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近世代数期末考试题库1

世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设A＝B＝R(实数集），如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R,则是从A到B的（ c ）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有( d ）个元素。

A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b， a，b∈G都有解，这个解是(b ）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样）4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等.5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合;,则有-1,0，1，-2，2。

2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环.4、偶数环是整数环的子环。

5、一个集合A的若干个—-变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。

6、每一个有限群都有与一个置换群同构。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a 的逆元是a-1。

8、设和是环的理想且,如果是的最大理想,那么---—-—-—-。

9、一个除环的中心是一个—域---——.三、解答题（本大题共3小题,每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

奇1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换，为偶置换。

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近世代数期末考试题库1世代数模拟试题⼀⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题，每⼩题3分，共15分)在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均⽆分。

1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ c ） A 、满射⽽⾮单射 B 、单射⽽⾮满射C 、⼀⼀映射D 、既⾮单射也⾮满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ d ）个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中⽅程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（b ）乘法来说A 、不是唯⼀B 、唯⼀的C 、不⼀定唯⼀的D 、相同的(两⽅程解⼀样)4、当G 为有限群，⼦群H 所含元的个数与任⼀左陪集aH 所含元的个数（c ）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不⼀定相等。

5、n 阶有限群G 的⼦群H 的阶必须是n 的（d ）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。

错填、不填均⽆分。

1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B -1,0,1,-2,2。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的单位元。

3、环的乘法⼀般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是⼀个交换环。

4、偶数环是整数环的⼦环。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成⼀个群，则这个群的单位元是1，元a 的逆元是a-1。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最⼤理想，那么---------。

9、⼀个除环的中⼼是⼀个-域-----。

三、解答题（本⼤题共3⼩题，每⼩题10分，共30分）1、设置换σ和τ分别为：=6417352812345678σ，??=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。

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近世代数题库(总12页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除群一、填空题1. 设4)(x x f =是复数集到复数集的一个映射, 则)1(1-f ={_______}.2. 设τ=(134),σ=(13)(24), 则τσ=____________________.3. 群G 的元素a 的阶是m ，b 的阶是n ，ba ab =，则≤ab ，如果),(m n = 1，则=ab_____.4. 设<a >是任意一个循环群.若|a |=∞，则<a >与________________同构；若|a |=n ，则<a >与______________同构.5. 设σ=（14）（235），τ=（153）（24），则|σ| = ____，στσ1- =______.6. 设群G 的阶为m ，G a ∈，则=m a .7. 设“～”是集合A 的一个关系，如果“～”满足_________________，则称“～”是A 的元素间的一个等价关系.8. 设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S 5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)， τ是 (奇、偶)置换.9. 设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 .10. 一个群G 的非空子集H 做成一个子群的充分必要条件是 .11. 设G 为群，若对于任意的元G b a ∈,，都有ba ab =，则称群G 为群.12.n 次对称群n S 的阶是____________.13.设G =<a >是10阶循环群，则G 的全部生成元有，G 的子群有个，分别是 .14.设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=Hb Ha .15.设G =<a >是循环群，则G 与整数加群同构的充要条件是 .16．在3次对称群3S 中，H ＝{(1),(123),(132)}是3S 的一个正规子群，则商群H S 3中的元素(12)H ＝{}.17．如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 .18.设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A .19. 凯莱定理说：任一个群都与一个同构.20. 设G =<a >是12阶循环群, 则G 的生成元集合为｛｝.21. 一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数叫做H 在G 中的 .22. 设G 是一个pq 阶群，其中q p ,是素数，则G 的子群的一切可能的阶数是 ____ .23. 写出S 3的一个非平凡的正规子群_____.24. 已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 .25. 一个有限非可换群至少含有____________个元素.26. 设G 是p 阶群（p 是素数），则G 的生成元有____________个.27. 一个有限群中元素的个数叫做这个群的 .28.设R 是实数集，规定R 的一个代数运算ab b a 2:= ，（右边的乘法是普通乘法），就结合律、交换律而言，“ ”适合如下运算律： .29. 设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=bH aH .30. 写出三次对称群3S 的子群()(){}13,1=H 的一切左陪集 .31. 如果G 是一个含有15个元素的群，那么，G 有个5阶子群，对于∀∈a G ，则元素a 的阶只可能是___________.32.设G 是一个pq 阶群，其中q p ,都是素数，则G 的真子群的一切可能的阶数是，G 的子群的一切可能的阶数是 .33. 已知群G 中的元素a 的阶等于n ，则k a 的阶等于n 的充分必要条件是 .34. 设(G ，·)是一个群，那么对于∀∈b a ,G ，(ab )－1＝___________.k36．若一个群G 的每一个元都是G 的某一个固定元a 的方幂，则G 称为 .37．5-循环置换)31425(=π，那么=-1π .38．设G 为群，G N ≤，且对于任意的G a ∈，有，则N 叫做G 的正规子群.39. 设G 为乘群，G a ∈，则能够使得e a m =的最小正整数m ，叫做a 的___________.设G 为加群，G a ∈，则能够使得的最小正整数m ，叫做a 的阶.40．设τ＝(1243)(235)∈5S ，那么1-τ＝___ _.τ是 (奇、偶)置换.41. 设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：则a 所在的等价类a ={ ｝.42. 设A ={d c b a ,,,}，则A 到A 的映射共有________个，A 到A 的一一映射共有 ________个，A A ⨯到A 的映射共有________个（A 上可以定义个代数运算）.43. 设G 是6阶循环群，则G 的生成元有____________个.44. 非零复数乘群*C 中由i -生成的子群是____________.45. )125(=σ，)246(=τ，则στ的阶数等于 .46．素数阶群G 的非平凡子群个数等于____________.47. 设G 是一个n 阶交换群，a 是G 的一个m （n m ≤）阶元，则商群><a G 的阶等于 .48. 设σ是集合A 到集合B 的一个映射,则存在B 到A 的映射τ,使στσ⇔=A 1 为 ;存在B 到A 的映射τ,使σστ⇔=B 1为 .49. 若群G 中的每个元素的阶都有限,则称G 为群. 若群G 中除了单位元外,其余元素的阶都无限,则称G 为群.50. n 阶循环群有个生成元,有且仅有个子群.51. 若n k ,则n 阶循环群>=<a G 必有k 阶子群,其k 阶子群为 .52. 在同构意义下,4阶群只有两个,一个是4阶循环群,另一个是 .53. 在同构意义下,6阶群只有两个,一个是6阶循环群,另一个是 .54. 非交换群G 的每个子群都是其正规子群,则称G 为群.55. n 元置换)(21k i i i 的阶为，=-12121)])([(m k j j j i i i .二、选择题1. 设R B A == (实数集)，如果A 到B 的映射R x x x ∈∀+→,2:ϕ,则ϕ是从A 到B 的（）.A) 满射而非单射; B) 单射而非满射;C) 一一映射; D) 既非单射也非满射.2.3S 中可以与(123)交换的所有元素有（）.A) (1),(123),(132); B) (12),(13),(23); C) (1),(123); D)3S 中的所有元素.3.设15Z 是以15为模的剩余类加群，那么15Z 的子群共有（）个.A) 2 B) 4 C) 6 D) 8.4. 设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （）.A) 11--a bc B) 11--a c C) 11--bc a D) ca b 1-.5. 设f 是复数集到复数集的一个映射. 如果对任意的复数x ，有4)(x x f =，则))1((1f f -=( ).A) {1，-1}; B) {i ，-i }; C) {1， -1，i ，-i }; D) 空集.6. 设A ={所有实数}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集A 的同态满射的是( ).A) x x 10→ B) x x 2→ C) x x → D) x x -→.7. 设G 是实数集，定义乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数,那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（）.A) 1和x -； B) 1和0； C) -k 和k x 2-； D)k -和)2(k x +-.8.下面的集合对于给定的代数运算不能成为群的是( ).A) 全体整数对于普通减法; B) 全体不为零的有理数对于普通乘法;C) 全体整数对于普通加法; D) 1的3次单位根的全体对于普通乘法.9. 设G 是群,c b a ,,是群G 中的任意三个元素, 则下面阶数可能不相等的元素对为( ).A)ba ab , B) bac abc , C) 1,-bab a D) 1,-a a .10. 设R 是实数集合,规定R 的元素间的四个关系如下,( )是R 的等价关系.A)b a aRb ≤⇔; B) 0≥⇔ab aRb ; C) 022≥+⇔b a aRb ; D) ab aRb ⇔<0.11.设G 是一个半群，则下面的哪一个不是做成群的充要条件( ).A) G 中有左单位元，同时G 中的每个元素都有左逆元；B) 对于G 中任意元素a 和b ，G 中恰好有一个元素x 满足a x =b ；同时G 中恰好有一个元素y满足y a =b ；C) G 中有单位元，同时G 中的每个元素都有逆元；D) 在G 中两个消去律成立.12.设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,. 如果子群H 的阶是6，那么G 的阶=G （）.A) 6 B) 24 C) 10 D) 1213. 三次对称群3S = {(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，那么下面关于3S 的四个论述中，正确的个数是( ).(1) 3S 是交换群；(2) 3S 的2阶互异子群有三个；(3) 3S 的3阶互异子群有两个；(4) 3S 的元素(123)和(132)生成相同的循环群.A) 1 B ) 2 C) 3 D) 414. 设Z 15是以15为模的剩余类加群，那么，Z 15的子群共有（）个。

