23--垂径定理一

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专题24.3 垂径定理【十大题型】(人教版)(原卷版)

专题24.3 垂径定理【十大题型】【人教版】【题型1 利用垂径定理求线段长度】 (1)【题型2 利用垂径定理求角度】 (2)【题型3 利用垂径定理求最值】 (3)【题型4 利用垂径定理求取值范围】 (4)【题型5 利用垂径定理求整点】 (6)【题型6 利用垂径定理求面积】 (7)【题型7 垂径定理在格点中的运用】 (8)【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】 (10)【题型10 垂径定理的应用】 (11)【题型1 利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2√13，则CD的长为（）A．1B．3C．2D．4【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6B．6√2C．8D．8√2【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC ＝30°，则CD的长为（）A．5B．2√3C．4√2D．2√2+√3+1【变式1-3】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为．【题型2 利用垂径定理求角度】【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（）A．15°或75°B．20°或70°C．20°D．30°̂上的【变式2-1】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60°B．90°C．120°D．135°【变式2-2】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=√2．（1）求弦AB的长；（2）求∠CAB的度数．【变式2-3】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E 为AC的中点，连接DE．（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．【题型3 利用垂径定理求最值】【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A．12B．1C．32D．2【变式3-1】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接P A，PB，若⊙O的半径为1，则S△P AB的最大值为（）A．1B．2√33C．3√34D．3√32【变式3-2】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD 边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．【变式3-3】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910B．65C．85D．125【题型4 利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC 上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（）A．8＜m≤4√5B．4√5＜m≤10C．8＜m≤10D．6＜m＜10【变式4-1】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【变式4-2】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有条．【变式4-3】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【题型5 利用垂径定理求整点】【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个【变式5-1】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（）A．6B．7C．8D．9【变式5-2】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是3，⊙C上的整数点有个．【变式5-3】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【题型6 利用垂径定理求面积】【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A．√2B．1C．√32D．√22【变式6-1】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为．【变式6-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【变式6-3】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC ⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）A．125π4B．275π4C．125π9D．275π9【题型7 垂径定理在格点中的运用】【例7】（2022秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【变式7-1】（2022春•海门市期中）如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．【变式7-2】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在AB̂上，若点P是BĈ的一个动点，则△ABP面积的最大值是．【变式7-3】（2017秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为，∠ADC的度数．【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B （0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．(4−2√6，0)B．(−4+2√6，0)C．(−4+√26，0)D．(4−√26，0)【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3B．4C．5D．6【变式8-2】（2022•印江县三模）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为．【变式8-3】（2015•宜春模拟）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y ＝﹣2x+m图象过点P，则m＝．【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】（2022秋•化德县校级期末）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB 和CD的距离为（）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm【变式9-1】（2022•包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D 作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（）A．1B．7C．8或1D．7或1【变式9-2】（2022秋•方正县期末）如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝2√3，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为．【变式9-3】（2022秋•淮南月考）如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为．【题型10 垂径定理的应用】【例10】（2022秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（）A．16m B．20m C．24m D．28m【变式10-1】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸【变式10-2】（2022秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟．【变式10-3】（2022•浙江）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，̂，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通∠AOB＝120°，从A到B只有路AB过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：√3≈1.732，π取3.142）。

24.1.2垂直于弦的直径垂径定理三种语言

提示：此中直角三角形AOD中只有A D是已知量，但可以通过弦心距、半径、拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列出方程。利用垂径定理进行的几何证明
7.2m
37.4m
C A
D
B
O
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。

解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在的圆的圆心为O，半径为r.
C
D B
A ⌒ 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D，与AB交于点C，则D是AB的中点，C是⌒ AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37.4m，CD=7.2m
∴ AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2 ∵ OA OD AD
C M H A E D F B O N
2 2
如图所示，一座圆弧形的拱桥，它所在圆的半径为10米，某天通过拱桥的水面宽度AB为16米，现有一小帆船高出水面的高度是3.5米，问小船能否从拱桥下通过？
1.已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的中点。 2. 已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的四等分点。
N D
1.作法 1.连接AB；
2 2 2
O
∴ r 18.7 r 7.2
2 2
2
解得r=27.9（m）即主桥拱半径约为27.9m.
方法总结
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：

⑴d + h = r
a 2 ⑵ r d ( ) 2
垂径定理三种语言

垂径定理练习题及答案

5、如图，AB 是⊙O 的直径，半径 OC⊥AB,P 是ＡB 延长线上一点，PD 切⊙O 于点 D,CD 交 AB 于点 E,判断
△PDＥ的形状，并说明理由。
６。21.如图,半径 OA⊥ＯB，P 是 OB 延长线上一点，PA 交⊙Ｏ于 D，过 D 作⊙O 的切线 CE 交ＰＯ于 C 点
，求证:PC=ＣD．
２2。如图，将半
径为 2 cm 的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心 O ,那么折痕 AB
的长为
Ｏ
Ａ
Ｂ
23。如图,⊙O 的的半径为 5，直径 AB⊥弦 CD，垂足为 E，ＣD=６,那么∠Ｂ的余切值为_＿＿__＿_＿＿
三。解答题 1。⊙O 的弦ＡＢ长为 10,半径长Ｒ为 7，OC 是弦ＡＢ的弦心距，求ＯＣ的长 2。⊙O 的半径长为 50ｃm，弦 AB 长５０ｃm.求：〔1)点 O 到 AB 的距离;〔2〕∠AＯB 的大小 3。如图,直径是 5０ｃm 圆柱形油槽装入油后，油深ＣD 为 1５cm，求油面宽度 AB
4．AB 是⊙O 的弦,ＡB=8ｃｍ，OC⊥ＡB 与Ｃ,OC=3ｃm,那么⊙O 的半径为 cm
5。如图,⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E,假设∠COD＝1２０°,ＯE＝3 厘米，那么 CD=厘米
A
y
P
O
C
ED
B
6.半径图为4 6cm 的
A O
B
x
圆中，垂直平分半径 OＡ的弦长为 cm。
7。如图，⊙Ｏ的半径长为２5,弦 AB 长为４８，Ｃ是弧 AＢ的中点．求 AC 的长．
8。：在△△AＢＣ的外接圆的半径。
O
9.本市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取 A
B

