第七章线性空间(第二讲)
第二讲线性子空间一、线性子空间的定义及其性质定义：设是数域上的
第二讲 线性子空间一、线性子空间的定义及其性质1. 定义：设1V 是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件 （1） 如果1,V y x ∈，则1V y x ∈+； （2） 如果1V x ∈，K k ∈，则1V kx ∈， 则称1V 是V 的一个线性子空间或子空间。
2. 性质：（1）线性子空间1V 与线性空间V 享有共同的零元素； （2）1V 中元素的负元素仍在1V 中。
[证明]（1）O x =0V V x ⊂∈1∴ V 中的零元素也在1V 中，1V 与V 享有共同的零元素。
（2）1V x ∈∀1)()1(V x x ∈-=- 封闭性∴ 1V 中元素的负元素仍在1V 中3. 分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间平凡子空间：{0}和V 本身 非平凡子空间：除以上两类子空间4. 生成子空间：设m x x x ,,21 为V 中的元素，它们的所有线性组合的集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈∑=m i i i i m i K k x k 1,2,1,也是V 的线性子空间，称为由m x x x ,,21 生（张）成的子空间，记为),,(21m x x x L 或者),,(21m x x x Span 。
若m x x x ,,21 线性无关，则{}m x x x L m =),,(dim 215. 基扩定理：设1V 是数域K 上的线性空间n V 的一个m 维子空间，m x x x ,,21 是1V 的一个基，则这m 个基向量必可扩充为n V 的一个基；换言之，在n V 中必可找到m n -个元素n m m x x x ,,21 ++，使得n x x x ,,21 成为n V 的一个基。
这m n -个元素必不在1V 中。
二、子空间的交与和1.定义：设1V 、2V 是线性空间V 的两个子空间，则 {}2121,V x V x x V V ∈∈={}2121,V y V x y x V V ∈∈+=+分别称为1V 和2V 的交与和。
有限维线性空间上的范数
x, y 的位置，得到 y − x ≤ x − y ，因此， x − y ≤ x − y 。(三角形两边之差
小于第三边) 2.坐标范数 任取 V 的一组基 ε1 , ε 2 , ⋅⋅⋅, ε n ，任取 x ∈ V ，设 x 在基 ε1 , ε 2 , ⋅⋅⋅, ε n 下的坐标为
ξ = (ξ1 , ξ 2 , ⋅⋅⋅, ξ n )T 。令 T : V → K n ， Tx = ξ ，则 T 为一个线性映射。易见： • T :
k →∞
在这组基下依坐标收敛于 ∑ ξiε i 。
i =1
n
定义 3 设 • 为 V 的任意一个范数。 { x ( k ) } 为 V 中一列元素，若存在 x ∈ V ，使得
lim x ( k ) − x = 0 ，则称 { x ( k ) } 依范数 • 收敛于 x 。
k →∞ n ⎧ (k ) n (k ) ⎫ 当且仅当 lim ξi( k ) = ξi ， ⎨ x = ∑ ξi ε i ⎬ 在基 ε1 , ε 2 , ⋅⋅⋅, ε n 依坐标收敛于 ∑ ξiε i ， k →∞ i =1 i =1 ⎩ ⎭
C n 和 C m×n 是有限维的线性空间，在其上定义的范数都是等价的。不过，从
具体的数值计算的观点来看，在上面选取适当的范数还是很重要的。 以下不必再给出向量范数和矩阵范数的定义了。
3
1
x − y ≤ x − y = ξ1ε1 + ξ 2ε 2 + ⋅⋅⋅ + ξ nε n − (η1ε1 + η 2ε 2 + ⋅⋅⋅ + η nε n )
= (ξ1 − η1 )ε1 + (ξ 2 − η 2 )ε 2 + ⋅⋅⋅ + (ξ n − η n )ε n ≤ (ξ1 − η1 )ε1 + (ξ 2 − η 2 )ε 2 + ⋅⋅⋅ + (ξ n − η n )ε n = ξ1 − η1 ⋅ ε1 + ξ 2 − η2 ⋅ ε 2 + ⋅⋅⋅ + ξ n − η n ⋅ ε n ≤
矩阵论_线性空间和线性映射课件
例2 设 A Rmn，那么线性方程组 AX 0 的 全部解为 n 维线性空间 Rn 的一个子空间，我们称其
为齐次线性方程组的解空间。当齐次线性方程组
AX 0 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础