近世代数试题及答案

近世代数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是群的性质？A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案：D2. 有限群的阶数为n，那么它的子群的个数至少为：A. nB. 1C. n-1D. n+1答案：B3. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案：A4. 群G的阶数为n，那么它的元素的阶数不可能是：A. 1B. nC. 2D. n+1答案：D5. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律，那么称S为________。

答案：半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。

答案：格3. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R为________。

答案：交换环4. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R为________。

答案：交换环5. 一个群G中，如果存在一个元素a，使得对于任意的g∈G，都有ag=ga=e，则称a为G的________。

答案：单位元三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述子群和正规子群的区别。

答案：子群是群G的非空子集H，满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中，并且H对于G的运算是封闭的。

正规子群是子群N，满足对于任意的g∈G和n∈N，都有gng^-1∈N。

2. 请解释什么是群的同态和同构。

答案：群的同态是两个群G和H之间的函数f，满足对于任意的g1，g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。

群的同构是同态，并且是双射，即存在逆映射。

3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。

答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得ab=0，则称a和b 为零因子。

如果环R中不存在零因子，则称R为无零因子环。

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近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题３分,共15分)在每小题列出得四个备选项中只有一个就就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。

错选、多选或未选均无分。

１、设Ａ＝Ｂ=R(实数集）,如果Ａ到Ｂ得映射:x→x+２,ｘ∈R,则就就是从Ａ到B得( ）Ａ、满射而非单射ﻩB、单射而非满射C、一一映射ﻩﻩﻩD、既非单射也非满射２、设集合Ａ中含有5个元素，集合B中含有２个元素,那么,Ａ与Ｂ得积集合A×B中含有( )个元素。

A、2 ﻩﻩﻩB、5 Ｃ、7ﻩﻩﻩﻩD、10３、在群G中方程ａx=b,yａ=b, a,b∈Ｇ都有解,这个解就就是( ）乘法来说Ａ、不就就是唯一 B、唯一得 C、不一定唯一得Ｄ、相同得(两方程解一样) 4、当G为有限群,子群Ｈ所含元得个数与任一左陪集aH所含元得个数( ）Ａ、不相等Ｂ、0 C、相等 D、不一定相等。

5、n阶有限群G得子群Ｈ得阶必须就就是n得( )A、倍数B、次数Ｃ、约数 D、指数二、填空题(本大题共10小题,每空３分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

１、设集合；,则有------－--。

2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae＝ea=a,则e称为环R得-－-－---－。

3、环得乘法一般不交换。

如果环Ｒ得乘法交换，则称Ｒ就就是一个-－－--－。

4、偶数环就就是-－----－--得子环。

５、一个集合Ａ得若干个－-变换得乘法作成得群叫做Ａ得一个-----－－-。

6、每一个有限群都有与一个置换群－-------。

7、全体不等于0得有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群得单位元就就是---,元ａ得逆元就就是------－。

８、设与就就是环得理想且,如果就就是得最大理想，那么--－－-－--－。

９、一个除环得中心就就是一个--－－---。

三、解答题(本大题共3小题,每小题1０分,共30分)１、设置换与分别为:,，判断与得奇偶性,并把与写成对换得乘积。

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世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ c ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ d ）个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（b ）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（c ）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（d ）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是一个交换环。

4、偶数环是整数环的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个变换全。

6、每一个有限群都有与一个置换群同构。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 1 ，元a 的逆元是1-a 。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么---------。

9、一个除环的中心是一个-域-----。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换σ和τ分别为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。

近世代数练习题(附答案)