垂径定理知识点

垂径定理知识点1. 垂径定理说啦，垂直于弦的直径平分弦！就好像你有一根绳子，我拿一根直直的杆子从中间穿过，那这根杆子是不是就把绳子给平均分成两半啦！比如说，一个圆形的蛋糕，直径把它分成相等的两半，这就是垂径定理在起作用呀，是不是很神奇？2. 嘿，垂径定理还提到，平分弦的直径垂直于弦呢！这不就像拔河比赛，中间的红绳被公平地分成两半，那和地面肯定是垂直的呀！就像一个圆形的大饼，用刀平分它，这刀肯定和饼是垂直的呀，是不是很有意思呢？3. 你想想看呀，垂径定理告诉我们，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧！好比一把撑开的伞，伞骨垂直伞面，把伞面分成相等的部分，那同时也把下面的空间也给平分啦！比如一个圆形的池塘，中间有根柱子垂直立着，那柱子两边的水面区域就是相等的，超厉害的吧！4. 不得了哦，垂径定理里说平分弦所对的一条弧的直径，必垂直平分这条弦！就好像英雄总是和他的武器相得益彰，武器能发挥最大威力，英雄也能更厉害！像个钟的指针，钟的中心轴线平分了指针划过的弧，那必然也和指针是垂直的呀，多形象呀！5. 哇塞，垂径定理也包括平分弦所对的两条弧的直径，垂直平分弦呢！这就好像有个神奇的魔法棒，只要一挥，就能让东西变得整齐有序！比如一个摩天轮，中间的轴既能把那些车厢走过的弧平分，又能让连接车厢的杆子垂直，这就是垂径定理的魅力呀！6. 哎呀呀，垂径定理还有哦，弦的垂直平分线经过圆心！这简直就像是给圆心找到回家的路一样清楚明白呀！好比你放风筝，线的垂直平分线肯定是要经过风筝的中心呀！像个圆形的轮子，轮子上一根线的垂直平分线肯定会经过轮子中心，是不是很明了？7. 最后呢，平分弦的直径，不一定垂直于弦哦！这就好像不是所有的好人都一定是强壮的一样。

比如有根不太直的棍子平分了一根线，但它们不一定是垂直的呀。

垂径定理真的很有趣呢，我们一定要好好掌握呀！我的观点结论就是：垂径定理非常的神奇和有趣，在很多方面都有重要的应用，我们要多多去理解和运用它呀！。

第23课垂径定理(学生版) 九年级数学上册精品讲义(人教)

第23课垂径定理课程标准1．理解圆的对称性；2．掌握垂径定理及其推论；3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．知识精讲知识点01垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径这条弦，并且平分弦所对的.2.推论平分弦(不是直径)的直径，并且平分弦所对的.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即⎫⎧→⎬⎨⎭⎩直径平分弦垂直于弦平分弦所对的弧(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点02垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4）.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意，就能推出其他结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）能力拓展考法01应用垂径定理进行计算与证明【典例1】如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．【即学即练1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【即学即练2】如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．【典例2】已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【即学即练3】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．考法02垂径定理的综合应用【典例3】如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）【典例4】不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．分层提分题组A基础过关练1．下列结论正确的是（）A．经过圆心的直线是圆的对称轴B．直径是圆的对称轴C．与圆相交的直线是圆的对称轴D．与直径相交的直线是圆的对称轴2．下列命题中正确的是（）A．经过三个点可以作一个圆B．长度相等的弧是等弧C．相等的圆心角所对的弧相等D．弦的垂直平分线一定经过圆心3．如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是（）A．CE=DE B．AE=OE C．BC BD D．△OCE≌△ODE=4．如图，在直径AB=12的⊙O中，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，则弦CD的长是（）A．3B．C．6D．5．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为______．6．已知⊙O中，弦AB=24cm，圆心到AB的距离为5cm，则此圆的半径等于_______cm.7．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．8．如图，如AE是⊙O的直径，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB=8cm，CD=2cm，则BE=．9．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=_____．题组B能力提升练1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则 BD的度数为____________．2．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．3．如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径OC⊥AB于点D，若AB＝6cm，OD＝4cm，则⊙O的半径为_____cm．4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为______cm．5．如图所示，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，AB ⊥CD 于M ，CD=10cm ，OM ：OC=3：5，求弦AB 的长．6．如图，在⊙O 中，直径AB=10，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，BE=2，求弦CD 的长．题组C 培优拔尖练1．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，OC AB ⊥，交AB 于点D ，交⊙O 于点C ，2CD =．求弦AB 的长．2．如图，四边形ABCD 是矩形，以AD 为直径的⊙O 交BC 边于点E 、F ，AB=4，AD=12.求线段EF 的长.3．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB 为60m ，拱高PM 为18m ，当洪水泛滥到跨度只有30m 时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m ，即4m PN =时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施.4．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）证明：点E是OB的中点；（2）若AB=8，求CD的长．5．如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．（1）求证：AB=CD；（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．。

