土建工程制图直线与平面平面与平面的相对位置关系

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[建筑制图官方课件] 直线与平面及两平面的位置关系

第五章直线与平面及两平面的相对关系§5-1 直线与平面、平面与平面的平行
§5-2 直线与平面、平面与平面的垂直
§5-3 直线与平面、平面与平面的相交
§5-4 换面法
§5-1 直线与平面、平面与平面的平行一、直线与平面相互平行
一直线只要平行于平面上的任一直线，它必平行于该平面。

⒈直线与一般面相互平行
直线与平面平行过一点作水平线平行于平面
⒉直线与投影面垂直面相互平行
二、两平面相互平行
从几何学知道，一个平面如果有两相交直线分别平行于另一个平面上的两相交直线，则这两个平面相互平行。

§5-2 直线与平面、平面与平面的垂直一、直线与平面相互垂直
二、两平面相互垂直
§5-3 直线与平面、平面与平面的相交一、直线与投影面垂直面相交
§5-4 换面法
例求平面ABC与平面ABD夹角的实大
两三角形有一公共边AB，只要把直线AB变换为投影面的垂直线即可得夹角的实际大小θ
两次换面，第一次变换使直线AB为投影面平行线，
第二次变换使直线AB为投影面垂直线
两平面的
夹角。

直线与平面、两平面的相对位置

如果两个平面内的两条相交直线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
THANKS
感谢观看
04
直线与平面、两平面相对位置的性质
和定理
直线与平面垂直的性质和定理
直线与平面垂直的性质
如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线上的任意一点到平面的距离都相等。
VS
直线与平面垂直的定理
如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
直线与平面平行的性质和定理
直线与平面平行的性质
在构建过程中，需要充分考虑直线与平面的关系，以及两平面之间的相对位置，以确保所构建的几何形状符合设计要求。
建筑设计中的应用
在建筑设计中，直线与平面、两平面的相对位置关系具有重要意义。通过合理利用这些关系，可以设计出具有独特美感和实用性的建筑作品。
例如，可以利用直线与平面的垂直关系设计出高耸入云的摩天大楼，利用两平面之间的角度关系创造出独特的建筑造型。
直线与平面相交
总结词
当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交。
详细描述
直线与平面相交意味着直线和平面在某一点相遇。这个点是直线和平面的唯一公共点。
直线与平面垂直
总结词
当直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面垂直。
详细描述
直线与平面垂直意味着直线与平面中的所有线段都垂直。在这种情况下，直线要么完全位于平面上，要么与平面相交于一点。
应用
在几何学、物理学和工程学中，两平面垂直的情况也经常出现，例如建筑物的墙与地面、电路板上的线路与基板等。
03
直线与平面、两平面相对位置的应用
空间几何形状的构建
空间几何形状的构建是直线与平面、两平面相对位置在实际应用中的重要体现。通过利用这些相对位置关系，可以构建出各种复杂的空间几何形状，如球体、立方体、圆柱体等。

工程制图—23直线平面与平面的相对位置平行问题相交问题

b
c d a
c
a
d
b
b d
a c
e
d
b
ac
e
e f
f e
f h
h f
例题1 试判断两平面是否平行
a
f
s
b
n
r
e
m c
c m
d
n a d
e s
r
f
b
结论：两平面平行
例题2 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试
过点K作一平面平行于已知平面。
a
s
d
f
k
e
m
n
b
c
r
c
b m
r n
d
f
a
e k
s
二、相交问题
V M
m
k
P
c
f
l
B
K
m C
c PH
F Nk
fb n
L
a l
a
n
m
kb a
f
l
c
H
n
⑵
b
e m f ●
a
e
b
●m
a
f
空间及投影分析
●n●1 ● 2
h
平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef
的交点m 、 b c与f h的交点
c n即为两个共有点的正面投影，
故mn即MN的正面投影。
作图
b
n
空间及投影分析平面ABC是一铅垂面，
k
a
1(2) ●
●
m
其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即 c 为K点的水平投影。

