数列的概念和表示课件

数列数列的概念ppt课件

当n＝1时，a1＝4符合上式，所以an＝2n(n＋1)(n∈N*)． (3)由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2(an＋1)．令bn＝an＋1，所以{bn}是以2为公比的等比数列．所以bn＝b1·2n－1＝(a1＋1)·2n－1＝2n＋1，所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N*)．
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝n3n2＋1(n≥2)．当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴an＝32n2＋n2.
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
第1讲数列的概念
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
探究二：由 Sn 求 an
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值

数列ppt课件

等差数列的求和公式
总结词
等差数列的求和公式是用来计算数列中所有项的和的数学公式。
详细描述
等差数列的求和公式是 S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)，其中 S_n 表示前 n 项的和，a_1 表示首项，d 表示公差， n 表示项数。这个公式可以帮助我们快速计算出等差数列中所有项的和。
03 等比数列
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意项与它的前一项的比值都相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字排列，其中任意一项与它的前一项的比值都等于同一个常数。这个常数被称为公比，通常用字母q表示。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示数列中每一项的数学表达式。
04 数列的极限与收敛
数列的极限定义
极限的定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$ 趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个
常数$a$，则称$a$为数列${ a_{n}}$的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性等性质。
极限的运算性质
极限具有可加性、可乘性、可分离性等运算性质。
收敛数列的性质
在经济学中的应用
在经济学中，很多问题也可以转化为求和问题，例如计算总收益、总成本等。而求和问题同样可以转化为数列的极限问题。因此，数列的极限和收敛的概念在经济学中也有着广泛的应用。
05 数列的级数
级数的定义与分类
要点一
定义
级数是无穷数列的和，可分为数项级数和函数项级数。
要点二
分类
根据项的正负和收敛性，级数可分为正项级数、负项级数、交错级数等。
正项级数的审敛法

数列的概念及简单表示法一轮复习公开课获奖课件百校联赛一等奖课件

即数列{n2}，可得分母的通项公式为 cn＝n2＋1，因此
可得它的一个通项公式为 an＝2nn2＋＋11.
(3)an
＝
0
1
n为奇数 n为偶数
或
an
＝
1＋－1n 2
或
an ＝
1＋cos nπ 2
【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an 思维启迪
题型分类·深度剖析
变式训练 2 根据下列条件，确定数列{an} 的通项公式：
(1)a1＝1，an＋1＝3an ＋2； (2)a1＝1，an＝n－n 1
·an－1 (n≥2)； (3) 已知数列 {an} 满足 an＋1＝an＋3n＋ 2，且 a1＝2，求 an.
解 (1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴aan＋n＋1＋11＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比 q＝3，又 a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1. (2)∵an＝n－n 1an－1 (n≥2)， ∴an－1＝nn－－21an－2，…，a2＝12a1. 以上(n－1)个式子相乘得 an＝a1·12·23·…·n－n 1＝an1＝1n.
题型二
由数列旳递推关系求通项公式
【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an ＋1，求 an； (2)已知 a1＝2，an＋1＝an＋n，求
an.
思维启迪
解析
探究提升
已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．
当出现 an＝an－1＋m 时，构造等差数列；当出现 an＝xan－1＋y 时，构造等比数列；当出现 an＝an－1 ＋f(n)时，用累加法求解；当出现 aan－n 1＝f(n)时，用累乘法求解．

数列的概念和简单表示优秀课件2

a _ _ _ , a _ _ _ , a _ _ _ , a _ _ _ , a _ _ _ . 3_ 4_ 6_ 2_ 5_ 1 2 3 4 5
(2 )
n a ( 1 ) n n
- 3_ -_ 5_ a _ _ _ , a _ _ _ , a _ _ _ , a _ _ _ , a _ _ . 2_ - 1_ 4_ 1 2 3 4 5
数列的概念和简单表示
一.复习:
确定性
互异性
无序性
集合元素的性质函数的概念
函数就是特殊的映射
二.引入:
看下面一组实例： (1) 堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,10 (2) 正整数1,2,34,…的倒数1，1/2，1/3，1/4… (3)某种细胞分裂问题：1， 2，4，8，16，… (4)1的正整数次幂： 1,1,1,1,… (5) 无穷多个1数排成一列数：1，1，1，…
(4)实质：
不一样。
从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1， 2 ，…， n} ）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式，即数列是特殊的函数。
(4)数列的分类:
数列
有穷数列
无穷数列
项数有限的数列
项数无限的数列
2 an 例： 4 已知数列 { an} 满足 a 1 ， an+ 1= 1 2 + an (n N) . 写出它的前项 5 ,归纳其通项公式 ,
*
并验证是否满足递推公式 .
2 1 2 a2 , 分析：它的前 5 项为 : a = 1 ， 1 2+1 3 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 5 , a5 a3 , a4 . 1 5 2 2 2 3 2+ 2+ 2+ 2 3 5 2 猜想: an . 经验证它满足递推公式 . n+1

