、梯形和等腰梯形1、定义： 梯形：一组对边（ ）而另一组对边（ ）的四边形叫做梯形等腰梯形：（ ）相等的梯形叫做等腰梯形2、性质:①等腰梯形（ ）的两个内角相等②等腰梯形（ ）相等。
特殊的平行四边形的性质与判定知识梳理
特殊的平行四边形的判定与性质一、考什么（知识梳理考点1:矩形、菱形、正方形的性质1、矩形:矩形的两条对角线，矩形的四个角都是。
2、菱形:菱形的对角线，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的四条边。
3、正方形:具有矩形、菱形的所有的性质。
4、对称性:矩形、菱形、正方形即是图形，也是图形。
考点2:菱形的面积S菱形=2lab （其中是a、b菱形的对角线的长考点3:矩形、菱形、正方形的判定1、矩形:（1有一个角是直角的是矩形。
（2 两条对角线的平行四边形是矩形。
（3三个角都是的四边形是矩形。
2、菱形:（1有一组邻边的平行四边形是菱形。
（2两条对角线的平行四边形是菱形。
（3四条边都相等的是菱形。
3、正方形:（1有一组邻边，并且有一个角是平行四边形是正方形。
（2有一组邻边的矩形是正方形。
（3有一个角是的菱形式正方形。
考点4:三角形的中位线：三角形的中位线第三边并且等于第三边的。
考点5:直角三角形斜边上的中线等于。
二、怎么考（例题精讲例1、如图,四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件—可使它成为矩形•例2、如图,矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行与坐标轴，点C在反比例函数221k k y x++=的图像上.若点A的坐标为(-2,-2,则k的值为(A. 1B. -3C. 4D. 1 或-3例3、如图,在一方形ABCD中.E为对角线AC上一点，连接EB、ED ,(1 求证:△ BEC DEC :(2延长BE交AD于点F若/ DEB=140 .求/ AFE的度数.例4、如图，在矩形ABCD中,E是BC边上的点,AE =BC ,DF丄AE ,垂足为F , 连接DE .例1图(1 求证:AB =DF ; (2 若AD =10,AB =6,求tan / EDF 的值.例5、如图,正方形ABCD 的边长为3a ,两动点 E 、F 分别从顶点 B 、C 同时开始以相同速度沿BC、CD运动，与△ BCF相应的△ EGH在运动过程中始终保持△ EGH◎△ BCF，对应边EG =BC ,B、E、C、G在一直线上。
特殊平行四边形知识点总结
特殊平行四边形知识点总结
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质：
所有这些图形都有对边相等且平行的性质，四条边都相等的图形是正方形，对角线互相平分的图形是平行四边形，对角线相等的图形是矩形，有一组邻边相等的图形是菱形。
判定方法小结：
判定平行四边形的方法有五种：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③两组对角分别相等；④对角线互相平分；
⑤一组对边平行且相等。
判定矩形的方法有四种：①有一个角是直角的平行四边形；
②对角线相等的平行四边形；③有三个角是直角的四边形；④对角线相等且互相平分的四边形。
判定菱形的方法有四种：①有一组邻边相等的平行四边形；
②对角线互相垂直的平行四边形；③四边都相等的四边形；④对角线互相垂直平分的四边形。
判定正方形的方法有七种：①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形；
③有一组邻边相等的矩形；④对角线互相垂直的矩形；⑤有一
个角是直角的菱形；⑥对角线相等的菱形；⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形。
基础达标训练：
1.两条对角线的四边形是平行四边形；
2.两条对角线的四边形是矩形；
3.两条对角线的四边形是菱形；
4.两条对角线的四边形是正方形；
5.两条对角线的平行四边形是矩形；
6.两条对角线的平行四边形是菱形；
7.两条对角线的平行四边形是正方形；
8.两条对角线的矩形是正方形；
9.两条对角线的菱形是正方形。
特殊平行四边形知识点总结及题型