土木工程制图直线和平面平面和平面的位置关系

土木工程制图
直线与平面相交于一点，该点称为交点，交点是平面与直线的共有点，它既在直线上又在平面上。
平面与平面相交于一条直线，该直线称为交线，交线是两平面的共有线，它应同属于两平面。
直线与平面、平面与平面相交的求解方法一般有两种。（1）积聚投影法：当直线或平面有积聚投影时，可利用积聚投影来求交点或交线。（2）辅助面投影法：当直线或平面均无积聚投影时，可利用辅助平面来求交点或交线。交点、交线是互相联系的，为叙述方便起见，先介绍几种特殊情况，然后再讨论一般的作图方法。
p
Ha
c
b
d
直线和投影面垂直面平行，则该直线的同面投影与该投影面垂直面的积聚投影平行。
【例2】过E点作直线平行于平面ABCD。
土木工程制图
【分析】过e作ef //ad，过f 向上作连系线，则过e′与连系线相交的直线都为所求，此处我们取其中一条，即过e′作c′d′的平行线，与连系线相交于一点即为f′。
【例8】过点A作平面ABC垂直于△DEF且平行于MN。土木工程制图
【分析】作平面垂直于已知平面时，需先作一直线垂直于已知平面，然后包含所
作垂线作平面即可。因又要求平面平行于直线MN，故作另一直线平行于MN即可。
e
d
X
e
d
n
a
f
m
o
am
n
e
g
d
X
e
g d
f
土木工程制图
作图步骤：
① 过A点作直线垂直于 △DEF。先在△DEF内作水平
平面即为所求。
e X
d a
e
f
O
X
d a
f
b c
O

工程制图B ! 第六章--直线与平面、两平面相对位置

第六章直线与平面、平面与平面的相对位置平行问题直线与平面平行平面与平面平行一、直线与平面平行若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。

包括6-1 平行问题二、两平面平行①若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。

②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。

c'f'b'd'e'a'abcdeff'h' abcdefh a'b'd'e'c'直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。

直线与平面相交平面与平面相交一、直线与平面相交要讨论的问题：（1）求直线与平面的交点。

（2）判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

●●相交问题6-2 相交问题二、两平面相交两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。

要讨论的问题：①求两平面的交线方法：（1）确定两平面的两个共有点。

（2）确定一个共有点及交线的方向。

②判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。

小结：（1）可见性的判断可根据具有积聚性的投影直接判断，也可利用重影点进行判断，这时只要在需要判断的投影上任意选取一对重影点即可。

（2）交点或交线永远可见，它们是可见与否的分界点或分界线。

◆直线垂直于平面的几何条件直线垂直于平面上的任意两条相交直线。

◆两平面垂直的几何条件一平面包含另一平面的垂线。

垂直问题平面与平面垂直6-3 垂直问题例：过直线MN 作一平面使它垂直△ABC 所确定的平面。

b ׳a ׳c ׳m ׳n ׳b acmne ׳ekf f ׳k ׳分析：求作平面过直线MN ，故仅需再确定一条与直线MN 相交的直线，即可确定此平面。

所作平面要求与△ABC 垂直，也即所作平面必须包含△ABC 的一条垂线。

因此，可使所作直线垂直于△ABC 即可。

工程制图 2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置

pH b
作图过程
例2：求矩形平面P与ABC的交线MN，并判别可见性。
p m a n c b
判别可见性
P A a
M
B
N
C
M(n)
p b
a m(n) b
c H
空间及投影分析
c
p
作图过程
平面P和 ABC都是铅垂面，它们的水平投影有积聚性。ab与p的交点 m(n) 即为两平面交线MN的积聚性投影。MN为铅垂线。
二、两平面相交
两平面相交时要讨论的问题： ① 求两平面的交线方法：确定交线的两个端点。
② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。先讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。
c’ e’
k’
d’
l’
b’
f’
c
a’
d
l
f
b
e
k
a
空间及投影分析： DEF为铅垂面，在H面投影积聚成直线，交线应在此直线上，同时又在abc，故交线的水平投影为kl, 再求k’l’.
例1：求矩形平面P与ABC 的交线MN，并判别可见性。
p a c m
判别可见性
A
N
M
P C
n b
B a m pH b n
c
H
a n
m c
空间及投影分析
ABC是一般位置平面，平面 P是铅垂面，其水平投影积聚成直线 pH ，pH与abc的交点m、n 即为两平面交线MN的水平性投影。
要
点
一、各种位置平面的投影特性 ⒈ 一般位置平面
三个投影为边数相等的类似多边形——类似性。
⒉ 投影面垂直面
在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 ——积聚性。另外两个投影类似。