数列的概念和简单表示法ppt

递增性
总结词
数列的各项按照从小到大的顺序排列。
详细描述
递增性指的是数列中的每一项都比前一项大，即数列按照从小到大的顺序排列。例如，一个递增的整数数列可以是1，2，3，4，5，…。
递减性
总结词
数列的各项按照从大到小的顺序排列。
详细描述
递减性指的是数列中的每一项都比后一项小，即数列按照从大到小的顺序排列。例如，一个递减的整数数列可以是5，4，3，2，1，…。
2023
数列的概念和简单表示法
目录
• 数列的定义和分类 • 数列的表示法 • 数列的特性 • 数列的简单运算 • 数列的扩展知识 • 数列的应用案例
01
数列的定义和分类
数列的定义
数列是一种特殊的函数，它按照顺序排列一组实数。数列的第一个数叫做首项，最后一个数叫做末项。
数列中的每一个数叫做项，而每个项与它前面的那个数的差叫做公差。
数列的极限和收敛性
数列的极限
如果当n趋向无穷大时，数列的项无限接近某个常数a，则称a为该数列的极限。
数列的收敛性
如果一个数列存在极限，则称该数列为收敛数列。
06
数列的应用案例
数列在金融领域的应用
复利计算
01
数列常用于计算投资收益的复利，如等比数列的求和公式被广
泛应用于计算累计利息。
风险评估
02
等差数列的性质
等差数列的任意一项都等于其首项加上一个常数，即第n 项a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。
等比数列的概念和性质
等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。
等比数列的性质

数列的概念ppt课件

例
故数列的一个通项公式为
题
an (1)n．
6.1.2 数列的通项公式
巩n
1 2n
,写出数列的前5项．
固知
解
a1
1 21
1； 2
识
a2
1 22
1； 4
典型例
a3
1 23
1； 8
a4
1 24
1； 16
题
a5
1 25
1． 32
练习
1.数列“1，2，3，4，5”与数列“5 ，4， 3，2，1 ”是否
(4)
知
6.1.2 数列的通项公式
观察下面数列的特点，用适当的数填空。
创
设 (1) 1,3,( 5 ),7,9, ( 11 ),13…
情境
(2) 2,4,( 8 ),16,32,( 64 ),128,( 256 )… (3) ( 1 ),4,9,16,25,( 36 ),49…
兴
趣导
: 思考2 数列项与项数是何关系？
第6章数列
6.1 数列的概念
6.1.1 数列的定义
将正整数从小到大排成一列数为
1，2，3，4，5，…．
(1)
创
将所有正偶数从小到大进行排成一列数为
设
2，4，6，8，10，…．
(2)
情境
-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排成的一列数为
-1，1，-1，1，…．
(3)
兴
趣导
17建筑施工3+2班学生的学号由小到大排成一列数为
运
为同一个数列？
用
知
不是
识
强
2.设数列 {an} 为“-5,-3,-1,1,3,5，…” ，指出其中a3、a6各是什么数？