新天宇教育授课讲义授课科目初三上册授课时间（2016.9．11）授课内容特殊的平行四边形1基础知识1.基础知识点(概念、公式）1.菱形菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．菱形的性质性质1菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．2.矩形矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形).矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)矩形性质1: 矩形的四个角都是直角．矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分．矩形的判定方法．矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形判定方法4：对角线相等且互相平分的四边形是矩形．2.正方形正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：①有一组邻边相等的平行四边形（菱形②有一个角是直角的平行四边形（矩形）正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．正方形的判定方法：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形．注意：1、正方形概念的三个要点：（1）是平行四边形；（2）有一个角是直角；（3）有一组邻边相等．2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.2.本节课的重点、难点（1）对平行四边形和特殊的几种图形的性质要注意理解（2）对证明特殊平行四边形的方法进行掌握3.学生容易混淆的知识点（1）各种四边形对角线的特点。
特殊平行四边形知识点总结及题型
特殊平行四边形知识点总结及题型特殊平行四边形知识点总结及题型特殊平行四边形是几何学中的重要概念，它包括矩形、菱形和正方形。
这些特殊平行四边形具有一些独特的性质和特征，它们在几何学、晶体学和工程学等领域都有广泛的应用。
本文将总结特殊平行四边形的定义、性质、判定方法和典型题型，以帮助读者更好地理解和掌握这些知识。
一、定义1、矩形：一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。
2、菱形：一个内角为锐角的平行四边形叫做菱形。
3、正方形：内角均为直角的平行四边形叫做正方形。
二、性质1、对边平行且相等。
2、对角线互相平分且相等。
3、四个内角均为90度。
4、邻角互补。
5、对角线与邻边组成的三角形为等腰直角三角形。
三、判定方法1、矩形 (1) 内角为直角。
(2) 对边平行且相等。
2、菱形 (1) 内角为锐角。
(2) 对边平行且相等。
3、正方形 (1) 内角均为直角。
(2) 对边平行且相等。
四、典型题型1、求特殊平行四边形的角度和周长。
2、证明特殊平行四边形的性质和判定方法。
3、解决与特殊平行四边形相关的实际问题。
五、扩展知识1、空间几何中的特殊平行四边形，如空间双面平行四边形等。
2、立体几何中的特殊平行四边形，如平行六面体等。
3、相关知识点，如三角函数、向量等在特殊平行四边形中的应用。
总之，特殊平行四边形是一个具有丰富内容和广泛应用的知识点。
理解和掌握这些特殊形状的特点和性质，对于解决相关问题以及进一步学习几何学、物理学等学科都具有重要意义。
希望读者通过阅读本文，能够对这些特殊平行四边形的定义、性质、判定方法和典型题型有更深入的理解和掌握，为进一步学习打下坚实的基础。
平行四边形知识点总结平行四边形知识点总结一、定义平行四边形是一种几何图形，具有两条相互平行的对边和两条对角线。
它是人类生活中常见的形状，具有广泛的应用价值。
二、性质1、平行四边形的对边平行且相等。
2、平行四边形的对角相等。
3、平行四边形的内角和为360度。
特殊的四边形知识梳理
特殊的四边形知识梳理
一、认识几种特殊的四边形的性质：
1．矩形：
（1）定义：当平行四边形有一个内角是直角时，我们把它叫做矩形。
（2）特征：
①矩形的四个角都是直角；
②矩形的对角线相等；
③矩形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心；
④矩形还是轴对称图形，它的对称轴共有两条，分别是两组对边中点的连线所在的直线；
⑤矩形具有平行四边形的一般性质.
2．菱形：
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（2）特征：
①菱形的四条边都相等；
②菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；
③菱形是轴对称图形，它有两条对称轴分别是两条对角线所在的直线；
④菱形具有平行四边形的一切性质.
（3）等腰梯形的性质：
①等腰梯形的两腰相等，两底平行；
②等腰梯形在同一底上的两个角相等；
③等腰梯形的两条对角线相等；
④等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底的垂直平分线是它的对称轴.