《近世代数》练习题（附答案）一.选择题1. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算2a b a b =+ ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律2. 在群G 中,a G ∈, a 的阶为12, 则8a 的阶为 ( B )(A) 12 (B) 3 (C) 4 (D) 63．在7次对称群7S 中(25)(437)π=和(13)(546)λ=, 则πλ等于（ A ）(A) (1376524) (B) (137)(6524) (C) (65)(24137) (D) (1746253)4．在一个无零因子环R 中,,a b R ∈,,0a b ≠对加法来说,有( C )(A) a 的阶<3b 的阶 (B) a 的阶>3b 的阶(C) a 的阶=3b 的阶 (D) 4a 的阶>3b 的阶5．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子6. 假定φ是A 与A 间的一一映射,A a ∈, 则)]([1a φφ-和)]([1a -φφ分别为 ( D )(A) a , a (B) 无意义, a (C) 无意义,无意义 (D) a ,无意义7. 在群G 中, G b a ∈,, 则方程b ax =和b ya =分别有唯一解为 ( B )(A) 1-ba , b a 1- (B) b a 1-, 1-ba (C) a b 1-, b a 1- (D) b a 1-, 1-ab8. 设M 是正整数集, 则对任意的,a b R ∈, 下面“o ”是代数运算的是( B ) (A) b a b a = (B) b a b a = (C) 2a b a b =+- (D) 2a b ab =- 9. 设M 是实数集, 代数运算是普通加法，下列映射是M 的自同构的是( D )(A) 2x x → (B) sin x x → (C) x x → (D) 5x x →-10. 在偶数阶群G 中阶等于2的元数为 ( A )(A) 奇数 (B) 偶数 (C) 1 (D) 不可确定11．在5次对称群5S 中元1(15)(24)π=和2(154)π=的乘积12ππ是（ D ）(A) (14)(25) (B) (124) (C) (152) (D) (142)12．若群G 的阶为48, G 的真子群H 的阶不可能为 ( C )(A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 2413．群G 中元a 的阶为24中，那么G 的循环子群9()a 的阶为 ( C )(A)3 (B) 4 (C) 8 (D) 914.在一个环R 里如果有一个消去律成立，那么下面不正确的是( B )(A) 另一个消去律也成立 (B) R 中非零元都有逆元(C) R 是无零因子环 (D) R 中非零元对加法的阶都一样15．假定F 是一个域，则一元多项式环[]F x 一定是 ( A )(A) 欧式环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定16．设12,εε为唯一分解环I 中单位, a 是I 中任意元，则下列正确的是 ( B )(A) 12εε+ 也是单位 (B) 12,εε互为相伴元(C) 12,εε 都是a 的真因子 (D) a 有唯一分解17．一个30个元的域的特征可能是( A )(A) 5 (B) 6 (C) 10 (D) 1518．假定域R 与R 同态, 则R 是（ C ）(A) 域 (B) 整环 (C) 环 (D) 除环19．若I 是一个唯一分解环,I a ∈且a 21p p =和a 21q q =(其中2121,,,q q p p 都为素元),则下列说法正确的是 ( D )(A) 1p 与1q 互为相伴元 (B) 1p 与1q 互为相伴元和2p 与2q 互为相伴元(C) 2p 与2q 互为相伴元 (D) 1p 与1q 互为相伴元或1p 与2q 互为相伴元20．假定)(a 和)(b 是整环I 的两个主理想, 若)()(b a =, 则 ( A )(A) b 是a 的相伴元 (B) b 与a 互素 (C) b 是a 的真因子 (D) |b a 21．=A {所有整数},令τ: 2a a →,当a 是偶数;21+→a a ,当a 是奇数.则τ为 ( B )(A) 单射变换 (B) 满射变换 (C) 一一变换 (D) 不是变换22．若)(a G =,且a 的阶为有限整数n ,则下列说法正确的是 ( A )(A) G 与模n 的剩余类加群同构 (B) G 的阶可能无限(C) 元21012,,,,,---n a a a a a 中没有相同元 (D) G 与整数加群同构23．若R 是一个特征为有限整数n 的无零因子环，且R b a ∈,，则（ D ）(A) 0,00≠≠⇒=b a b a (B) 21n n n =，其中21,n n 为素数(C) 存在R 中元c 的阶为无限整数 (D) R 对乘法成立两个消去律24. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( C ) (A)22a b b a b =+ (B)b a b a= (C) 22a b a ab b =-+ (D) 10a b a b += 25. 在群G 中, ,,a b c G ∈, 则方程xaxba xbc =的唯一解为 ( D )(A)11abca b -- (B) 111bca a b --- (C) 111a b a bc --- (D) 111a bca b ---26．在6次对称群6S 中123456326514π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ A ） (A) 5 (B) 24 (C) 12 (D) 627．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个28．假定F 是一个域，则一元多项式环[]F x 一定是 ( B )(A) 除环 (B) 欧式环 (C) 域 (D) 无法确定29．若Q 是一个域, 不正确的是 ( B )(A) Q 是交换除环 (B) Q 对乘法作成群(C) Q 无零因子 (D) Q 中不等于零的元都有逆元30．若I 是主理想环, p 是I 中素元, 且I b a ∈, 则 ( C )(A) 主理想)(p 不是I 的最大理想 (B) a 没有唯一分解(C) 若p |ab ,有p |a 或p |b (D) I /()p 不是域31. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算a b a b =- ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律32. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( A )(A) 2a b a b =+ (B)b a b a= (C) a b b a = (D) 10a a b = 33. 在群G 中, ,a b G ∈, 则方程xaxb xb =的唯一解为 ( D )(A)1aba - (B) 11a b -- (C) 11ba b -- (D) 1a -34．在5次对称群5S 中1234532541π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ B ）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 535．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个36．假定R 是一个整环，则一元多项式环[]R x 一定是 ( A )(A) 整环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定37. 在16阶循环群()G a =中 , 循环子群6()a 的阶为 ( D )(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 838．一个有8个元的域的特征是( A )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 839．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子40．若群G 的阶为48, G 的子群H 的阶为16，则H 在G 中的指数为( C )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 441. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算a b a b =- ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律42. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( C ) (A)a b b a = (B)b a b a= (C) 2a b a b =+ (D) 10a a b = 43. 在群G 中, ,a b G ∈, 则方程xaxb xb =的唯一解为 ( C )(A)1aba - (B) 11a b -- (C) 1a - (D) 11ba b --44．在5次对称群5S 中1234532541π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ B ） (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 545．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个46．假定R 是一个整环，则一元多项式环[]R x 一定是 ( A )(A) 整环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定47. 