正态分布导学案
数学高二-选修2学案 2.6正态分布
第十课时2.6正态分布导学案教学目标（1）通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），了解什么是正态分布曲线和正态分布；（2）认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；（3）会查标准正态分布表，求满足标准正态分布的随机变量X 在某一个范围内的概率． 重点，难点（1） 认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；（2） 求满足标准正态分布的随机变量X 在某一个范围内的概率．教具准备 多媒体、实物投影仪 。
教学设想 在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。
教学过程一．问题情境1．复习频率分布直方图、频率分布折线图的意义、作法；回顾曲边梯形的面积()ba S f x dx =⎰的意义．2．从某中学男生中随机地选出84名，测量其身高，数据如下（单位：cm ）：164 175 170 163 168 161 177 173 165 181 155 178164 161 174 177 175 168 170 169 174 164 176 181181 167 178 168 169 159 174 167 171 176 172 174159 180 154 173 170 171 174 172 171 185 164 172163 167 168 170 174 172 169 182 167 165 172 171185 157 174 164 168 173 166 172 161 178 162 172179 161 160 175 169 169 175 161 155 156 182 182上述数据的分布有怎样的特点？二．学生活动为了研究身高的分布，可以先根据这些数据作出频率分布直方图．第一步 对数据分组（取组距4d =）；第二步列出频数（或频率）分布表；第三步作出频率分布直方图，如图2-6-2．由图2-6-2可以看出，上述数据的分布呈“中间高，两边底，左、右大致对称”的特点．可以设想，若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线．再观察此概率密度曲线的特征．三、复习引入总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．总体密度曲线b单位O频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,(),(,)2xx e xμσμσϕπσ--=∈-∞+∞式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()xμσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．四、讲解新课1.正态分布一般地，如果对于任何实数a b<，随机变量X满足,()()baP a X b x dxμσϕ<≤=⎰,则称X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X～),(2σμN.经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ 是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2).早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1．（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数）并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题6． 正态总体在三个特殊区间内取得的概率值：具体地，如图所示，随机变量X 取值（1）落在区间(,)μσμσ-+上的概率约为0068.3，即()0.683P X μσμσ-<≤+=；（2）落在区间(2,2)μσμσ-+上的概率约为0095.4，即(22)0.954P X μσμσ-<≤+=；（3）落在区间(3,3)μσμσ-+上的概率约为0099.7。
7.5正态分布导学案-2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第三册
7.5正态分布-2021-2022学年平邑一中高二数学学案导学（人教A版2019选择性必修第三册）一知识点展示：知识点1正态曲线1．连续型随机变量大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量．2．正态曲线的定义若f(x)＝1σ2πe－（x－μ）22σ2，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线与x轴之间的面积为1；(3)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(4)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．知识点2正态分布1．正态分布的定义若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝1σ2πe－（x－μ）22σ2，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．2．正态分布的特征(1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定．曲线随着μ的变化而沿x轴平移，参数μ反映了正态分布的集中位置．(2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度．(3)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2．3．3σ原则假设X～N(μ，σ2)，可以证明：对给定的k∈N*，P(μ－kσ≤X≤μ＋kσ)是一个只与k有关的定值．特别地，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．典例分类解析：类型1正态分布的概念及正态曲线的性质【例1】如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率分布密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．[思路点拨]给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式．[解]从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.由12πσ＝12π，得σ＝ 2.于是概率分布密度函数的解析式是f(x)＝12πe－（x－20）24，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.【点评总结】利用正态曲线的性质求参数μ，σ(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π，由此性质结合图象求σ.类型2服从正态分布变量的概率问题【例2】设ξ～N(1，22)，试求：(1)P(－1<ξ≤3)；(2)P(3<ξ≤5)；(3)P(ξ≥5). [解]因为ξ～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2，(1)P(－1<ξ≤3)＝P(1－2<ξ≤1＋2)＝P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7.(2)因为P(3<ξ≤5)＝P(－3<ξ≤－1)，所以P(3<ξ≤5)＝12[P(－3<ξ≤5)－P(－1<ξ≤3)]＝12[P(1－4<ξ≤1＋4)－P(1－2<ξ≤1＋2)]＝12[P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)]≈12(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.(3)P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)＝12[1－P(－3<ξ≤5)]＝12[1－P(1－4<ξ≤1＋4)]＝12[1－P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)]≈12(1－0.954 5)＝0.022 75.