（4）三角形的中位线问题：
定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
三、解决四边形问题常用的转化方法：
第一种转化方式：将四边形问题转化为三角形或特殊的四边形；
第二种转化方式：在已知图形中局部构造特殊的图形；
第三种转化方式：通过平移或旋转将分散的条件和结论加以集中.。
特殊平行四边形知识点总结
特殊平行四边形知识点总结
嘿，朋友们！今天咱要来聊聊特殊平行四边形的知识点，这可太重要啦！
先来说说矩形吧。
矩形啊，就像是一个四平八稳的大力士。
比如说家里的门，大多都是矩形的吧。
它的四个角都是直角，这多稳当呀！而且对角线还相等呢！那可是相当厉害。
想象一下，如果门不是矩形的，是歪七扭八的形状，那可怎么开关呀！
接着是菱形。
菱形就像一个灵活的小精灵。
路上的一些交通标识牌就是菱形的哦！菱形的四条边都相等，多整齐。
还有啊，它的对角线互相垂直平分，是不是很神奇！就好像小精灵在空中灵活地飞舞。
还有正方形呢，正方形那可是特殊中的特殊呀！它既有矩形的特点，又有菱形的特点，简直就是个超级英雄！咱教室里的地砖很多就是正方形呢。
四周都相等，角也都是直角，完美！
咱学习这些特殊平行四边形的知识点有啥用呢？用处可大啦！以后咱盖房子、做设计，那不得用到这些知识嘛！要是不知道这些，那盖出来的房子说不定歪歪扭扭的呢！
所以啊，朋友们，一定要好好掌握这些知识点呀，它们就像我们的秘密武器，能帮我们解决好多问题呢！特殊平行四边形，真的超棒！。
特殊四边形的知识点、定义、性质、判定
特殊四边形知识点总结一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2）表示方法：用“□”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD 记作“□ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”． 2．熟练掌握性质：平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的． （1）角：对角相等，邻角互补； （2）边：对边分别平行且相等； （3）对角线：对角线互相平分；（4）面积：①S ==⨯底高ah ；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．（5）平行四边形不是轴对称图形。
3．平行四边形的判别方法①定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
②方法2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
③方法3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
④方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
⑤方法5：一组平行且相等的四边形是平行四边形。
二、几种特殊平行四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形； ② 一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形；② 一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．三、几种特殊四边形的有关性质（1）矩形： ①边：对边平行且相等；②角：四个角都是直角； ③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）． ⑤面积S =长×宽；A BD OC AD B CO【注意：矩形具有平行四边形的一切性质】（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； ④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）． ⑤面积S =底×高=对角线乘积的一半；【注意：菱形具有平行四边形的一切性质】（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相是直角；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450； ④对称性：轴对称图形（4条）．⑤面积S =边长×边长=对角线乘积的一半；【注意：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质】四、几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定： ①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形； ③有三个角是直角的四边形。
中考总复习：特殊的四边形--知识讲解(提高)
中考总复习：特殊的四边形—知识讲解（提高）【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定考点二、中点四边形相关问题1. 中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2. 若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等． 【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．考点三、重心1.线段的中点是线段的重心；三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍.平行四边形对角线的交点是平行四边形的重心。