在16阶循环群()G a =中 , 循环子群6()a 的阶为 ( D )(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 848．一个有8个元的域的特征是( )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 849．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子50．若群G 的阶为48, G 的子群H 的阶为16，则H 在G 中的指数为( C )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二．填空题1.设是集合A 的元间的一个等价关系,那么满足反射律、对称律、推移律 .2.若G 为群,,,a b c G ∈,则3211()b c a c --- 123c ac b .3.循环群()a 的阶是50，则它的子群15()a 的阶是 10 .4. 群G 的中心N 是G 的一个不变子群.5.n 次对称群n S 的阶为 !n .6.假定B A ⊂,那么B A A , B A B .7. 假定A 和A 同态, A 和A 同态, 则A 和A 也同态 .8. 在群G 中, G b a ∈,, 则方程b ya =有唯一解为 1ba .9.设集合A 的元数为3 ，那么A 共有子集 8 个，A 的元间的关系共有 512 个.10.若G 为群, 方程1x ax bx -=的唯一解为 1ba .11.一个有限非可换群至少含有______ 6 ______个元素 .12.设~是集合A 的元间的一个等价关系,那么~满足自反律、对称律、推移律 .13.若G 为群,,,a b c G ∈,则211()bc a --- 21ac b .14.5次对称群5S 的阶为 120 .15.若φ是环R 与R 的同态满射, 则同态核中元都是R 中单位元 e 的逆象，且同态核是R 的一个理想 .16.设A 是有单位元的交换环R 的一个最大理想，那么剩余类环R A 是一个域 .17.在整数环Z 中，理想(3,7)等于主理想（1） .18.设9Z 为模9的剩余类环，那么[5]的负元为 [4] ，逆元为【2】 .19.设G 是17阶群，则G 的生成元有 16 个.20.除环的最大理想是零理想 .21.设R 是模7的剩余类环，在多项式环[]R x 中2([6][4])([2][5])x x x +-+=32[6][6]x x x -++22.设10Z 为模10的剩余类环，那么[3]的负元为 [7] ，逆元为[7] .23.在整数环I 中，主理想()()a b =当且仅当b 是a 的相伴元 .24.设{,,}A a b c =,{,,,}R aRa aRc cRa cRc =.那么由R 决定的A 的分类为 {,},{}a c b .25.设I 是一个唯一分解环，那么多项式环[]I x 是唯一分解环.26.设9Z 为模9的剩余类环，那么[7]的负元为 [2] ，逆元为[4] .27.设I 是一个唯一分解环，那么I 的元12,,,n a a a 的两个最大公因子d 和d '相差一个相伴元 .28.若群的元a 的阶是15，b 的阶是8,且ab ba =, 则8a 和ab 的阶分别是 15 和 120 .29.在一个特征为p 的无零因子的交换环R 中,有p 为素数,且()p a b += p p a b + .30. 若群G 的阶为60, G 的子群H 的阶为15，则H 在G 中的指数为 4 .31. 若φ是环R 与R 的同态满射,则对,,a b c R ∈，它们的象分别为,,a b c ,则元()a b c +的象为 ()a b c + .32.设A 是环R 的一个最大理想，那么包含A 的R 的理想仅有 A 和R .33.在整数环Z 中，理想(42,35)等于主理想（7） .34.在唯一分解环I 中，若素元p 能整除ab ，则p 必能整除 ,a b 中一个元 .35. 若G 是由集合A 的全体一一变换所作成, 则G 是一个变换群.36.若R 是有单位元的交换环,则R 的主理想)(a 中的元有形式为 ,ra r R . 37.0R 是有单位元的交换环, x 是0R 的子环R 上的未定元, 则仅当 010n a a a时,才有010=+++n n x a x a a 成立.38. R 是一个有单位元的环, 且}0{≠R ，则在R 中必有一个元没有逆元, 它是 0 ; 必有两个元有逆元,它们是 1和-1 .39．唯一分解环I 中的元a 和b 的两个最大公因子d 和d '只能差一个相伴元 .40.设}2,1{=A ,}4,3{=B .那么=⨯B A { （1，3），（1，4），（2，3），（2，4） } .41.若群G 和集合G 同态,则G 是群 ,并且有G 中元e 和1-a 的象为G 中元e 和1a .42.在无零因子环R 中,如果对R b a ∈,有0=ab , 那么必有 0a 或0b .43.群的元a 的阶是n ，若d 是整数r 和n 的最大公因子，则r a 的阶是 n d. 44.在一个域Q 中,若有0,0,,≠≠∈d b Q d c b a ,则=+d c b a ad bc bd. 45.设φ是环R 与R 的同态满射, 则φ的核是环R 的一个理想 . 46.在整环中必有一个元没有逆元,它是 0 ; 必有两个元有逆元,它们是 1和-1 .47.整环I 的元a 是][x I 的多项式)(x f 的根, 当且仅当)(x f 能被 xa 整除.三．判断题1．设}4,3,2,1{=A ,则能找到A A ⨯到A 的一一映射. ( × )2．无限群中的元的阶都无限. ( × )3．除环的最大理想是单位理想. ( × )4．整环中的素元只能有有限个数的因子. （ × ）5．任何欧式环一定是主理想环，也一定是唯一分解环. ( √ )6．A 为不等于零的实数的全体,那么普通除法适合结合律. ( × )7．有限群中存在某个元的阶无限. ( × )8．假定域R 与R 同态, 则R 也是域. ( × )9．整环中的单位ε同素元p 的乘积p ε还是一个素元. ( √ )10．除环除了零理想和单位理想还有其它理想. ( × )四．解答题1. 用循环置换的方法写出三次对称群3S 的全体元.说明集合})23(,)1({=N 是3S 的子群,并且写出N 的所有左陪集.解: )}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S ,(2分) 因为N 是有限集合, 由)1()1)(1(=,)23()23)(1(=,)23()1)(23(=,)1()23)(23(=知N 是封闭的,所以N 是3S 的子群.(4分) N 的全体左陪集为(6分):)}23(),1{()23()1(==N N ,)}132(),12{()132()12(==N N ,)}123(),13{()123()13(==N N .2. 求模6的剩余类环F 的所有子环.解：因为剩余类环F 是循环加群，所有子环为主理想：([1]),([2]),([3]),([6]).3. 设A 是整数集,规定A 中元间的关系R 如下:)6(b a aRb ≡⇔说明R 是A 中元间的等价关系,并且写出模6的所有剩余类.解：因为对任意的整数 c b a ,,有（1）反射律： a 与a 模6同余;(2分)（2）对称律：若a 与b 模6同余，那么必有b 与a 模6同余;(2分)（3）推移律：若a 与b 模6同余，b 与c 模6同余，那么必有a 与c 模6同余, 所以R 是A 中元间的等价关系.(2分)模6的全体剩余类为(6分):},12,6,0,6,12,{]0[ --=, },13,7,1,5,11,{]1[ --=,},14,8,2,4,10,{]2[ --=, },15,9,3,3,9,{]3[ --=,},16,10,4,2,8,{]4[ --=, },17,11,5,1,7,{]5[ --=.4.求出阶是32的循环群()a 的所有子群.这些子群是否都是不变子群.解: 因为()a 为循环群,所以()a 为交换群,又因为32的所有正整数因子为：1，2，4，8，16,36. (2分) 所以循环群()a 的所有子群为循环子群：()a ，2()a ,4()a ，8()a ，16()a 360()(){}a a e ==. (8分)并且这些子群都是不变子群. (10分)5.设Z 是整数环，请把Z 的理想(3)(4)和(3,4)的元列出来.解: Z 是整数环，理想(3)(4)和(3,4)如下：(3)(4){,9,6,3,0,3,6,9,}{,12,8,4,0,4,8,12,}=------ (2分){,24,12,0,12,24,}=-- (4分)(12)= (6分) (3,4)(1){,3,2,1,0,1,2,3,}Z ===--- (10分)6.设R 是模8的剩余类环，在一元多项式环[]R x 中把32([2][7][3])([5][2])x x x x +--+计算出来，并求432()[4][5][2][7]f x x x x x =-+-+的导数. 解: R 是模8的剩余类环(1) 32([2][7][3])([5][2])x x x x +--+543322[2][5][2][2][2][7][5][7][7][2][3][5][3][3][2]x x x x x x x x =-++-+-+- (1分)543322[2][2][4][3][7][6][7][3][6]x x x x x x x x =-++-+-+- (3分) 5432[2][2][7][6][6]x x x x x =-+-+- (5分)(2) 多项式432()[4][5][2][7]f x x x x x =-+-+的导数为32()4[1]3[4]2[5][2]f x x x x '=-+- (2分)32[4][4][2][2]x x x =-+-.7.找出对称群3S 的所有子群.解:因为3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =，它的子群的阶只可能为：1，2，3，6.所以它的所有子群为：1阶子群1{(1)}H =； (1分) 2阶子群21{(1),(12)}H =，22{(1),(13)}H =，23{(1),(23)}H =； (4分) 3阶子群3{(1),(123),(132)}H =； (5分) 6阶子群3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =。

