鞅与等价鞅测度
[考研专业课课件] 赫尔《期货、期权及其他衍生产品》 课件 第27章 鞅与测度
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2 f2 f1 1 f1 f2 （27-4）
和
2 f2f1 1 f1f2
将式（27-2）和式（27-3）代入
1 2 f1 f2 21 f1 f2 t （27-5）
由于这个组合是瞬时无风险的，它必须挣取 无风险利率。因此， r t 将式（27-4）和式（27-5）代入上式可以得
df rfdt fdz
即为传统风险中性世界（traditional risk． neutral world）。
由式（27-9）可以得出
r
于是
df r fdt fdz （27-10）
一个变量的风险市场价格决定了所有依赖于 这个变量的证券的增长率。当从一个风险市场价 格换成另外一个时，证券价格增长率的期望值会 改变，但它的波动率却不会改变。
r
（27-9）
注意：变量σ可以不严格地理解成在f中的θ
风险。 右边，θ风险的数量乘上σ风险的市场价格; 左边,衍生产品在所得收益里高于无风险利率的部 分，即风险的补偿。
【例27-1】考虑这样一个衍生产品，它的价
格和原油价格之间有正的相关性，而且不依赖别 的随机变量。假设它提供12％的年预期收益率与 20％的年波动率，如果无风险利率为每年8％ 原油的风险市场价格是
0.12 0.08 0.2 0.2
注意：原油是消费资产而不是投资资产，因
而不能在式（27-8）中让μ等于在原油上投资的
收益率期望，σ要等于原油价格的波动率。
【例27-2】考虑两个证券，它们都与90天的
利率有正的相关性。假如第一个证券的收益率期 望是每年3％，而波动率是每年20％。第二个证券 的波动率是每年30％。假设瞬时无风险利率是每 年6％。利用第一个证券的收益率期望与波动率可 以计算风险市场价格为
金融衍生数学PPT课件
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与Girsanov定理有关的讨论
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2. 前面的例子中，μ与时间独立，而这里的Xt 则依赖于某个随机变量（只要这个随机数量在 t时刻是已知的）。这就是使Xt成为It适应的原 因。因此，我们可以对漂移项进行更为复杂的 变换。
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产生等价概率的方法
与Girsanov定理所见到的一样，我们可以用一 种有趣的方法来由鞅产生概率。
例如，假设随机过程Zt只能取非负值，假设所 选择的随机过程Z具有如下性质：
在概率P下对所有的t有：
EP[Zt]=1
0≤Zt
我们将说明这样的Z对产生新概率非常有用。
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作为“测度”的概率
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ห้องสมุดไป่ตู้ •
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-5
0
z
10
以μ=-5为中心的密度函数可以变换成另外 一种概率密度，密度的中心变为了 μ=0 第二种方法是改变分布的形状，一种方法 是增加或减少分布的方差，对原始随机变 量进行尺度变换。下图对这种情形进行了 说明。随机变量zt的方差由4变为了1.
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esscher鞅测度 -回复
esscher鞅测度-回复关于esscher鞅测度的介绍和应用。
鞅理论是概率论和随机过程领域中的一个重要分支，在金融衍生品定价和风险管理等领域有广泛应用。
而esscher鞅测度是鞅理论中的一个特殊类型，本文将从介绍鞅的基本概念开始，逐步讲解esscher鞅测度的定义和性质，并探讨其在金融领域中的应用。
鞅（martingale）是概率论中一组随机变量的序列，满足一个重要的条件——在给定过去的信息下，未来的预期值等于当前值。
鞅的概念首先由法国数学家保罗·莱维（Paul Lévy）在20世纪初提出，并在之后由一系列数学家进一步发展完善。
为了更好地理解鞅的定义和性质，我们以一个股票价格模型为例。
假设现在有一只股票价格为S_t，在t时刻进行观察，我们希望根据已有的信息预测其在未来时刻的价格。
如果该股票价格满足鞅的条件，即E[S_{t+1} S_0,S_1,...,S_t]=S_t，则我们可以说该价格是一个鞅。
这个条件实际上是指在给定过去的所有价格信息后，未来价格的预期值等于当前价格。
在金融领域中，我们经常考虑随机过程的贴现因子。
贴现因子是用于将未来的现金流折算到当前时刻的一个经济量。
常见的贴现因子有风险中性测度，它是在这个测度下股票价格是鞅。
不过，在实际应用中，风险中性测度往往难以计算或者不一定存在，这时esscher鞅测度就成为一个很有用的工具。
esscher鞅测度是一种基于鞅的概率测度，其定义是对鞅的原始测度进行调整，使得股票价格在新测度下依然成为鞅。
具体来说，对于每个时刻t，esscher鞅测度的调整是通过乘以一个补偿项来实现的。
这个补偿项通常取为贴现因子的一个函数，其形式为exp(-λS_t)，其中λ是一个正的调整参数。
通过这样的调整，我们在新的测度下得到的股票价格序列依然满足鞅的条件。
esscher鞅测度的应用主要在金融衍生品定价和风险管理中。
在金融衍生品定价中，我们经常需要对未来现金流进行折现，而esscher鞅测度提供了一种对未来现金流进行折现的方法，从而可以确定一个较为合理的价格范围。
补充章 期权定价的鞅方法
• 一、鞅（martingale）与等价鞅测度 • 鞅是随机过程的一种，它的显著特点是未来的 期望等于现在。一个随机过程一般伴随着一个 测度。等价鞅测度即是把不是鞅的随机过程转 化成鞅的测度。这一测度和原来随机过程伴随 的测度等价。转化成鞅后，可是直接采用求数 学期望的方法来获得金融衍生产品的价格，如 期权，而不用解偏微分方程了。
dS dt S rdt dz Q Q ur dz dt
• 显然，由于转换后的漂移项从风险u转换 成了无风险r,则 Q是风险中性下的概率测 Q dz 度， 则是风险中性下的布朗运动 • 3 风险中性下概率测度的转换 • 可以从2中风险中性下的Q测度转换成风 险中性下的另一概率测度。
令：dz Q dz R dt , 代入可得： dS R rdt dz dt S (r+ 2 )dt dz R
• 4 小结 • a、每个随机过程都对应着一个概率测度 ｂ、在概率测度转换过程时，各概率测度约束 下的随机变量期望值都相等。 • 三、Girsanov 定理 T 1 T 2 1 T 2 Q exp dz dt , 且 E exp( dt ) , t • 若 t t 0 0 2 2 0 • 则新测度R与原测度Q之间的对应关系为：
• 二、风险中性下的资产价格随机过程 • 1、在B-S模型中，资产价格服从Ito过程，即： dS dt dz P S
P dz • 此处， 代表在概率测度P下的布朗运动，P是
风险环境下的概率测度。 • 2、该过程可以转换为风险中性下的随机过程： • 令 dz P dz Q u r dt , 代入可得：
PR ( A) T dPQ
金融工程的期末练习题附参考答案
第二章一、判断题1、市场风险可以通过多样化来消除。
（F ）2、与n 个未来状态相对应，若市场存在n 个收益线性无关的资产，则市场具有完全性。
（T ）3、根据风险中性定价原理，某项资产当前时刻的价值等于根据其未来风险中性概率计算的期望值。
（F ）4、如果套利组合含有衍生产品，则组合中通常包含对应的基础资产。
（T ）5、在套期保值中，若保值工具与保值对象的价格负相关，则一般可利用相反的头寸进行套期保值。
（F ） 二、单选题下列哪项不属于未来确定现金流和未来浮动现金流之间的现金流交换？（ ） A 、利率互换 B 、股票 C 、远期 D 、期货2、关于套利组合的特征，下列说法错误的是（ ）。
A.套利组合中通常只包含风险资产B.套利组合中任何资产的购买都是通过其他资产的卖空来融资C.若套利组合含有衍生产品，则组合通常包含对应的基础资产 D ．套利组合是无风险的3、买入一单位远期，且买入一单位看跌期权（标的资产相同、到期日相同）等同于（ ） A 、卖出一单位看涨期权 B 、买入标的资产 C 、买入一单位看涨期权 D 、卖出标的资产4、假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。
假设现在的无风险年利率等于10%，该股票3个月期的欧式看涨期权协议价格为10.5元。
则（ ）A. 一单位股票多头与4单位该看涨期权空头构成了无风险组合B. 一单位该看涨期权空头与0.25单位股票多头构成了无风险组合C. 当前市值为9的无风险证券多头和4单位该看涨期权多头复制了该股票多头 D ．以上说法都对 三、名词解释 1、套利 答：套利是在某项金融资产的交易过程中，交易者可以在不需要期初投资支出的条件下获取无风险报酬。
等价鞅测度 答：资产价格tS 是一个随机过程，假定资产价格的实际概率分布为P ，若存在另一种概率分布*P 使得以*P 计算的未来期望风险价格经无风险利率贴现后的价格序列是一个鞅，即()()rt r t t t t S e E S e ττ--++=，则称*P 为P 的等价鞅测度。
简析等价鞅测度及其应用
式 5;05"IJC)
+’ +!&;)* ’就等于 C $
6 : : 6 0 3
这
个特征阐明了在不丧失一般性条件下! 为什么可将人们的注意力限定在隐含锥 空间 % 的特殊概率测度类型上 $ 重要的 是 要 指 出 ) 鞅 概 率 测 度 (: 不 是 为 了 将 股 票价格实际波动观测值模型化而外生引 入的 $ 相反的是 ! 它应该被看作是衍生证 券套利估价中非常有用的技术工具 $ 评价 ! 鞅测度 & 或风险中性概率 ’ 概 念本质上取决于基数资产的选择 $ 可以 确 认 相 对 股 票 价 格 ?:0? > 5 的 唯 一 鞅 测 度为 C 类 的 唯 一 因 子 ( ! 且 ( 与 C 的 以 下值一致 )C0C0) 3 % 3 + 79 $
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-王 俊
罗 猛
自从 !" 世纪 #" 年代后数理分析工 具广泛应用于金融分析领域 ! 其中最为 知名的当属 $%$ 定 理 "&’$( 以 及 无 套 利 )’(*+ 定 理 和 鞅 等 价 定 理 等 # 在 这 当 中 ! 鞅等价定理直至目前仍然是金融分 析中的前沿课题 $ 并且 ! 等价鞅测度定理 还是人们在分析金融产品定价 % 消除金 融投机套利机会 " 降低金融产品投资风 险的主要工具 $ 等价鞅测度定理在金融 市场分析中的很多领域都可以得到应 用 $ 剖析等价鞅测度定理及其应用无疑 对掌握金融产品定价方法 " 优化金融产 品投资组合 " 降低金融产品投资风险将 有所裨益 $ 一 ! 鞅的定义及含义 一个关于 ,!-.-"" 适应的过程 /0)/-+-"" 称 为 一 个 & 关 于 ,!-.-"" 的 ’ 鞅 ! 如 每 个 /可 积 ! 且 /-01)/-23 4 !-+ !-0"!3 ### &3 ’ 称 为 一 个 上 鞅 ! 如 式 &3 ’ 换 为 /-$1)/-23 4 量族 !3! ( ( (!!* 生成而致 ! 从 而 更 精 确 而 言 !B; 0B &!"!!3!( ( (!!;’! &; )* ! 等 式 中
高阶马氏过程影响下的金融模型的等价鞅测度
作者简介 ： 王丙均 （９ ２ ） 男 ， １８ 一 ， 江苏徐州人 。讲师 ， 硕士 ， 主要从事期权 定价方 面的研究。Ｅｍ ｉ ｗ ｊ ６ ６ ．Ｏ － ａ ：ｂ ８ ＠１３ ＣＢ。 ｌ ５
２
鲁 东 大学 学报 （ 自然科 学 版 ）
第２ ８卷
波动 率和 预期收 益率也 受 到高 阶的马尔 可夫链 的影 响． ＝ ｛ ｝ 是独 立 同分 布 的随机 变量序 列 ， 中 … 其
发生状态波动 ， 这种波动在金融建模 中常常用马尔可夫过程来刻画， 称之为状态转换． １ ］ 文［ —２ 通过对 美 国 、 国的利 率数 据研究 发现 ， 德 用状 态 换模 型来 描述利 率更 为符合 实 际 ， 于其他参 数也 是如 此． 对 近 年来 ， 人们 把注 意力放 在 了有状 态转换 的期 权定 价模 型 中来 Ｊ但 是大部 分模 型均假 设标 的 资产 价格 ．
…
，
｝ 的转移概率 Ｐ ｉ ｔ ） ． （ ｉ ， ）＝Ｐ 置＋ ． ＝ …Ｉ ｚ （ ［ ＝ １
…， ＝置 ，＋ 置一 ］ｉ１＝１２ …， ｆ ，，
＝
｛ ｝ 的初 始分 布为 Ｐ（…Ｉ（，） … ｉ ｆｚ ）＝７ Ｉ（，） ｉ ＝１２ … ， 关 于 ｚ 的时齐 马尔可 夫链 的更多 ｉ ｒ ｆｆ ， ｉ 川 ，， 阶 内容见 文 ［ ］ ８．