【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用1.（2012•湛江）如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF 、再以对角线AE 为边作笫三个正方形AEGH ，如此下去…．若正方形ABCD 的边长记为a 1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a 2，a 3，a 4，…，a n ，则a n =___________．【思路点拨】求a 2的长即AC 的长，根据直角△ABC 中AB 2+BC 2=AC 2可以计算，同理计算a 3、a 4．由求出的【解析】∵a 2=AC ，且在直角△ABC 中，AB 2+BC 2=AC 2，【总结升华】考查了正方形的性质，以及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到a n 的规律是解题的关键． 举一反三：【高清课堂: 多边形与特殊平行四边形 例4】 【变式】(2011德州)长为1，宽为a 的矩形纸片（121<<a ），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n 此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a 的值为________．【答案】5或4. 2．（2015秋•宝安区校级期中）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC=6，BD=8，点P 是AC 延长线上的一个动点，过点P 作PE⊥AD，垂足为E ，作CD 延长线的垂线，垂足为E ，则|PE ﹣PF|= ．【思路点拨】延长BC 交PE 于G ，由菱形的性质得出AD ∥BC ，OA=OC=AC=3，OB=OD=BD=4，AC ⊥BD ，∠ACB=∠ACD ，由勾股定理求出AD ，由对顶角相等得出∠PCF=∠PCG ，由菱形的面积的两种计算方法求出EG ，由角平分线的性质定理得出PG=PF ，得出PE ﹣PF=PE ﹣PG=EG 即可． 【答案】4.8．【解析】解：延长BC 交PE 于G ，如图所示： ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，OA=OC=AC=3，OB=OD=BD=4，AC ⊥BD ，∠ACB=∠ACD ， ∴AD==5，∠PCF=∠PCG ，∵菱形的面积=AD •EG=AC •BD=×6×8=24， ∴EG=4.8， ∵PE ⊥AD ， ∴PE ⊥BG ， ∵PF ⊥DF ， ∴PG=PF ，∴PE ﹣PF=PE ﹣PG=EG=4.8． 故答案为：4.8．【总结升华】本题考查了菱形的性质、勾股定理、角平分线的性质定理、菱形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证出PG=PF是解决问题的关键．类型二、梯形的应用3．（2011•资阳）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC 上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F．（1）若点F与B重合，求CE的长；（2）若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长；（3）设CE=x，BF=y，写出y关于x的函数关系式（直接写出结果可）．【思路点拨】（1）先证明四边形ABED为矩形，CE=BC-AD，继而即可求出答案；（2）设AF=CE=x，则HE=x-3，BF=7-x，再通过证明△BEF∽△HDE，根据对应边成比例，然后代入求解即可；（3）综合（1）（2）两种情况，然后代入求出解析式即可．【答案与解析】（1）∵F与B重合，且EF⊥DE，∴DE⊥BC，∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=∠B=90°，∴四边形ABED为矩形，∴BE=AD=9，∴CE=12-9=3．（2）作DH⊥BC于H，则DH=AB=7，CH=3．设AF=CE=x，∵F在线段AB上，∴点E在线段BH上，CH=3，CE=x，∴HE=x-3，BF=7-x，∵∠BEF+90°+∠HED=180°，∠HDE+90°+∠HED=180°，∴∠BEF=∠HDE，【总结升华】本题考查直角梯形的知识，同时考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，是一道小的综合题，注意对这些知识的熟练掌握并灵活应用．举一反三：【变式】（2011•台湾）如图为菱形ABCD与正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD与GH相交于I 点，且AD∥HE．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，则梯形HEDI的面积为（）.Ａ．Ｂ．Ｃ．10-Ｄ．10+【答案】B.类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用【高清课堂:多边形与特殊平行四边形例7】4.（2014秋•莒南县期末）正方形ABCD边长为2，点E在对角线AC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°至DF的位置，连接AF，EF．（1）证明：AC⊥AF；（2）设AD2=AE×AC，求证：四边形AEDF是正方形；（3）当E点运动到什么位置时，四边形AEDF的周长有最小值，最小值是多少？【思路点拨】（1）由已知条件及正方形的性质易证△CDE≌△ADF，所以可得∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，进而可得∠CAF=90°，即AC⊥AF；（2）若AD2=AE×AC，再由条件∠CAD=∠EAD=45°，易证△EAD∽△DAC，所以∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，继而证明四边形AEDF为正方形；（3）当E点运动到AC中点位置时，四边形AEDF的周长有最小值，由（2）得CE=AF，则有AE+AF=AC=2，又DE=DF，所以四边形AEDF的周长l=AE+AF+DE+DF=4+2DE，则DE最小四边形的周长最小，问题得解．【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠CDA=90°，CD=AD，ED=FD，∠CAD=45°，∵将线段DE绕点D顺时针旋转90°至DF的位置，∴∠EDF=90°，∴∠CDE=∠ADF，在△CDE和△ADF中，，∴△CDE≌△ADF，∴∠ECD=∠DAF=45°，CE=AF，∴∠CAF=90°，即AC⊥AF；（2）∵AD2=AE×AC，∴∵∠CAD=∠EAD=45°，∴△EAD∽△DAC，∴∠AED=∠ADC=90°，即有∠AED=∠EDF=∠EAF=90°，又DE=DF，∴四边形AEDF为正方形（3）当E点运动到AC中点位置时，四边形AEDF的周长有最小值，理由如下：由（2）得CE=AF，则有AE+AF=AC=2，又DE=DF ，则当DE 最小时，四边形AEDF 的周长l=AE+AF+DE+DF=4+2DE 最小，当DE⊥AC 时，E 点运动到AC 中点位置时，此时DE=2四边形AEDF 的周长最小值为8．【总结升华】本题用到的知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及四边形周长最小值的问题、动点问题，题目的综合性较强，难度中等，是一道不错的中考题压轴题．5．