数列：第1讲数列的概念及表示

数列的概念及表示1．数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做 )，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．所以，数列的一般形式可以写成，其中a n 是数列的第n 项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{a n }．(2)通项公式：如果数列{a n }的与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．(5)数列的表示方法有、、、 . 2．数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为、 . (2)按项的增减规律分为、、和．递增数列⇔a n ＋1 a n ；递减数列⇔a n ＋1 a n ；常数列⇔a n ＋1 a n .递增数列与递减数列统称为． 3．数列前n 项和S n 与a n 的关系已知S n ，则a n ＝⎩⎨⎧≥=）.2（），1（n n4．常见数列的通项(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为a n ＝____________； (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为a n ＝____________； (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为a n ＝____________； (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为a n ＝____________； (5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为a n ＝____________；(6)1，0，1，0，…的一个通项公式为a n ＝____________； (7)a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式为a n ＝____________； (8)9，99，999，…的一个通项公式为a n ＝ .注：据此，很易获得数列1，11，111，…；2，22，222，…；…；8，88，888，…的通项公式分别为19(10n－1)，29(10n －1)，…，89(10n －1)．【答案】1．(1)项首项 a 1，a 2，a 3，…，a n ，… (2)第n 项 n (3)函数值 (4)a n a n －1(5)通项公式(解析法) 列表法图象法递推公式 2．(1)有穷数列无穷数列 (2)递增数列递减数列摆动数列常数列＞＜＝单调数列 3．S 1 S n －S n －14．(1)n (2)2n (3)2n ＋1 (4)2n (5)(－1)n (6)1＋（－1）n －12(7)（a ＋b ）＋（－1）n －1（a －b ）2(8)10n －1 【基础自测】1 数列－1，43，－95，167，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)nn （n ＋1）2n －1B ．a n ＝(－1)nn 22n －1C ．a n ＝(－1)nn 22n ＋1D ．a n ＝(－1)n n3－2n2n －1解：－1＝－11，数列1，4，9，16，…对应通项n 2，数列1，3，5，7，…对应通项2n －1，数列－1，1，－1，1，…对应通项(－1)n .故选B . 2 下列有四个命题：①数列是自变量为正整数的一类函数；②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列．其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：易知①③正确，②④不正确．故选B .3 若数列a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则a 5－a 4＝( )A.110B ．－110C.190D.1990解：a 5－a 4＝⎝⎛⎭⎫16＋17＋…＋110－(15＋16＋17＋18)＝19＋110－15＝190，故选C . 4 数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1，则{a n }的通项公式为____________．5 数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________. 解法一：由a 1a 2a 3＝22a 3＝32，得a 3＝94，由a 1a 2a 3a 4a 5＝42a 5＝52，得a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.解法二：当n ≥1时，a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2. 当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2. 两式相除得a n ＝⎝⎛⎭⎫nn －12，n ≥2.∴a 3＝94，a 5＝2516.∴a 3＋a 5＝6116.故填6116.【典例】类型一数列的通项公式例一已知数列：45，910，1617，2526，….(1)试写出该数列的一个通项公式；(2)利用你写出的通项公式判断0.98是不是这个数列中的一项．【评析】①一个数列只知道前n 项，其通项公式是不能确定的，即使完全知道该数列，其通项公式的形式也不一定是惟一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成a n ＝1＋（－1）n ＋12或a n ＝⎪⎪⎪⎪sin n π2甚至分段形式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 是奇数，0，n 是偶数等．②对于此类归纳猜想求通项的题目，一定要掌握一些常见数列的通项公式，如{n }，{2n }，{(－1)n }，{2n }，{n 2}，{2n －1}等，在此基础之上还要掌握一定的方法，如将各项分解成若干个数的和、差、积、商，分离分子分母等．③由于数列是特殊的函数，因此判断某数是否为数列中的项，即是知a n 判断方程a n ＝f (n )是否有正整数解．变式写出下列数列的一个通项公式： (1)－1，12，－13，14，－15，…；(2)3，5，9，17，33，…； (3)3，33，333，3333，…； (4)23，－1，107，－179，2611，…. 解：(1)a n ＝(－1)n ·1n ；(2)a n ＝2n ＋1； (3)a n ＝13(10n －1)；(4)由于－1＝－55，故分母为3，5，7，9，11，…，即{2n ＋1}，分子为2，5，10，17，26，…，即{n 2＋1}．符号看作各项依次乘1，－1，1，－1，…，即{(－1)n ＋1}，故a n ＝(－1)n ＋1·n 2＋12n ＋1. 类型二由前n 项和公式求通项公式例二 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n ，则此数列的通项公式为a n ＝______________． (2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1，则此数列的通项公式为a n ＝______________．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－10＝－9；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11.当n ＝1时，2×1－11＝－9＝a 1.∴a n ＝2n －11. 故填2n －11.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1)－(2n －1＋1)＝2n －2n－1＝2n －1.综上有 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n ≥2）.故填⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n≥2）.【评析】任何一个数列，它的前n 项和S n 与通项a n 都存在关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）. 若a 1适合S n －S n －1，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示．另外一种快速判断技巧是利用S 0是否为0来判断：若S 0＝0，则a 1＝S n －S n －1，否则不符合，这在解小题时比较有用．变式已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，分别求它们的通项公式a n . (1)S n ＝2n 2＋3n; (2)S n ＝3n ＋1.类型三由递推公式求通项公式例三写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝2n ·a n (n ≥1)； (2)a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)．解法二：a n ＋1＝2n ·a n ＝2n ·2n －1a n －1＝…＝2n ·2n －1·…·22·21a 1＝21＋2＋…＋n －1＋na 1＝2n （n ＋1）2.∴a n ＝2n （n －1）2.(2)由递推关系a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)，有a n －a n －1＝1n －1－1n(n ≥2)．于是有a 2－a 1＝11－12，a 3－a 2＝12－13，…，a n －a n －1＝1n －1－1n .将上述n －1个式子累加，得a n ＝2－1n.当n ＝1时，a 1＝1也满足，故a n ＝2－1n(n ∈N *)．【评析】已知a 1和数列递推关系求通项时，可先计算出前若干项，通过分析这些项与序号的关系，归纳猜想出数列的通项公式，但这种不完全归纳得到的结论往往需要进行验证；但对于“a na n －1＝f (n )”型递推关系常用“累乘法”求通项；对于“a n －a n －1＝f (n )”型递推关系常用累加法求通项；以上两种情形皆可用迭代法求通项．还须注意检验n ＝1时，是否适合所求．变式写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＝3n －1＋a n －1；(2)a 1＝4，a n ＋1＝n ＋2n a n.解：(1)由a 1＝1，a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，得a 1＝1，a 2－a 1＝31，a 3－a 2＝32，…， a n －1－a n －2＝3n －2，a n －a n －1＝3n －1，以上等式两边分别相加得a n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12，n ＝1时，a 1＝1也适合，∴a n ＝3n －12.也可直接利用递推公式，逐项代替等式右边出现的a n －1，直至a 1：由a n ＝3n －1＋a n －1＝3n －1＋3n －2＋a n －2＝…＝3n －1＋3n －2＋…＋32＋31＋a 1＝3n －12.当n ＝1时，a 1＝1也适合，∴a n ＝3n －12.