近世代数考试试题题库

近世代数考试试题题库近世代数是一门研究代数结构的数学分支，它主要研究群、环、域等代数结构的性质和它们之间的关系。

以下是一份近世代数考试试题题库的示例内容：一、选择题1. 以下哪个不是群的公理？A. 单位元存在性B. 可逆性C. 交换律D. 结合律2. 一个集合G，配合一个二元运算*，若满足以下条件，则G是一个群：A. 存在单位元B. 每个元素都有逆元C. 运算满足结合律D. 所有上述条件3. 在群G中，若a属于G，a的阶是最小的正整数n，使得a^n等于单位元，那么a的阶是：A. 1B. nC. 0D. G的阶4. 以下哪个是有限群的拉格朗日定理的表述？A. 群的子群的阶总是群的阶的因子B. 群的子群的阶等于群的阶C. 群的子群的阶总是群的阶的倍数D. 群的阶总是其子群的阶的倍数5. 环R中，若存在单位元1，并且对于任意的a, b属于R，都有a*b=b*a，则R是一个：A. 群B. 域C. 交换环D. 模二、填空题6. 群的______性质保证了每个元素都有逆元。

7. 一个有单位元的结合环，如果其每个非零元素都有逆元，则这个环称为一个______。

8. 一个环的加法群是阿贝尔群，如果它的加法运算满足______律。

9. 一个环R中，如果a^2 = a对于所有a属于R，则R被称为______环。

10. 一个域的特征是2，这意味着域中1+1=______。

三、简答题11. 解释什么是子群，并给出一个不是子群的例子。

12. 描述拉格朗日定理，并说明它在群论中的重要性。

13. 什么是环的雅各比恒等式，并解释它在交换环中的意义。

14. 举例说明什么是有限域，并讨论它的性质。

15. 解释什么是主理想环，并讨论它与环的整性之间的关系。

四、证明题16. 证明：如果H是群G的一个子群，那么G/H的阶等于[G:H]。

17. 证明：任何群的子群都是阿贝尔的当且仅当该群本身是阿贝尔的。

18. 证明：如果R是一个有单位元的交换环，并且对于任意的a, b属于R，都有a*b = b*a，则R是一个域。

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世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每一小题3分，共15分)在每一小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多项选择或未选均无分。

1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，如此ϕ是从A 到B 的〔 c 〕 A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有〔 d 〕个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是〔b 〕乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、一样的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数〔c 〕A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的〔d 〕A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每一小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，如此有=⨯A B 。

2、假如有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，如此e 称为环R 的单位元。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换，如此称R 是一个交换环。

4、偶数环是整数环的子环。

5、一个集合A 的假如干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个变换全。

6、每一个有限群都有与一个置换群同构。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，如此这个群的单位元是1，元a 的逆元是a-1。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最某某想，那么---------。

9、一个除环的中心是一个-域-----。

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§1 第一章基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

（）1.2 A ×B = B ×A （）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。

（） 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。

( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。

（）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（）1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。

（）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。

( )2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A A= __________________________________。

2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。

2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。

2.4 设A={1,2}, 则A A=_____________________。

2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。

2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。

2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有个。

2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义个从A 到B 的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。

2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。

近世代数期末考试题库45962

近世代数模拟试题一一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共15 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设A＝B＝R（实数集），如果A到 B 的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（）个元素。

A、2B、 5 C 、7 D、103、在群G中方程ax=b，ya=b，a,b ∈G都有解，这个解是（）乘法来说A、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的（两方程解一样）4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）A、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G的子群H的阶必须是n 的（）A、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数二、填空题（本大题共10 小题，每空 3 分，共30 分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设集合 A 1,0,1； B 1,2，则有 B A ------------------------ 。

2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则 e 称为环R的。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R的乘法交换，则称R是一个。

4、偶数环是--- 的子环。

5、一个集合 A 的若干个-- 变换的乘法作成的群叫做 A 的一个。

6、每一个有限群都有与一个置换群-- 。

7、全体不等于0 的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是--- ，元a 的逆元是。

8、设I 和S是环R 的理想且I S R，如果I 是R的最大理想，那么----- 。

9、一个除环的中心是一个-- 。

三、解答题（本大题共 3 小题，每小题10 分，共30 分）1、设置换和分别为：12345678，12345678，判断和的奇偶性，并把和64173528 23187654写成对换的乘积。