受 到连续 的马 尔可 夫过程 的影 响 ， 对离散 的情 形研 究较 少 ， 其对 于离散 情形 中用高 阶 马尔可 夫链来 而 尤 描 述参 数变化 的文 献更少 ， 目前 只有 文 ［ ］ 了一些 工作 ． ８ 做 本 文考虑 离散 时间 的期权定 价模 型 ， 其 中 的参 数 ， 且 如利率 、 预期 收益 率 、 动率均 受 到离散 的高 阶 波 马尔可夫 链 的影 响 ， 广 义 Ｇｒ ｎｖ原则 应用 到有 状态 转 换 的模 型 中 ， 造 了一个 等 价鞅 测 度 ， 此测 将 ｉａｏ ｓ 构 在 度 下 ， 需要 额外 的条件 就可使 贴 现 资产 价 格 过程 是鞅 ， 不 且说 明该测 度 和 文 ［ ］ ８ 中利 用 Ｅｓｈｒ 换方 ｓｃｅ 变 法 获得 的测度 是一致 的 ， 推广 了文 ［ ］ ９ 的结 论．
第六章 鞅方法定价(金融衍生品定价理论讲义)
第六章 鞅方法定价在上一章的二项树模型下，我们证明了，当完备市场中不成在套利机会时，市场存在唯一概率——等价鞅测度——可以 用来给期权和期货定价。
在这一章，我们先在二项树模型下详细解释等价鞅测度的含义。
接着，我们讨论一般结果。
我们将证明，这个结果在比二项树模型更复杂的经济系统中也成立。
在许多背景下，我们并不需要利用市场均衡来给衍生资产定价，而是利用套利定价原理来进行定价——如果证券市场不存在套利机会，则衍生证券的价格完全由别的长期证券的价格过程来决定。
在这个定价的过程中，我们通常把一个长期证券集的价格过程视为给定而来进行定价。
这样就自然产生一个问题：如何确定被我们视为给定的价格过程不存在套利机会？ 价格过程不存在套利机会的充分必要条件是，通过变换概率测度和对价格过程进行某种正规化之后，这些价格过程是鞅过程。
无套利和鞅过程之间的这种特殊关系也可以直接用来对衍生证券进行定价。
作为一个应用，我们将用这种方法来对期权进行定价，得到期权定价的一种新的方法。
1．二项树模型中的等价鞅测度在二项树模型中模型图1一期二项式生成过程这里∆-t S =股票在时间∆-t 的价格 q =股票价格上涨的概率 r f =一期的无风险利率u =股票价格上涨的乘子)11(>+>fr ud =股票价格下跌的乘子()011<<<+d r f在每一期末，股票价格或者以概率q 涨为∆-t uS ，或者以概率1-q 跌为∆-t dS 。
每期的无风险利率为r f 。
对r f 的限制为u r d f >+>1，这是无套利条件。
直观地可以看出，无论是1+>>r u d f （这时，无风险利率总比股票的风险回报率高）还是u d r f >>+1（这时，无风险利率总比股票的风险回报率低），都存在套利机会。
等价鞅测度的含义： 等价的含义：当实际的概率为正时，p 也为正。
条件期望直观解释：在某种条件下的期望值。
鞅与等价鞅测度
8.2 鞅与等价鞅测度布朗运动具有鞅性资产价格序列4☐在金融中，我们经常讨论的是价格序列St 。
☐假定当前时刻是t 0，那么从现在来看，资产在未来时刻 t> t 0 的价格都是不确定的，将来可以大于当前值，可以小于当前值，也可以等于当前值。
☐资产价格随时间变化的关系S t 可以被描述为一个随机过程。
理想条件下，股票价格序列是一个鞅过程资产价格序列5☐由于在t 0时刻，投资者只能观察到该时刻及其之前的S t 值，而对于t> t 0 的价格只能根据相关的信息进行预测。
若以F t 表示在t时刻获得的能够用来推断资产未来价格的信息，那么投资者在t时刻对未来的推断，就是此时的条件期望E t (S t+ |F t )。
☐如果价格序列是一个鞅过程，那就是在目前时刻的所有信息下，对价格未来的预期值应该等于其当前的观察值。
鞅与等价鞅测度7☐按照鞅的定义，序列 S t e -rt 是一个鞅，也就意味着在目前时刻的所有信息下，对S t e -rt 未来的条件期望值等于其当前的观察值，即：S t e -rt = E *t (S t+τ e -r （t+τ）)其中，E *是在P *世界里的期望。
☐等价化简得到S t = e -r τE*t (S t+τ)即现在的价格等于未来价格期望按P *的无风险贴现。
P *为P的等价鞅测度， P *与P在鞅意义下等价。
两个问题☐这样的等价鞅测度 P*是否一定存在？✓资产定价的基本定理：对于有限离散时间金融市场，市场无套利等价于存在等价鞅测度。
☐ P*世界是哪个世界？✓我们取P*为风险中性世界。
即所有投资者都是风险中性的。
也就是我们上节课讲过的主体的效用函数为线性函数：确定性财富带来的效用等于参与期望收益相同的一场赌博带来的期望效用。
8谢 谢 聆 听！。
鞅、鞅差和市场有效性
弱式有效
可实施性。 ［参 考 文 献］
［１］陈灯塔，洪永森．中 国 股 市 是 弱 式 有 效 的 吗 —基 于 一 种
同理可以证明半强式有效市场 强式有效市场
新方法的实证研究［Ｊ］．经济学（季刊），２００３（３）
性质二： 定义在（Ω，Ｉ，Ｐ）以及滤基（Ｉｎ）ｎ 上的市场 Ｍ 是有效的市
［２］张亦春，周颖刚。中国股市弱式有效吗［Ｊ］．金融研究，２００１ （３）
１９６５ 年 Ｆａｍａ 在 总 结 前 人 研 究 的 基 础 上 ， 在 Ｔｈｅ Ｔｈｅｏｒｙ Ｏｆ Ｓｔｏｃｋ Ｍａｒｋｅｔ Ｐｒｉｃｅ 中 定 义 了 有 效 市 场 的 价 格 行 为，Ｓａｍｕｅｌｓｏｎ（１９６５）、Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ（１９６６）和 Ｒｏｂｅｒｔｓ（１９６７）在不 同的领域完善了市场有效性理论， 并根据价格对信息的 反应程度，把有效市场分为：弱有效市场、半强式有效市 场和强式有效市场。 Ｆａｍａ（１９７０）最终完成了有效市场的完 整框架，正式形成了有效市场理论，认为有效市场的核心 是能够及时、准确的对市场信息做出反应的市场，信息是 有效市场的核心。
第 ２０１２ 年第 １１ 期 （ 总第 ４０９ 期）
［文章 编 号］ １００９－ ６０４３（ ２０１２）１１－ ００３０－ ０２
商业经济 ＳＨＡＮＧＹＥ ＪＩＮＧＪＩ
鞅、鞅差和市场有效性
Ｎｏ．１１，２０１２ Ｔｏｔａｌ Ｎｏ．４０９
刘辉
（ 上海理工大学 管理学院 ， 上海 ２０００９３）
［摘 要］ 市场有效性理论是现代经济学和金融学的基础定理之一，主流的资本市场理论均以其为基础。 通过探
随着分析技术的发展， 随机分析技术被广泛应用于 价格行为研究和金融指标分析， 但这些研究却发现价格 Ｐｔ 的对数增量 Ｘｔ＝ｌｎＰｔ－ｌｎＰｔ－１ 似乎是独立的（满足特定的假 设的条件下），Ｃｏｗｌｅｓ（１９３３）以及随后的 Ｗｏｒｋｉｎｇ（１９３４）等均 得出了类似结论 。 随后，Ｋｅｎｄａｌｌ 发现金融市场价 格 波动 具 有 完 全 随 机 性 ，无 周 期 、无 趋 向 行（即 Ｓｎ＝Ｓ０Ｅｘｐ（∑Ｘｔ）， 其中 Ｘｔ＝ｌｎＰｔ－ｌｎＰｔ－１，Ｘｔ 独立同分 布）， 并在 Ｔｈｅ Ａｎａｌｙｓ ｉｓ Ｏｆ Ｅｃｏｎｏｍｉｃ Ｔｉｍｅ－Ｓｅｒｉａｌ 中描述了市场价格行为的形态及其 随机过程特征。 在其基础上，学者不断完善分析的方法并 构 造 随 机 过 程 模 型 来 描 述 价 格 行 为 （Ｒｏｂｅｒｔ，Ｏｓｂｏｒｎｅ 和 Ｓａｍｕｅｌｓｏｎ 等）。 这 一 系 列 研 究初 步 构 建 了 有效 市 场 理 论 （Ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ Ｃａｐｉｔａｌ Ｍａｒｋｅｔ Ｔｈｅｏｒｙ）的雏形。
赫尔《期权、期货及其他衍生产品》教材精讲(鞅与测度)【圣才出品】
第27章鞅与测度1．解释当无风险利率为随机时风险中性定价的理论基础2．了解等价鞅测度，并利用它来推广布莱克模型27.1 风险市场价格考虑只依赖于一个变量θ的衍生产品性质。
假设θ所服从的过程是（27-1）式中dz——维纳过程m——θ增长率的期望s——θ增长率的波动率假定这些参数只依赖于θ和t，变量θ可以代表与金融市场不大相关的东西。
f1、f2——两个依赖于θ和t的衍生产品价格可以是期权，也可以是在以后某个时间以θ和t函数形式提供收益的产品价格。
在所考虑的时间区间中，f1与f2不提供任何收入。
假设f1与f2所服从的过程为与式中，μ1，μ2，σ1和σ2都是θ和t的函数，其中的“dz”项必须与式（27-1）中的dz一致，因为它们代表f1与f1中不确定性的惟一来源。
联系价格f1与f2把f1与f1的过程离散化（27-2）和（27-3）利用σ2f2个单位的第一个衍生产品和-σ1f1单位的第二个衍生产品建立一个瞬时无风险的组合，将△z去掉。
如果用Π来表示这个组合的价值，那么（27-4）和将式（27-2）和式（27-3）代入（27-5）由于这个组合是瞬时无风险的，它必须挣取无风险利率。
因此，将式（27-4）和式（27-5）代入上式可以得到或（27-6）注意式（27-6）的左边只依赖于f1过程中的参数，而右端只依赖于f2过程中的参数。
定义λ为式（27-6）两边的值，那么（27-7）如果一个衍生产品价格只依赖于θ和t的，并且服从那么（27-8）参数λ被称为θ的风险市场价格。
它可能依赖于θ和t，但却不依赖于衍生产品f的特征。
如果没有套利机会，那么在任何时间上如果衍生产品，只依赖于θ和t，（μ-r）/σ的值都必须是一样的。
变量θ的风险市场价格对于依赖于θ的证券在其风险与收益之间的平衡关系起着一个度量的作用。
式（27-8）可以写成（27-9）注意：变量σ可以不严格地理解成在f中的θ风险。
右边，θ风险的数量乘上σ风险的市场价格；左边，衍生产品在所得收益里高于无风险利率的部分，即风险的补偿。
等价鞅测度和鞅定价方法导数
则相应的利率互换期权定价公式为
0 1 2
1 2
其中
1 显然，如果 ，这就是一个即期开始的利率互换；如果 ，这就是一个远期开始的利率互换。
ln 1
12 2
,
, 0
0
0
0
2 1 , 0 0
, 0
1 0
0 2
资产交换期权
根据引理我们有???????????21也就是说如果我们从以计价的世界转换至以计价的世界除了布朗运动的变换之12外任意资产漂移率的变动为??????在测度下一个资产价格服从1????????????????1?1如果该资产是可交易的则?????1?????1????1转换至测度意味着其随机过程变换为2??????????????1????2??1????????????????1?1定义计价比率2????1??根据引理我们有????2?????1??也就是说如果我们从以计价的世界转换至以计价的世界除了布朗运动的变换之12外任意资产漂移率的变动为???????1又因为??????????1??????????1和?????????????????????????????????????因此当计价单位从转换至时漂移率的变动为12???????现定义个测度
( , *) 作为计价单位的远期测度下，远期利率服从鞅过程，当前的远期利率就是未来对应
期限即期利率的期望。这个性质在利率产品定价中常常用到，其典型代表是
模型。
模型假设远期利率在 , * 计价的远期测度下服从如下的随机过程
则利率顶的定价公式为
1 , 1 , , 1 1
新概率之和等于 ；在概率测度 下 的期望值为 ；方差仍保持为 98 。可以求得概率测 3
度 应为
122 429 10
鞅在期权定价中的应用