（2012•自贡）如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC 、CD 上滑动，且E 、F 不与B 、C 、D 重合． （1）证明不论E 、F 在BC 、CD 上如何滑动，总有BE=CF ；（2）当点E 、F 在BC 、CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和△CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．【思路点拨】（1）先求证AB=AC ，进而求证△ABC 、△ACD 为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB 进而求证△ABE ≌△ACF ，即可求得BE=CF ； （2）根据△ABE ≌△ACF 可得ABES=ACFS,故根据S 四边形AECF =AECS+ACFS =AECS+ABES=ABCS即可解题；当正三角形AEF 的边AE 与BC 垂直时，边AE 最短．△AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最小，又根据CEFS=S 四边形AECF -AEFS，则△CEF 的面积就会最大．【答案与解析】（1）证明：连接AC ，如下图所示，∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°， ∴∠1=∠3， ∵∠BAD=120°， ∴∠ABC=60°，∴△ABC 和△ACD 为等边三角形， ∴∠4=60°，AC=AB ，∴在△ABE 和△ACF 中，134AB AC ABC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，6.的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH 的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x ≤2.5．（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；（2）记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1-S2是常数；（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．举一反三：【变式】如图，E是矩形ABCD边BC的中点，P是AD边上一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？请予以证明；（2）在（1）中，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？【答案】（1）AD=2AB．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD；∵E是BC的中点，∴AB=BE=EC=CD；则△ABE、△DCE是等腰Rt△；∴∠AEB=∠DEC=45°；∴∠AED=90°；四边形PFEH中，∠PFE=∠FEH=∠EHP=90°，故四边形PFEH是矩形；（2）点P是AD的中点时，矩形PHEF变为正方形；理由如下：由（1）可得∠BAE=∠CDE=45°；∴∠FAP=∠HDP=45°；又∵∠AFP=∠PHD=90°，AP=PD，∴Rt△AFP≌Rt△DHP；∴PF=PH；在矩形PFEH中，PF=PH，故PFEH是正方形．.。
特殊的四边形总结
知识点总结一、特殊的平行四边形1.矩形：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形。
（2）性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。
（3）判定定理：①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
②对角线相等的平行四边形是矩形。
③有三个角是直角的四边形是矩形。
直角三角形的性质：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半。
2.菱形：（1）定义：邻边相等的平行四边形。
（2）性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
（3）判定定理：①一组邻边相等的平行四边形是菱形。
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
③四条边相等的四边形是菱形。
（4）面积：3.正方形：（1）定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
（2）性质：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分。
正方形既是矩形，又是菱形。
（3）正方形判定定理：①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；②一组邻边相等，一个角为直角的平行四边形是正方形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④邻边相等的矩形是正方形⑤有一个角是直角的菱形是正方形；⑥对角线相等的菱形是正方形。
二、矩形、菱形、正方形与平行四边形、四边形之间的联系：1.矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，其性质都是在平行四边形的基础上扩充来的。
矩形是由平行四边形增加“一个角为90°”的条件得到的，它在角和对角线方面具有比平行四边形更多的特性；菱形是由平行四边形增加“一组邻边相等”的条件得到的，它在边和对角线方面具有比平行四边形更多的特性；正方形是由平行四边形增加“一组邻边相等”和“一个角为90°”两个条件得到的，它在边、角和对角线方面都具有比平行四边形更多的特性。
2.矩形、菱形的判定可以根据出发点不同而分成两类：一类是以四边形为出发点进行判定，另一类是以平行四边形为出发点进行判定。
而正方形除了上述两个出发点外，还可以从矩形和菱形出发进行判定。
三、判定一个四边形是特殊四边形的步骤：常见考法（1）利用菱形、矩形、正方形的性质进行边、角以及面积等计算；（2）灵活运用判定定理证明一个四边形（或平行四边形）是菱形、矩形、正方形；（3）一些折叠问题；（4）矩形与直角三角形和等腰三角形有着密切联系、正方形与等腰直角三角形也有着密切联系。
特殊的四边形（归纳）
特殊的平行四边形知识点一：矩形的定义要点诠释：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