工程制图-第三章-直线、平面的相对位置

直线、平面的相对位置本章讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容：1)平行关系：直线与平面平行，两平面平行。

2)相交关系：直线与平面相交，两平面相交。

§1 平行关系1.1 直线与平面平行定理:若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。

以，直线EF平行于ABC平面。

[例1]过已知点k ，作一条水平线平行于△ABC 平面。

步骤：1）在ABC 平面内作一水平线AD ； 2）过点K 作 KL ∥AD ； 3）直线KL即为所求。

d′d l′lk′k a′a b′e′bc X[例2]试判断:已知直线AB是否平行于四棱锥的侧表面SCF。

作图步骤：1）作c'm'∥a'b'；2）根据CM在平面SCF内，作出cm；3）由于cm不平行于ab，即在该平面内作不出与AB平行的直线，所以，直线AB不平行于四棱锥侧表面SCF。

1.2 平面与平面平行两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。

所以：平面ABC 和平面DEF 相平行。

［例3］过点K作一平面，是其与平面ABC平行。

解：只要过K点作两条相交直线分别平行于△ABC的两条边，则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。

作图步骤：2）作KD∥AC(k'd'∥a'c',kd∥ac);a'cac'bb'k'kl'ld'dX1）作KL∥BC(k'l'∥b'c', kl∥bc); 3）平面KDL即为所求。

2.1 直线与平面相交2.1.1 利用积聚性求交点当平面或直线的投影有积聚性时，交点的两个投影中有一个可直接确定，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。

⑴平面为特殊位置[例]求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。

空间及投影分析平面ABC 是一正垂面，其V 投影积聚成一条直线，该直线与m'n'的交点即为K点的V 投影。

建筑制图直线与平面、平面与平面的相互关系

c′ 与
PV
平
a
b
面
k
垂
水平线
l
直
c
例5-13：判定下列图中直线与平面的相对位置（从属、平行、相交、垂直相交）
1.( ) 2.( ) 3.( ) 相交两直线（几何元素）表示的平面
判定下列图中直线与平面的相对位置（从属、平行、相交、垂直相交）
1. (相交) 2. (平行) 3. (平行)
例5-14：判定下列图中直线与平面的相对位置（从属、平行、相交、垂直相交）
f′
ＧＦＥ两一般位
置平面的交线
e′ a
c′
e
c
f
b
g
求三角形ＡＢＣ和三角形ＧＦＥ两一般位置平面的交线
QV
a′ g′
b′ e′
a e
PV
f′
c′
c
f
b
g
例5-12：求三角形ＡＢＣ和三角形ＧＦＥ两平面的交线。
分析：在三角形ＥＦＧ中，边线ＥＦ为侧垂线，故三角形ＥＦＧ为侧垂面。
Ｋ
Ｂ
ＣＡ
例５－3：过点Ｄ作已知平面的平行面。
e′ Ｘ
e
d′ b′
f′ b
d
f
a′ c′
aＯ c
例５－4：判别平行直线ＣＤ与ＡＢ所确定的平面与平行直线ＥＦ和ＧＫ所决定的平面是否相互平行。
a′ c′ Ｘ
b′ e′
d′ g′
f′
k′ Ｏ
a
bg
k
c
d
e
f
两平面不平行
§５－２相交关系
直线与平面、平面与平面若不平行，则一定相交。直线与平面的交点是直线与平面的共有点；两平面相交的交线直线，是两平面的共有线。