The Annals of Applied Probability1999,Vol.9,No.2,504–528PRICING CONTINGENT CLAIMS ON STOCKSDRIVEN BY L´EVY PROCESSES1By Terence ChanHeriot-Watt UniversityWe consider the problem of pricing contingent claims on a stock whose price process is modelled by a geometric L´e vy process,in exact analogy withthe ubiquitous geometric Brownian motion model.Because the noise pro-cess has jumps of random sizes,such a market is incomplete and there isnot a unique equivalent martingale measure.We study several approachesto pricing options which all make use of an equivalent martingale measurethat is in different respects“closest”to the underlying canonical measure,the main ones being the F¨o llmer–Schweizer minimal measure and the mar-tingale measure which has minimum relative entropy with respect to thecanonical measure.It is shown that the minimum relative entropy measureis that constructed via the Esscher transform,while the F¨o llmer–Schweizermeasure corresponds to another natural analogue of the classical Black–Scholes measure.1.Introduction.We consider the problem of pricing contingent claims on a stock whose price at time t,S t,is modelled by a geometric L´e vy processdS t=σt S t−dY t+b t S t−dtwhere Y is a general L´e vy process(satisfying some additional conditions)and not merely a Brownian motion.The classical option pricing theory of Black and Scholes relies on the fact that the payoff of every contingent claim can be duplicated by a portfolio consisting of investments in the underlying stock and in a bond paying a riskless rate of interest;in other words,the risk of buying or writing an option can be completely hedged against.In such complete mar-kets,there is a unique measure which is equivalent to the canonical measure (the“real world”measure)and which makes the discounted price process a martingale.The unique fair price of a contingent claim is then the expectation under this martingale measure of the discounted payoff at maturity,which is essentially the content of the famous Black–Scholes formula.For the stock prices described above,there are many equivalent measures under which the discounted price process is a martingale,in contrast to the geometric Brownian model.In other words,such a market is incomplete—that is,contingent claims cannot in general be hedged by a suitable portfolio. Because there does not exist a unique equivalent martingale measure,it is not possible simply to use the martingale measure to price a contingent claim in the manner just described.Instead,additional criteria must be used to select Received April1997;revised November1997.1Supported in part by the Carnegie Trust for the Universities of Scotland.AMS1991subject classifications.Primary90A09,60G35;secondary60J30,60J75.Key words and phrases.Option pricing,incomplete market,equivalent martingale measures.504OPTION PRICING WITH L´EVY PROCESSES505an appropriate martingale measure from among the uncountably many such measures with which to price a contingent claim.Many different approaches to this problem have been proposed in recent years but there is as yet no definitive way of pricing contingent claims in incomplete markets which is preferable to the other possible methods in all situations.Moreover,compared to the large body of work devoted tofinding new approaches to option pricing in incomplete markets,relatively little seems to have been done to compare and to investigate the relationship between the various approaches.Part of the aim of this paper is to go a little way toward redressing the balance.For our particular model,we shall concentrate on various approaches to pricing options which are all based on the idea of using an equivalent martingale measure that is in different respects“closest”to the underlying canonical measure,the main ones being the F¨o llmer–Schweizer minimal measure and the martingale measure which has minimum relative entropy with respect to the canonical measure.2.Description of the model.Before describing the model,wefirst re-view some preliminary results concerning L´e vy processes.For a more detailed treatment,the reader is referred to Protter(1990),Jacod and Shiryaev(1987) and Liptser and Shiryayev(1989).A L´e vy process Y t is simply a process with stationary and independent increments:in other words,Y s+t−Y s is independent of Y u u≤s and has the same distribution as Y t−Y0.All L´e vy processes are semimartingales and throughout this paper we adopt the convention that all L´e vy processes are right continuous with left limits(cadlag).Since Y has stationary independent increments,its characteristic function must take the formE exp −iθY t =exp −tψ θfor some functionψ,called the L´e vy exponent of Y.The L´e vy–Khintchine formula says that2 1 ψ θ =c22θ2+iαθ+ x <1 1−e−iθx−iθx ν dx + x ≥1 1−e−iθx ν dxforα,c∈R and for someσ-finite measureνon R\ 0 satisfying2 2 min 1 x2 ν dx <∞The measureνis called the L´e vy measure of Y.The L´e vy–Khintchine formula(2.1)is intimately connected to the structure of the process Y itself,in particular to the L´e vy decomposition of Y,which we describe below.From the L´e vy–Khintchine formula we can deduce that Y must be a linear combination of a Brownian motion and a quadratic pure jump process X which is independent of the Brownian motion.[A process is506T.CHANsaid to be quadratic pure jump if the continuous part of its quadratic variation X c≡0,in which case its quadratic variation becomes simplyX t= 0<s≤t X s 2where X s=X s−X s−is the jump size at time s.]It will be convenient to explicitly separate out the Brownian component from the quadratic pure jump component X and we therefore write2 3 Y t=cB t+X twhere B is a standard Brownian motion on R and X is quadratic pure jump. We now proceed to describe the L´e vy decomposition of X[the full L´e vy de-composition of Y is then obtained by combining this with(2.3)].Let Q dt dx be a Poisson measure on R+×R\ 0 with expectation(or intensity)measure dt×ν whereνis the L´e vy measure introduced earlier and dt denotes Lebesgue measure.The measureν(or more precisely dt×ν)is also sometimes called the compensator of Q.The L´e vy decomposition of X says that2 4 X t= x <1 x Q 0 t dx −tν dx + x ≥1 x Q 0 t dx +t E X1− x ≥1 xν dx= x <1 x Q 0 t dx −tν dx + x ≥1 x Q 0 t dx +αtwhere we have putα=E X1− x ≥1 xν dxThe parameterαis called the drift of the L´e vy process X.For the purposes of our model,we require the process Y to satisfy certain additional conditions.The key assumption we require of Y is that2 5 E exp −hY1 <∞for all h∈ −h1 h2 ,where0<h1,h2≤∞.This implies that Y t hasfinite moments of all orders, and in particular,E X1 <∞.In terms of the L´e vy measureνof X we havex ≥1 e−hxν dx <∞(2.6a)x ≥1 xγe−hxν dx <∞∀γ>0(2.6b)x ≥1 xν dx <∞(2.6c)OPTION PRICING WITH L´EVY PROCESSES507 for all h∈ −h1 h2 .