近世代数测试试卷(满分100)

近世代数测试试卷（满分100）姓名学号分数一、判断题（对的打√，错的打×，共30分,每小题2分）1.设G 是群，则群G 的任意两个子群的并仍是群G 的子群。

（）2. 一个群G 同它的每个一个商群G N同态；（） 3.一个子群的右陪集的个数和左陪集的个数一定相等；（）4.一个有限群G 的任一个元a 的阶都是整除G 的阶；（）5.整数加群Z 是个无限循环群；（）6.S(M)双射变换群关于变换的乘法作成一个群；（）7.仅有集合A 的元间的一个等价关系不一定能确定A 的一个分类；（）8.所有一一变换不一定作成一个变换群；（）9.设G 为整数群，则G 对运算b a b a ⋅=作成一个群；（）10.A R =，A 的代数运算是普通乘法，则映射2x x →为A 的自同构映射；（）11.一个集合的所有一一变换可以作成一个变换群；（）12.整数加群Z 是个无限循环群；（）13.群G 的不变子群N 的不变子群M 必是G 的不变子群；（） 14 n 次单位根乘群n U 是一个n 阶循环群；（）15.A={所有有理数}，A 对于普通加法来说可以自同构；（）二、填空题（共30分,每小题2分）1. 无限循环群一定和同构；2. n 次对称群n S 的任意子群，都叫做一个n 次置换群；3.设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为；4. G 是一个群，假定G 和G 对于它们的乘法来说，则G 是一个群；5.任何一个群都同一个同构；6.素数阶有限群G 的子群个数等于；7.一个群G 的一个不空有限子集H 作为G 的一个子群的充分而且必要条件是；8.一个群G 的一个子群N 的陪集所作成的群叫做；9. 设G 是p 阶群，（p 是素数），则G 的生成元有个；10.一个群G 的一个子群H 的的个数叫做H 在G 里的指数；11. 含有n 元素的任意集合共有个双射变换；12.如果群G 可由一个元素a 生成，则称G 为由a 生成的一个；13.以集合A 的所有子集为元素的集合为A 的幂集，记为()P A ，若集合A 含有n 个元素，则()P A = ；14.M 为实数集，运算23a b a b =+ （满足或不满足）结合律；15.设群G 中元素a 的阶是n ，则k a n =⇔ ；三、解答题（共40分,每小题8分）1. 设{}{}{}=1,2,A B D ==奇,偶，验证()1,2=12→：奇是一个A B ⨯到D 的代数运算。

(精选)近世代数练习题题库

§ 1 第一章基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么 A 同 B = {x x = A 且x = B}。

( )1.2 A ×B = B ×A ( )1.3 只要f 是 A 到 A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射 f - 1 。

( )1.4 如果Q 是 A 到 A 的一一映射,则Q [Q (a)]=a 。

( )1.5 集合 A 到 B 的可逆映射一定是 A 到 B 的双射。

( )1.6 设A 、 B 、 D 都是非空集合，则 A 根 B 到D 的每个映射都叫作二元运算。

( )1.7 在整数集 Z 上，定义“o ”：a o b=ab(a,b∈Z)，则“ o ”是 Z 的一个二元运算。

( )1.8 整数的整除关系是 Z 的一个等价关系。

( )2 填空题：2.1 若 A={0,1} , 则 A A= __________________________________ 。

2.2 设 A = {1， 2}， B = {a ， b}，则 A×B =_________________ 。

2.3 设={1,2,3} B={a,b}, 则 A 根 B=_______。

2.4 设 A={1,2}, 则 A A=_____________________ 。

2.5 设集合 A = {- 1,0,1}； B = {1,2} ，则有 B 根 A = 。

2.6 如果 f 是A 与 A 间的一一映射， a 是 A 的一个元，则 f - 1 [f(a)] = 。

2.7 设 A = { a 1, a 2 ,…a 8 }，则 A 上不同的二元运算共有个。

2.8 设 A 、B 是集合， | A | ＝ | B |＝3，则共可定义个从 A 到 B 的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。

2.9 设 A 是 n 元集， B 是 m 元集，那么 A 到 B 的映射共有____________个.2.10 设 A={a,b,c}，则 A 到 A 的一一映射共有__________个.2.11 设 A={a,b,c,d,e}，则 A 的一一变换共有______个.2.12 集合 A 的元间的关系~ 叫做等价关系，如果 ~ 适合下列三个条件： _____________________________________________ 。

近世代数试题库

近世代数一、单项选择题1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则B A ⋂=（）A 、{1，2，3，4}B 、{2，3，6，7}C 、{2，3}D 、{1，2，3，5，6，7}答案：C2、循环群与交换群关系正确的是（）A 、循环群是交换群B 、交换群是循环群C 、循环群不一定是交换群D 、以上都不对答案：A3、下列命题正确的是（）A 、n 次对换群n S 的阶为!nB 、整环一定是域C 、交换环一定是域D 、以上都不对答案：A4、关于陪集的命题中正确的是（）设H 是G 的子群，那么A 、对于,,bH aH ∀有φ=⋂bH aH 或bH aH =B 、 H a H aH ∈⇔=C 、 H b a bH aH ∈⇔=-1D 、以上都对答案：D5、设A=R （实数域）， B=R+（正实数域） f :a →10a a ∈A 则 f是从A 到B 的（）A 、单射B 、满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射答案：D6、有限群中的每一个元素的阶都（）A 、有限B 、无限C 、为零D 、为1答案：A7、整环（域）的特征为（）A 、素数B 、无限C 、有限D 、或素数或无限答案：D8、若S 是半群,则( )A 、任意,,,S c b a ∈都有a(bc)=(ab)cB 、任意,,S b a ∈都有ab=baC 、必有单位元D 、任何元素必存在逆元答案：A9、在整环Z 中，6的真因子是（）A 、1,6±±B 、2,3±±C 、1,2±±D 、3,6±±答案：B10、偶数环的单位元个数为（）A 、0个B 、1个C 、2个D 、无数个答案：A11、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（）A 、集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；B 、n A A A ,,,21 的次序不能调换；C 、n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同；D 、一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。

近世代数10套试题

《近世代数》试卷1（时间120分钟）二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）循环群的子群是循环子群。

2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。

3. （）存在一个4阶的非交换群。

4. （）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。

5. （）无零因子环的特征不可能是2001。

6. （）无零因子环的同态象无零因子。

7. （）模97的剩余类环Z97是域。

8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。

9. （）域是唯一分解整环。

10. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。

一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。

2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。

3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。

4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。

5. 环Z6的全部零因子是。

6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3 ]中有两种本。

（共3０分）1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．（１）写出H＝< a>的所有元素．（２）计算H的所有左陪集和所有右陪集．（３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。