解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。
例3
设 1,2,L
,
为
s
❖ 映射的乘积(复合)：若 f : S1 → S2 和 g: S 2→ S3，则映射的 乘积 g○ f 定义为： g○ f(a)=g(f(a))。
在不至混淆的情况下，简记 g○ f 为 gf
映射的例子
❖ 例子1：设集合S是数域F上所有阶方阵的集合，则
f(A)=det(A) 为S到F的映射。 ❖ 例2：设S为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运 算：
]
y2
[1,2,
y1
,
n
]P
y2
xn
yn
yn
于是有：
x1 y1
x2
P
y2
M M
xn
yn
该式被称为坐标变换公式。
例1 在4维线性空间 R22 中，向量组
1
0 1
3
1 0
1 1
,
2
1 1
1 1
,
4
1 1
0 1 , 与向量组
1
1 0
1 0
,
3
1 1
δ(f(t))=f’(t) 为S到S的变换。 ❖ 例3：S为平方可积函数构成的集合，则傅里叶变换：
F ( f )() f (t)e jtdt
为S到S上的一个变换。
线性空间的定义
定义：设 V 是一个非空的集合，F 是一个数域，在集合 V 中定 义两种代数运算, 一种是加法运算，用 + 来表示，另一种是 数乘运算, 用 ∙ 来表示, 并且这两种运算满足下列八条运算律：
§7.1 线性空间的定义与性质
例1 在实数域 R 和 R 集合（正实数全体）
上定义运算 a b aba,b R
o a a R, R
验证 R 对上述定义的加法 与数乘 o 。
运算构成实数域上的线性空间。
解 对加法封闭：对任意的 a,b R ，有
a b ab R 对数乘封闭：对任意的 R, a R ，有 o a a R
⑦ o a a aa a a oa oa
⑧ oa b oab ab ab a b o a ob 经验证 R 所定义的运算构成了线性空间。
例2 设集合 V 为：与向量 0,0,1 不平行的全体
三维数组向量。定义两种运算为：数组向量的加 法和数乘运算。验证集合 V 是否为实数域 R 上 的线性空间。
说明 求差的运算称为减法运算。
定义3 设 W 是线性空间 V 的一个非空子集，若 W 对于 V 中定义的加法与数乘运算也构成一个 线性空间，称 W 是 V 的子空间。
对于子空间，有如下定理加以判别。
定理 设 W 是线性空间 V 的一个非空子集，则 W 是 V 的子空间充要条件是 W 对于 V 的加 法与数乘运算具有封闭性，即
下面再验证满足8条规律： ① a b ab ba b a
② a b c ab c abc abc a b c
③ R 存在零元素1，对 a R 有 a 1 a1 a ④ 对 a R ，有负元素 a1 R ，使
a a1 aa1 1
⑤ 1 a a1 a
⑥ o o a o a a a o a , R
证（6）由 0 0 得
0 0 ，根据加法消去律有 0 0 证（8）若 0 ，据性质（5）可知 0 ；
若 0 ，则 1 存在，有 1 10 ，故
1 1 0 ，证毕
线性代数与解析几何 第7章 线性空间与线性变换
§ 7.1 线性空间的定义与性质
7.1.1 线性空间的定义
7.1.2 线性空间的性质
7.1.3 子空间
§ 7.1 线性空间的定义与性质
7.1.1 线性空间的定义
定义7.1
设是一个非空集合，为实数域. 若在中定义
了两种运算，一种运算称为加法：即对于中任意两个元素
, ，在中都有唯一的元素与它们相对应，称为与的
证明
因为 a, b R , R
有 a b ab R , a a R
即R+对上述定义的加法与数乘运算封闭.
a
,
b
,
c
R
, , R 时，有
又因
(1) a b ab=ba b a ;
(2) (a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a(b c) a (b c) ;
A R mn
又对矩阵加法和数与矩阵的乘法两种运算满足线性运算规律，
所以R mn对矩阵加法和数与矩阵的乘法，构成实数域R
上的线性空间，称此线性空间为mn矩阵空间.
§ 7.1 线性空间的定义与性质
注7.1
检验一个集合是否构成线性空间，当然不能只象例
7.1、例7.2、例7.3那样检验对运算的封闭性.若所定义的加法
(7) ( + ) a a a a a a a a ;
(8) (a b) (ab) (ab) a b
a b a b ;
所以R+对上述定义的加法与数乘运算构成线性空间.