（嘿嘿嘿）知识点二：矩形的性质要点诠释：矩形具有平行四边形所有的性质。
此外，它还具有如下特殊性质：1.矩形的四个角都是直角；2.矩形的对角线相等；推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3.矩形是轴对称图形也是中心对称图形。
知识点三：矩形的判定方法要点诠释：1. 用矩形的定义：一个角是直角的平行四边形是矩形；2.有三个角是直角的四边形是矩形；3.对角线相等的平行四边形是矩形；4.对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
知识点四：菱形的定义要点诠释：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.知识点五：菱形的性质要点诠释：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质：1.菱形的四条边相等。
2.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴。
知识点六：菱形的判定办法要点诠释：1.用菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2.四条边都相等的四边形是菱形；3.对角线垂直的平行四边形是菱形；4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
知识点七：正方形的定义要点诠释：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
知识点八：正方形的性质要点诠释：1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等；2.正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；3.正方形既是轴对称图形也是中心对称图形。
知识点九：正方形的判定方法要点诠释：1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2.有一组邻边相等的矩形是正方形；3.有一个角是直角的菱形是正方形.归纳整理，形成认知体系1．复习概念，理清关系2．集合表示，突出关系3．性质判定，列表归纳平行四边形矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定·两组对边分别平行；·两组对边分别相等；·一组对边平行且相等;·两组对角分别相等；·两条对角线互相平分.·有三个角是直角;·是平行四边形且有一个角是直角;·是平行四边形且两条对角线相等.·四边相等的四边形；·是平行四边形且有一组邻边相等；·是平行四边形且两条对角线互相垂直。
特殊平行四边形知识点总结
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质：平行四边形矩形菱形正方形图形性质1．对边且；2．对角；邻角；3．对角线；1．对边且；2．对角且四个角都是；3．对角线；1．对边且四条边都；2．对角；3．对角线且每条对角线；1．对边且四条边都；2．对角且四个角都是；3．对角线且每条对角线；面积2. 判定方法小结：(1) 判定平行四边形的方法：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(2) 判定矩形的方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
(3) 判定菱形的方法：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边都相等的四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
(4) 判定正方形的方法：①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；③有一组邻边相等的矩形是正方形；④对角线互相垂直的矩形是正方形；⑤有一个角是直角的菱形是正方形；⑥对角线相等的菱形是正方形；⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
请按照下图中的序号回答每一种判定需要满足的条件：3.基础达标训练：（1）两条对角线的四边形是平行四边形；（2）两条对角线的四边形是矩形；（3）两条对角线的四边形是菱形；（4）两条对角线的四边形是正方形；（5）两条对角线的平行四边形是矩形；（6）两条对角线的平行四边形是菱形；（7）两条对角线的平行四边形是正方形；（8）两条对角线的矩形是正方形；（9）两条对角线的菱形是正方形。
特殊的四边形知识点总结
特殊的四边形知识点总结一、四边形的定义四边形是指一个平面图形，其有四条边和四个顶点。
这些边可以相互连接，形成四个内角和四个外角。
二、四边形的性质1. 四边形的内角和为360度四边形的内角和总是等于360度，这是四边形的一个重要性质。
无论四边形是什么形状，其内角的和始终保持不变。
2. 对角线四边形的两条对角线是从一个顶点到另一个非相邻顶点的线段。
对角线有以下性质：（1）平行四边形的对角线相互平分；（2）菱形的对角线相互垂直，且相等；（3）矩形的对角线相等，并且相互平分；（4）正方形是矩形的特殊情况，故其对角线也相等且相互平分；（5）梯形和平行四边形的对角线在长度上有一定的关系，但并不一定相等。
3. 相邻角四边形的相邻角指两个相邻边所夹的角。
相邻角的关系取决于四边形的具体类型。
4. 对边四边形的对边指不共同顶点的两条边。
对边的关系也取决于具体的四边形类型。
5. 对角四边形的对角指由两个不相邻的顶点所确定的角。
对角的关系也有其特定的性质。
6. 平行四边形的性质平行四边形指具有两组对边分别平行的四边形。
平行四边形有以下性质：（1）相对的内角相等；（2）相对的外角相等；（3）对角线相互平分；（4）对边相等。
7. 矩形的性质矩形是一种特殊的平行四边形，它有以下性质：（1）对角线相等，并且相互平分；（2）相对的内角相等；（3）所有角都是直角；（4）对边相等。
8. 正方形的性质正方形是一种特殊的矩形，它有以下性质：（1）所有边相等；（2）所有角都是直角；（3）对角线相等，并且相互平分。
9. 菱形的性质菱形是一种特殊的平行四边形，它有以下性质：（1）对角线相等，并且相互垂直；（2）相对的内角相等；（3）所有边相等。
10. 梯形的性质梯形是一种具有两条平行边的四边形，它有以下性质：（1）底角和顶角互补；（2）底边和顶边平行；（3）非平行边之和等于底边和顶边。
11. 平行四边形的面积平行四边形的面积等于底边乘以高，即S=a*h，其中a为底边长，h为高。
特殊平行四边形知识点归纳
