鞅与等价鞅测度

8.2 鞅与等价鞅测度

布朗运动具有鞅性

资产价格序列

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☐在金融中，我们经常讨论的是价格

序列St 。

☐假定当前时刻是t 0，那么从现在来

看，资产在未来时刻 t> t 0 的价格

都是不确定的，将来可以大于当前

值，可以小于当前值，也可以等于

当前值。

☐资产价格随时间变化的关系S t 可以

被描述为一个随机过程。

理想条件下，股票价格序列是一个鞅过程

资产价格序列

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☐由于在t 0时刻，投资者只能观察到该时刻及其之前的S t 值，而对于t> t 0 的价格只能根据相关的信息进行预测。若以F t 表示在t时刻获得的能够用来推断资产未来价格的信息，那么投资者在t时刻对未来的推断，就是此时的条件期望E t (S t+ |F t )。

☐如果价格序列是一个鞅过程，那就是在目前时刻的所有信息下，对价格未来的预期值应该等于其当前的观察值。

鞅与等价鞅测度

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☐按照鞅的定义，序列 S t e -rt 是一个鞅，也就意味着在目前时刻的所有信息下，对S t e -rt 未来的条件期望值等于其当前的观察值，即：

S t e -rt = E *t (S t+τ e -r （t+τ）)

其中，E *是在P *世界里的期望。

☐等价化简得到

S t = e -r τE*t (S t+τ)

即现在的价格等于未来价格期望按P *的无风险贴现。

P *为P的等价鞅测度， P *与P在鞅意义下等价。

两个问题

☐这样的等价鞅测度 P*是否一定存在？

✓资产定价的基本定理：对于有限离散时间金融市场，市场无套利等价于存在等价鞅测度。

☐ P*世界是哪个世界？

✓我们取P*为风险中性世界。即所有投资者都是风险中性的。也就是我们上节课讲过的主体的效用函数为线性函数：确定性财富带来的效用等于参与期望

收益相同的一场赌博带来的期望效用。

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