3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。

四、证明题（共30分）1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明（１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；（２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。

近世代数模拟试题及答案

近世代数模拟试题及答案一、选择题1. 下列哪个集合不是群？A. 自然数集NB. 整数集ZC. 有理数集QD. 实数集R答案：A2. 在群G中，若a, b属于G，且a*b=b*a对所有a, b成立，则称G 为交换群。

以下哪个不是交换群？A. 整数加法群B. 奇数乘法群C. 偶数乘法群D. 所有实数的加法群答案：C二、填空题1. 一个环R，如果满足乘法交换律，则称R为_________。

答案：交换环2. 有限群的阶是指群中元素的个数，设群G的阶为n，则群G的拉格朗日定理表明，G的任何子群的阶都是n的_________。

答案：因数三、简答题1. 解释什么是子群，并给出一个例子。

答案：子群是指一个群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下封闭，并且包含G的单位元。

例如，整数集Z在加法运算下构成自然数集N的一个子群。

2. 描述什么是环的零因子，并给出一个例子。

答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得a*b=0，则称a和b为零因子。

例如，在模6的剩余类环Z6中，元素3和3是零因子，因为3*3=9≡0 (mod 6)。

四、计算题1. 给定群G={1, a, a^2, a^3}，其中a^4=1，求证G是一个群，并找出它的所有子群。

答案：首先验证群的四个基本性质：- 封闭性：对于任意g, h属于G，g*h也属于G。

- 结合律：对于任意g, h, k属于G，(g*h)*k = g*(h*k)。

- 单位元：1是G的单位元，因为对于任意g属于G，1*g = g*1 = g。

- 逆元：对于任意g属于G，存在g的逆元g^(-1)，使得g*g^(-1) = g^(-1)*g = 1。

例如，a的逆元是a^3。

G的子群有：- {1}：平凡子群。

- {1, a^2}：由a^2的幂构成的子群。

- G本身：{1, a, a^2, a^3}。

2. 证明在任何交换环中，如果a和b是可逆元素，则它们的乘积ab也是可逆的。

答案：设a和b是交换环R中的可逆元素，存在a^(-1)和b^(-1)使得a*a^(-1)=1且b*b^(-1)=1。

近世代数（含答案）

近世代数（含答案）近世代数一、单项选择题1、6阶有限群的任何一个子群一定不是（ C ）。

A ．2阶 B ．3阶 C ．4阶 D ．6阶2、设G 是群，G 有（ C ）个元素，则不能肯定G 是交换群。

A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个3、下面的代数系统(,*)G 中，（ D ）不是群。

A ．G 为整数集合，*为加法B ．G 为偶数集合，*为加法C ．G 为有理数集合，*为加法D ．G 为有理数集合，*为乘法4、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ C ）是子群。

A ．{}aB ．{},a eC ．{}3,e aD ．{}3,,e a a5、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ）A ．*a b a b =?B ．{}*max ,a b a b =C ．*2a b a b =+D ．a b a b +=?二、填空题1、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于（ 25 ）。

2、一个有单位元的无零因子的（交换环）称为整环。

3、群的单位元是（唯一）的，每个元素的逆元素是（唯一）的。

4、一个子群H 的右、左陪集的个数（相等）。

5、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的（特征）。

6、设群G 中元素a 的阶为m ，如果na e =，那么m 与n 存在整除关系为（ |m n ）。

7、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则1[()]ff a ?=（ a ）。

8、循环群的子群是（循环群）。

9、若{}2,5A =，{}1,0,2B =?，则A B ×=（ {}(2,1),(2,0),(2,2),(5,1),(5,0),(5,2)?? ）。

10、如果G 是一个含有15个元素的群，那么，对于a G ?∈，则元素a 的阶只可能是（ 1,3,5,15 ）。

三、问答题 1、什么是集合A 上的等价关系？举例说明。

【答案】设R 是某个集合上的一个二元关系。

近世代数期末考试题库完整

近世代数期末考试题库完整近世代数模拟试题⼀⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题，每⼩题3分，共15分)在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均⽆分。

1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（）A 、满射⽽⾮单射B 、单射⽽⾮满射C 、⼀⼀映射D 、既⾮单射也⾮满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（）个元素。

A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中⽅程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（）乘法来说A 、不是唯⼀B 、唯⼀的C 、不⼀定唯⼀的D 、相同的(两⽅程解⼀样)4、当G 为有限群，⼦群H 所含元的个数与任⼀左陪集aH 所含元的个数（）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不⼀定相等。

5、n 阶有限群G 的⼦群H 的阶必须是n 的（）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。

错填、不填均⽆分。

1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。

3、环的乘法⼀般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是⼀个------。

4、偶数环是---------的⼦环。

5、⼀个集合A 的若⼲个--变换的乘法作成的群叫做A 的⼀个--------。

6、每⼀个有限群都有与⼀个置换群--------。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成⼀个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。

8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最⼤理想，那么---------。

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§1 第一章基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

（）1.2 A ×B = B ×A （）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。

（） 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。

( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。

（）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（）1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。

（）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。

( )2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A A= __________________________________。

2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。

2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。

2.4 设A={1,2}, 则A A=_____________________。

2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。

2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。

2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有个。

2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义个从A 到B 的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。

2.13 设A =｛a , b, c ｝，那么A 的所有不同的等价关系的个数为______________。

2.14 设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：[][]b a ,是两个等价类。

则[][]⇔=b a ______________。

2.15 设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A ______________。

2.16 设A =｛1, 2, 3, 4, 5, 6｝，规定A 的等价关系～如下：a ～ b ⇔2|a-b ，那么A 的所有不同的等价类是______________ 。

2.17 设M 是实数域R 上的全体对称矩阵的集合，～是M 上的合同关系，则由～给出M 的所有不同的等价类的个数是______________。

2.18 在数域F 上的所有n 阶方阵的集合M n （F ）中，规定等价关系~:A~B ⇔秩(A)=秩(B)，则这个等价关系决定的等价类有________个。

2.19 设M 100 (F)是数域F 上的所有100阶方阵的集合,在M 100 (F)中规定等价关系~如下：A~B ⇔秩(A)=秩(B)，则这个等价关系所决定的等价类共有_______个。

2.20 若 M={有理数域上的所有3级方阵},A,B M,定义A~B 秩(A)=秩(B),则由”~”确定的等价类有_____________________个。

