高考高三数学总复习教案：抛物线

第九章平面解析几何第9课时抛物线错误!

考情分析考点新知

建立并掌握抛物线的标准方程，能根据已知

条件求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简

单几何性质，能运用抛物线的几何性质处理

一些简单的实际问题．

１了解抛物线的定义、几何图形和标准方

程，了解它们的简单几何性质.

２掌握抛物线的简单应用.

１．已知抛物线的焦点坐标是（0，—３），则抛物线的标准方程是________．

答案：x２＝—１２y

解析：∵ 错误!＝３，∴p＝6，∴x２＝—１２y.

２．抛物线y２＝—8x的准线方程是________．

答案：x＝２

解析：∵ ２p＝8，

∴p＝４，故所求准线方程为x＝２．

３．抛物线y＝ax２的准线方程是y＝２，则a的值是________．

答案：—错误!

解析：抛物线的标准方程为x２＝错误!y.则a＜0且２＝—错误!，得a＝—错误!.

４．（选修１１P４４习题２改编）抛物线y２＝４x上一点M到焦点的距离为３，则点M的横坐标x ＝________．

答案：２

解析：∵ ２p＝４，∴p＝２，准线方程x＝—１．由抛物线定义可知，点M到准线的距离为３，则x＋１＝３，即x＝２．

５．已知斜率为２的直线l过抛物线y２＝ax（a＞0）的焦点F，且与y轴相交于点A，若△OAF（O 为坐标原点）的面积为４，则抛物线方程为________．

答案：y２＝8x

解析：依题意得，OF＝错误!，又直线l的斜率为２，可知AO＝２OF＝错误!，△AOF的面积等于错误!·AO·OF＝错误!＝４，则a２＝6４．又a＞0，所以a＝8，该抛物线的方程是y２＝8x.

１．抛物线的定义

平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）距离相等_的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

２．抛物线的标准方程和几何性质（如下表所示）

标准方程y２＝２px（p>0）y２＝—２px（p>0）

图形

性质

范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R

准线

方程

x＝—错误!x＝错误!焦点错误!错误!对称轴关于x轴对称

顶点（0，0）

离心率e＝１

标准方程x

２＝２py（p>0）x２＝—２py（p>0）

图形

性质范围y≥0，x∈R y≤0，x∈R 准线

方程

y＝—错误!y＝错误!焦点错误!错误!对称

轴

关于y轴对称

顶点（0，0）

离心

率

e＝１

题型１求抛物线的基本量

例１抛物线y２＝8x的焦点到准线的距离是________．

答案：４

解析：由y２＝２px＝8x知p＝４，又焦点到准线的距离就是p，所以焦点到准线的距离为４．

错误!

抛物线y２＝—8x的准线方程是________．

答案：x＝２

解析：∵２p＝8，∴p＝４，准线方程为x＝２．

题型２求抛物线的方程

例２（选修１１P４４习题５改编）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线２x—y—

４＝0上，求抛物线的标准方程．

解：直线２x—y—４＝0与x轴的交点是（２，0），与y轴的交点是（0，—４）．由于抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，则１若抛物线焦点在x轴上，则抛物线的标准方程是y２＝8x；２若抛物线焦点在y轴上，则抛物线的标准方程是x２＝—１6y；故所求抛物线方程为y２＝8x或x２＝—１6y.

错误!

已知Rt△AOB的三个顶点都在抛物线y２＝２px上，其中直角顶点O为原点，OA所在直线的方程为y＝错误!x，△AOB的面积为6错误!，求该抛物线的方程．

解：∵ OA⊥OB，且OA所在直线的方程为y＝错误!x，OB所在直线的方程为y＝—错误!x，

由错误!得A点坐标为错误!，

由错误!得B点坐标为（6p，—２错误!p），

∴OA＝错误!|p|，OB＝４错误!|p|，

又S△OAB＝错误!p２＝6错误!，∴p＝±错误!.

∴该抛物线的方程为y２＝３x或y２＝—３x.

题型３抛物线的几何性质探究

例３在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（２，２），其焦点F在x轴上．

（１）求抛物线C的标准方程；

（２）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；

（３）设过点M（m，0）（m>0）的直线交抛物线C于D、E两点，ME＝２DM，记D和E两点间的距离为f（m），求f（m）关于m的表达式．

解：（１）由题意，可设抛物线C的标准方程为y２＝２px.因为点A（２，２）在抛物线C上，所以p ＝１.因此抛物线C的标准方程为y２＝２x.

（２）由（１）可得焦点F的坐标是错误!，又直线OA的斜率为错误!＝１，故与直线OA垂直的直线的斜率为—１，因此所求直线的方程是x＋y—错误!＝0．

（３）（解法１）设点D和E的坐标分别为（x１，y１）和（x２，y２），直线DE的方程是y＝k（x—m），k≠0．

将x＝错误!＋m代入y２＝２x，有ky２—２y—２km＝0，解得y１，２＝错误!.

由ME＝２DM知１＋错误!＝２（错误!—１），化简得k２＝错误!.

因此DE２＝（x１—x２）２＋（y１—y２）２＝错误!（y１—y２）２＝错误!错误!＝错误!（m２＋４m），所以f（m）＝错误!错误!（m>0）．

（解法２）设D错误!，E错误!.

由点M（m，0）及错误!＝２错误!，得错误!t２—m＝２错误!，t—0＝２（0—s）．因此t＝—２s，m＝s２.

所以f（m）＝DE＝错误!＝错误!错误!（m>0）．

错误!

抛物线y２＝２px的准线方程为x＝—２，该抛物线上的每个点到准线x＝—２的距离都与到定点N 的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线l１：y＝x和l２：y＝—x 相切的圆，（１）求定点N的坐标；

（２）是否存在一条直线l同时满足下列条件：

１l分别与直线l１和l２交于A、B两点，且AB中点为E（４，１）；

２l被圆N截得的弦长为２．

解：（１）因为抛物线y２＝２px的准线方程为x＝—２．所以p＝４，根据抛物线的定义可知点N 是抛物线的焦点，所以定点N的坐标为（２，0）．

（２）假设存在直线l满足两个条件，显然l斜率存在，设l的方程为y—１＝k（x—４），k≠±１．以N为圆心，同时与直线l１：y＝x和l２：y＝—x 相切的圆N的半径为错误!.因为l被圆N截得的弦长为２，所以圆心到直线的距离等于１, 即d＝错误!＝１，解得k＝0或错误!，当k＝0时，显然不合AB中点为E （４，１）的条件，矛盾，当k＝错误!时，l的方程为４x—３y—１３＝0．由错误!，解得点A的坐标为（１３，１３）；由错误!，解得点B的坐标为错误!.显然AB中点不是E（４，１），矛盾，所以不存在