【点评总结】利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：①P(X<a)＝1－P(X≥a)；②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a).(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解．类型3正态分布的实际应用【例3】设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110，202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．[解]μ＝110，σ＝20，μ＋σ＝130，故分数在110～130之间的人数所占的百分比约是68.27%2＝34.135%.μ－σ＝90，所以及格的人数所占的百分比约是68.27%2＋50%＝84.135%，130分以上人数所占的百分比约是1－68.27%2＝15.865%.所以及格的人数约为54×84.135%≈45(人)，130分以上的人数约为54×15.865%≈9(人).【点评总结】1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．2．解答正态分布的实际应用题，其关键是转化，同时应熟练掌握正态分布在[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．达标训练题1．如图是正态分布N(μ，σ21)，N(μ，σ22)，N(μ，σ23)(σ1，σ2，σ3>0)对应的曲线，则σ1，σ2，σ3的大小关系是()A.σ1>σ2>σ3B．σ3>σ2>σ1C.σ1>σ3>σ2D．σ2>σ1>σ31.A 由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ越小，故有σ1>σ2>σ3.2．已知随机变量ξ服从正态分布ξ～N(1，σ2)，若P(ξ>3)＝0.012，则P(－1≤ξ≤1)＝()A．0.976 B．0.024C ．0.488D ．0.0482.C 由题意知，对称轴为x ＝1，则P (ξ<－1)＝P (ξ>3)＝0.012，故P (－1≤ξ≤1)＝1－0.012－0.0122＝0.488.3．设随机变量X ～N (3，1)，若P (X >4)＝p ，则P (2<X <4)＝( ) A.12＋p B ．1－p C.1－2pD ．12－p3C 由X ～N (3，1)得μ＝3，所以P (3<X <4)＝12－p ，即P (2<X <4)＝2P (3<X <4)＝1－2p .4．设X ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，则P (－1＜x ＜1)≈________．4 0.9545 ∵X ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，∴μ＝0，σ＝12，∴P (－1＜X ＜1)＝P (0－2σ＜X ＜0＋2σ)≈0.954 5.5．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，若P (－1<ξ<4)＝0.85，则P (0<ξ<5)＝________．5.0.85 ∵随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)， ∴μ＝2，∵P (－1<ξ<0)＝P (4<ξ<5)， ∴P (0<ξ<5)＝P (－1<ξ<4)＝0.85.。
正态分布教案导学案
正态分布教案导学案第一章：正态分布的概念与性质一、教学目标1. 了解正态分布的定义及特点；2. 掌握正态分布曲线的形状、对称轴、均值、标准差等基本性质；3. 能够识别常见的正态分布现象。
二、教学内容1. 正态分布的定义；2. 正态分布曲线的特点；3. 正态分布的性质与应用。
三、教学步骤1. 引入正态分布的概念，通过实例让学生感受正态分布现象；2. 讲解正态分布曲线的特点，如对称性、单调性等；3. 引导学生探究正态分布的性质，如均值、标准差等；4. 结合实际例子，让学生了解正态分布的应用。
四、课后作业1. 复习正态分布的概念与性质；2. 完成相关练习题，如判断题、选择题等。
第二章：正态分布的图像与特征一、教学目标1. 学会绘制正态分布曲线；2. 掌握正态分布曲线的特征，如百分位数、累积概率等；3. 能够利用正态分布解决实际问题。
二、教学内容1. 正态分布曲线的绘制方法；2. 正态分布曲线的特征；3. 正态分布的应用。
三、教学步骤1. 讲解正态分布曲线的绘制方法，如标准正态分布曲线；2. 引导学生探究正态分布曲线的特征，如百分位数、累积概率等；3. 结合实际例子，让学生了解如何利用正态分布解决实际问题。
四、课后作业1. 复习正态分布的图像与特征；2. 完成相关练习题，如判断题、选择题等。
第三章：正态分布的标准化与转换一、教学目标1. 掌握正态分布的标准化方法；2. 学会将非正态分布数据转换为正态分布数据；3. 能够运用正态分布进行数据分析。
二、教学内容1. 正态分布的标准化方法；2. 非正态分布数据的转换方法；3. 正态分布在数据分析中的应用。
三、教学步骤1. 讲解正态分布的标准化方法，如Z分数、标准分数等；2. 引导学生探究如何将非正态分布数据转换为正态分布数据，如常用的转换方法；3. 结合实际例子，让学生了解如何运用正态分布进行数据分析。
四、课后作业1. 复习正态分布的标准化与转换方法；2. 完成相关练习题，如判断题、选择题等。
正态分布教案导学案
正态分布教案导学案第一章：正态分布的基本概念1.1 引入：通过现实生活中的例子，如考试分数、身高、体重等，引导学生了解数据的分布特征。
1.2 学习目标：（1）理解正态分布的定义及特点；（2）掌握正态分布曲线的图形表示；（3）了解正态分布的应用场景。
1.3 教学内容：（1）正态分布的定义：介绍正态分布的数学表达式及参数含义；（2）正态分布的特点：对称性、单峰性、渐进性；（3）正态分布曲线的图形表示：绘制正态分布曲线及理解其含义；（4）正态分布的应用场景：举例说明正态分布在实际问题中的应用。
1.4 课堂练习：（1）判断一些实际数据是否符合正态分布；（2）绘制给定参数的正态分布曲线。
第二章：正态分布的性质2.1 引入：通过上一章的学习，引导学生进一步探讨正态分布的性质。
2.2 学习目标：（1）掌握正态分布的累积分布函数；（2）了解正态分布的期望、方差及其性质；（3）掌握正态分布的标准化方法。
2.3 教学内容：（1）正态分布的累积分布函数：介绍累积分布函数的定义及其性质；（2）正态分布的期望：介绍期望的定义及其计算方法；（3）正态分布的方差：介绍方差的定义及其计算方法；（4）正态分布的标准化方法：介绍标准化方法及其应用。
2.4 课堂练习：（1）计算正态分布的累积分布函数；（2）求解正态分布的期望和方差；（3）对给定的正态分布数据进行标准化处理。
第三章：正态分布的图表表示3.1 引入：通过现实生活中的例子，如问卷调查、产品质量检验等，引导学生了解正态分布的图表表示方法。
3.2 学习目标：（1）掌握正态分布的直方图表示；（2）了解正态分布的累积分布曲线；（3）掌握正态分布的QQ图表示。
3.3 教学内容：（1）正态分布的直方图：介绍直方图的绘制方法及其含义；（2）正态分布的累积分布曲线：介绍累积分布曲线的绘制方法及其含义；（3）正态分布的QQ图：介绍QQ图的绘制方法及其含义。
3.4 课堂练习：（1）绘制正态分布的直方图；（2）绘制正态分布的累积分布曲线；（3）绘制正态分布的QQ图。
高中数学选择性必修三 7 5 正态分布 导学案
7.5 正态分布1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特点；3.了解正态分布的均值、方差及其含义；4.了解3σ原则,会求随机变量在特殊区间内的概率.重点：认识分布曲线的特点及曲线所表示的意义.了解3σ原则. 难点：.会求随机变量在特殊区间内的概率.1.正态分布的定义对任意的x ∈R,f (x )>0,它的图象在x 轴的上方.可以证明x 轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f (x )为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如上图所示.若随机变量X 的概率分布密度函数为f (x ),则称随机变量X 服从正态分布(normal dis-tribution),记为X~N (u ,σ2).特别地,当u =0, σ=1时,称随机变量X 服从标准正态分布. ~(0,1).X N 即22()2(),,x X f x x R μσ--=∈若随机变量的概率分布密度函数为2.由X 的密度函数及图像可以发现，正态曲线有以下特点： （1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交. （2）曲线是单峰的,它关于直线x =μ对称. （3）曲线在x =μ处达到峰值σ√2π(最高点)（4）当|X|无限增大时，曲线无限接近x 轴.（5）X 轴与正态曲线所夹面积恒等于1 . 3. 正态分布的期望和方差参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的 离散程度。
