(精选)近世代数练习题题库

§1 第一章 基础知识

1 判断题：

1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。（ ）

1.2 A ×B = B ×A （ ）

1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f

。（ ） 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。( )

1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。（ ）

1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ）

1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。（ ）

1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。( )

2

填空题：

2.1 若A={0,1} , 则A A= __________________________________。

2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。

2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。

2.4 设A={1,2}, 则A A=_____________________。 2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。

2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。

2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。

2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。

2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.

2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.

2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.

2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。

2.13 设A =｛a , b, c ｝，那么A 的所有不同的等价关系的个数为______________。

2.14 设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：[][]b a ,是两个等价类。则[][]⇔=b a ______________。

2.15 设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A ______________。

2.16 设A =｛1, 2, 3, 4, 5, 6｝，规定A 的等价关系～如下：a ～ b ⇔2|a-b ，那么A 的所有不同的等价类是______________ 。

2.17 设M 是实数域R 上的全体对称矩阵的集合，～是M 上的合同关系，则由～给出M 的所有不同的等价类的个数是______________。

2.18 在数域F 上的所有n 阶方阵的集合M n （F ）中，规定等价关系~:A~B ⇔秩(A)=秩

(B)，则这个等价关系决定的等价类有________个。

2.19 设M 100 (F)是数域F 上的所有100阶方阵的集合,在M 100 (F)中规定等价关系~如下：A~B ⇔秩(A)=秩(B)，则这个等价关系所决定的等价类共有_______个。

2.20 若 M={有理数域上的所有3级方阵},A,B M,定义A~B 秩(A)=秩(B),则由”~”确定的等价类有_____________________个。

3 证明题：

3.1 设φ是集合A 到B 的一个映射，对于A b a ∈,，规定关系“~”：)()(~b a b a φφ=⇔．证明：“~”是A 的一个等价关系．

3.2 在复数集C 中规定关系“~”：||||~b a b a =⇔．证明：“~”是C 的一个等价关系．

3.3 在n 阶矩阵的集合)(F M n 中规定关系“~”：||||~B A B A =⇔．证明：“~”是)(F M n 的一个等价关系．

3.4 设“~”是集合A 的一个关系，且满足：（1）对任意A a ∈，有a a ~；（2）对任意A c b a ∈,,，若,~,~c a b a 就有c b ~．证明：“~”是A 的一个等价关系．

3.5 设G 是一个群，在G 中规定关系“~”：⇔b a ~存在于G g ∈，使得ag g b 1-=．证

明：“~”是G 的一个等价关系．

第二章 群论

1 判断题：

§2.1 群的定义.

1.1 设非空集合G 关于一个乘法运算满足以下四条：

(A) G 对于这个乘法运算都是封闭的； (B)a,b,cG ，都有(ab)c=a(bc)成立；

(C) 存在G ，使得aG ，都有ea=a 成立； (D)aG ，都存在aG ，使得aa=e 成立。

则G 关于这个乘法运算构成一个群。 ( )

1.2 设非空集合G 关于一个乘法运算满足以下四条：

A ）G 对于这个乘法运算是封闭的；

B ）∀a,b,c ∈G ，都有（ab ）c=a(bc)成立；

C ）存在e r ∈G ，使得∀a ∈G ，都有ae r =a 成立；

D ）∀a ∈G ，都存在a 1-∈G ，使得a 1-a=e r 成立。

则G 关于这个乘法运算构成一个群。（ ）

1.3 设G 是一个非空集合,在G 中定义了一个代数运算,称为乘法,如果(1)G 对乘法运算是封闭的(2)G 对乘法适合结合律(3)G 对乘法适合消去律,则G 构成群。 ( )

1.4 设G 是一个有限非空集合,G 中定义了一个代数运算称为乘法,如果(1). G 对乘法运算是封闭的;(2). 乘法适合结合律与消去律,则G 对所给的乘法构成一个群。( )

1.5 实数集R 关于数的乘法成群。（ ）

1.6 若G 是一个n 阶群,aG,|a|表示a 的阶,则|a|。( )

1.7 若 |a|=2,|b|=7,ab=ba,则|ab|=14。

1.8 设Q 为有理数集，在Q 上定义二元运算“ ”，a b=a+b+ab(),(,, Q Q b a 则∈∀)构成一个群。（ ）

§2.2 变换群、置换群、循环群

1.9 一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。（ ）

1.10 一个集合A 的所有变换作成一个变换群G.( )

1.11 集合A 的所有的一一变换作成一个变换群。（ ）

1.12 素数阶群都是交换群。（ ）

1.13 p （p 为质数）阶群G 是循环群．（ ）

1.14 素数阶的群G 一定是循环群.( )

1.15 3次对称群3S 是循环群。（ ）

1.16 任意群都同构于一个变换群．（ ）

1.17 有限群都同构于一个置换群。( )

1.18 任何一个有限群都与一个循环群同构。（ ）

1.19 在5次对称群5S 中，(15)(234)的阶是6.( )

1.20 在4次对称群S 4中，（12）（324）的阶为6。（ ）

1.21 在5S 中，(12)(345)的阶是3。 ( )

1.22 任意有限群都与一个交换群同构。（ ）

1.23 因为22阶群是交换群，所以62阶群也为交换群。（ ）

1.24 6阶群是交换群。（ ）。

1.25 4阶群一定是交换群。（ ）

1.26 4阶群一定是循环群。（ ）

1.27 循环群一定是交换群。（ ）