(2)由递推关系a 1＝4，a n ＋1＝n ＋2n a n ，有a n ＋1a n ＝n ＋2n ，于是有a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n －1a n －2＝n n －2，a na n －1＝n ＋1n －1，将这(n －1)个式子累乘，得a n a 1＝n （n ＋1）2，即当n ≥2时，a n ＝n （n ＋1）2a 1＝2n (n ＋1)，当n ＝1时，a 1＝4也满足．所以a n ＝2n (n ＋1)．类型四数列通项的性质例四在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }先递增，后递减； (2)求数列{a n }的最大项．解：因a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n是积幂形式的式子且a n ＞0，所以可用作商法比较a n 与a n －1的大小． (1)证明：令a n a n －1≥1(n ≥2)，即（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011n n ·⎝⎛⎭⎫1011n －1≥1，整理得n ＋1n ≥1110，解得n ≤10.令a na n ＋1≥1，即（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011n（n ＋2）⎝⎛⎭⎫1011n ＋1≥1，整理得n ＋1n ＋2≥1011，解得n ≥9.∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减． (2)解：由(1)知a 9＝a 10＝1010119最大．【评析】要证明数列{a n }是单调的，可利用“{a n }是递增数列⇔a n ＜a n ＋1，数列{a n }是递减数列⇔a n ＞a n ＋1”来证明．注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径，因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法．变式设函数f (x )＝log 2x －log x 2(0＜x ＜1)，数列{a n }满足()na f 2＝2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的单调性．【名师点睛】1．已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑： (1)如果符号正负相间，则符号可用(－1)n 或(－1)n＋1来调节．(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决． (3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决．2．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2），务必注意a n ＝S n －S n －1是在n ≥2的条件下，还需注意验证a 1是否符合a n (n ≥2)，是则合并，否则写成分段形式． 3．已知递推关系求通项这类问题要求不高，主要掌握由a 1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及“累加法”“累乘法”等．(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可以用“累加法”得：a n ＝a 1＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)＋f (n )． (2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可以用“累乘法”得：a n ＝a 1·f (2)·f (3)·…·f (n －1)·f (n )． 4．数列的简单性质(1)单调性：若a n ＋1＞a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则{a n }为递减数列．(2)周期性：若a n ＋k ＝a n (n ∈N *，k 为非零正整数)，则{a n }为周期数列，k 为{a n }的一个周期．(3)最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1，则a n 最大；若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1，则a n 最小．针对训练1．数列0.9，0.99，0.999，…的一个通项公式是( ) A ．1＋⎝⎛⎭⎫110nB ．－1＋⎝⎛⎭⎫110nC ．1－⎝⎛⎭⎫110nD ．1－⎝⎛⎭⎫110n ＋12．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1＋1a n －2(n ≥3)，则a 4等于( )A.5512B.133C ．4D ．5解：令n ＝3，4，即可求得a 4＝133.故选B .3．对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)，则由|a n |≥a n ，知a n ＋1＞a n ，即{a n }为递增数列，充分性成立．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2，0，1，…，则a 2＞|a 1|不成立，即a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)不一定成立，亦即必要性不成立．故选B .4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n (n －40)，则下列判断中正确的是( ) A ．a 19>0，a 21<0 B ．a 20>0，a 21<0 C ．a 19<0，a 21>0D ．a 19<0，a 20>05．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 的值为( ) A ．2＋lg n B ．2＋(n －1)lg n C ．2＋n lg nD ．1＋n lg n解法一：∵a n ＋1－a n ＝lg n ＋1n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lgn n －1＋lg n －1n －2＋…＋lg 21＋2＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·21＋2＝lg n ＋2.解法二：a n ＋1＝a n ＋lg(n ＋1)－lg n ，a n ＋1－lg(n ＋1)＝a n －lg n ，所以数列{a n －lg n }是常数列，a n －lg n ＝a 1－lg1＝2，a n ＝2＋lg n .故选A . 6．对于函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{x n }满足x 1＝2，且对任意n ∈N *，点(x n ，x n ＋1)都在函数y ＝f (x )的图象上，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋…＋x 2012＋x 2013的值为( ) A ．9394 B ．9380 C ．9396D ．94007．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为________．解：a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15.故填15.8．根据下面的图形及相应的点数，在空格和括号中分别填上适当的图形和点数，并写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.解：五个方向上点的个数每次多一个，因此第四项和第五项图形和点数为：由此得a 1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，a 4＝16＝5×4－4，…，故a n ＝5n －4，n ∈N *.故填5n －4，n ∈N *.9．根据数列{a n } 的前几项，分别写出下列数列的一个通项公式．(1)7，77，777，7777，…；(2)4，－52，2，－74，85，…； (3)3，5，3，5，…；(4)1，2，2，4，3，8，4，16，….解：(1)将各项改写如下79(10－1)，79(102－1)，79(103－1)，79(104－1)，… 易知a n ＝79(10n －1)． (2)将各项绝对值改写如下41，52，63，74，85，… 综合考查分子、分母，以及各项符号可知a n ＝(－1)n－1n ＋3n. (3)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n 为奇数），5（n 为偶数），或 a n ＝（3＋5）＋（－1）n －1（3－5）2＝4＋(－1)n . (4)观察数列{a n }可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，∴a n＝⎩⎨⎧n ＋12（n 为奇数），2n 2（n 为偶数）. 10．数列{a n }中，a n ＝n －n 2＋2，求数列{a n }的最大项和最小项．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足a 1＝2，na n ＋1＝S n ＋n (n ＋1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝S n 2n ，当n ≥3时，求证：T n ＞T n ＋1. 解：(1)∵na n ＋1＝S n ＋n (n ＋1)(n ∈N *)，当n ＝1时，a 2＝S 1＋2＝a 1＋2＝4；当n ≥2时，(n －1)a n ＝S n －1＋(n －1)n . ∴na n ＋1－(n －1)a n ＝S n －S n －1＋2n . ∴n (a n ＋1－a n )＝2n .∴a n ＋1＝a n ＋2(n ≥2)．又∵a 2－a 1＝2，a 1＝2，∴a n ＋1＝a n ＋2＝a n －1＋2×2＝…＝a 1＋2n ＝2(n ＋1)．从而有a n ＝2n .(2)证明：由(1)可求得S n ＝n （2＋2n ）2＝n 2＋n . ∴T n ＝n 2＋n 2n . ∴T n －T n ＋1＝n 2＋n 2n －（n ＋1）2＋（n ＋1）2n ＋1＝2n 2＋2n －n 2－2n －1－n －12n ＋1＝n 2－n －22n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1. ∴当n ≥3时，有T n －T n ＋1＞0，即T n >T n ＋1.12 已知数列{a n }的通项a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，求{a n }的最大项及最小项．解：设a n ＝f (n )＝n －98n －99，则a n ＝1＋99－98n －99. 如图(方便起见，画成连续曲线进行研究)．当1≤n ≤9时，a n ＜1，且此时{a n }递减，即a 1＞a 2＞…＞a 9；当n ≥10时，a n ＞1，并且此时{a n }仍递减，即有a 10＞a 11＞…＞a n ＞….综上有(a n )max ＝a 10＝10－9810－99， (a n )min ＝a 9＝9－989－99.。