[Note that as(2.6a)holds for all h in an open interval, (2.6b)and(2.6c)follow from(2.6a).]With these assumptions in mind,(2.4)can be rewritten as2 7 X t= R x Q 0 t dx −tν dx +t E X1 =M t+atwhere M t= R x Q 0 t dx −tν dx is a martingale and a=E X1 .Ob-serve that(2.7)gives the Doob decomposition of X as the sum of a martingale and a previsible process offinite variation.Even though a is not the drift of X in the sense in which the term is usually understood(αis the drift in the technical sense),we shall see later that a plays the role of a drift contribution from the jump component of Y.We refer to a(or more correctly,the process t→at)as the previsible part of X.In addition,(2.5)implies that instead of the characteristic function,one could consider the Laplace transform of Y t instead.By a slight abuse of nota-tion,we also useψto denote the“L´e vy exponent”and write E exp −θY t = exp −tψ θ .Bearing in mind the simplified decomposition(2.7)for processes satisfying(2.5),the L´e vy–Khintchine formula(2.1)now becomes2 8 ψ θ =−c2θ22+aθ+ R 1−e−θx−θx ν dxA very similar analysis can be carried out for more general semimartingales with jumps and in particular for processes with independent but not neces-sarily stationary increments.Jacod and Shiryaev(1987)have a full treat-ment.A random measure Q dt dx is also associated with such a process, but it is not necessarily a Poisson measure.As in the case of L´e vy processes, the measure Q describes the mechanism by which jumps of the process oc-cur.The compensator of Q is the unique previsible measureν dt dx such that Q 0 t −ν 0 t is a martingale for any Borel set ⊂R\ 0 .If the process in question has independent increments,the measureνis neces-sarily deterministic,so Q is an inhomogeneous Poisson measure.[For L´e vy processes,the stationarity of increments implies thatν dt dx =dtν dx .] The compensator can also be characterized as the unique previsible measure such that2 9 E 0 t × H s x Q ds dx =E 0 t × H s x ν ds dxfor any Borel set and any previsible process H.We also have an analogue of the L´e vy–Khintchine formula:E exp −θX t =exp −ψX t θ where 2 10 ψX t θ =a tθ+ R 1−exp −θx −θx ν 0 t dxwhere a t=E X t is the previsible part of X.Together with the quadratic variation of the continuous part of X(which is zero if X is quadratic pure jump as in our case),the compensator measure and previsible part form the508T.CHANthree components of the characteristics of a semimartingale.The following result is also worth noting:for any measurable function f t x ,2 11 0<s≤t f s X s = t0 R f s x Q ds dxNext,we recall Itˆo’s formula for cadlag semimartingales.If X1 X2 X n are cadlag semimartingales and f a C2function,thenf X1t···X n t −f X10···X n0= t0f i X1s−···X n s− dX i s+12 t0f i j X1s−···X n s− d X i X j c s+ 0<s≤t f X1s···X n s −f X1s−···X n s− −f i X1s−···X n s− X i swhere X i X j c is the continuous part of the mutual variation of X i and X j, f i=∂f/∂x i,f i j=∂2f/∂x i∂x j and we have used index summation convention. This will often be abbreviated tod f X1t X2t···X n t=f i X1t−···X n t− dX i t+12f i j X1t−···X n t− d X i X j c t+f X1t···X n t −f X1t−···X n t− −f i X1t−···X n t− X i t Turning now to a description of the model,on a probability space t P ,let Y t=cB t+X t=cB t+M t+at be a L´e vy process of the form described earlier,satisfying the condition(2.5).We assume that thefiltration t is the minimal one generated by Y.The stock price S t is the solution of the stochastic differential equation2 12 dS t=σt S t−dY t+b t S t−dt=σt S t− c dB t+dM t + aσt+b t S t−dtwhere the coefficientsσt and b t are deterministic continuous functions.Equa-tion(2.12)has an explicit solution[see Protter(1991)]given by2 13 S t=S0exp t0σs dY s+ t0 b s−c2σ2s2 ds× 0<s≤t 1+σs Y s exp −σs Y s=S0exp t0cσs dB s+ t0σs dM s+ t0 aσs+b s−c2σ2s2 ds × 0<s≤t 1+σs M s exp −σs M sFrom this we see thatσ S u u≤t = t and so a contingent claim T expiring at time T may be regarded as a nonnegative T-measurable random variable.OPTION PRICING WITH L´EVY PROCESSES509 The Doob decomposition of Y suggests that b t+aσt rather than b t should be regarded as the drift in(2.12).Although in practice,a and b cannot be estimated separately and consequently there is no need to add a drift to X separately from b in(2.12),we have chosen to consider the parameters a and b separately for convenience,because the value of a is often implicit in the specification of a particular process as X and so cannot be chosen indepen-dently(e.g.,if we specify that X be a Poisson process of rateλ,this forces a=λ).In order to ensure that S t≥0for all t almost surely,we needσt M t≥−1 for all t.This in turn implies that the jumps of X must be bounded on at least one side,that is,either bounded from below or bounded from above. Suppose that X t= M t∈ −c1 c2 which is equivalent to saying that the L´e vy measureνis supported on −c1 c2 where c1,c2≥0and one(but not both)of c1,c2may be infinite.This implies that at least one of h1,h2in(2.5) must be infinite.In order to ensure that S t≥0we need2 14 −1c2≤σt≤1c1for all t.As far as