22()()()~X N E X D X μσμσ若，，则＝，＝．（1） 当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；(2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.4. 正态分布的3σ原则2*()，可以证明：对给定的k ∈N ，P(μ-k σ≤X ≤μ+k σ)是一个只与假设XN k 有μ，σ关的值。
《正态分布》 导学案
《正态分布》导学案一、学习目标1、理解正态分布的概念和特点。
2、掌握正态曲线的性质。
3、能利用正态分布解决实际问题。
二、知识回顾1、频率分布直方图绘制频率分布直方图的步骤：（1）求极差；（2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）绘制频率分布直方图。
2、平均数与方差平均数：＼（＼overline{x} ＝＼frac{x_1 ＋ x_2 ＋＼cdots ＋ x_n}｛n}＼）方差：＼（s^2 ＝＼frac{1}｛n}（x_1 ＼overline{x}）＾2 ＋（x_2 ＼overline{x}）＾2 ＋＼cdots ＋（x_n ＼overline{x}）＾2\）三、新课导入在我们的日常生活中，有很多随机现象的分布呈现出一种特殊的规律。
比如，某地区同年龄人群的身高、体重，某种农作物的产量，某班学生的考试成绩等等，这些数据的分布都有一定的特点。
而正态分布就是描述这类随机变量分布的一种重要的概率分布。
四、正态分布的概念1、正态曲线如果随机变量 X 的概率密度函数为：＼（f(x) ＝＼frac{1}｛＼sigma\sqrt{2\pi}｝e^｛＼frac{（x ＼mu)＾2}｛2\sigma^2}｝＼），其中\（＼mu\）为平均数，＼（＼sigma\）为标准差，＼（x ＼in R\），则称随机变量 X 服从参数为\（＼mu\），＼（＼sigma\）的正态分布，记为\（X ＼sim N(＼mu, ＼sigma^2)＼）。
其图象称为正态曲线。
2、正态分布的特点曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交。
曲线是单峰的，关于直线\（x ＝＼mu\）对称。
曲线在\（x ＝＼mu\）处达到峰值\（＼frac{1}｛＼sigma\sqrt{2\pi}｝＼）。
曲线与 x 轴之间的面积为 1。
当\（＼sigma\）一定时，曲线的位置由\（＼mu\）确定，曲线随着\（＼mu\）的变化而沿 x 轴平移。
当\（＼mu\）一定时，曲线的形状由\（＼sigma\）确定，＼（＼sigma\）越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；＼（＼sigma\）越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。
正态分布导学案
2.4正态分布导学一、复习回顾:1、频率分布直方图中用什么表示频率?2、定积分的几何意义？3、μ， 反映随机变量取值的什么特征二、探究高尔顿板订实验原理如下图中每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间。
从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆玻璃球，当小圆球向下降落过程中，碰到钉子后皆以1/2的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子。
如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为①问:”在投放小球前，你知道这个小球落到哪个球槽中吗?”②问:”你认为小球落在每个小槽的概率是否相同吗？请写出小球落入每个小槽的概率？”③你能画出它的频率分布直方图吗？④“当投放大量的小球时，球槽内小球的分布情况是否有规律？”三、探究正态曲线的性质1、正态分布密度曲线定义：μ表示期望反映随机变量σ表示标准差反映随机变量2、正态分布定义：3简单记法：4现实生活中有哪些随机变量服从正态分布？请举例？5正态曲线的性质（图像，解析式）（研究函数的性质，如:定义域、值域、单调性、对称性、最值等） ①从正态曲线的图像观察性质②从)(,x σμϕ的解析式及概率的性质角度？6正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P （x>μ）=②P(μ<x<μ+σ)=③P(μ+σ<x<μ+2σ)=④P （x<μ+σ）=体现了数形结合的思想四、习题例、在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，ξ~N(90,100).（1）试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？练习：1、已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X~N （100，52），据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（ ）A. (90,110]B. (95,125]C. (100,120]D.(105,115]。
导学案 正态分布
正态分布本节教材分析（1）三维目标知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用。
过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。
情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。
（2）教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 。
（3）教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。
（4）教学建议：数学知识间存在着内在的本质联系，教师要注意新旧知识间的内在联系，这样有助于学生理解记忆前后所学知识，并将其融会贯通，从而更好地加以运用．“数学是思维的体操”，要提高学生的数学思维能力，需要通过学生自身动口、动手、动脑，以及教师的正确引导．因此，在课堂设计中，我把试验交给学生做，让他们感悟函数模型的生成，并时刻注重引导和调动学生的主观能动性，创造条件给足时间让学生“讲、演、练”，充分而有效的发挥学生的主体作用，让学生在课堂上享有相当的主动权，拥有积极思考和参与教学活动的时间和空间，让学生在相互讨论和启发中活动，在活动中学习，在活动中思维，在活动发展，教师应是活动的引导者，组织者，参与者！新课导入设计导入一学生上台演示高尔顿板试验1．用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律．⑴将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，作出频率分布表．⑵以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图。
连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图．这里每个长方形的面积的含义是什么？导入二当我们去掉高尔顿板试验最下边的球槽，并沿其底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，用X表示落下的小球第一次与高尔顿板底部接触时的坐标．提出问题：1.图中阴影部分面积有什么意义？2．小球落下的位置是随机的吗？3．若没有上部的小木块，小球会落在哪里？是什么影响了小球落下的位置？4．前一个小球对下一个小球落下的位置有影响吗？哪个小球对结果的影响大？5．你能事先确定某个小球下落时会与哪些小木块发生碰撞吗。
2.4正态分布导学案
2.4正态分布学习目标：1.掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 。