第5章《数列》(第1节)ppt 省级一等奖课件

第五章数列
5．已知数列{an}的通项公式为 an＝pn＋qn，且 a2＝32，a4＝23，则
a8＝________．
解析
由已知得24pp＋＋qq24＝＝3232，，解得pq＝＝142，.
则 an＝14n＋2n，故 a8＝94.
答案
9 4
第五章数列
[关键要点点拨] 1．对数列概念的理解
(2014·安阳模拟)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若不等式 a2n＋Sn2n2≥ma21对任意等差数列{an}及任意正整数 n 都成立，
则实数 m 的最大值为
()
1
1
A.4
B.5
C．1
D．无法确定
第五章数列
【思路导析】将已知不等式用 an 与 a1 表示后分离参数 m 转化为函数的最值问题求解．【解析】因为 Sn＝12n(a1＋an)，所以原不等式可化为 a2n＋41(a1＋an)2≥ma21. 若 a1＝0，则原不等式恒成立；若 a1≠0，则有 m≤54aan12＋21aan1＋41，
第五章数列
满足条件项数有限项数无限
an＋1 > an an＋1 < an an＋1＝an
其中 n∈N*
第五章数列
3.数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
第五章数列
二、数列的递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an 与它的前一项an－1 (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．
第五章数列
2．数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2， 3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．

2.1数列的概念与简单表示法课件人教新课标6

2.若仅由数列{an}的递推关系 an=ban-1+c(n≥2,n∈N*),能否求出数
列{an}的每一项?
提示:不能,要想求出数列{an}的每一项,还需知道数列的第一项或
前几项.
第2课时
问题导学
数列的通项公式与递推公式
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
故选 A.
第2课时
问题导学
数列的通项公式与递推公式
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
2.已知数列{an}的通项公式为 an=(10-n)·
2n,求数列{an}中的最大项.
解:(方法一)∵an=(10-n)·
2n,
∴an+1-an=(10-n-1)·
故 a2 014=a6×335+4=a4=1.
1
2

5
= ,a7= 6 =1,…,
第2课时
问题导学
数列的通项公式与递推公式
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
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数列的递推公式给出了相邻两项(或多项)之间的关系,只要知道第
一项就可以用递推公式求出后面的各项,如果各项间的规律明显,可以
第2课时
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数列的通项公式与递推公式
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通项公式与递推公式的区别与联系是怎样的?

高中数学第四章数列1第1课时数列的概念与简单表示法课件新人教A版选择性必修2

若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是( ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列【解析】选A.an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，所以an＋1>an，即{an}是递增数列．
D．摆动数列
【补偿训练】已知下列数列：
(1)0，0，0，0，0，0；
(2)0，－1，2，－3，4，－5，…；
2．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式． (2)讨论数列{an}的单调性，并证明你的结论．【解析】(1)因为f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，所以有2log2an－2－log2an＝－2n，即an－a1n ＝－2n，所以an2 ＋2nan－1＝0，解得an＝－n± n2＋1 .
【解析】由数列中项的多少可知(1)是有穷数列，(2)(3)(4)(5)是无穷数列，根据数列单调性的定义知(3)是递增数列，(4)是递减数列，(1)是常数列，(2)(5)是摆动数列．答案：(1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1) (2)(5)
探究点二用观察法求数列的通项公式
A．1，13 ，312 ，313 ，…
B．sin
π 13
，sin
2π 13
，sin
3π 13
，sin
4π 13
，…
C．－1，－12 ，－13 ，－14 ，…
D．1，2，3，4，…，30
【思维导引】(1)根据数列的定义去判断． (2)根据无穷数列和递增数列的定义逐一判断四个选项，即可得正确答案．
【解析】(1)选C.A中的{1，2，3，5，7}表示集合而不是数列，故A错，B中的两个数列是不同的两个数列，因为1，0，－1，－2这四个数的顺序不一样，故B错误，数列0，2，4，6，8，…，可记为{2(n－1)}，而不是{2n}，故D错．

【课件】数列的概念及简单表示课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

这也是具有确定顺序的一列数.
1
3. 的 n 次幂按 1次幂、2 次幂、3 次幂、4次幂
2
1 1
1 1
，，，，．
③
2 4
8 16
1
1
1
1
a1 , a2 , a3 , a4 ,
2
4
8
16
这也是具有确定顺序的一列数.
归纳: 上面三个例子的共同特征是什么？
依次排成一列数．
n2＋2n
n
n
系为
，故所求的数列的一个通项公式为 an＝n＋
＝
(n∈N*)．
n＋1
n＋1 n＋1
1
1
1
1
(4)原数列的各项可变为 ×9， ×99， ×999， ×9 999，…，易知数列
9
9
9
9
9,99,999,9 999，…的一个通项公式为 an＝10n－1，所以原数列的一个通项公
1 n
式为 an＝ (10 －1)(n∈N*)．
你能仿照上面
的叙述，说明③也
是具有确定顺序的
一列数吗？
探究新知
定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列
数列中的每一个数叫做这个数列的______.
项
排在第一位的数称为这个数列的第1项（首项），排在第二位
的数称为这个数列的第2项，
···，排在第n位的数称为这个数列这个数列的第n项.
数列的一般形式可以写成：
②数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n.
③数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1.
④数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n.
⑤数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.