垂径定理1-3课时

BB24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理（第一课时）一、知识探究1、圆既是图形，又是图形。

对称轴是，对称中心是。

2、按要求作图（1）作⊙O 的任意一条弦AB ；（2）过圆心O ，作垂直于弦AB 的直径CD ，交AB 于点E 。

观察并回答：问题1：通过观察，在该图中有没有相等的线段：问题2：通过观察，在该图中有没有相等的弧：证明过程：已知：CD 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB 。

求证：AE=BE结论：垂径定理：的直径，并且。

几何语言的写法：∵ ∴强调：（1）；（2）；（3）（4）；（5）二、例题解析例1：在⊙O 中，弦AB 长8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 半径为例2：⊙O 的半径为5，M 是⊙O 内一点，OM=3，则过M 点的最短弦的长为例3：如图：已知线段AB 交⊙O 于C 、D 两点，若AC=BD ，求证：OA=OB 。

三、课堂练习：1、在⊙O 中，弦AB 长8cm ，⊙O 半径为5cm ，圆心O 到AB 的距离为2、在⊙O 中，⊙O 半径为5cm ，圆心O 到弦AB 的距离3cm ，则弦AB 的长为3、在半径为R 的⊙O 中，有长为R 的弦AB ，那么O 到AB 的距离为4、如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆与C 、D 两点。

求证：AC=BD 。

5、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD=10cm ，AP ∶PB=1∶5 ，求的⊙O 半径。

24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理的推论（第二课时）一、知识回顾垂径定理：的直径，并且。

按要求作图（1）在⊙O （2）作弦（3）连接问题1：⊙O 的直径CD 与弦AB 有怎样的位置关系：问题2：该图中有没有相等的弧证明过程：已知：CD 是⊙O 的直径，并且平分弦AB ，求证：CD ⊥AB 。

结论：垂径定理的推论：的直径，并且三、例题解析例1：已知⊙O 的半径OA=10㎝，弦AB=16㎝，P 为弦AB 上的一个动点，则OP 的最短距离为典型练习：1、下面四个命题中正确的一个是（）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2、下列命题中，正确的是（）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧3、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（）（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤ （C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<4、如图所示，若⊙O 的半径为13cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离5cm ，则弦AB 的长为______________ ．四、课堂练习1、已知：如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8m ，OC=5m ，则DC 的长为（1）（2）（3）2、如图，在⊙O 中，直径AB 丄弦CD 于点M ，AM=18，BM=8，则CD 的长为__________ . 3、如图，∠PAC=30°，在射线AC 上顺次截取AD=3cm ，DB=10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是_________ cm ．4、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则弦的中点到弦所对弧的中点的距离为__ _____。

垂径定理的推论PPT精品课件

【点拨】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O 于点C，如图所示． ∵AB＝48 cm，∴BD＝12AB＝12×48＝24(cm)． ∵⊙O 的直径为 52 cm，∴OB＝OC＝26 cm. 在 Rt△ OBD 中，OD＝ OB2－BD2＝ 262－242＝10(cm)． ∴CD＝OC－OD＝26－10＝16(cm)．故选 C.
类型
(2)如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5 600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数．
解：5 600×204＋0060＝1 120(人)，即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为 1 120 人．
类型
(1)请用列表或画树状图的方法(选其中一种)表示出所有可能出现的结果．
【答案】 C
︵ 6．【2019·黄冈】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)，点 O
︵是这段弧所在圆的圆心，AB＝40 m，点 C 是AB的中点，点 D 是 AB 的中点，且 CD＝10 m，则这段弯路所在圆的半径为 () A．25 m B．24 m C．30 m D．60 m
【点拨】连接OD，由题意可知点O，D，C三点共线， ∵点D是AB的中点，∴OC⊥AB，AD＝DB＝20 m. 在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2，设半径为r m，则r2＝(r－10)2＋202，解得r＝25， ∴这段弯路的半径为25 m.故选A.
3．如图，△ABC 中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以 A 为圆心 AB 为半径作⊙A，延长 BC 交⊙A 于点 D，则 CD 的长为( ) A．5 B．4 C.92 D．2 5
【点拨】如图，取BD的中点E，连接AD，AE，
∴AD＝AB＝5，DE＝BE.