*第7章
线性空间与线性变换
线性空间又称向量空间，是线性代数的中心内容和
线性空间
an ( x 1 )( x 2 ) ( x n ).
•其中
1 2 n 1 2 n (1)
n a0 an
an1 an
;
第一章 第一节
线性空间
主要内容： 一 线性空间的定义及其性质 二 向量组的线性相关性
概述
•数学空间是指一个赋予了“某种结构”的集合。
x (1 , 2 , 3 )T R 3 , 分别有：
x 1 x1 2 x2 3 x3
x 1 2 y1 ( 2 3 ) x2 3 x3 （ ）
例2、R[x]n表示所有次数不超过n 的多项式所构 成的一个线性空间,则:
R[x]n是n+1维线性空间 可以验证：1 , x , x 2 , … , x n是线性空间 R[x]n 的一组基, R[x]n的维数是n+1。 R[x]表示实系数多项式所构成的一个线性空间， 则:
• •
（7）结合律 k(lx)=(k l)x （8）1x=x
线性空间的元素也称为向量，它比n维向量有更广泛 的含义。 注意：上述定义所规定的加法运算与数乘运算也称为 V的线性运算，满足“封闭性”，即对V的任意两个元 素及F的任一数k，所定义的“和” 与“积” 仍属于V。
当F是实数域时，V称为实线性空间； 当F是复数域时，V称为复线性空间。
例１ 在二维空间R2中，任意一个二维向量 都可由标准单位向量e1 , e2 线性表示。
x1 1 0 e1 , e2 , x1e1 x2e2 0 1 x 2
例２ 在二维空间R2中，任意一个二维向量 都可由 向量f1 , f2 线性表示。
P[ x]n {a0 a1 x a 2 x 2 a n x n | ai C , i 0,1,2,, n}
高等代数(线性空间)
例子
例 1 所有平面向量的集合 V = {( x, y ) x, y ∈ R} 构成实 数域 R 上的线性空间，其加法运算和数量乘积就是 普通的向量的加法和数乘运算。
例 2 集合 V 加法和数乘运算
k ( x1 , x 2 ,
= {( x 1 , x 2 , , x n ) x1 , x 2 , , x n ∈ R}
推出 k 1
= k2 == ks = 来自 。例3 向量组0,α 1 ,α 2 , ,α s 是线性相关的。 例 4 对只由一个向量 α 组成的向量组来说，若 α = 0 ，则是线性相关的；否则，是线性无关。 例 5 在三维空间 R 3 中，向量e1 = (1,0,0) ，e2 = (0,1,0) ， e3 = (0,0,1) 是线性无关的。 任何一个三维向量α = (a1,a2 ,a3 ) 都可写成e1 , e2 , e3 的线性组 合a = a1e1 + a 2 e2 + a 3 e3 。
全为零的实数 k 1 , k 2 ,
k1 ≠ 0
, k s 使得 ∑ k iα i = 0 。不妨设
i =1
s
，则有
⎛ k2 ⎞ ⎛ k3 ⎞ α1 = ⎜ ⎜− k ⎟ ⎟α 2 + ⎜ ⎜− k ⎟ ⎟α 3 + ⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠
+ li−1αi−1 + li+1αi+1 +
充分性: 如 果 αi = l1α1 + 即α 1 ,α 2 ,
α s + 1 能用向量组 B
线性表出，因此也能用向量组 C
线性表出，即
α s +1 = ∑ k jα j +
j =1 s j = s +1
2. 第二讲 线性子空间
n元齐次线性方程组
1,0, ,0
0,1, ,0
得到n-s个解向量 11 , 12 , , 1s 1,0, ,0
s1
0,0, ,1
, s 2 , , ss ,0,0, ,1
这个解向量组就是方程组的解空间的基
判断Rn的下列子集合哪些是子空间：
V1 k1 x1 kn xn ki K , i 1, 2, , n
称为由 x1 , x2 , , xn 生成(或张成)的子空间,记为
L x1 , x2 , , xn k1 x1 kn xn
是生成的子空间的基
如果 x1 , x2 , , xm 则 x1 , x2 , , xm
线性子空间V1也是线性空间 证明：必要性由定义直接得出
充分性：各运算律已在V中定义，我们只需证明
0 V1 x V1 , x V1 实际上， 0 0 x V1
x V1 , 1 K
x 1 x V1
所以线性子空间V1也是线性空间
V1是数域K上的线性空间V上一个非空子空间
的全部解向量所成集合V对于通常的向量加法 和数量乘法构成的线性空间是n维向量空间 Rn 的一个子空间，称V为方程组的解空间
方程组的解空间W的维数＝n－秩(A)， 方程组的一个基础解系就是解空间V的一组基