2.通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质学习过程：模块一：复习旧知1.随机变量包括 和 .2.连续型总体X,它的样本频率分布直方图有一个明显的性质:随着样本容量的增加,作图时分组的组距越来越小,频率分布直方图对应的频率分布 越来越接近于 .模块二：探究新知知识点一 正态分布密度曲线1.正态分布密度曲线是函数 对应的图象,简称 .2.该函数的自变量是 ,定义域是 .3.解析式中含有两个参数: ,它们是正态分布的两个特征数.它们的取值范围是什么?知识点二 随机变量服从正态分布1.正态分布对于任何实数b a <,随机变量X 满足⎰=≤<ba dx xb X a P )()(,σμϕ则称 . 问题1:参数μ反映了随机变量的什么特征?参数σ反映了随机变量的什么特征?什么叫标准正态分布？问题2:正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布.试举例说明.问题3:什么样的随机变量近似地服从正态分布?2.正态分布完全由参数 确定.因此正态分布常记作 ,如果随机变量X 服从正态分布,则记为 .3.正态曲线的特点问题1:正态曲线有哪些特点？问题2：当σ一定时，随着μ的变化，正态曲线有何变化？问题3:当μ一定时，随着σ的变化，正态曲线有何变化？4.σ3原则=+≤<)-σμσμX P （ .=+≤<)22-σμσμX P （ .=+≤<)33-σμσμX P （ .问题1:什么叫σ3原则？模块三：应用举例例1 设ξ～），（221N ，试求： （1）)31(≤<-ξP ;(2))53(≤<ξP ;(3))5(≥ξP例2 在某市组织的一次数学竞赛中，全体参赛学生的成绩X 近似服从正态分布），（10060N ，已知成绩在90分以上（含90）的学生有13人.(1)求此次参加竞赛的学生总数.(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生,问受奖学生的分数线是多少?变式题 在一次数学考试中,某班学生的分数X ～），（220110N ,且试卷满分150,这个班共有54人,求这个班在这次数学考试中90分以上和130分以上的人数.模块四：课堂练习1.下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是( ) A.()σσπ2221)(r x e x f -= B.2222)(x e x f -=ππ C.()412221)(-=x e x f π D.2221)(x e x f π=2. 已知ξ～N (0,62)，且P (－2≤ξ≤0)＝0.4，则P (ξ>2)等于( )A ．0.1B ．0.2C ．0.6D ．0.83．若随机变量ξ～N (2,100)，若ξ落在区间(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，则k 等于( )A ．2B ．10 C. 2 D ．可以是任意实数4．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N (110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115]5．(2010·山东理，5)已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( )A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.977 6.若X ～),(2σμN ,则X 位于区域(]σμμ+，内的概率为 . 7.若～X ),(2σμN ,a 是一个实数,求证=X P (a )= .8.正态变量的概率密度函数2)3(221)(--=x e x f π，x ∈R 的图象关于直线________对称，f (x )的最大值为________． 9.已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．10.商场经营的某种包装的大米质量（单位：千克）服从正态分布)1.0,10(2N ,任选一袋这种大米，质量在8.9～2.10的概率为 .11.若X ～)1,5(N ,则)76(<<X P = .五、小结 ：六、学后问题与反思。
正态分布教案导学案
正态分布教案导学案第一章：正态分布的基本概念1.1 引入：通过现实生活中的例子，如考试成绩、身高、体重等，引导学生了解数据的分布特征。
1.2 学习目标：(1) 理解正态分布的定义及特点；(2) 会识别正态分布曲线；(3) 掌握正态分布的基本性质。
1.3 教学内容：(1) 正态分布的定义：介绍正态分布的数学表达式及参数含义；(2) 正态分布的特点：解释正态分布的对称性、单峰性、渐进性等；(3) 正态分布曲线的识别：教授如何识别正态分布曲线及曲线形状；(4) 正态分布的性质：讲解正态分布的均值、中位数、众数的关系，以及正态分布的标准化。
1.4 课堂活动：(1) 小组讨论：让学生通过讨论，理解正态分布的特点及识别方法；(2) 实例分析：让学生分析生活中常见的正态分布现象，如考试成绩、身高等；(3) 练习题：让学生通过练习，巩固正态分布的基本性质。
1.5 作业布置：布置相关练习题，巩固所学内容。
第二章：正态分布的标准化2.1 引入：通过具体例子，让学生了解为什么需要对正态分布进行标准化处理。
2.2 学习目标：(1) 理解正态分布标准化的必要性；(2) 掌握正态分布标准化的方法；(3) 会利用标准化后的正态分布进行概率计算。
2.3 教学内容：(1) 正态分布标准化的必要性：解释标准化处理的目的及意义；(2) 正态分布标准化的方法：介绍标准化公式及步骤；(3) 利用标准化正态分布进行概率计算：讲解如何利用标准化后的正态分布求解概率问题。
2.4 课堂活动：(1) 小组讨论：让学生通过讨论，理解正态分布标准化的意义；(2) 实例分析：让学生利用标准化公式，解决实际问题；(3) 练习题：让学生通过练习，掌握利用标准化正态分布进行概率计算的方法。
2.5 作业布置：布置相关练习题，巩固所学内容。
第三章：正态分布的概率计算3.1 引入：通过具体例子，让学生了解如何利用正态分布进行概率计算。
3.2 学习目标：(1) 理解正态分布概率计算的方法；(2) 掌握正态分布表的使用；(3) 会利用计算机软件进行正态分布的概率计算。
2.4正态分布导学案
§2.4 正态分布学习目标：1、了解利用正态曲线求随机变量的在某范围内的概率；2、理解正态分布在实际生活中的意义和作用 ；3、结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解，能通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质；4、能利用正态分布进行简单的概率运算，并解决简单的实际问题。
（一）自主学习：阅读教材P70到P72思考前，完成下列问题:1、正态曲线的方程是___________________，其中实数μ表示___________ (0)σσ>表示_______________2、正态分布：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足:_____________________，则称X 服从___________，记作_____________.3、给出下列三个正态曲线的函数表达式，请找出其均值μ和方差2σ （1）),(,21)(22+∞-∞∈=-x e x f x π（2）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x e x f x π（二）合作探究如图，结合()x σμϕ,的解析式及概率的性质，探究正态曲线的特点。
探究结论：（三）例题分析1、设随机变量X 服从正态分布N （2，9），若)1()1(-<=+>c X P c X P ，求c 的值。
2、若ξ～)1,5(N ,求:(1)P(4<X<6) ; (2) P(5<X<7); (3)P(6<X<7).3、在某次数学考试中(总分150)，考生的成绩ξ服从一个正态分布ξ～)100,90(N .（1）试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率;（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？（四）知识小结（五）课堂练习教材74页练习1，2，3题；作业：习题2.4A 组1，2题；。
《2.4 正态分布》导学案2