人教版数学九年级上册第二十四章《圆》知识点及练习题（附答案）

⼈教版数学九年级上册第⼆⼗四章《圆》知识点及练习题（附答案）《圆》章节知识点复习和练习附参考答案⼀、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离⼤于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离⼩于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆⼼，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、⾓的平分线：到⾓两边距离相等的点的轨迹是这个⾓的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平⾏于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平⾏线距离相等的点的轨迹是：平⾏于这两条平⾏线且到两条直线距离都相等的⼀条直线。

⼆、点与圆的位置关系1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内；2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上；3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ? d r > ? ⽆交点；2、直线与圆相切 ? d r = ? 有⼀个交点；3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）? ⽆交点 ? d R r >+；外切（图2）? 有⼀个交点 ? d R r =+；相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+；内切（图4）? 有⼀个交点 ? d R r =-；内含（图5）? ⽆交点 ? d R r <-；A五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆⼼，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的⼀条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另⼀条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径②AB CD ⊥③CE DE = ④弧BC =弧BD ⑤弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

抛物线垂径定理

抛物线垂径定理抛物线垂径定理抛物线是一种非常特殊的曲线，其形状独特，具有许多有趣的性质。

其中一个重要的性质就是抛物线垂径定理，它描述了抛物线上任意一点处的切线与该点处的垂直于其切线的直线之间的关系。

本文将详细介绍这个定理，并提供证明过程。

一、定义与基本概念1. 抛物线：平面内满足以下条件的点集合：到定点（焦点）F 的距离等于到定直线（准线）L 的距离，称为抛物线。

焦点 F 和准线 L 称为抛物线的基本元素。

2. 切线：在平面内给定曲线上任意一点 P，通过该点并且与该曲线相切的直线称为该曲线在该点处的切线。

3. 垂径：在平面内给定一条直线 L 和一点 P 不在 L 上，通过 P 点作 L 的垂足 H，称 PH 为 L 的垂径。

二、定理表述对于任意一个抛物线上的点 P，在其处作出其切线 PT，并作出垂直于PT 且交准直 L 于 H 点的垂线 PH，则 PH 与抛物线的焦点 F 重合。

三、证明过程为了证明抛物线垂径定理，我们需要利用抛物线的基本性质以及一些几何知识进行推导。

1. 设抛物线的方程为 y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。

设点 P 的坐标为 (x0, y0)。

2. 切线 PT 的斜率为 y'，即 y' = 2ax0 + b。

3. 垂线 PH 的斜率为 -1/y'，即 PH 的方程为 y = (-1/y')(x - x0) + y0。

4. 将 PT 和 PH 相交，得到交点 Q(x1, y1)，则有：y1 = (-1/y')(x1 - x0) + y0y1 = (2ax0 + b)x1 - ax0^2 - bx0 - c5. 将两个式子相等，得到：(-1/y')(x1 - x0) + y0 = (2ax0 + b)x1 - ax0^2 - bx0 - c6. 化简可得：(4a^2)x1^2 + (4ab - 2ay'x0)x1 + ay'^2x0^2 - 2aby'x0 + aby' + ay'^2c = 07. 因为 Q 点在抛物线上，所以它满足抛物线的方程：y1 = ax1^2 + bx1 + c8. 将 y1 的式子代入上面的方程中，得到：ax1^2 + bx1 + c = (2ax0 + b)x1 - ax0^2 - bx0 - c9. 化简可得：ax1^2 - (2ax0 + b)x1 + ax0^2 + bx0 = 010. 将上面两个方程联立，得到一个二元一次方程组：(4a^2)x1^2 + (4ab - 2ay'x0)x1 + ay'^2x0^2 - 2aby'x0 + aby' + ay'^2c = 0ax1^2 - (2ax0 + b)x1 + ax0^2 + bx0 = 011. 利用 Cramer 法则求解该方程组，可得：x1 = (-aby'x0 - aby' - ay'^2c) / (4a^2y'^2)y1 = (-bx_01/4a) * x_01/4a * y'12. 因为 Q 点在抛物线上，所以它到焦点 F 的距离等于到准线 L 的距离。

浙教版数学九年级上册_《垂径定理(1)》导学案1

3.3垂径定理(1)【自主卡】一、预学内容：九年级上册3.3垂径定理P76-78二、预学目标：1、经历探索垂径定理的过程；2、掌握垂径定理；3、会用垂径定理解决一些简单几何问题。

三、预学活动1、将图1沿着直径CD所在的直线对着，你发现哪些点、线段、圆弧互相重合？弦AB与直径CD有何位置关系？点：线段：圆弧：垂径定理：垂直于弦的直径______这条弦，并且______弦所对的弧。

图1定理证明：如图1，已知CD是⊙O的直径，AB⊥CD，求证AE=BE,AC=BC,AD=BD。

几何语言: CD是⊙O的直径，AB⊥CD∴____________________________________________________________，叫做这条弧的中点。

2、阅读书本例一，用直尺和圆规作出⊙O的圆心O，并说说作法。

作法：3、一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD=2cm（如图）。

求截面圆中弦AB的长。

思考：①半径OD与弦AB有怎样的位置关系？②什么叫做弦心距？③弦心距、半径与弦AB的半径满足怎样的数量关系？【合作交流】点A在⊙O内，过点A作一条弦BC，使BC是所有过点A的弦中最短的弦。

【测评卡】1．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜52．如图，在半径为的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为（）A．1 B．C．2 D．23．如图，AB是⊙O的弦，已知∠OAB=30°，AB=4，则⊙O的半径为（）A．4 B．2 C．D．4．小明家凉台呈圆弧形，凉台的宽度AB为8m，凉台的最外端C点离AB的距离CD为2m，则凉台所在圆的半径为（）A．4m B．5m C．6m D．7m5、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．6、如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，求证：AC=BD．7、如图，⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC=3：5．求AB的长度．8、如图，在直径为50 cm的圆中，有两条弦AB和CD，AB∥CD，且AB为40 cm，弦CD为48 cm，求AB与CD之间距离．9、如图，一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接矩形，已知矩形的高AC=2米，宽CD=米．（1）求此圆形门洞的半径；（2）求要打掉墙体的面积．。