the Brownian component of Y is concerned,the sign of the volatilityσis inconsequential,but if one were to keep to the usual convention thatσ>0, then(2.14)shows that the jumps of X should be bounded from below(i.e., c1<∞).The conditions(2.5)and(2.14)will of course rule out any processes with“fat-tailed”distributions such as stable processes.However,the allowable L´e vy processes here include all the processes considered in Gerber and Shiu (1994):for example the gamma,the inverse Gaussian,the Poisson and the difference of two independent Poisson processes.The riskless rate of interest is given by a deterministic continuous function r t and the value P t of a bond or bank account paying this rate of interest evolves according to the ODE˙P t=r t P tAs withσand b,we could also allow r to be adapted to t ,although this is a less useful generalization in practice.For notational convenience,we denote byˆS t the discounted stock price defined by2 15 ˆS t=exp − t0r s ds S tIt will be seen in the next section that,in this model,there are many mea-sures,equivalent to the underlying canonical measure P,which makesˆS t a martingale.We conclude this section by briefly mentioning some other similar models which have been considered by various authors.Bardhan and Chao(1993)con-sidered a similar model where the noise consists of several Brownian motions and several point processes whose jumps are all of size1but whose intensities510T.CHANmay not be time-homogeneous and may be random.However,the contingent claims they considered are on more than one stock,where the number of stocks exactly equals the total number of noise terms(Brownian motions and point processes).This,together with the fact that the jump sizes arefixed,ensure that their model is complete.Aase(1988)is essentially an attempt at a more general model than that of Bardhan and Chao,where the point process may have random jump sizes but still afinite number of jumps in anyfinite time interval.Unfortunately,Aase(1988)claims that the model is also complete even though there are more than one equivalent martingale measure;this is false because it contradicts a well-known theorem of Harrison and Pliska (1981,1983)to the effect that completeness of the market is equivalent to uniqueness of the equivalent martingale measure.Indeed,Aase(1988)claims that every martingale can be represented as an integral with respect toˆS t,in the form2 16 t0θs dˆS swhereθt is a previsible process.(The existence of such a representation is equivalent to completeness.)This is false,as the martingale representation theorem[see,e.g.,Jacod and Shiryaev(1987)]for the jump processes consid-ered in Aase(1988)(which includes certain classes of L´e vy processes)says that every martingale has the representationt0H s x ˜Q ds dx −˜ν ds dxwhere˜Q ds dx is a random jump measure whose compensator is˜ν—analogous,respectively to the Poisson and L´e vy measures associated with a L´e vy process—and where H s x is a previsible Borel function(see the next section for a precise definition).We shall see in the next section that, under any equivalent martingale measure,the jump part ofˆS t has the representationt0γs d˜M s= t0 Rγs x ˜Q ds dx −˜ν ds dxHence,in order that the representation(2.16)holds,we need H s x =θsγs x, which of course is not true in general.Finally,Gerber and Shiu(1994)con-sider the case where the stock price is modelled by a process of the form exp σY t+bt ,whereσand b are constants and Y is a L´e vy process satisfying (2.5).This has many similarities with our present model and both are obvious generalizations of the geometric Brownian model.The program carried out in the next section can be equally well carried out for the Gerber–Shiu model, often with only fairly minor modifications.Each model has its own advantages and disadvantages.The main advantage of the Gerber–Shiu model is that the jumps of X can be of any size and do not have to be bounded from one side. The present model based on(2.12)describes the price dynamics in a mannerOPTION PRICING WITH L´EVY PROCESSES511 which is intuitively more natural and is also more appealing in other mathe-matical respects.This is because the starting point of the classical geometric Brownian model is(2.12);that the price S t also has the form exp σ Y t+b t isa direct consequence of the stochastic calculus involved,in particular,Itˆo’s for-mula.For discontinuous L´e vy processes,Itˆo’s formula is rather different and so a model which takes as its starting point a differential equation like(2.12) and then takes account of the differences in the underlying stochastic calculus in the subsequent computations is more likely to lead to simpler calculations and more attractive results.This point is illustrated in Section3.3in relation to the Esscher transform and minimum relative entropy measure.Gerber and Shiu(1994)deal only with pricing contingent claims by Esscher transforms, without explaining why the Esscher transform is a particularly appropriate martingale measure to use.