《2.4 正态分布》导学案2【课标要求】1．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 2．了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率大小．3．会用正态分布去解决实际问题．【核心扫描】1．正态分布曲线的特点及其所表示的意义．(重点)2．正态分布中参数μ，σ的意义及其对正态分布曲线形状的影响．(易混点) 3．利用正态分布解决实际问题．(难点)自学导引1．正态曲线的概念 正态总体函数φμ，σ(x )＝12π·σe －x －μ22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中μ表示总体平均值，σ表示标准差，函数的图象叫正态分布密度曲线，简称正态曲线．特例：当μ＝0，σ＝1时，函数表达式是f (x )＝12πe －x 22，x ∈(－∞，＋∞)，相应的曲线称为标准正态曲线．想一想：函数φμ，σ(x )中参数μ，σ的意义是什么？提示 参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2．正态分布(1)一般地，若对于任何实数，a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x)d x ，则称X 服从正态分布．(2)正态分布记作：N(μ，σ2)，若X 服从正态分布，记作X ～N(μ，σ2)．正态分布完全由参数μ和σ确定，若X ～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2，＝σ.想一想：若随机变量X ～N(μ，σ2)，则X 是离散型随机变量吗？提示 若X ～N(μ，σ2)，则X 不是离散型随机变量，由正态分布的定义：P(a ＜X≤b)＝⎠⎛abφμ，σ(x)d x 可知，X 可取(a ，b]内的任何值，故X 不是离散型随机变量，它是连续型随机变量．3．正态曲线的特点 正态曲线φμ，σ(x)＝12πσe －－μ22σ2，x∈(－∞，＋∞)有以下性质：(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； (3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x 轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．试一试：如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系如何？提示 当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝12πe －x 22在x ＝0时取最大值12π，故σ2＝1，由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，σ越大，曲线越“矮胖”，于是有σ1＜σ2＝1＜σ3.故σ1＜σ2＜σ3.4．正态分布的3σ原则(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6， P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4， P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4. (2)3σ原则在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．正态总体几乎取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．试一试：已知随机变量X ～N(0,1)，你能求出X 在区间(－3，＋∞)内取值的概率吗？提示 由X ～N(0,1)可知，μ＝0，σ＝1. 结合密度函数的图象可知P(X≥－3)＝12P(－3≤X≤3)＋12＝0.998 7.名师点睛1．正态曲线正态曲线指的是一个函数的图象，这个函数就是总体的概率密度函数，其解析式是φμ，σ(x)＝12πσe －－μ22σ2.对于这个函数解析式，要注意下面几点：(1)函数的自变量是x ，定义域是R ，即x ∈(－∞，＋∞)．(2)解析式中含有两个常数：π和e ，这是两个无理数，其中π是圆周率，e 是自然对数的底数，即自然常数．(3)解析式中含有两个参数：μ和σ.其中μ可取任意实数；σ＞0.在不同的正态分布中μ、σ的取值是不同的，这是正态分布的两个特征数．(4)解析式中前面有一个系数12πσ，后面是一个以e 为底数的指数函数的形式，幂指数为－x －μ22σ2，其中σ这个参数在解析中的两个位置上出现，注意两者的一致性．2．正态分布(1)正态分布定义中的式子实际是指随机变量X 的取值区间在(a ，b ]上的概率等于总体密度函数在[a ，b ]上的定积分值．也就是指随机变量X 的取值区间在(a ，b ]上时的概率等于正态曲线与直线x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的封闭图形的面积．(2)正态分布是自然界最常见的一种分布，例如：测量的误差；人的身高、体重等；农作物的收获量；工厂产品的尺寸：直径、长度、宽度、高度……都近似地服从正态分布．一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用不太大，则这个指标服从正态分布．(3)从正态曲线可以看出，对于固定的μ和σ而言，随机变量取值在(μ－σ，μ＋σ)上取值的概率随着σ的减小而增大．这说明σ越小，X 取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)的概率越大，即X 集中在μ周围的概率越大．正态分布的3σ原则是进行质量控制的依据，要会应用给定三个区间的概率解决实际问题.题型一 正态曲线【例1】 如图所示，是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．[思路探索] 首先借助图象观察函数的对称轴及最大值，然后结合φμ，σ(x)＝12πσe－x－μ22σ2可知μ及σ的值．解从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.12π·σ＝12π，解得σ＝ 2.于是概率密度函数的解析式是f(x)＝12π·e－x－24，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.[规律方法] 利用图象求正态密度函数的解析式，关键是找对称轴x＝μ与最值12πσ，这两点确定以后，相应参数μ，σ的值便确定了．【变式1】若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.求该正态分布的概率密度函数的解析式．解由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由于12πσ＝12π·4，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝142πe－x232，x∈(－∞，＋∞)．题型二利用正态分布求概率【例2】设ξ～N(1,22)，试求：(1)P(－1＜ξ≤3)；(2)P(3＜ξ≤5)；(3)P(ξ≥5)．[思路探索] 根据题意求出μ，σ的值，然后利用图象对称性和3σ原则求解．解 ∵ξ～N (1,22)，∴μ＝1，σ＝2， (1)P (－1＜ξ≤3)＝P (1－2＜ξ≤1＋2) ＝P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6 (2)∵P (3＜ξ≤5)＝P (－3＜ξ≤－1)，∴P (3＜ξ≤5)＝12[P (－3＜ξ≤5)－P (－1＜ξ≤3)]＝12[P (1－4＜ξ≤1＋4)－P (1－2＜ξ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜x ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜x ≤μ＋σ)] ＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. (3)P (ξ≥5)＝P (ξ≤－3)＝12[1－P (－3＜ξ≤5)]＝12[1－P (1－4＜ξ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)] ＝12(1－0.954 4)＝0.022 8. [规律方法] 解答此类题目的关键在于充分利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化，在此过程中充分体现数形结合及化归的数学思想．经常用到如下转换公式：①P (x ≥a )＝1－P (x ＜a )；②若b ＜μ，则P (X ＜b )＝1－P μ－b ＜X ≤μ＋b2.【变式2】 若η～N (5,1)，求P (5＜η＜7)．解 ∵η～N (5,1)，∴正态分布密度函数的两个参数为μ＝5，σ＝1，因为该正态曲线关于x ＝5对称，∴P (5＜η＜7)＝12×P (3＜η＜7)＝12×0.954 4＝0.477 2.题型三 正态分布的实际应用【例3】 设在一次数学考试中，某班学生的分数X ～N (110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．