垂径定理 (共23张PPT)

C 三、小组合作，再探新知
已知：如图，CD是⊙O的直径，求AA证D证B=明：为B：DC弦连D,，⊥接且AOABAE，，=且B⌒OEB.⌒，则A⌒C =⌒BC A
·O
E D
B
OA=OB
∵ AE=BE
∴ CD⊥AB
逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且
∴
A⌒D=⌒BD,
⌒ AC
⌒ =BC
平分弦所对的两条弧.
三：小组合作，再探新知
垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）
的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
“不是直径”这个条件能去掉吗？
如果不能，请举出反例。
A
C
·O B
D
三：小组合作，再探新知
活动二：比一比
Ｃ
垂径定理：垂直于弦的直径平分ຫໍສະໝຸດ 弦，并且平分弦所对的两条弧．
Ｏ
Ａ
ＥＤ
Ｂ由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
重要思路构：造（R由t△）的垂“径七定字理口—诀—”构：造半径半弦弦 Rt△——心（距结合）勾股定理——建立方程
鲁教版九年级下册数学第五章第三节
垂径定理
开发区实验中学季明莉
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
C
解:连接OC.
E 设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m.
F
●
O
OE CD, D CF 1 CD 1 600 300(m).
22 根据勾股定理,得 OC 2 CF 2 OF 2,即

中考数学专题训练---垂径定理培优练习(含解析)

∴OP＝
，
故选：B．
9．解：连接 BE，
∵⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，AB＝8， ∴AC＝BC＝4，设 OA＝x，
∵CD＝2， ∴OC＝x﹣2，在 Rt△AOC 中，AC2+OC2＝OA2， ∴42+（x﹣2）2＝x2，解得：x＝5， ∴OA＝OE＝5，OC＝3， ∴BE＝2OC＝6， ∵AE 是直径， ∴∠B＝90°，
P 的所有弦中，弦长是整数的共有（）
A．4 条
B．3 条
C．2 条
D．1 条
5．（2019•金华模拟）如图，以 M（4，0）为圆心，3 为半径的圆与 x 轴交于点 A、B，P 是 ⊙M 上异于 A、B 的一动点，直线 PA 与 PB 分别交 y 轴于点 C、D，以 CD 为直径的⊙ N 交 x 轴于点 E、F，则 EF 的长（）
中考数学专题训练---垂径定理培优练习
一．选择题 1．（2019•哈尔滨模拟）如图，AB 是⊙O 的弦，点 C 在 AB 的延长线上，AB＝2BC，连接
OA、OC，若∠OAC＝45°，则 tan∠C 的值为（）
A．1
B．
C．
D．2
2．（2019•滨湖区一模）如图，在⊙O 中，已知弦 AB 长为 16cm，C 为的中点，OC 交 AB 于点 M，且 OM：MC＝3：2，则 CM 长为（）

PB，AE＝ AB＝3，
∴BD＝DP，在 Rt△AEO 中，AE＝3，AO＝5，
∴OE＝
＝4，
∵∠OAE＝∠BAD，∠AEO＝∠ADB＝90°， ∴△AOE∽△ABD，
∴ ＝，即＝，
∴BD＝， ∴BD＝PD＝，即 PB＝， ∵AB＝AP＝6， ∴∠ABD＝∠APC， ∵∠PAC＝∠ADB＝90°， ∴△ABD∽△CPA，

第3章3.3垂径定理(教案)2023-2024学年九年级下册数学(教案)(北师大版)

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调垂径定理的定义及其证明过程这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与垂径定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示垂径定理的基本原理。
5.培养学生养成良好的学习习惯，提高自主学习、探究学习的能力，形成终身学习的观念。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解垂径定理的概念：垂径定理是圆的基本性质之一，对于圆的认识具有重要意义。教学过程中应重点讲解垂径定理的定义，使学生明确垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
-掌握垂径定理的证明方法：通过运用勾股定理和圆周角定理，引导学生理解并掌握垂径定理的证明过程，培养学生严谨的逻辑推理能力。
此外，在总结回顾环节，学生们能够较好地掌握垂径定理的基本概念和应用。但我也注意到，部分学生在提问环节显得较为拘况，我将在课堂上鼓励学生大胆提问，充分表达自己的观点，同时给予他们更多的肯定和鼓励。
最后，针对本节课的教学，我认为以下方面需要改进：
a.引导学生观察图形，发现垂径定理的规律。
b.分步骤解释证明过程，强调勾股定理和圆周角定理的应用。
c.通过提问和互动，了解学生在证明过程中遇到的难点，并针对性地进行解答。
d.组织学生进行小组讨论，共同解决证明过程中的问题，培养学生的团队合作能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《垂径定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要找到圆中某个点，使得从这个点到圆周上某点的距离最短的情况？”（例如：如何在一张纸上剪出一个最大的圆）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索垂径定理的奥秘。

垂径定理

一、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.符号语言表述为：如图，在中，若⊙O 直径CD ⊥AB ，则AE=BE ，弧AD=弧BD,弧AC=弧BC 。