[However,in their response to the discussions that follow their paper,they give a justification of the Esscher transform in terms of utility;see page175of Gerber and Shiu(1994).]We shall show that it is the martingale measure which has minimum relative entropy with respect to the canonical measure.3.Equivalent martingale measures and pricing formulas.We be-gin by characterizing all equivalent martingale measures Q under which the discounted price processˆS defined at(2.15)is a t -martingale.To this end, wefirst need to characterize all the measures which are absolutely continuous with respect to P.We continue to use the notation established in the previous section.In particular,Y t=cB t+X t is a L´e vy process satisfying(2.5)and X t is a quadratic pure jump L´e vy process with L´e vy measureνsupported on a subset of −c1 c2 ,where at least one of c1,c2isfinite.The Doob–Meyer decompo-sition of X is given by X t=M t+at,where M is a quadratic pure jump martingale with M0=0and a=E X1 .If Q dt dx is the Poisson measure associated with X,let M dt dx =Q dt dx −dtν dx denote the compen-sated measure.Thus,for example,the martingale part of X can be written as M t= t0 R x M ds dx .Further,expectations under the canonical measure P will be denoted by E · while expectations with respect to any other measure Q will be denoted by Q · .Let denote the previsibleσ-algebra on ×R+associated with thefiltra-tion t and let˜ = × ,where is the Borelσ-algebra on R.A function H ω t x which is˜ -measurable will be called Borel previsible.Thus,sup-pressing the explicit dependence onω,a Borel previsible function or process H t x is one such that the process t→H t x is previsible forfixed x and the function x→H t x is Borel-measurable forfixed t.Lemma3.1.Let G t and H t x be previsible and Borel previsible processes respectively.Suppose thatE t0G2s ds <∞512T.CHANand H≥0,H t 0 =1for all t≥0.Let h t x be another Borel previsible process such that3 1 R H t x −1−h t x ν dx <∞Define a process Z t by3 2 Z t=exp t0G s dB s−12 t0G2s ds+ t0 R h s x M ds dx− 0 t ×R H s x −1−h s x ν dx ds × 0<s≤t H s X s exp −h s X sThen Z is a nonnegative local martingale with Z0=1and Z is positive if and only if H>0.Remark.The process h referred to in Lemma3.1is,of course,not unique. However,given H,it is essentially unique in the following sense:suppose that h t x and f t x are two Borel previsible processes such that(3.1)holds;then because R f t x −h t x ν dx <∞,it is an easy exercise to check that the process Z is unchanged if h is replaced by f in(3.2):simply write f= h+ f−h .[However,note that it is crucial that R f t x −h t x ν dx <∞: the terms involving h in(3.2)do not cancel precisely because R h t x ν dx may diverge.]Thus,once H isfixed,Z does not depend on the choice of the process h satisfying(3.1).Of course,the easiest and most obvious choice of h is h≡H−1 However,in the present context,particularly in connection with the Esscher transform discussed below,it is useful to allow more general choices of h.In the case where x→H t x is twice-differentiable,the natural choice of h t x ish t x =x ∂H∂x t 0 =h t x say,for then H t x ∼1+h t x+O x2 as x→0and because of(2.6c)we simply have to choose H so thatx ≥1H t x ν dx <∞We shall henceforth assume that h t x =h t x is related to H t x in this way.Proof of Lemma3.1.It is clear that Z is nonnegative(resp.,positive)if and only if H≥0(resp.,H>0).That Z is a local martingale is a simpleOPTION PRICING WITH L´EVY PROCESSES513consequence of Itˆo’s formula;indeed,noting that Z t−Z t−=Z t− H t X t −1 ,Itˆo’s formula givesZ t=1+ t0G s Z s−dB s+ t0 R h s x Z s−M ds dx− t0 R Z s− H s x −1−h s x ν dx ds+ 0<s≤t Z s− H t X t −1−h s X s=1+ t0G s Z s−dB s+ t0 R h s x Z s−M ds dx+ t0 R Z s− H s x −1−h s x M ds dx=1+ t0G s Z s−dB s+ t0 R Z s− H s x −1 M ds dxThis last expression is a local martingale.2The processes G,H and h can be chosen so that E Z t =1for all t,in which case Z is a martingale.The next result is essentially a summary of Theorems3.24and5.19in Chapter III of Jacod and Shiryaev(1987)as they apply to the present setting.Theorem3.2.Let˜P be a measure which is absolutely continuous with re-spect to P on T.Thend˜Pd P T=Z Twhere Z is as in Lemma3.1,for some G,H and h for which E Z T =1. Moreover,under˜P,the process3 3 ˜B t=B t− t0G s dsis a Brownian motion and the process X is a quadratic pure jump process with compensator measure given by˜ν dt dx =dt˜νt dx ,where3 4 ˜νt dx =H t x ν dxand previsible part given by3 5 ˜a t=˜P X t =at+ t0 R x H s x −1 ν dx dsRemark.Jacod and Shiryaev(1987)treat only the case that h≡H−1 for the process Z in Lemma3.1.Also,in their treatment of characteristics of general semimartingales,Jacod and Shiryaev(1987)introduce truncation functions,and the corresponding results in Theorem3.24of that book depend514T.CHANin part on the choice of truncation function.In the present situation,assump-tion(2.6c)renders the introduction of truncation functions unnecessary.Turning now to the problem of pricing a contingent claim T,we wish to find an equivalent measure Q under which the discounted price processˆS t as defined in(2.15)is a martingale;the price of T is then Q exp − T0r s ds T . By Theorem3.2,under Q,X has Doob–Meyer decomposition3 6 X t=˜M t+at+ t0 R x H s x −1 ν dx dswhere˜M is a Q-martingale.In fact,˜M t=M t− t0 R x H s x −1 ν dx dswhere M is the P-martingale in the Doob–Meyer decomposition of X under P. Note that ˜M t= M t.Therefore,writing the discounted share priceˆS t in terms of the Q-martingale˜M and Q-Brownian motion˜B,we haveˆS t=S0exp t0cσs dB s+ t0σs dM s+ t0 aσs+b s−r s−c2σ2s2 ds × 0<s≤t 1+σs M s exp −σs M s=S0exp t0cσs d˜B s+ t0σs d˜M s+ t0 aσs+cσs G s+b s−r s−c2σ2s2 ds+ t0σs R x H s x −1 ν dx ds × 0<s≤t 1+σs ˜M s e−σs ˜M sSinceexp t0cσs d˜B s+ t0σs d˜M s− t0c2σ2s2ds 0<s≤t 1+σs ˜M s exp −σs ˜M sis a Q-martingale,a necessary and sufficient condition forˆS to be a martingale under Q is the existence of G and H for which the process Z in Lemma3.1isa positive martingale and such that3 7 cσs G s+aσs+b s−r s+ Rσs x H s x −1 ν dx =0for all s,almost surely.Note that h does not appear in(3.7),which is