数列概念及其表示 ppt课件

＝2－n1＝2nn－1(n∈N*)．
跟踪练习
1.若
把
本
例
中
“an＝
an
－
1
＋
1 nn－1
(n≥2)”
改为
“an＝
an
－1
＋n－11n＋1(n≥2)”其他不变，如何求数列的前 5 项与
通项公式 an?
解：∵a1＝1， an＝an－1＋n－11n＋1(n≥2)， ∴a2＝a1＋1×1 3＝43；a3＝a2＋2×1 4＝3254； a4＝a3＋3×1 5＝6410；a5＝a4＋4×1 6＝4370. 又an－an－1＝n－11n＋1 ＝12(n－1 1－n＋1 1)(n≥2)，
即aan1＝n1.∵a1＝1，∴an＝n1. 又∵当 n＝1 时，a1＝11＝1 成立， ∴an＝n1(n∈N*)．
例题讲解
题型七数列的周期性例 7. 已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an(n ∈N*)，则 a2 009＝________，a2 014＝________.
(2)∵a1＝1，an＋1＝a2n＋an2， ∴a2＝23，a3＝12，a4＝25，a5＝13. 它的前五项依次为 1，23，12，25，13，因此该数列可写成1＋2 1， 2＋2 1，3＋2 1，4＋2 1，5＋2 1，… 故它的一个通项公式为 an＝n＋2 1.
2.已知平面内两直线最多有 2 个交点，3 直线最多 3 个交点， 4 直线最多 6 个交点，依次记为 a2 1， a3 3 ， a4 6 ，（1）请写出 an 与 an1 的递归关系；（2）求 a8 ；（3）你能求出 an ？
2.1 数列概念和表示
新课讲解
1.数列的概念数列是指按一定顺序排列的一列数，数列中的数与顺序有关系，每一项都对应着一个序号即项数，一般可表示为 a1， a2，…或记为{an}．注意判断两个数列是否为相同的数列，主要看顺序和项是否相同．

4.1数列的概念课件(人教版)

2n2
30n
2(n2
15n)
2 n
15 2
2
225 2
，
因为 n N* ，所以当 n 7 或 n 8 时， Sn 取最小值.
（2）当 n 1 时， a1 S1 2 30 28 .
当 n 2 时， an Sn Sn1 2n2 30n [2(n 1)230(n 1)] 4n 32 .
， Sn1
n ，n
1 2
.
例 6 已知数列an 的前 n 项和公式为 Sn n2 n ，求an 的通项公式.
解：因为 a1 S1 2 ， an Sn Sn1 n2 n [(n 1)2 (n 1)] 2n(n 2) ，并且当 n 1 时， a1 21 2 依然成立.
所以an 的通项公式是 an 2n .
特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
如果数列{an} 的第 n 项 an 与它的序号 n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.
例 l 根据下列数列{an} 的通项公式，写出数列的前 5 项，并画出它们的图象.
解析：因为 Sn 3n 2 ，所以 Sn1 3n1 2(n 1) ，则 an 3n 3n1 23n1 . 1，n 1
当 n 1 时， a1 S1 3 2 1，不符合上式，所以 an 2 3n1 ，n 2 .
-4 7.数列an 中， a1 1， a2 5 ， an2 an1 an (nN*) ，则a2022 __________.
验证得当 n 1 时， a1 28 满足上式，所以 an 4n 32 .
1.数列的相关概念及分类 2.数列的符号表示 3.从函数角度看数列 4.数列的通项公式 5.数列的递推公式 6.数列的前n项和

4.1.1数列的概念PPT课件(人教版)

的前5项为
【变式练习】
根据下面的通项公式，分别写出数列的前5项.
；
.
解:（1）在通项公式中依次取n =1,2,3,4,5,得到数列
的前5项为
（2）在通项公式中依次取n =1,2,3,4,5,得到数列
的前5项为 -1，2，-3，4，-5.
（3）这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1 0001, 10 000-1，所以它的一个通项公式为
(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．
6.已知数列{an}的通项公式 an＝(2(n－－11)n)((n2＋n＋1)1).
(1)写出它的第 10 项； (2)判断 2 是不是该数列中的项．
33
【解析】 (1) a10＝(－119)×10×2111＝31919.
解:（1）视察知，这个数列的前4项都是序号的 2倍加1，所以它的一个通项公式为
（2）这个数列的前4项可以写成20,21,22,23，所以它的一个通项公式为
三、典例解析例 1 根据下列数列 { an }的通项公式，写出数列的前 5 项，并画出它们的图象．
1 an
n2 2
n；2 anຫໍສະໝຸດ ncos1 ．
3,4,5,6,7,8,9.
①
（2）GDP为国内生产总值.分析各年GDP数据，找出
增长规律，是国家制定国民经济发展计划的重要根
据.根据中华人民共和国2002年国民经济和社会发
展统计公报，我国（1998～2002年)这五年GDP值
（亿元）依次排列如下：
78 345,82 067,89 442,95 933,102 398.
【解析】(1)各数都是偶数，且最小为 4，所以通项公式 an＝2(n＋1)(n∈N＋)． (2)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负，