c11 x1 c x2 a a12 c a11snx x c0 sn 1, s 1 x s 1 c1 n xn 11 1 12 x2 a21 x1 c xx c c0 a22 x22 a sn s n 22 2, s 1 x s 1 c2 n xn 22x a x a x ca xx 0 s2 2 s1 1 sssn s n c s , s 1 x s 1 c sn xn 变形后， 用n-s组数表示自由未知量 x s 1 , , xn
线性空间 知识点总结
线性空间知识点总结本文将从定义、性质、例子、拓扑结构等多个方面对线性空间进行总结，以帮助读者更全面地理解这一概念。
一、线性空间的定义线性空间的定义较为抽象，它可以用来表示向量、矩阵、多项式等各种类型的数学对象。
线性空间是一个非空集合V，配上两个操作：加法和数乘。
加法指的是将两个向量或数学对象相加得到一个新的向量或数学对象，数乘指的是将一个标量与一个向量或数学对象相乘得到一个新的向量或数学对象。
具体来说，给定一个域F，一个线性空间V满足以下条件：1. 对于V中的任意两个元素x、y，它们的和x+y也属于V。
2. 对于V中的任意元素x和任意标量c，它们的数乘cx也属于V。
3. 加法满足结合律和交换律。
4. 加法单位元（零向量）存在。
5. 数乘满足分配律。
6. 数乘满足标量乘1等于自身。
换句话说，线性空间V是一个满足上述条件的非空集合，它配备了加法和数乘这两种运算，并且这两种运算满足一定的性质。
二、线性空间的性质线性空间有许多重要的性质，这些性质不仅体现了线性空间的内在结构，也为线性空间的进一步研究提供了重要的基础。
下面介绍线性空间的一些主要性质：1. 线性空间中的元素有唯一加法逆元。
对于线性空间V中的任意元素x，存在一个唯一的元素-y，使得x+y=0，其中0表示线性空间V中的零向量。
2. 线性空间中的元素满足交换律和结合律。
即对于线性空间V中的任意元素x、y、z，有x+y=y+x，(x+y)+z=x+(y+z)。
3. 线性空间中的元素满足分配律。
即对于线性空间V中的任意元素x、y、z和任意标量c，有c(x+y)=cx+cy，(c+d)x=cx+dx。
4. 线性空间中的元素满足数乘单位元的性质。
即对于线性空间V中的任意元素x，有1∙x=x。
5. 线性空间中的元素满足数乘交换律。
即对于线性空间V中的任意元素x和任意标量c、d，有c(dx)=(cd)x。
6. 线性空间中的元素满足数乘结合律。
即对于线性空间V中的任意元素x和任意标量c、d，有(c+d)x=cx+dx。
线性空间的概念与性质
线性空间和线性变换§1.1 线性空间的概念与性质§1.2 线性空间的基与维数§1.3 线性变换主要讨论线性空间及线性变换的一些基本概念与基本定理，在此基础上使大家能利用这些基本概念与定理解决相关问题。
§1.1 线性空间的概念与性质一、线性空间的定义线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念。
线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题。
定义1.设V 是一个非空集合，K是一个数域(有理数域、实数域或复数域)。
在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法:给出了一种法则，对于任意两个元素α,β∈V，总有唯一的一个元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作：γ=α+β。
在数域K与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法:对于任一数λ∈K与任一元素α，总有唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的数量乘积，记作δ=λα。
如果上述定义的两种运算满足以下八条运算规律，那么V 就称为数域K 上的线性空间（或向量空间）。
(1) (2) ()()(3) (4) (5) 1(6) ()()(7) ()λμλμλμλμλμ∈∈+=+++=++∃∈∀∈+=∀∈∃∈+===+=+αβγV Rαββααβγαβγ0V αV α0ααV βV αβ0ααααααα设、、，、，对，都有，，都有加法：(1)-(4) 数量乘积：(5)(6) 数乘与加法：(7)(8)。
说明:1.凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算。
2.线性空间的元素（向量空间中的向量）不一定是有序数组。
3.判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间。
线性空间的判定方法:(1)一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性。
1-1线性空间的概念-48页PPT精品文档
又 11.