another reflection of the fact that h is essentially unique,given H,in the sense of the remark following Lemma3.1.It will turn out that G and H are in fact deterministic functions in all the cases considered in the sequel;in this case, (2.5)ensures that Z in Lemma3.1is a positive martingale and the key con-dition for an equivalent martingale measure is then(3.7).Moreover,B andOPTION PRICING WITH L´EVY PROCESSES515 X are still independent and have independent increments under Q in this connection,note that˜νis a deterministic measure.Of course,(3.7)does not specify G and H,and hence the equivalent martin-gale measure Q,uniquely.Below,we examine various approaches to choosingG and H based on other criteria,additional to(3.7).3.1.The F¨o llmer–Schweizer minimal measure.Recall that when the noise Y in(2.12)is just a standard Brownian motion,the unique equivalent mar-tingale measure Q is obtained by3 8 d Q d P T=Z Twhere Z satisfiesdZ t=γt Z t dB tand the processγis chosen so as to makeˆS a martingale under Q.In the present setting,a natural analogue of this would be to use the martingale measure Q defined by(3.8),where the Radon–Nikodym derivative Z is now given bydZ t=γt Z t− c dB t+dM tor equivalently3 9 Z t=1+ t0γs Z s− c dB s+dM sIn other words,the Brownian motion in the classical Black–Scholes setting has been replaced by the martingale part of the noise process Y.We saw in the proof of Lemma3.1that,in general,Z t=1+ t0G s Z s−dB s+ t0 R Z s− H s x −1 M ds dx Comparing this last expression with(3.9),we see that we require3 10 H s x −1=c−1G s x=h s xso thatγs=c−1G s.[When c=0,this just boils down to G≡0 H s x −1=γs x.]To obtain a martingale measure,we now use the martingale condition (3.7)together with(3.10).Puttingv= R x2ν dxit is easily verified that the solution to(3.7)and(3.10)is3 11G s=c r s−b s−aσsσs c2+v H s x −1= r s−b s−aσsσs c2+vx516T.CHANIn(3.9),we therefore have3 12 γs=r s−b s−aσsσs c2+vFinally,we need some conditions to ensure that H s X s >0;otherwise, the measure we have obtained will not be a probability measure but only a signed measure.Since we are assuming throughout this paper that the jump size X∈ −c1 c2 ,we require the right-hand side of(3.11)of be greater than −1for all x∈ −c1 c2 ,which is equivalent to the condition that3 13 −1c2< r s−b s−aσsσs c2+v<1c1So far,we have done nothing more than show that one can obtain an equiv-alent martingale measure by drawing an obvious analogy with the classical Black–Scholes setting.It turns out,however,that the martingale measure given by(3.8),(3.9)and(3.12)is precisely the F¨o llmer–Schweizer minimal measure introduced in F¨o llmer and Schweizer(1991),which we shall proceed to show.The minimal measure is closely connected to a hedging portfolio,which minimizes the risk involved in trying to duplicate a contingent claim T(pro-vided such a portfolio exists).We briefly sketch the main ideas below,following closely the treatment in F¨o llmer and Schweizer(1991)but omitting some of the technical assumptions not essential to the exposition.We adopt the notational convention that for any quantity f t,the discounted quantity will be denoted byˆf t=exp − t0r s ds f t.The value V t of any hedg-ing portfolio can be written as V t=ξt S t+ηt exp t0r s ds and hence the discounted value isˆV t=ξtˆS t+ηtwhereξandηare,respectively,the number of units of stock and bond.Only strategies for which V T= T P-a.s.are admissible.Define the cumulative cost at time t byC t=ˆV t− t0ξs dˆS sand the remaining risk byE C T−C t 2 t(In complete markets,C t is constant and hence the risk is zero.)The idea is to look for strategies ξ η which minimizes the remaining risk in a local sense: the risk is minimal under all“infinitesimal perturbations”of the strategy at time t.This is equivalent to the following precise technical definition.Definition3.1.An admissible strategy ξ η is called optimal if the asso-ciated cost C is a square-integrable martingale orthogonal to the martingale part(in the Doob decomposition)ofˆS under P.。
几何Levy模型中鞅测度的均值修正法及应用
摘
要 ：在 几何Ｌ ｖ 过程模 型 中， 用均值修 正 方法构 造 了一个 鞅测 度Ｑ ．证 明 件是Ｌ ｖ 过程 具 有Ｂ ｏ ｉｎ ｏ ＠ｙ ｒｗｎａ ￣动部 分．对 于纯跳过程，
证 明 了欧 式看 涨期 权 在 Ｑｍ 下 的价 格 仍 然 无套 利 ． ｏ
第２卷第３ ５ 期
件． 具体 来说， 设股票价格 的对 数收益率 是具有特征三元 组（ ， 的Ｌ ｖ 过程， ， ） ６ｙ 对ｍ ∈Ｒ， 记Ｙ ｔ： Ｘｔ —ｍｔ 择适 当的 参数ｍ０ 使得 在某 个 与市场 概率 测度Ｐ等价 的概 率 测度Ｑ ｏ ． 选 ， ｍ 下， 股 票 的贴现 价格 过 程为Ｑｍ 鞅．相 应 的概 率测 度Ｑ ｏ 为均 值修 正 鞅测 度 ｍｅ ｎｃ ｒｅｔ ｇ ｏ ｍ称 ａ ｏｒｃｉ ｎ
等价于存在唯一 的等价鞅测度 ． 从而， 对于完全市场中的任何未定权 益， 都有唯一的无套利价格． 然而， 在不完全市场 中（ 例如几何Ｌ ｖ 过程模型） 存在许 多等价鞅测度 ， ６ｙ ， 对不 可复制的未定权益，
也就有许多无套 利价格 ． 大量 实证结果表 明， 际市场是不完全的． 实 因此， 研究不完全市场中未 定
基金项 目： 国家 自 然科学￣
（０７０ ４； １８ １６） 湖南省社会科学基金（８ Ｂ ８ ）湖 南省教 育厅一般项 目（９ ５５ ０ Ｙ Ｂ１７； ０Ｃ ６）
通信作 者， － ｉ ａ ４ ７ ＿ｎ ｉａｔ ｍ Ｅ ｍａｌ ｏ １ ２ｃ ＠ｓｎ ． ：ｙ ｏ
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高 校 应 用 数 学 学 报
相对熵鞅测度（ ｉｉ ｌｅｅ ｅ ｅ ｔ ｅ ｎｒｐ ｒｎ ａ ｅ ｕｅ的概念： ｅ ｅ和Ｓ ｉ９ ｍ ｎ ｖｒ ｌ ｉ ｔ ｙ ｔ ｇｌｍ ａ ｒ） ｍａ ｒ ｓ ｒ ａ ｖ ｅ ｏ ｍａ ｉ ｅ ｓ Ｇ ｒ ｒ ｈ ［首 ｂ ｕＪ
关于半鞅向量随机积分的两个结果
国 防 科 技 大 学 学 报 第 30 卷第 2 期 JOURNAL OF NATIONAL UNIVERSITY OF DEFE NSE TECHNOLOGY 文章编号 :1001 - 2486 (2008) 02 - 0135 - 04
Ξ
loc
收稿日期 :200 8 - 01 - 22 基金项目 :国家自然科学基金资助项目 ( 60 67 3090 ) 作者简介 :屈田兴 ( 19 57 — ) ,男 ,副教授 ,在职博士生 。