工程制图第4章直线与平面、平面与平面的相对位置

m
b k f n
c
l
a O
m
m
k b
f
a l
n
二、辅助平面法
A E
K 1
2
D
C
B 过AB作平面P垂直于H投影面
a
d
2
k 作题步骤： 1、过AB作铅垂平面P。 2、求P平面与 ΔCDE的交线 e ⅠⅡ。 O 3、求交线 ⅠⅡ与AB的交 e 点K。
c
1
X
PH
b
a
1
第一节
第二节
平行问题
相交问题
4.2 相交问题
第三节
第四节
垂直问题
综合问题分析及解法
第一节平行问题
一、直线与平面平行
C P A
D
B
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。
例1 试判断直线AB是否平行于平面 CDE。
c g d f
e
b
a
X
f d e
O
a
g c
e f d
a
b r
X
c
O
e s
SH
d
a c b
f
结论：两平面平行
r P H
第二节
相交问题
D B
交点与交线的性质
P K A
K
A
B
C
L
E
F
直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有线的投影。
X
m k b

土木工程制图第4章直平面与平面的相对位置线与平面

4.2
【例4-9】
(1) ①过直线DE作一个辅助平面P(P面是铅垂面，也可作正垂面)，过程如图4-13(c) ②求铅垂面P与已知平面ABC的交线MN，过程如图4-13(d)所 ③求辅助交线MN与已知直线DE的交点K，过程如图4-13(e)
4.2
【例4-9】
(2)可见性利用重影点法来判别。如图4-13(f)所示，在水平投影上标出交错两条直线AC、DE上的重影点F和M的重合投影 f(m)，过点f和点m向上作投影联系线求出点f′和点m′。从图中可看出F点高于M点，说明DK段高于平面ABC，水平投影 mk可见，画成粗实线，而kn不可见，画成虚线。同理通过判别正面重影点P、Q的前后关系，可知dk段可见，ke段不可见。
4.1平行问题
图4-6 过点E作一个平面与已知平面平行
4.1平行问题
2.两个特殊位置平面平行判定方法
若两个特殊位置平面平行，则它们的同面积聚投影必然平行。因此，当判断两个特殊位置平面是否平行时，只需检查它们的同面积聚投影是否平行即可。
4.2
1
(1)相交的特殊情况，即直线或平面的投影具有积聚性，此时可利用投影的积聚性直接求出交点或交线。
4.2
图4-15 三面共点法求两平面共有点
4.2
如图4-16所示，平面UVW和一对平行线JL、MN各决
定一个平面。为求出这两个平面的交线，根据图4-15
所示的原理，取水平面P为辅助平面，利用积聚性分别
作平面P
AB(ab，a′b′)、
CD(cd，c′d′)。AB和CD的交点K1(k1、k1′)便为一
4.3
1.一般位置直线与一般位置平面垂直
结论
直线与平面垂直的投影特性是垂线的水平投影必垂直于平面内的水平线的水平投影，垂线的正面投影必垂直于平面内的正平线的正面投影。反之，若直线的水平投影垂直于平面内的水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于平面内的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面。

工程制图直线与平面及两平面的相对位置ppt课件

⒉ 两平面平行
几何条件：若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。两平面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。
两平面平行
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
AB∥ⅠⅡ；AC∥ⅠⅢ；则：P∥Q
4) (
利用重影点判别可见性
1
5.2.5 综合性问题解法
例5 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与
直线EF相交。
综合性问题解法
分析
过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。 K F H E
作图
PV m 1 2 n
① 若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。
两特殊位置平面平行
C B A a c b F e(f) h(g) G E H a' X a c b h(g) c' b' f' e(f) g' O e' h'
② 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。
定理2：若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。
例6 平面由 BDF给定，试过定点M作平面的垂线。 n f
c a
d f a d m b m
c
b n
例7 试过定点K作特殊位置平面的法线。
h
PV k SV k h h
1. 直线与特殊位置平面相交
b a n