0.
同理可证：若 0则有 0.
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练习：
证明：数域F 上的线性空间V若含有一个非零 向量，则V一定含有无穷多个向量
证：设 V,且 0
k 1 ,k 2 P ,k 1 k 2 ,有 k 1,k 2 V
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例9 R23的下列子集是否 空构 间 ?为 成什 子?么
(1)W 1 1 0
b c
d 0b,c,dR ;
(2 )W 2 a 0b 00 c a b c 0 ,a ,b ,c R . 解 (1)不构成子空间. 因为对
验证 R 对上述加法与乘数运算构成线性空间．
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证明: a ,b R , a b a R b ;
R , a R , a a R .
所以对定义的加法与乘数运算封闭．
下面一一验证八条线性运算规律：
第一章
线性空间与线性映射
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教学内容和基本要求
1，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式； 2, 掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关性质； 3, 理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵示表示,
了解线性空间同构的含义. 重点: 线性空间的概念；子空间的维数定理；基变换与
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说明：
1）若数集F中任意两个数作某一运算的结果仍在F 中，则说数集F对这个运算是封闭的．
2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数 集F 对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 是封闭的，则称集 F为一个数域．
线性空间2
§2. 线性空间的定义及其性质 复习：n 维向量空间： ①数域p 中的数作为分量的n 维向量的全体。
②定义在它们上面的加法封闭。
③定义在它们上面的数量乘法封闭。
引例1. 在解析几何中，二维实向量的加法与数乘。
设在平面直角坐标系内有两个坐标α=（1a ,2a ）,β=(1b ,2b ）.则α+β=（2211,b a b a ++）。
k α=（21,ka ka ），其中k 是一个实数。
k>0，原方向伸长，k<0,反方向伸长。
说明：引例1为实二维向量空间。
引例2. 对于函数，也可以定义加法和函数与实数的数量乘法。
比如，全体定义在区间[b a ,]上的连续函数。
构成实数域上的线性空间。
设)(x f 和)(x g 在[b a ,]上是连续函数，则有数学分析知识知道)()(x g x f +是连续函数。
)(x kf 还是连续函数。
R k ∈。
从而全体定义在[b a ,]上的连续函数，也对加法和数乘运算封闭。
从以上两个例子中，我们看到，所考虑的对象虽然完全不同，但是它们有一个共同点，即，它们都有加法和数量乘法这两种运算。
在例1中，k 的取值决定了运算的范围，如果k 取有理数域中的数，则此时的数乘运算只能满足有理数域内部，若k 为实数域中的数，则扩充到实数域内运算，因此，必须先确定数域作为基础。
1.定义：设V 是一个非空集合。
P 是一个数域。
在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法。
即，给出了一个运算法则，对于V 中任意的两个元素α与β，在V 中都有唯一的一个元素r 与它们对应，称r 为α与β的和，记为r=α+β。
在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即，对于数域P 中任一数k 与V 中任一元素α，在V 中都有唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为k 与α的数量乘积，记为δ=k α。
线性空间定义：设V 是一个非空集合，P 是一个数域。
如果加法和数量乘法运算满足下述规则：加法： （1）交换律：α+β=β+α；（2）结合律：（α+β）+γ=α+（β+γ）；（3）零元素：在V 中有一个元素0，不只是数域中的0，可能为其他， 对于V 中任一元素α都有0+α=α。
线性空间的定义与性质.ppt
证明: 对任意a, bR+, R, ab = abR+, a = aR+, 所以对R+上定义的加法与乘数运算封闭.