诠释：垂径定理可改述为：一条直线若满足：①过圆心（CD 是直径）；②垂直于弦（CD ⊥AB ）；则可推出：③平分弦（AE=BE ）；④平分弦所对的优弧（弧AC=弧BC ）；⑤平分弦所对的劣弧（弧AD=弧BD ）.事实上，对于一个圆和一条直线，只要具备上述五个条件中的任何两个，就可以推出其余三个。

譬如：（1）①② ⇒③④⑤（即是定理）；（2）①③ ⇒②④⑤.即：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）②③ ⇒①④⑤.即：弦的垂直平分线必过圆心，并且平分弦所对的两条弧. （4）①④ ⇒②③⑤.即：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.通常把上面的（2）、（3）、（4）叫做垂径定理的推论. 聪明的读者朋友，相信你还能写出余下的结论.特别说明：（1）推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中“弦不是直径”是它的重要条件，因为一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们未必垂直.（2）垂径定理是根据圆是对称性推导出来的，该定理及其推论是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据. 【应用】例（福建福州）. 如图，⊙O 中，弦AB 的长为6cm ，圆心O 到AB 的距离为4cm ，则⊙O 的半径长为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 解析：过圆心O 作OC AB ⊥于C ，（如图3）则4OC cm =又由垂径定理得12AC AB ==3cm ，在Rt AOC 中，由勾股定理得：2222345OA AC OC =+=+=即⊙O 的半径长为5cm ，选C.点评：（1）解有关圆的问题时，时常需要添加辅助线，针对各种具体情况，辅助线的添加有一定规律，利用垂径定理常作“垂直于弦的直径”（往往又只是作圆心到弦的垂线段，如本例）；（2）垂径定理常与勾股定理结合在一起，进行有关圆的半径R 、圆心到弦的距离OB Ad 、弦长a 和弓形高h 等数量的计算.这些量之间的关系是222()2ar d =+，r d h =+.根据这些关系，在a 、r 、d 、h 四个量中，知道其中任何两个量，就可以求出其余的两个量.【练习】1、（江西无锡）如图1，AB 是⊙O 的弦，OC AB ⊥于C ，若25cm AB =，1cm OC =，则⊙O 的半径长为cm ． 2、湖南怀化）圆的半径为13cm ，两弦AB CD ∥，24cm AB =，10cm CD =，则两弦AB CD ，的距离是（）Ａ．7cm Ｂ．17cm Ｃ．12cm Ｄ．7cm 或17cm .3、小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图2所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A ．第①块B ．第②块C ．第③块D ．第④块图14、高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（） A.5 B.7 C.537 D. 737 5、兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图4所示，已知AB =16m ，半径 OA =10m ，高度CD 为_____m ．6、如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20 cm ，BD=200cm ，且AB ，CD 与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？ 7、每位同学都看到过日出时美丽的景色.图6是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A 、B 两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（） A. 0.4厘米/分 B. 0.5厘米/分 C. 0.6厘米/分 D. 0.7厘米/分图6 OD ABC图3 DBAO C图4OMN G图5图2二、垂径定理解题应用举例（一）利用垂径平分弦所对的弧，来处理角的关系【例1】 (重庆市)如图1，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD ＝40°,则∠DCF 等于（）A.80°B. 50°C. 40°D. 20° 分析：本题可由②③⇒①④⑤，所以可得ED DF =，从而得出∠DCF 与∠EOD 的关系。

九年级数学上学期期末考点大串讲专题02 对称图形——圆(23个考点)