土建工程制图第4章直线与平面、平面与平面的相对位置关系

c' a'
k
30
a
b
c
班级
姓名
成绩
6
1.求平面ABC 对H 面的倾角。 b'
2.求平面ABC 对V 面的倾角及点E到平面ABC 的距离。 b'
a' b
a' c'
c a
a
直线与平面、平面与平面垂直
班级
c' e'
b
e c
姓名
成绩
7
1.求作投影面垂直线与一般位置平面的交点，并判别可见性。 c' e' a' b'
b'
r'
c' k'
a'
b
r
k a
c
1.过点K 作一般位置平面垂直于平面ABC 。
b' k'
2.过线段DE 作平面垂直于平面ABC 。 b'
c' a'
a'
b
c
a
a 直线与平面、平面与平面垂直
k 班级
c' d'
e' b
d
e
c
姓名
成绩
5
1.作图检查两平面是否垂直。
c'
e'
f'
a'
b'd'
g'
a
b
f
eg
c'
f'
c
f
a
g
e
b
d
不平行平面DEF 班级
平面ABC 平行平面DEFG
姓名

工程制图之直线与平面平面与平面相对位置

返回
A
Ⅰ
A
Ⅰ
D
Ⅱ
两平面垂直
D
Ⅱ
两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
例1：平面由 BDF给定，试过定点K作平面的垂面。
h’ f’
c’
g’
k’
a’
b’
d’
a d
f c b
k g
h
返回
例2 、试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。
a’ e’
f
2
a
b k
1
c
e
返回
例2 求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。
f’
c’
b’ PH f
2’ k’
1’
a’ e’
步骤：
1、过EF作铅垂面P。 2、求P平面与ΔABC 的交线ⅠⅡ。
3、求交线ⅠⅡ 与EF 的交点K。
a
1
b
k 2
c
e
返回
六、两一般位置平面相交求交线的方法
B M
K A
L F
点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ 在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2 不可见。
返回
五、直线与一般位置平面相交
M
A
例题1
C
例题2
B
N
判别可见性
返回
例1 求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。
QV
c’
f’ 1’
k’ b’
2’
步骤：
1、过EF作正垂面Q。 2、求Q平面与ΔABC 的交线ⅠⅡ。 3、求交线ⅠⅡ与EF 的交点K。
返回
例：求两平面的交线MN并判别可见性。

工程制图课程案例-第5章-直线与平面及两平面相对位置

g
b h
例11 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面
是否垂直。
h
c
g
f
k
X
g
d b
c
a
O
f k
b d
结论：两平面不平行
➢5. 4 综合问题分析及解法
• 5.4.1 空间几何元素定位问题 • 5.4.2 空间几何元素度量问题 • 5.4.3 综合问题解题举例
平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。
f ( 2 ) 1
4
利
k
用
重
33
影
点
e
判
别
2
可见
性
k
（(3）)
4
1
e
示意图
5.2.4 两一般位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。
•两一般位置平面相交求交线
•判别可见性
两一般位置平面相交求交线的方法示意图
d
投影，交线的水平投影垂
e
a
n
●
c
d
●m
b
f
还可通过重影点
直于OX轴。
① 求交线 ② 判别可见性
从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。
判别可见性
⑵
d′ a′
h′
b′ n′ ●
e′
X
a
b
n ●
d(e)
m′
●
●1'(2') c′

工程制图直线与平面及两平面的相对位置

⒉两平面平行
几何条件：
若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。
两平面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投
影。
两平面平行
Ⅰ
Ⅲ Ⅱ
AB∥ⅠⅡ；AC∥ⅠⅢ；则：P∥Q ① 若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。
作图 ① 求交线 ② 判别可见性
点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故mc 可见。
投影分析
⑶
f a
f a
b
ΔDEF的正面投影积聚
m d ●
k n'
作图
●
●
e
① 求交线
c
N点的水平投影n位于Δdef
b
的外面，说明点N位于ΔDEF
所确定的平面内，但不位于
m●
e ΔDEF这个图形内。
k●
n
2
n
h
h n2
1．过点K作平面 KMN// ABC平面。
2．求直线EF与平面 KMN的交点H 。
3．连接KH，KH即为所求。
m1
垂直问题
1
直线与平面垂直
2
两平面互相垂直
5.3.1 直线与平面垂直
V
C A
E B
D
几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。
n
V
C
A
k a
e
c b
d
E X
O
B
D
a
kd
ec