下面验证八条线性运算规律: 对任意a, b, cR+, k, lR, (1) ab = a b = b a = ba ;
(2) (ab)c = (a b)c = (a b)c = a(b c) = a(b c) =a(bc) ;
P[x]n,
p(x)
多项式加法, 数乘两种运算对Q[x]n不满足线性运算的封闭性. 实际上
对p(x)=a0+a1x+· · · +anxn Q[x]n, 0R, 0 p(x)=0(a0+a1x+· · · +anxn) = 0+0x+· · · +0xn = 0Q[x]n. 所以Q[x]n对线性运算不封闭. 例4: 正弦函数的集合 S[x]={ s(x)=Asin(x+B) | A, BR} 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间. 对s1(x)=A1sin(x+B1), s2(x)=A2sin(x+B2)S[x], R,
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那么, 就称V为数域R上的线性空 间(或向量空间): 设, , , OV, 1, l, k R, (1) 加法交换律: + = + ; (2) 加法结合律: ( + ) + = +( + ) ; (3) 零元素: 存在OV, 对任一向量 , 有 + O = ; (4) 负元素: 对任一元素V, 存在 V, 有 + =O, 记 = – ; (5) 1 = ; (6) 数乘结合律: k(l ) = (l k) ; (7) 数乘对加法的分配律: k( + )= k +k ; (8) 数量加法对数乘的分配律: (k+l) = k +l .
线性代数 第7章 线性空间
二、线性空间的性质
性质1．零元素是惟一的． 性质2．负元素是惟一的．
性质 3.
P198
0α = 0; k 0 = 0;
当 k ≠ 0, α ≠ 0, 必有 kα ≠ 0.
这里的乘数运算显然不满足对集合R的封闭 性．故不能构成一个线性空间.
性质4.
( − k )α = k ( −α ) = −( kα );
有序数组 a1 , a 2 , L , a n 称为元素 α在ε 1 , ε 2 , L , ε n这个基下的
(用列表示)
若取另一基 q1 = 1, q 2 = 1 + x , q 3 = 2 x 2 , q 4 = x 3 , q 5 = x 4 , 则
1 p = (a 0 − a 1 )q1 + a 1 q 2 + a 2 q 3 + a 3 q 4 + a 4 q 5 2
维数为 n 的线性空间称为 n 维线性空间 , 记作 Vn .
显然有下列结论成立:
P207
常见的几个线性空间及其基底 例2.1---2.4 P207-209 例2.1
1.n维线性空间V中任一向量必可由V的基底线性表示, 且表法惟一. 2.线性空间的基底(只要存在)必不惟一. 3.有限维线性空间的维数是惟一确定的. 定理2.1 n维线性空间中任意n个线性无关的向量均可 构成基底. P210
1 因此 p 在这这个基下的坐标 ( a 0 - a1 , a1 , a 2 , a 3 , a 4 )T . 2
定理3.1 n维线性空间中,对于任意基,向量为 零向量的充分必要条件为它的坐标为(0,0,..0)T.
P214
注意：线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 惟一的． 例3.1, 3.2, 3.4 P213- ≠ 0, 易知 1 −1 1 1 1 −1 −1 −1
第二讲 线性变换及其矩阵
3
第二讲 线性变换及其矩阵
一、线性变换及其运算
1. 定义 设 V 是数域 K 上的线性空间，T 是 V 到自身的一个映射，若 V , 均存在唯一 的 V 与之对应，则称 T 为 V 的一个变换（或算子），记为T ( ) . 称 为 在变换 T 下的象， 为 的原象。 若变换 T 还满足, V , k,l K,有T (k l ) kT () lT ( ).则称 T 为线性变换。
T 1,2,
,n (T (1),T (2),
,T (n)) 1,2,
a11 a12
,n
a21 a22
an1 an2
1,2, ,n 下的矩阵。
1
a1n
a2n
1,
2
,
ann
称 A (aij )nn 为 T 在基 ,n A
R(T ) T ( ) | V n 为 T 的值域； N(T ) | V n,T () 称为T 的核。
易证 R(T ) 和 N (T ) 均为V n 的子空间，分别称为 T 的像空间和核（零）空间，称 dim R(T ) 、 dim N (T ) 为T 的秩和零度。 2、定理 设 T 为V n 上的线性变换， 1,2, ,n 为V n 的一组基，则
（1） R(T ) SpanT (1),T (2), T(n)；（2） dim R(T ) dim N(T ) n ；
特别地，若 A 是线性变换 T 的矩阵，则 dim R(T ) = dim R( A) ，dim N(T ) = dim N ( A) .
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2°若向量β可被一组线性无关的向量α1,α2，·,αr线性 · · 表示,则表示方法唯一. 3°若α1，α2，·,αr线性无关，而α1,α2,·,αr,β线性相 · · · · 关，则β必可由α1,α2,·,αr（唯一地）线性表示. · ·
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4°线性相关向量组任意增加一些向量所成的向量组仍 然线性相关. 5°线性无关向量组的任一部分向量组仍是线性无关组.