3 证明题：3.1 设φ是集合A 到B 的一个映射，对于A b a ∈,，规定关系“~”：)()(~b a b a φφ=⇔．证明：“~”是A 的一个等价关系．3.2 在复数集C 中规定关系“~”：||||~b a b a =⇔．证明：“~”是C 的一个等价关系．3.3 在n 阶矩阵的集合)(F M n 中规定关系“~”：||||~B A B A =⇔．证明：“~”是)(F M n 的一个等价关系．3.4 设“~”是集合A 的一个关系，且满足：（1）对任意A a ∈，有a a ~；（2）对任意A c b a ∈,,，若,~,~c a b a 就有c b ~．证明：“~”是A 的一个等价关系．3.5 设G 是一个群，在G 中规定关系“~”：⇔b a ~存在于G g ∈，使得ag g b 1-=．证明：“~”是G 的一个等价关系．第二章群论1 判断题：§2.1 群的定义.1.1 设非空集合G 关于一个乘法运算满足以下四条：(A) G 对于这个乘法运算都是封闭的； (B)a,b,cG ，都有(ab)c=a(bc)成立；(C) 存在G ，使得aG ，都有ea=a 成立； (D)aG ，都存在aG ，使得aa=e 成立。

则G 关于这个乘法运算构成一个群。

( )1.2 设非空集合G 关于一个乘法运算满足以下四条：A ）G 对于这个乘法运算是封闭的；B ）∀a,b,c ∈G ，都有（ab ）c=a(bc)成立；C ）存在e r ∈G ，使得∀a ∈G ，都有ae r =a 成立；D ）∀a ∈G ，都存在a 1-∈G ，使得a 1-a=e r 成立。

则G 关于这个乘法运算构成一个群。

（）1.3 设G 是一个非空集合,在G 中定义了一个代数运算,称为乘法,如果(1)G 对乘法运算是封闭的(2)G 对乘法适合结合律(3)G 对乘法适合消去律,则G 构成群。

( )1.4 设G 是一个有限非空集合,G 中定义了一个代数运算称为乘法,如果(1). G 对乘法运算是封闭的;(2). 乘法适合结合律与消去律,则G 对所给的乘法构成一个群。

( )1.5 实数集R 关于数的乘法成群。

（）1.6 若G 是一个n 阶群,aG,|a|表示a 的阶,则|a|。

( )1.7 若 |a|=2,|b|=7,ab=ba,则|ab|=14。

1.8 设Q 为有理数集，在Q 上定义二元运算“ ”，a b=a+b+ab(),(,, Q Q b a 则∈∀)构成一个群。

（）§2.2 变换群、置换群、循环群1.9 一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。

（）1.10 一个集合A 的所有变换作成一个变换群G.( )1.11 集合A 的所有的一一变换作成一个变换群。

（）1.12 素数阶群都是交换群。

（）1.13 p （p 为质数）阶群G 是循环群．（）1.14 素数阶的群G 一定是循环群.( )1.15 3次对称群3S 是循环群。

（）1.16 任意群都同构于一个变换群．（）1.17 有限群都同构于一个置换群。

( )1.18 任何一个有限群都与一个循环群同构。

（）1.19 在5次对称群5S 中，(15)(234)的阶是6.( )1.20 在4次对称群S 4中，（12）（324）的阶为6。

（）1.21 在5S 中，(12)(345)的阶是3。

( )1.22 任意有限群都与一个交换群同构。

（）1.23 因为22阶群是交换群，所以62阶群也为交换群。

（）1.24 6阶群是交换群。

（）。

1.25 4阶群一定是交换群。

（）1.26 4阶群一定是循环群。

（）1.27 循环群一定是交换群。

（）1.28 设G 是群，a, b ∈G, |a|=2, |b|=3, 则|ab|=6。

（）1.29 14阶交换群一定是循环群。

（）1.30 如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。

（）1.31 有理数加群Q 是循环群。

（）1.32 若一个循环群G 的生成元的个数为2，则G 为无限循环群。

（）§2.3 子群、不变子群。

1.33 若H 是群G 的一个非空子集，且∀a,b ∈H 都有ab ∈H 成立，则H 是G 的一个子群。

（）1.34 若H 是群G 的一个非空有限子集，且∀a,b ∈H 都有ab ∈H 成立，则H 是G 的一个子群。

（）1.35 循环群的子群也是循环群。

（）1.36 如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。

（）1.37 一个阶是11的群只有两个子群。

（）1.38 有限群G 中每个元素a 的阶都整除群G 的阶。

（）1.39 设G 是一个n 阶群，m|n ，则G 中一定有m 阶子群存在。

（）1.40 若G 是60阶群,则G 有14阶子群。

( )1.41 设G 是60 阶群，则G 有40阶子群。

（）1.42 阶为100的群一定含25阶元。

（）1.43 阶为100的群一定含25阶子群。

（）1.44 阶为81的群G 中，一定含有3阶元。

（）1.45 设H 是群G 的一个非空子集，则H H H G H =⋅⇔≤-1。

（）1.46 设H 是群G 的一个非空子集，则H H H G H ⊇⋅⇔≤-1。

（） 1.47 群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。

（）1.48 群G 的一个子群H 元素个数与H 的每一个左陪集aH 的个数相等. （）1.49 指数为2的子群不是不变子群。

（）1.50 若N ∆H,H ∆G ，则N ∆G 。

( )1.51 若N 是群G 的不变子群,N 是群N 的不变子群,则N 是G 的不变子群。

( )1.52 设H ≤G ，K ≤G ，则HK ≤G 。

（）1.53 若N N ，H G 那么NH G 。

（）§2.4 商群、群的同态定理。

1.54 群之间的同态关系是等价关系。

（）1.55 循环群的商群是循环群。

（）1.56 设f ：G G →是群G 到群G 的同态满射，a ∈G ，则a 与f (a)的阶相同。

（）1.57 设G 是有限群，H ≤G ，则||||||H G H G =。

（） 1.58 若ϕ是群G 到G 的同态满射，N 是G 的一个不变子群，则ϕ（N ）是G 的不变子群，且N G ≅)(N G ϕ 。

( )1.59 设f 是群G 到群-G 的同态映射，H ∆G ，则 f(H) ∆-G 。

（）1.60 设f 是群G 到群-G 的同态映射， H ≤G 则 f(H)≤-G 。

（）1.61 若是群G 到的一个同态满射,N 是G 的一个不变子群,则(N)是的不变子群,且~。

1.62 若是群G 到的同态满射,是的一个不变子群,()表示N 的原象,则()是G 不变子群,且≅。

( ) 1.63 设G 和G 都是群，G ϕ≅G , G N ∆, N=1-ϕ(N )，则N ∆G,且--≅N G N G //。