《数列的概念》课件

奇偶性是指数列中奇数项和偶数项分别具有不同的性质或规律。例如，奇数项都是正数，而偶数项都是负数；或者奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列等。
数学表达
如果对于任意的正整数n，都有an=(-1)^n*b(n)，其中b(n)是另一个数列，则称数列{an} 具有奇偶性。
03
数列的应用
在数学中的应用
性质
递推数列的每一项都可以通过前一项或前几项计算得出，具有很强的规律性。
THANK YOU
公式
通项公式为 $a_n = a_1 times r^{(n-1)}$，其中 $a_1$ 是首项，$r$ 是公比。
3
性质
等比数列的任意一项都可以通过首项和公比计算出来，且任意两项之间的比值都是固定的。
递推数列
定义
递推数列是一种通过递推关系式来定义数列的数列。
公式
递推数列的通项公式通常不能直接求解，需要通过递推关系式逐步计算得出。
《数列的概念》ppt课件
• 数列的定义 • 数列的性质 • 数列的应用 • 数列的运算 • 数列的拓展
01
数列的定义
数列的描述
总结词
数列是一种特殊的函数，它按照一定的次序排列。
详细描述
数列是一种有序的数字排列，每个数字都有其对应的位置，并且每个位置上的数字都是唯一的。数列可以看作是函数的特例，其中自变量是自然数或整数，因变量是实数或复数。
02 03
详细描述
有界性是数列的一个重要性质，它保证了数列不会发散到无穷大或无穷小。具体来说，如果存在正数M，使得对于所有n，数列的第n项an都满足|an|≤M，则称数列有界。
数学表达
如果存在正数M，使得对于所有n，都有|an|≤M，则称数列{an}有界。