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例2.6 复数域C作为集合，对于通常的数的加法与数 的乘法运算所成的实数域上的线性空间，它的维数为2， 一个基为
1, i (i 1).
此时，由于构成线性空间的所涉数域是实数域，它 限定了线性空间C的元素做线性组合时，系数只能是实数. 因此， C中元素1，i便是线性无关的了. 把例2.5与例2.6对照起来，可以看出：尽管两例中线 性空间的集合是同样的，运算规则也相同，但由于涉及的 数域不同，它们的维数竟然不同.这再一次使我们体察到， 线性空间是所涉及的集合、数域、运算的一个统一整体.
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我们已经知道，线性空间的基只要存在，就不唯一.作 为这样结果的延续，对于维数确定的有限维线性空间，有 下面的定理. 定理2.1 n维线性空间中的任意n个线性无关的向量均 可构成基.
证明 设V 是n 维线性空间. ε1，ε2，·，εn是V 的一个 · · 基.α1,α2,·,αn是V中一个线性无关的向量组.为证 · · α1,α2,·，αn是基，只需证明V中任一向量α可由 · · α1,α2 ,·, αn线性表示.此时，向量组α1,α2,·,αn, α中每 · · · · 个向量都可由基ε1,ε2,·, εn线性表示.这是n +1个向量被n · · 个向量线性表示的情况.由本节前面的结论6°,即知 α1,α2,· αn, α线性相关.再由结论3°便知α可由 · · α1,α2,·,αn线性表示.定理得证. · ·机动目录ຫໍສະໝຸດ 上页下页返回
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例2.3 求实数域R上的线性空间R[x]3的维数和一个基.
解 注意R[x]3是由实数域上所有常数多项式(包括零多 项式) 、一次多项式和二次多项式构成的.其一般元素可 表示为
a0 a1 x a2 x , a0 , a1 , a2 R,
2
a0，a1，a2所在位臵各体现了一个自由度. 考虑R[x]3中向量组
维数为n的线性空间称为n维线性空间.
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关于线性空间的基与维数,下面三条结论显然成立:
ⅰ) n维线性空间V中任一向量α必可由V的基ε1,ε2,·,εn · · 线性表示,并且表示法唯一.
ⅱ)线性空间的基(只要存在)必不唯一. 这是因为,如果ε1,ε2,·,εn是一个基,则对任何非零数k1， · · k2，·, kn,易见k1ε1，k2ε2，·,knεn也是一个基. · · · · ⅲ)有限维线性空间的维数是唯一确定的. 为此,只须说明同一线性空间的任意两组基所含向量的 个数相同.事实上,如果ε1，ε2，·,εn与η1,η2，·,ηm都是基, · · · · 则它们必然可以互相线性表示,从而二者等价.而等价的向 量组秩相同,它们又都是线性无关向量组,秩数分别为n和m, 故有n=m.
k11 k 2 2 ks s 0,
则说α1,α2,·,αs是V中一个线性相关的向量组. · ·
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类似的，可以仿照数组向量的有关定义给出线性空间 中向量组的线性组合（线性表示）、向量组线性相关、线 性无关、极大无关组、秩等概念.这里就不再一一重述了. 与这些概念有关的许多定理、结论（只要当初证明不是基 于数组向量分量特性的）现在亦然成立，今后可以直接引 用.下面仅列出其中常用的一些结论. 1°一组向量 α1，α2，·,αs(s≥2)线性相关的充分必要 · · 条件是有某个向量αi可以被组中其余s-1个向量线性表示.
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例2.1 求实数域R上的线性空间R3的维数和一个基. 解 考虑R3中的向量组
1 0 0 e1 0 , e2 1 , e3 0 . 0 0 1
显然满足 1) e1, e2, e3线性无关;
1 1, 2 x, 3 x 2 ,
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满足
1) ε1，ε2, ε3线性无关;
2)对于R[x]3中任一多项式 f ( x) a0 a1 x a2 x , 显然有
2
f ( x) a0 1 a1 2 a3 3.