审题指导P X ＝P X －μ≥－σ――→图象对称2PX －μ＜－σ＋0.682 6＝1结果P X ＝P X －μ≥σ――→图象对称2PX －μ≥σ＋0.682 6＝1[规范解答] μ＝110，σ＝20，P (X ≥90)＝P (X －110≥－20)＝P (X －μ≥－σ)， ∵P (X －μ＜－σ)＋P (－σ≤X －μ≤σ)＋P (X －μ＞σ) ＝2P (X －μ＜－σ)＋0.682 6＝1， ∴P (X －μ＜－σ)＝0.158 7，(3分)∴P (X ≥90)＝1－P (X －μ＜－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3. ∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人．(6分) ∵P (X ≥130)＝P (X －110≥20)＝P (X －μ≥σ)， ∴P (X －μ≤－σ)＋P (－σ≤X －μ≤σ)＋P (X －μ＞σ) ＝0.682 6＋2P (X －μ≥σ)＝1.(9分) ∴P (X －μ≥σ)＝0.158 7.∴54×0.158 7≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．(12分)【题后反思】 解答此类题目的关键在于将所求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中用到化归思想和数形结合的思想．【变式3】 工厂制造的某机械零件的尺寸X 服从正态分布N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，19，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？解 ∵X ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，19，∴μ＝4，σ＝13， ∴不属于区间(3,5)的概率为P (X ≤3)＋P (X ≥5)＝1－P (3＜X ＜5)＝1－P (4－1＜X ＜4＋1) ＝1－P (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ) ＝1－0.997 4＝0.002 6≈0.003， ∴1 000×0.003＝3(个)，即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个．方法技巧 数形结合思想在正态分布中的应用数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同的方面认识事物，华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想，在本节中，由于涉及到连续型随机变量的密度曲线，我们在解题时应与曲线的图象巧妙结合，抓住曲线的对称特征，会给解题带来很大的方便．【示例】 在一次测试中，测量结果X 服从正态分布N (2，σ2)(σ＞0)，若X 在(0,2)内取值的概率为0.2，求(1)X 在(0,4)内取值的概率； (2)P (X ＞4)．[思路分析] 由X 服从正态分布N (2，σ2)(σ＞0)可知μ＝2，画出正态曲线的图象，根据图象性质求相应区间的概率．解 (1)由于X ～N (2，σ2)，对称轴x ＝2，画出示意图，∵P (0＜X ＜2)＝P (2＜X ＜4)， ∴P (0＜X ＜4)＝2P (0＜X ＜2) ＝2×0.2＝0.4.(2)P (X ＞4)＝12[1－P (0＜X ＜4)]＝12(1－0.4)＝0.3. 方法点评 解决求某区间的概率问题，可以利用正态曲线的对称性，画出相应的正态曲线图象，应用数形结合把“求某一区间内的概率”问题转化为求“阴影部分面积”的问题．。
正态分布(导学案)
§7.5正态分布一、学习目标1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．二、导学指导导学检测及课堂展示一．正态曲线及其性质知识点一、1．我们称f(x)＝()2221e2xμσσ--π，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为，称它的图象为正态密度曲线，简称．2．若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从．3．若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.4．正态曲线的特点：(1)非负性：对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的．(2)定值性：曲线与x轴之间的面积为.(3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线对称．(4)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值.(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近轴．(6)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.(7)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.5．正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．例1(1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝________，方差σ2＝________.(2)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是()A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大D．甲、乙、丙总体的平均数不相同跟踪训练1(1)(多选)下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有()A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交B．当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点(2)(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ21)，N(μ2，σ22)，其正态分布的密度曲线f(x)＝()2221e2xμσσ--π⋅，x∈R，如图所示，则下列说法正确的是()A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99反思感悟：1．设有一正态总体，它的正态曲线是函数f (x )的图象，且f (x )()2108x -- ，则这个正态总体的均值与标准差分别是( )A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10 2．已知随机变量X 服从正态分布N (a,4)，且P (X ＞1)＝0.5，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．如果ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ＞3)＝P (ξ＜1)成立，则μ＝________.4．抽样调查表明，某校高三学生成绩ξ(总分750分)近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P (400＜ξ＜450)＝0.3，则P (550＜ξ＜600)＝________.四、小结记录1.知识清单：(1)正态曲线及其特点．(2)正态分布的应用，3σ原则．2．方法归纳：转化化归、数形结合．3．常见误区：概率区间转化不等价．。
高中数学2.6正态分布导学案苏教版选修2_3