专题02对称图形——圆（23个考点）【知识梳理+解题方法】一．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．二．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．三．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．四．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．五．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．六．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则P A•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝P A•PB（相交弦定理推论）．八．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．九．确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．十．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．十一．直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．十二．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．十三．切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．十四．切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．十五．弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．十六．切线长定理（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．十七．切割线定理（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方＝P A•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC＝P A•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2＝P A•PB＝PC•PD．十八．三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．十九．正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．二十．弧长的计算（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．二十一．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．二十二．圆锥的计算（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．（3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl（5）圆锥的体积＝×底面积×高注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．二十三．圆柱的计算（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．（2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高（3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积（4）圆柱的体积＝底面积×高．【专题过关】一．圆的认识（共1小题）1．（2021秋•泰州月考）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．垂径定理（共2小题）2．（2021秋•常熟市校级月考）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）3．（2021秋•广陵区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（）A．2B．4C．5D．6三．垂径定理的应用（共3小题）4．（2022•钟楼区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米5．（2021秋•启东市校级月考）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF ＝CD＝16cm，则球的半径为（）A．10cm B．10cm C．10cm D．8cm6．（2021秋•姜堰区期末）《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它（如图②），当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，问木材的直径CD是寸．（1尺＝10寸）四．圆心角、弧、弦的关系（共2小题）7．（2020秋•梁溪区校级期中）下列语句，错误的是（）A．直径是弦B．相等的圆心角所对的弧相等C．弦的垂直平分线一定经过圆心D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦8．（2021秋•溧水区期中）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证OE＝OF．五．圆周角定理（共2小题）9．（2022•建湖县二模）如图，已知AB是半圆O的直径，∠DAC＝36°，D是弧AC的中点，那么∠BAC 的度数是（）A．54°B．27°C．36°D．18°10．（2022•姑苏区校级一模）如图，线段CD上一点O，以O为圆心，OD为半径作圆，⊙O上一点A，连结AC交⊙O于B点，连结BD，若BC＝BD，且∠C＝25°，则∠BDA＝．六．圆内接四边形的性质（共1小题）11．（2021秋•姜堰区期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝140°，则∠BOD的度数为（）A．40°B．70°C．80°D．90°七．相交弦定理（共2小题）12．（2021秋•锡山区校级月考）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．13．（2021秋•江阴市校级月考）如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．八．点与圆的位置关系（共2小题）14．（2021秋•滨湖区校级月考）已知⊙O的半径为5cm，若点A到圆心O的距离为4cm，则点A（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．与⊙O的位置关系无法确定15．（2022•常州模拟）已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（）A．OP＞4B．0≤OP＜4C．OP＞2D．0≤OP＜2九．确定圆的条件（共2小题）16．（2021秋•连云港月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）A．①B．②C．③D．④17．（2021春•射阳县校级期末）平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）确定一个圆（填“能”或“不能”）．一十．三角形的外接圆与外心（共3小题）18．（2021秋•苏州期末）如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（0，0）B．（2，3）C．（5，2）D．（1，4）19．（2022•苏州二模）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠ACB＝30°，D是△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，⊙O交直线BD于点P，交边BC于点E，若＝，则AD的最小值为．20．（2022•建邺区一模）如图①，在△ABC中，CA＝CB，D是△ABC外接圆⊙O上一点，连接CD，过点B作BE∥CD，交AD的延长线于点E，交⊙O于点F．（1）求证：四边形DEFC是平行四边形；（2）如图②，若AB为⊙O直径，AB＝7，BF＝1，求CD的长．一十一．直线与圆的位置关系（共4小题）21．（2022•宿豫区校级开学）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆一定与（）A．x轴相交B．y轴相交C．x轴相切D．y轴相切22．（2022•徐州）如图，点A、B、C点圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．23．（2022•鼓楼区校级二模）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P（1，3）是“垂距点”．（1）在点A（2，2），B（，﹣），C（﹣1，5）中，是“垂距点”的点为；（2）求函数y＝2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；（3）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是．24．（2022•虎丘区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO 于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝5，CF＝3，求MF的长．一十二．切线的性质（共3小题）25．（2022•镇江）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，BC＝6，⊙O同时与边BA的延长线、射线AC相切，⊙O的半径为3．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转α（0°＜α≤360°），B、C的对应点分别为B′、C′，在旋转的过程中边B′C′所在直线与⊙O相切的次数为（）A．1B．2C．3D．426．（2022•锡山区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上两点，CE与⊙O相切，交DB延长线于点E，且DE⊥CE，连接AC，DC．（1）求证：∠ABD＝2∠A；（2）若DE＝2CE，AC＝8，求BE的长度．27．（2022•如东县一模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，以AB为直径作⊙O交AC与点D，过点D的切线交BC于点E．（1）求∠BED的度数；（2）若AB＝6，求图中阴影部分的面积．一十三．切线的判定（共1小题）28．（2020•江阴市模拟）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠BAE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sin B＝，BD＝5，求BF的长．一十四．切线的判定与性质（共6小题）29．（2022•高新区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ADE＝30°，AB＝6，求的长．30．（2022•南京一模）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，△EBC的外接圆⊙O分别交AB，CD于点M，N．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若DN＝1，AD＝4，求⊙O的半径r．31．（2022•盐城一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（2）若点E是半圆ADB的一个三等分点，求阴影部分的面积．32．（2022•海陵区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线交AB延长线于点D，给出下列信息：①∠A＝30°；②CD是⊙O的切线；③OB＝BD．（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是，结论是（只要填写序号）．判断结论是否正确，并说明理由；（2）在（1）的条件下，若CD＝3，求的长度．33．（2022•洪泽区一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，CD是过点C的直线，AE⊥CD，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC，AC恰好平分∠EAB．（2）若AC＝2，∠CAB＝30°，求阴影部分的面积．34．（2022•无锡模拟）如图，以BC为底的等腰△ABC的三个顶点都在⊙O上，过点A作AD∥BC交BO的反向延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若四边形ADBC是平行四边形，且AD＝4，求⊙O的半径．一十五．弦切角定理（共1小题）35．（2021•江阴市校级三模）如图为△ABC和一圆的重迭情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A＝70°，∠B＝60°，则的度数为何（）A．50°B．60°C．100°D．120°一十六．切线长定理（共2小题）36．（2022•相城区校级自主招生）一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的比是．37．（2021秋•兴化市月考）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为．一十七．切割线定理（共1小题）38．（2020秋•溧阳市期末）已知：如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO交⊙O于点A，P A＝4，那么PC的长等于（）A．6B．2C．2D．2一十八．三角形的内切圆与内心（共1小题）39．（2021秋•泰兴市期中）如图，△ABC周长为20cm，BC＝6cm，圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为（）A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm一十九．正多边形和圆（共2小题）40．（2022•惠山区校级二模）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF 的度数是（）A．18°B．36°C．54°D．72°41．（2022•雨花台区校级模拟）如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝．二十．弧长的计算（共4小题）42．（2021秋•苏州期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，则的长度为（）A．B．C．πD．2π43．（2022•海门市二模）如图，⊙O的半径为5，弦AB，CD互相垂直，垂足为点E．点F在ED上，且EF ＝EC．连接AF，∠EAF＝25°．（1）求的长；（2）延长AF交⊙O于点M，连接BM．若EC＝EB，求∠AMB的度数．44．（2022•泰州）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．45．（2022•南通一模）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求∠ACB的度数；（2）若BC＝6，求的长．二十一．扇形面积的计算（共1小题）46．（2022•张家港市一模）如图，点C为扇形OBA的半径OB上一点，将△AOC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且：＝3：1，若此扇形OAB的面积为，则的长为（）A．B．C．D．二十二．圆锥的计算（共2小题）47．（2022•高新区二模）斐波那契螺旋线也称“黄金黑旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，……画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将共圆弧连接起来得到的．若用图中接下来的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（）A．B．2C．D．448．（2022•淮阴区校级一模）圆锥的高是，底面半径是1，则圆锥的侧面积是（）A．2πB．C．4πD．π二十三．圆柱的计算（共2小题）49．（2022•锡山区一模）若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（）A．12cm2B．24cm2C．12πcm2D．24πcm250．（2022•宜兴市校级一模）如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是．答案与解析【专题过关】一．圆的认识（共1小题）1．（2021秋•泰州月考）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；②弦不一定是直径，错误，不符合题意；③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，正确的有3个，故选：C．【点评】考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．二．垂径定理（共2小题）2．（2021秋•常熟市校级月考）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【分析】连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．【解答】解：如图所示，连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．∵点A的坐标为（0，4），∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．故选：C．【点评】此题主要考查了垂径定理，根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心是解题关键．3．（2021秋•广陵区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（）A．2B．4C．5D．6【分析】由垂径定理可求得AB⊥CD及CE的长，再利用勾股定理可求解OE的长，进而可求解．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝20，∴CO＝OB＝10，AB⊥CD，CE＝DE＝CD，∵CD＝16，∴CE＝8，在Rt△COE中，OE＝，∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，故选：B．【点评】本题主要考查垂径定理，勾股定理，求解OE的长是解题的关键．三．垂径定理的应用（共3小题）4．（2022•钟楼区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）。