可见ε1，ε2, ε3为R[x]3的一个基. dim(R[x]3)=3. 类似可知,线性空间R[x]n的维数为n,一个组基为1，x， x2， ·，xn-1. · ·
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正是由于一般线性空间与普通数组向量加法与数乘运 算性质的一致性，使我们可以把数组向量的那些基于线性 运算的概念以及与之相关的性质、命题，包括它们的证明 方法，都平移到线性空间中来。例如，对向量组线性相关 的定义，可以叙述如下：
设V是数域F上的线性空间,α1,α2, ·,αs 是V中向量， · · 如果存在数域F中不全为零的一组数k1, k2,·, ks，使 · ·
6°若向量组α1,α2,·,αs可由向量组β1,β2,·,βt线性表示, · · · · 且s＞t，那么α1,α2,·,αs必为线性相关向量组. · · 7°向量组α1,α2,·,αr秩为r的充分必要条件是α1,α2,·,αr · · · · 线性无关. 8°向量组与它的任意一个极大无关组等价. 9°等价的向量组具有相同的秩.
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现在来考虑一般线性空间的结构.只含有一个元素（零 元素）的线性空间称为零空间.它的结构最为简单.除零空 间之外，任何（数域F上的）线性空间V至少含有一个非 零元素α ，对于数域F上的任意数k，kα仍是V中向量，并 且易证当k1≠ k2时， k1α ≠ k2α .由此可知V中必有无穷多个 不同的元素.我们希望能找到V的一个极大线性无关组. 对于不是零空间的线性空间V ，必有非零向量ε1，它 是由一个向量构成的线性无关向量组.如果有可能，我们 在V中再找来向量ε2，使ε1，ε2成为由两个向量构成的线性 无关向量组.按此办法使V中线性无关向量组继续扩大下去， 无非有两种可能：一种情况是到某一数目后， V中线性无 关向量组的个数再也不能增加了；另一种情况就是V中线 性无关向量组的向量个数可以无限地增加下去,即对任何 自然数N,总能找到V中N个向量线性无关.符合第一种
E11 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 , E12 0 0 0 0 , E22 = 0 0 1 0 0 1 0 0 , E13 0 0 0 0 , E23 = 0 0 0 0 0 0 1 , 0 0 , 1
第七章
§2 基与维数
在本书第一、第四章中，我们讨论了n维数组向量及 其运算。介绍了若干重要概念，诸如向量组的线性组合、 等价、线性相关与无关、极大无关组与秩等等。这些概念 以及有关的性质只涉及向量加法和数乘两种运算。对于本 章讨论的一般线性空间（某数域F 上的线性空间V ），向 量及其运算已经不局限于数组向量的范畴，但它们的元素 性质（除去与数组向量的分量密切相关的某些之外）和数 组向量是一致的。当然应该注意，现在所涉及的加法和数 乘运算的规则是由所在线性空间规定好的，数乘时的数也 一定取自数域F。
E21
显然满足
1）E11 E12 E13 E21 E22 E23 线性无关;
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2)对于F2×3中任一元素
a11 A a21
a12 a22
a13 , a23
有
A a11 E11 a12 E12 a13 E13 a21 E21 a22 E22 a23 E23 .
于是，知E11, E12 ,E13 ,E21 ,E22 ,E23为F2×3的一个基，从而 dim(F2×3)=6.
类似可知,线性空间Fm×n的维数为m n，其一个基为
Eij , i 1, 2, , m; j 1, 2, ,n .
其中Eij是m×n矩阵,它的(i, j)元为1,其余元全为0.
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情况的线性空间称为有限维线性空间,符合第二种情况的 则称为无限维线性空间.本书中主要讨论有限维线性空间.
定义2.1 设V是数域F上的线性空间，如果V中存在n个 向量ε1，ε2，·，ε n满足: · ·
1) ε1， ε2 ，· n线性无关; · ·ε 2) V中任何向量α均可由ε1，ε2，·，εn线性表示,则称ε1， · · ε2，·，εn为V的一个基(或基底). 基的向量个数n称为线性 · · 空间V的维数,记为dim(V). 零空间是不存在基的线性空间,其维数为零.
线性代数
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§2 基与维数
教学目的：通过本节的教学使学生深刻理解向量空间 的基与维数的概念.会求线性空间的基和维数. 教学要求：教学中要清楚讲解线性空间的基和维数的
概念，会求线性空间的基和维数.
教学重点： 线性空间的基、维数及其求法. 教学难点： 线性空间的基、维数的求法. 教学时间：2学时.
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按照这种方法，类似于例2.1，便可证明:对任一数域F 上的线性空间Fn，它的维数为n . n维基本向量组.
1 0 0 0 1 0 e1 0 , e2 0 , , en 0 0 0 1