数列：第1讲数列的概念及表示

数列的概念及表示1．数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做 )，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．所以，数列的一般形式可以写成，其中a n 是数列的第n 项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{a n }．(2)通项公式：如果数列{a n }的与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． (5)数列的表示方法有、、、 . 2．数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为、 .(2)按项的增减规律分为、、和．递增数列⇔a n ＋1 a n ；递减数列⇔a n ＋1 a n ；常数列⇔a n ＋1 a n .递增数列与递减数列统称为．3．数列前n 项和S n 与a n 的关系已知S n ，则a n ＝⎩⎨⎧≥=）.2（），1（ n n4．常见数列的通项(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为a n ＝____________； (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为a n ＝____________； (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为a n ＝____________； (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为a n ＝____________； (5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为a n ＝____________； (6)1，0，1，0，…的一个通项公式为a n ＝____________；(7)a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式为a n ＝____________； (8)9，99，999，…的一个通项公式为a n ＝ .注：据此，很易获得数列1，11，111，…；2，22，222，…；…；8，88，888，…的通项公式分别为19(10n－1)，29(10n －1)，…，89(10n －1)．【基础自测】1 数列－1，43，－95，167，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)nn （n ＋1）2n －1 B ．a n ＝(－1)n n 22n －1C ．a n ＝(－1)nn 22n ＋1 D ．a n ＝(－1)nn 3－2n 2n －12 下列有四个命题：①数列是自变量为正整数的一类函数；②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝nn ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列．其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．43 若数列a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则a 5－a 4＝( )A.110B ．－110C.190D.19904 数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1，则{a n }的通项公式为____________．5 数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.【典例】类型一数列的通项公式例一已知数列：45，910，1617，2526，….(1)试写出该数列的一个通项公式；(2)利用你写出的通项公式判断0.98是不是这个数列中的一项．【评析】①一个数列只知道前n 项，其通项公式是不能确定的，即使完全知道该数列，其通项公式的形式也不一定是惟一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成a n ＝1＋（－1）n ＋12或a n ＝⎪⎪⎪⎪sin n π2甚至分段形式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 是奇数，0，n 是偶数等．②对于此类归纳猜想求通项的题目，一定要掌握一些常见数列的通项公式，如{n }，{2n }，{(－1)n }，{2n }，{n 2}，{2n －1}等，在此基础之上还要掌握一定的方法，如将各项分解成若干个数的和、差、积、商，分离分子分母等．③由于数列是特殊的函数，因此判断某数是否为数列中的项，即是知a n 判断方程a n ＝f (n )是否有正整数解．变式写出下列数列的一个通项公式：(1) －1，12，－13，14，－15，…； (2)3，5，9，17，33，…；(3)3，33，333，3333，…； (4)23，－1，107，－179，2611，….类型二由前n 项和公式求通项公式例二 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n ，则此数列的通项公式为a n ＝______________． (2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1，则此数列的通项公式为a n ＝______________．【评析】任何一个数列，它的前n 项和S n 与通项a n 都存在关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）. 若a 1适合S n －S n －1，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示．另外一种快速判断技巧是利用S 0是否为0来判断：若S 0＝0，则a 1＝S n －S n －1，否则不符合，这在解小题时比较有用．变式已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，分别求它们的通项公式a n . (1)S n ＝2n 2＋3n; (2)S n ＝3n ＋1.类型三由递推公式求通项公式例三写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式． (1) a 1＝1，a n ＋1＝2n ·a n (n ≥1)；(2)a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)．【评析】已知a 1和数列递推关系求通项时，可先计算出前若干项，通过分析这些项与序号的关系，归纳猜想出数列的通项公式，但这种不完全归纳得到的结论往往需要进行验证；但对于“a na n －1＝f (n )”型递推关系常用“累乘法”求通项；对于“a n －a n －1＝f (n )”型递推关系常用累加法求通项；以上两种情形皆可用迭代法求通项．还须注意检验n ＝1时，是否适合所求．变式写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式． (1) a 1＝1，a n ＝3n －1＋a n －1；(2)a 1＝4，a n ＋1＝n ＋2n a n .类型四数列通项的性质例四在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }先递增，后递减； (2)求数列{a n }的最大项．【评析】要证明数列{a n }是单调的，可利用“{a n }是递增数列⇔a n ＜a n ＋1，数列{a n }是递减数列⇔a n ＞a n ＋1”来证明．注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径，因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法．变式设函数f (x )＝log 2x －log x 2(0＜x ＜1)，数列{a n }满足()na f 2＝2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的单调性．【点睛】1．已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑： (1)如果符号正负相间，则符号可用(－1)n 或(－1)n＋1来调节．(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决． (3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决．2．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2），务必注意a n ＝S n －S n －1是在n ≥2的条件下，还需注意验证a 1是否符合a n (n ≥2)，是则合并，否则写成分段形式． 3．已知递推关系求通项这类问题要求不高，主要掌握由a 1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及“累加法”“累乘法”等．(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可以用“累加法”得： a n ＝a 1＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)＋f (n )． (2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可以用“累乘法”得：a n ＝a 1·f (2)·f (3)·…·f (n －1)·f (n )． 4．数列的简单性质(1)单调性：若a n ＋1＞a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则{a n }为递减数列．(2)周期性：若a n ＋k ＝a n (n ∈N *，k 为非零正整数)，则{a n }为周期数列，k 为{a n }的一个周期．(3)最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1，则a n 最大；若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1，则a n 最小．针对训练1．数列0.9，0.99，0.999，…的一个通项公式是( ) A ．1＋⎝⎛⎭⎫110nB ．－1＋⎝⎛⎭⎫110nC ．1－⎝⎛⎭⎫110nD ．1－⎝⎛⎭⎫110n ＋12．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1＋1a n －2(n ≥3)，则a 4等于( )A.5512 B.133C ．4D ．53．对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n (n －40)，则下列判断中正确的是( ) A ．a 19>0，a 21<0 B ．a 20>0，a 21<0 C ．a 19<0，a 21>0D ．a 19<0，a 20>05．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 的值为( ) A ．2＋lg n B ．2＋(n －1)lg n C ．2＋n lg nD ．1＋n lg n6．对于函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{x n }满足x 1＝2，且对任意n ∈N *，点(x n ，x n ＋1)都在函数y ＝f (x )的图象上，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋…＋x 2012＋x 2013的值为( ) A ．9394B ．9380C ．9396D ．94007．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为________．8．根据下面的图形及相应的点数，在空格和括号中分别填上适当的图形和点数，并写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.9．根据数列{a n } 的前几项，分别写出下列数列的一个通项公式． (1)7，77，777，7777，…； (2)4，－52，2，－74，85，…；(3)3，5，3，5，…； (4)1，2，2，4，3，8，4，16，….10．数列{a n }中，a n ＝n －n 2＋2，求数列{a n }的最大项和最小项．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足a 1＝2，na n ＋1＝S n ＋n (n ＋1)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝S n2n ，当n ≥3时，求证：T n ＞T n ＋1.12 已知数列{a n }的通项a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，求{a n }的最大项及最小项．。

2025高考数学一轮复习-6.1-数列的概念与简单表示方法【课件】

『变式训练』 1．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 2Sn＝3an－3，则 a4 等于( B ) A．27 B．81 C．93 D．243
【解析】根据 2Sn＝3an－3，可即 an＋1＝3an，当 n＝1 时，2S1＝3a1－3，解得 a1＝3，所以数列{an}是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，所以 a4＝a1q3＝34＝81.故选 B.
【解析】 ∵Sn＝3＋2n， ∴Sn－1＝3＋2n－1(n≥2)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．而 a1＝S1＝5，∴an＝52， n－1n，＝n1≥，2.
易错点睛：(1)数列是特殊的函数，注意其自变量为正整数． (2)求数列前 n 项和 Sn 的最值时，注意项为零的情况． (3)使用 an＝Sn－Sn－1 求 an 时注意 n≥2 这一条件，要验证 n＝1 时是否成立．
满足条件
有穷数列无穷数列
项数项数
有限无限
递增数列递减数列
常数列
an＋1 an＋1 an＋1
> an < an ＝ an
其中 n∈N*
从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小
于它的前一项的数列
3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列与函数的关系数列{an}是从正整数集 N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集 R 的函数，其自变量是序号 n，对应的函数值是数列的第 n 项 an，记为 an＝f(n)．也就是说，当自变量从 1 开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值 f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{an}．
同理令2nn－＋11＝15，得 n＝2，∴15为数列{an}的项；