八上数学公式大全总结

八年级上册数学公式总结1．平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²。

2．完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²。

3．添括号法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

4．同底数幂的除法法则：a^m / a^n = a^(m-n)。

5．单向式相除：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

6．多项式除以单向式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

7．把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这个变换叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

8．两数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，即(a+b)(a-b)=a²-b²。

9．两数的平方和加上或减去这两数的积的平方等于这两数的和或差的平方，即a²+b²=(a+b)²=(a-b)²。

10．两个数的和乘以或除以这两个数的差的平方等于这两个数的和或差的平方，即(a+b)²=(a-b)²或(a+b)/(a-b)=a²+b²/(a-b)²。

11．弦图定理：三个数（或线段）连续排列，顺次顺序可以构成三角形时，则它们的平方和等于中心线段的平方（即第一、三个数（或线段）的平方和等于中间数（或线段）的平方）。

12．勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。

即c²=a²+b²，其中c为斜边，a、b为直角边。

13．余弦定理：三角形的任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍。

即a²=b²+c²-2bc cosA，其中A为边a所对的角。

14．在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去这两直角边的乘积的两倍。

圆的定理公式大全

圆的定理公式大全1.圆的定义：圆是平面上与一个固定点的距离恒定的点的集合。

2.圆的直径定理：圆的直径是圆上任意两个点的连线中最长的一段。

3.圆的半径定理：圆的半径是圆上任意一条弦的垂直平分线。

4.圆心角定理：在一个圆上，一个弧所对的圆心角是它所对弧的两倍。

5.弧长定理：圆的弧长是它的圆心角所对的弧的弧度数与半径的乘积。

6.弦长定理：圆上一条弦的弦长等于弦与圆心连线的垂直距离的两倍。

7.弦心角定理：在一个圆上，当两个弦截取的弧相等时，弦所夹的弧所对的弦心角也相等。

8.弧与切线的关系：一个切线与圆的弦的相交弧的弧长相等。

9.切线定理：如果一个切线和半径相交，那么相交点与圆心的连线垂直于切线。

10.垂径定理：在一个圆上，由圆心至弦的中点的线段垂直于弦。

11.弦割定理：当两个弦相交时，两个弦的乘积等于它们所对的两个弧的乘积。

12.弦切角定理：当一个切线与一条弦相交时，切线与弦之间的夹角等于所对弧的圆心角。

13.同切圆定理：两个同切圆的半径之比等于它们对应圆的半径之比。

14.位似圆定理：如果两个圆的半径之比相等，那么这两个圆是位似的。

15.勾股圆定理：在一个直角三角形中，斜边的一半等于直角边的几何平均数。

16.外接圆定理：在一个三角形中，三个顶点到外接圆圆心的距离相等。

17.内切圆定理：在一个三角形中，三个角的平分线交于一个点，这个点到三边的距离相等，且这个点是内切圆的圆心。

18.旁切圆定理：在一个三角形中，三个顶点到旁切圆切点的距离相等。

19.拉比定理：两个圆的外公切线上的切点连线与两个圆心的连线垂直。

20.均角定理：在一个圆上，两个截取同一弦的弧所对圆心角相等。

21.与弦垂直的半径定理：一个圆的半径与其上的弦垂直，则半径平分弦。

22.正弦定理：在一个任意三角形中，三角形的每个角的正弦等于相应的边与直径的乘积。

23.余弦定理：在一个任意三角形中，三角形的每个角的余弦等于两个相邻边与直径的乘积之和减对角边与直径的乘积。