高中数学2.6正态分布导学案苏教版选修2_31．正态密度曲线在频率分布直方图中，若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图上的频率折线就将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线．函数的表达式是22()()x P x μ--=，x ∈R ，此函数为正态分布密度函数．它所表示的曲线叫正态密度曲线．这里有两个参数μ和σ，其中σ＞0，μ∈R ，不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．预习交流1正态分布密度曲线与μ，σ的关系是怎样的？提示：①正态曲线关于直线x ＝μ对称；②当x ＜μ时，曲线上升，当x ＞μ时曲线下降；③曲线的形状由σ确定，σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡．2．正态分布密度函数的性质若X 是一个随机变量，则对任给区间(a ，b ]，P (a ＜X ≤b )恰好是正态密度曲线下方和x轴上(a ，b ]上方所围成的图形面积，我们称随机变量X 服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X ～N (μ，σ2)．随机变量X 取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%， 落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%， 落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%. 预习交流2若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)的几何意义是什么？提示：表示X 取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)的概率和正态曲线与X ＝μ－σ，X ＝μ＋σ1下列函数中哪个是正态分布密度函数__________．①22()2()x P x μσ--=；②22()e 2πx f x -=；③2(1)4()x g x --=；④22()e x Q x =.思路分析：正态密度函数的表达式为22()2()x P x μσ--=，凡符合此表达式的均为正态分布密度函数．答案：②解析：①是错误的，错在系数部分中的σ应在分母的根号外． ②是正确的，它是正态分布密度函数，其中μ＝0，σ＝1.③是错误的，从系数部分看σ＝2，可从指数部分看σ＝2，不统一． ④是错误的，指数部分缺少一个负号．设一正态总体，它的概率密度曲线是函数2(10)8()x f x --=的图象，则这个正态总体的均值与方差分别是：μ＝__________，σ2＝__________.答案：10 4解析：对比正态密度函数22()2()x P x μσ--=知，μ＝10，σ2＝4.对于正态分布密度函数22()2()x P x μσ--=，x ∈(－∞，＋∞)，不但要熟记它的解析式，而且要知道其中字母是变量还是常量，还要注意指数上的σ和系数的分母上σ是一致的，且指数部分是一个负数.2．正态分布密度函数的性质设ξ～N (1,22)，求P (3＜ξ≤5)．思路分析：要求随机变量ξ在某一范围内的概率，只需借助于正态密度曲线的图象性质以及常见的区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)的概率值进行转化求值．解：∵P (3＜ξ≤5)＝P (－3＜ξ≤－1)，∴P (3＜ξ≤5)＝12[P (－3＜ξ≤5)－P (－1＜ξ≤3)]＝12[P (1－4＜ξ≤1＋4)－P (1－2＜ξ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)] ＝12×(0.954－0.683)＝0.135 5. 设ξ～N (1,22)，则P (ξ≥5)＝__________. 答案：0.023解析：∵P (ξ≥5)＝P (ξ≤－3)，∴P (ξ≥5)＝12[1－P (－3＜ξ≤5)]＝12[1－P (1－4＜ξ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)] ＝12×(1－0.954)＝0.023.解答此类题的关键在于充分利用正态分布曲线的对称性，把待求区间的概率向已知区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率进行转化．3．正态分布的实际应用在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，即X ～N (90,100)． (1)试求考试成绩X 位于区间(70,110)上的概率； (2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)内的考生大约有多少人？ 思路分析：正态分布已经确定，则总体的期望μ和方差σ就可以求出，根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．解：∵X ～N (90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X 位于区间(70,110)内的概率为0.954.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率为0.683， 所以考试成绩X 位于区间(80,100)内的概率为0.683.一共有 2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)内的考生大约有 2 000×0.683＝1 366(人)．某厂生产的圆柱形零件的外径X ～N (4,0.25)，质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7，试问该厂生产的这批零件是否合格？解：由于圆柱形零件的外径X ～N (4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N (4,0.25)在区间(4－3×0.5，4＋3×0.5)即(2.5,5.5)之外的取值概率只有0.003，而5.7∉(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据小概率事件原理，认为该厂的这批产品是不合格的．解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定所给区间．1．已知X ～N (0,1)，则X 在区间(－∞，－2)内取值的概率为__________． 答案：0.023解析：∵X ～N (0,1)，∴P (X ≤－2)＝12[1－P (－2＜X ＜2)]＝12[1－P (0－2×1＜X ＜0＋2×1)]， 又知P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954，∴P (X ≤－2)＝12×(1－0.954)＝0.023.2．已知ξ～N (0，σ2)，且P (－2≤ξ≤0)＝0.4，则P (ξ＞2)＝__________. 答案：0.1解析：由ξ～N(0，σ2)，知图象关于x =0对称．∴P (－2≤ξ≤0)＝P (0≤ξ≤2)＝0.4， 而P (ξ≥0)＝0.5，∴P (ξ＞2)＝P (ξ≥0)－P (0≤ξ≤2)＝0.5－0.4＝0.1.3．已知X ～N (1，σ2)，P (X ≥2)＝0.1，则P (0＜X ＜2)＝__________. 答案：0.8解析：由X ～N (1，σ2)可知，密度函数关于x =1对称．∵X ～N (1，σ2)，故X 落在(0,1)及(1,2)内的概率相同均为0.5－P (X ≥2)=0.4， ∴P (0＜X ＜2)=P (0＜X ＜1)+P (1＜X ＜2)=0.4+0.4=0.8.4．随机变量X ～N (1,22)，则V ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝__________.答案：1解析：∵X ～N (1,22)，∴V (X )＝22＝4.∴V ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝14V (X )＝14×4＝1.5．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X (分钟)服从正态分布N (5,1)；第二条路较长不拥挤，X 服从N (6,0.16)．有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？解：还有7分钟时，若选第一条路线，X 服从N (5,1)，能及时到达的概率P 1＝P (X ≤7)＝P (X ≤5)＋P (5＜X ＜7)＝12＋12P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)；若选第二条路线，X 服从N (6,0.16)，能及时到达的概率P 2＝P (X ≤7)＝P (X ≤6)＋P (6＜X ＜7)＝12＋12P (μ－2.5σ＜X ≤μ＋2.5σ)，所以P 1＜P 2，选第二条路线．。
正态分布导学案