Abstract :Let { Xn } be a sequence of semimartingale in a filtered com plete probability space (Ω , F , F , P) satisfying the usual condition. We use the general G irsanov thorem and closed graph theorem to prove that the sequence {Xn } converges on X in the Emery topology w. r. t Q if { Xn } converges on X in the Emery topology w. r. t P and the probability measure Q ν P. In light of this fact , we prove that if X is a d2dimensional semimartingale and a d2dimensional predictable process , H is X 2integrable in the sense of vector stochastic integrals w. r . t P , when the probability measure Q ν P , H is also X 2integrable in the sense of vector stochastic integrals w. r . t Q and these two integrals are Q2differentiable . It is noted that the condition of Q ν P is stronger than that of Q ν P , therefore , this paper generalizes lemma 419 and theorem 4114 in [ 1] . Key wor ds :semimartingale ; vector stochastic integral ; locally absolutely continuity of probability measure ; predictable process
应用文-简析等价鞅测度及其应用
简析等价鞅测度及其应用'摘要：自从20世纪50年代后数理分析工具广泛用于金融分析领域，其中最为知名的当属M-M定理、CAMP以及无套利(APT)定理和鞅等价定理等。
在这当中，鞅等价定理直至目前仍然是金融分析中的前沿课题。
并且，等价鞅测度定理还是人们在分析金融产品定价、消除金融投机套利机会、降低金融产品投资风险的主要工具。
等价鞅测度定理在金融市场分析中的很多领域都可以得到。
剖析等价测度定理及其应用无疑对掌握金融产品定价方法、优化金融产品投资组合、降低金融产品投资风险将有所裨益。
\xa0关键词：鞅；测度；等价鞅测度\xa0早在1900年，法国人L.巴恰利埃在一篇关于金融投机的中，已经开始利用随机过程工具探索那时尚无实物的金融衍生证券的定价问题。
但是直到20世纪50年代，金融研究仅有一些含混不清的“大拇指法则”和对所观察到的财务数据的文字性描述。
然而进入50年代以后，数学工具在金融研究领域的应用蓬勃。
马科维茨1952年的那篇仅有14页的论文既是现代资产组合理论的发端，又标志着现代金融理论的诞生。
随后，莫迪里阿尼和米勒（1958年）第一次应用无套利定理证明了以他们名字命名的M-M 定理。
同时，德布鲁（1959年）和阿罗（1964年）将一般均衡模型推广至不确定性分析当中，为日后金融理论的发展提供了灵活而统一的分析框架。
稍后，夏普（1964年）、林特内（1965年）和莫辛（1966年）共同导出了著名的资本资产定价模型（CAPM）；另一方面，赫什雷弗（1966年）在一般均衡体系中证明了M-M定理。
20世纪70年代，布莱克推导出无风险不存在情况下的“零-ß\xa0CAPM”；萨缪尔森、鲁宾斯坦、克劳斯和利茨伯格导出了跨期CAPM；而莫顿则将伊藤积分引入经济分析；提出了连续时间的CAPM；另一方面，罗斯提出\xa0了与CAPM相平行的套利定价理论。
当然，上世纪70年代最具革命性意义的事件是布莱克和斯科尔斯的期权定价公式以及哈里森与克雷普斯的证券定价鞅定理。
鞅和测度
ƒ1 ƒ2 遵循的过程的离散形式为:
ƒ1 1 ƒ1t 1 ƒ1z ƒ2 2 ƒ2 t 2 ƒ2 z
将 2 ƒ2 个第一种衍生证券和- 1ƒ1 个第二种衍 生证券组合起来，消去 z ，构造一个瞬间无 风险证券组合
若 为该证券组合的价值
( 2 ƒ2 ) ƒ1 ( 1ƒ1 ) ƒ2 = 2 ƒ2 ƒ1 1ƒ1ƒ2
df rfdt f ,i fdzi
i 1 n
dg rgdt g ,i gdzi
i 1
n
定义其他内部一致的世界： 设定：
n n df r i f ,i fdt f ,i f dzi i 1 i 1 n n dg r i g ,i gdt g ,i g dzi i 1 i 1
• 如果风险的市场价格被设定为 g 的波动 率，则所有衍生证券 f ，比率 f / g 遵循 鞅。
证明 假设 f 和 g 的波动率分别为 F和 g ；在风险的市场价格为 g 的世 界中 根据方程 df (r ) f dt f dz 有 df (r gf ) f dt ff dz dg ( r 2 g ) gdt ggdz
• 假设1： f 和 g 是依附于单个不确定 来源的可交易衍生证券的价格； • 假设2：该衍生证券在考虑的时间段内 不支付任何收益。 定义
f g
是f 对于g 的相对价格
衍生证券 g 的价格被称为计价标准。
等价鞅测度结论说明 • 当不存在套利机会的时候，对于某些 风险的市场价格的选取值， 遵循鞅 。进一步，对于一个给定的计价标准 证券 g ，同样选取这些风险的市场价 格值，对于所有衍生证券 f ， 遵循 鞅。这个风险的市场价格的选取值是 g 的波动率。
关于等价鞅、反等价鞅、剀利公式、赌徒输光定理（非常有启发意义）
关于等价鞅、反等价鞅、剀利公式、赌徒输光定理（非常有启发意义）我很早就觊觎股市期市和汇市了，但是自己手里一直没有钱。
到了澳大利亚后有了奖学金，于是终于可以自己自由的玩这个东西了。
我选择了外汇保证金。
本来这个东西，打算在赚到钱之前不写什么东西的。
但是近的一系列醍醐灌顶的感觉让我觉得还是有必要记录一下最近的心理活动。
去年7月份入市以来，现在已经半年过去了，我总共亏损了2000美元。
不过相对于我得到的东西，我觉得这已经是相当值得的一个投入产出比了。
这半年来，我一直采用迷你帐户操作，爆仓四次。
在这个过程中，我经历了各种剧烈的心理变动，贪婪，恐惧，不确定。
自己的人性的各种丑陋的一面被暴露的淋漓尽致。
我同时也成了一个疯狂的技术研究者。
我疯狂的搜集各种资料，研究各种交易系统，指标，等等等等。
我先后尝试了均线，RSI，woodies CCI系统，KDJ和布林线相结合的短线抓震荡的系统，日本蜡烛图技术。
等等等等，也自己尝试写了很多自动交易程序，测试各种策略。
也求助过各种付费服务。
当然，结果，就像各个汇市老手所说的一样，必然是亏钱。
在交易了四五个月之后，我开始逐渐的真正开始理解“资金管理”的含义。
以前我一直用mini帐户，等于是毫无资金管理可言，而且我所做的事情，正象很多汇市老手描述的一样：“我认为我比别人聪明，因此我听不进老手的建议，我觉得我能找到一套完美的系统，然后使用他盈利，因此我使用极高的杠杆，过度交易，别人说我疯了，但是我自己一点也不这样认为，因为我觉得我比别人聪明”。
于是，我一点也没能逃过预言，越来越大的亏损接踵而至。
前几个星期里，我经历了第四次250美元涨到1200美元，然后直接亏到0。
四次了。
长期的亏损让我已经对亏钱麻木，心理承受能力也大大的增强了。
我开始反思自己的做法。
当我意识到我永远不可能寻找到一种完美的方法来预测市场的时候，“资金管理”的概念便开始真正的被我开始理解了。
于是我开始疯狂的搜索根资金管理和交易哲学的有关的东西。
第七章--等价鞅测度模型和无套利均衡基本定理
第七章 等价鞅测度模型和无套利均衡基本定理一、等价鞅测度的基本涵义1、鞅的定义：随机过程[Z n ,n ≥0]如果满足以下两个条件： （1）∞<||n Z E ，对于n ≥0的任何n 。
（2）n n n Z Z Z Z E =+}|{01 2、等价鞅测度的定义随机过程{S （t ）,),0(+∞∈t }是一个鞅（对应于信息结构t φ和条件概率P *）如果对任意t ＞0，满足以下三个条件： （1）S （t ）在t φ信息结构下已知。
（2）+∞<|)(|t S E（3）())()(t S T S E =τ，t ＜T ，以概率为1成立。
即∑===ki t i t S S P T S E 1)(*}|)({*φ式中T 时S （T ）的可能取值S 1，S 2……S k 共k 种，P*为相应的条件概率。
则称条件概率P*为真实概率P 的等价鞅测度或等价鞅概率。
根据等价鞅测度的关系，正是表达风险中性定价原则，即各阶段依信息结构t φ决定的条件概率所求的平均价值的现值，总与初始阶段的价值相等，这样就可以求解条件概率P*，在无套利条件下作为现实世界的P ，为期权的风险中性定价服务。
为了更好地理解风险中性定价，我们可以举一个简单的例子来说明。
假设一种不支付红利证券（no-dividend-paying ）目前的市价为100元，我们知道在半年后，该股票价格要么是110元，要么是90元。
假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份6个月期协议价格为105元的该股票欧式看涨期权的价值。
由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于半年后证券的市价。
若6个月后该股票价格等于110元，则该期权价值为5元；若6个月后该股票价格等于90元，则该期权价值为0。
为了找出该期权的价值，我们假定所有投资者都是风险中性的。
在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P*，下跌的概率为1-P*。
这种概率被称为风险中性概率，它与现实世界中的真实概率是不同的。
7-1金融工程 二叉树续
在这种情形下，出售方有正收益=12-9.5=2.5。
贴现的价格过程不是鞅
K=52，r = 5%，T=1年，u=1.2，d=0.8，p*=0.625，q*=0.375 e-rTV1(B)=1.35=p* e-2rTV2(D)+ q* e-2rTV2(E) ， e-rTV1(C)=11.4>9.03= p* e-2rTV2(E)+ q* e-2rTV2(F) ，贴现过程不是鞅！ V0(A)=5.121= p* e-rTV2(B)+ q* e-rTV2(C) . D
如果K1K2 K3，那么 c1t c2t c3t . 如果K1 <K2 <K3，那么 c2t-c1t -(K2 –K1)，c3t-c2t -(K3 –K2). 如果K1 <K2 <K3，K2-K1=K3 –K2，且T1= T2= T3， 那么 c2t (c3t +c1t)/2 。
不支付红利 股指期权，红利率为q 外汇期权，国外无风险 利率为rf 期货合约
p
d
ud
=prob{St Stu }
er Dt e( r q ) Dt e 1
( r r f ) Dt
u和d 的选取
已知股票的波动率，一种 u 和 d 的取法
ud 1 u es
Dt
d e s Dt 其中 s 是波动率，Dt 是时间间隔。 这种取法来自Cox, Ross & Rubinstein，用 于数值计算。
练习
考虑3阶段二叉树模型。已知S0=4，u=2， d=0.5，利率r=25%。 设K=5，求欧式看跌期权P0 第一种方法：计算所有路径上的期权价值 第二种方法：计算所有节点上的期权价值 两种方法计算复杂度的比较。
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8.2 鞅与等价鞅测度
布朗运动具有鞅性
资产价格序列
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☐在金融中，我们经常讨论的是价格
序列St 。
☐假定当前时刻是t 0，那么从现在来
看，资产在未来时刻 t> t 0 的价格
都是不确定的，将来可以大于当前
值，可以小于当前值，也可以等于
当前值。
☐资产价格随时间变化的关系S t 可以
被描述为一个随机过程。
理想条件下，股票价格序列是一个鞅过程
资产价格序列
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☐由于在t 0时刻，投资者只能观察到该时刻及其之前的S t 值，而对于t> t 0 的价格只能根据相关的信息进行预测。
若以F t 表示在t时刻获得的能够用来推断资产未来价格的信息，那么投资者在t时刻对未来的推断，就是此时的条件期望E t (S t+ |F t )。
☐如果价格序列是一个鞅过程，那就是在目前时刻的所有信息下，对价格未来的预期值应该等于其当前的观察值。
鞅与等价鞅测度
7
☐按照鞅的定义，序列 S t e -rt 是一个鞅，也就意味着在目前时刻的所有信息下，对S t e -rt 未来的条件期望值等于其当前的观察值，即：
S t e -rt = E *t (S t+τ e -r （t+τ）)
其中，E *是在P *世界里的期望。
☐等价化简得到
S t = e -r τE*t (S t+τ)
即现在的价格等于未来价格期望按P *的无风险贴现。
P *为P的等价鞅测度， P *与P在鞅意义下等价。
两个问题
☐这样的等价鞅测度 P*是否一定存在？
✓资产定价的基本定理：对于有限离散时间金融市场，市场无套利等价于存在等价鞅测度。
☐ P*世界是哪个世界？
✓我们取P*为风险中性世界。
即所有投资者都是风险中性的。
也就是我们上节课讲过的主体的效用函数为线性函数：确定性财富带来的效用等于参与期望
收益相同的一场赌博带来的期望效用。
8
谢 谢 聆 听！。