仅供个人学习参考特殊的平行四边形知识点归纳附：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2.平行四边形的性质 （1）边：平行四边形的对边平行且相等．（2）角：平行四边形的对角相等．（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分．（4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心． 3.平行四边形的判定方法（1）定义识别：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）用平行四边形的判定定理识别：判定定理①：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 判定定理②：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 判定定理③：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 4.三角形中位线（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．每个三角形都有三条中位线． （2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 5.直角三角形特殊性质（1）斜边上的中线等于斜边的一半。
（2)300所对的直角边等于斜边的一半。
（3）勾股定理矩形菱形正方形定义有一角是直角的平行四边形叫做矩形 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 有一组邻边相等．．．．．．并且有一个角是．．．．．直角．．的平行四边形．．．．．叫做正方形 性 质边对边平行且相等 对边平行，四边相等对边平行，四边相等 角 四个角都是直角 对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定·有一个角是直角的平行四边形;·有三个角是直角的四边形;·两条对角线相等的平行四边形;.·对角线相等且互相平分的四边形是矩形·有一组邻边相等的平行四边形；·四边相等的四边形；·两条对角线互相垂直的平行四边形;。
·对角线互相垂直平分的是四边形·有一组邻边相等的矩形； ·对角线互相垂直的矩形； ·有一个角是直角的菱形； ·对角线相等的菱形。
特殊四边形知识与考点解析
特殊四边形知识考点解析1．多边形的分类：2．平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别：（1）平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形不相邻两个顶点连成的线段叫对角线。
性质：平行四边形对边相等。
平行四边形对角相等, 邻角互补.平行四边形的对角线互相平分。
若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（2）菱形：定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半（面积计算，即S 菱形=L1.L2/2）。
（3）矩形：定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质：矩形的对角线相等；四个角都是直角。
矩形的判别方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且平分的四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。
直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半；在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半。
（4）正方形：定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
正方形的性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。
正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
（5）梯形：定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形。
特殊的四边形 知识点总结
四边形总结一、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.性质：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③两组对角分别相等；④对角线互相平分 .判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .注意：一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形；一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,如：等腰梯形 .二、矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.也就是长方形.性质：1．矩形的四个角都是直角2．矩形的对角线相等3．矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）.4．对边平行且相等5．对角线互相平分6．平行四边形的性质都具有.判定：1．有一个角是直角的平行四边形是矩形2．四个内角都相等的四边形为矩形3．有三个角是直角的四边形是矩形4．对角线相等的平行四边形是矩形5．对角线互相平分且相等的四边形是矩形6．对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形三、菱形：定义：邻边相等的平行四边形。
性质：1、对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角；2、四条边都相等；3、对角相等，邻角互补；4、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形,5、在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的根号三倍。
6、菱形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的一切性质。
四、正方形：定义：有一个角是直角的菱形。
或者邻边相等的矩形。
性质：1.矩形和菱形的性质它都有。
2.对角线相等且相互垂直平分。
3.对角线平分每一组对角。
4．四边相等，四角相等。