7.5 正态分布【学习目标】1.了解正态分布与标准正态分布的概念.2.了解概率密度函数,理解正态曲线的性质.3.会求正态分布在给定区间的概率,能利用正态分布知识解决实际问题. 【自主学习】一、正态曲线函数22()2,(),(,),xx xμσμσϕ--=∈-∞+∞其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，φμ，σ(x)的图象为，简称正态曲线．二、正态分布1.定义:若随机变量X的概率密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布;2.记作:X～N(μ,σ2);3.特例:当μ= ,σ= 时,称随机变量X服从标准正态分布.三、正态曲线的性质正态曲线φμ，σ(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2，x∈R有以下性质：1、曲线位于x轴，与x轴．2、曲线是单峰的，它关于直线对称．3、曲线在处达到峰值．4、曲线与x轴之间的面积为．5、当一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.6、当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越；σ，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越，如图②.四、正态变量在三个特殊区间内取值的概率1、P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈；2、P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈；3、P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈【典型例题】题型一正态分布密度曲线例 1 如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差．【跟踪训练】1 设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2题型二利用正态分布的性质求概率例2 设X～N(1，22)，试求：(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)．【跟踪训练】 2 设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，则c＝________．题型三正态分布的实际应用例3 在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N(70,100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有16名．(1)试问此次参赛的学生总数约为多少？(2)若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人？附：P(|X－μ|<σ)＝0.683，P(|X－μ|<2σ)＝0.955，P(|X－μ|<3σ)＝0.997.【跟踪训练】 3 已知某种零件的尺寸ξ(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝182π.(1)求概率密度函数；(2)估计尺寸在72 mm～88 mm间的零件大约占总数的百分之几？【当堂达标】1.如图是当σ分别取值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ32.设X～N(10,0.64),则D(X)等于( )A.0.8B.0.64C.0.642D.6.43.红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触,降低潜在的病毒感染风险,为防控新冠肺炎,某厂生产的红外线自动测温门,其测量体温误差服从正态分布N(0.1,0.32),从已经生产出的测温门中随机取出一件,则其测量体温误差在区间(0.4,0.7]内的概率为( )(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ).则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)=0.954 5)A.0.317 4B.0.271 8C.0.135 9D.0.045 64.某厂生产的零件外径ξ～N(10,0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9 cm,9.3 cm，则可认为( )A．上午生产情况正常，下午生产情况异常B．上午生产情况异常，下午生产情况正常C．上午、下午生产悄况均正常D．上午、下午生产情况均异常5.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.84,则P(X≤0)=________.6.数学考试试卷满分是150分,设在一次考试中,某班学生的分数X近似服从正态分布,且均值为110,标准差为20.求这个班在这次数学考试中分数在90分以上的概率.【课堂小结】。
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正态分布
【学习目标】
1、了解正态曲线的形状；
2、会求服从正态分布的随机变量X 的概率分布
【重点、难点】
会求服从正态分布的随机变量X 的概率分布
【使用说明与学法指导】
1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；
2、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论；
3、带※ 为选做题;
【自主探究】
1、正态曲线： 函数22
2)
(,21)(σμσμσ
πϕ--=x e x ，),(+∞-∞∈x ，（其中实数μ和σ)0(>σ为参数）的图
象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
2、正态分布：
如果对于任何实数b a <，随机变量X 满足，
)(b X a P ≤<= ，
则称X 的分布为正态分布．
记作：X ～N （ ）．
3、正态曲线的特点：
（1）曲线位于x 轴 ，与x 轴 ；
（2）曲线是单峰的，它关于直线 对称；
（3）曲线在 处达到峰值 ；
（4）曲线与x 轴之间的面积为 ．
4、正态曲线随着μ和σ的变化情况：
①当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴 ；
②当μ一定时，曲线的 由σ确定．
σ越小，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ；σ越大，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ．
5、正态分布中的三个概率：
=+≤<-)(σμσμX P ；
=+≤<-)22(σμσμX P ；
=+≤<-)33(σμσμX P ．
【合作探究】
1、若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于
π241，求该正
态分布的概率密度函数的解析式．
2、某地区数学考试的成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线图形最高点坐标（π281,60），
成绩X 位于区间(]68,52的概率是多少？
3、在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～)100,90(N ．
（1）试求考试成绩ξ位于区间（70，110）上的概率是多少？ （2）若这次考试共有 2000名考生，试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？
4、商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布)1.0,10(2N （单位：kg ）任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2kg 的概率是多少？
【巩固提高】
1.若2)
1(221
)(--=x e x f π，则下列正确的是（ ）．
A ．有最大值、最小值
B ．有最大值，无最小值
C ．无最大值，有最小值
D ．无最大值、最小值
2．设随机变量ξ～)4,2(N ，则)21
(ξD = ( ) ． A ．1 B ．2 C ． 21
D ． 4
3．若随机变量满足正态分布),(2σμN ，则关于正态曲线性质的叙述正确的是（ ）．
A ．σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”
B ．σ越小，曲线越“矮胖”，σ越大，曲线越“高瘦”
C ．σ的大小，和曲线的“高瘦”、“矮胖”没有关系
D ．曲线的“高瘦”、“矮胖”受到μ的影响
4．期望是2，标准差为π2的正态分布密度函数的解析式是 ．
5．若随机变量X ～)2,5(2
N ，则
=≤<)73(X P ． 课堂小结—————————————————————————————————。