垂径定理复习

。 O C B D
操作与思考： 操作与思考：
AB为⊙O的直径，圆上任一点 。 为 的直径， 的直径 圆上任一点C。 （1）过C点作 ） 点作CD ⊥AB，垂足为D， ，垂足为 ， 点作 并延长CD到 并延长 到E ，使DE=CD； ； （2）试判断点 与⊙O的位置关系 ）试判断点E与 的位置关系
A
按图填空： 按图填空：在☉O中， 中 M 1）若MN ┴AB，MN为直径， 为直径， ） ， 为直径 则 ， ， 。 2）若AC=BC， MN为直径，AB不是直径， O ·┐ 为直径， 不是直径 不是直径， ） ， 为直径 则 ， ， 。 A C 3）若MN ┴AB，AC=BC， ） ， ， N 则 ， ， 。 4）若 弧AM=弧BM， MN为直径， 为直径， ） 弧 ， 为直径 则 ， ， 。
A
M└ └
●
∴AM=BM,
⌒ ⌒ AC =BC,
D
⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ AD=BD. ⌒ ⌒ AD=BD. ⌒
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 平分这条弦 题设
C
（ （1）直径（或过圆心的直线） 2）垂直于弦 直径（ 过圆心的直线） ）
√
）
①CD是直径 是直径 ④AC=BC
②CD⊥AB，垂足为 ⊥ ，垂足为H ⑤AD=BD
③AH=BH
选择： 选择： 如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1） 如图： 中 为直径， 为非直径的弦，对于（ ） 为直径 为非直径的弦 AB⊥CD （2）AB平分 平分CD （3）AB平分 所对的弧。若以其 平分CD所对的弧 ⊥ ） 平分 ） 平分 所对的弧。 中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题， 中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的 个数为 （ A ） A A、3 B、2 C、1 D、0 、 、 、 、
C
A
M└ └
●
B O
D
⌒ ⌒ ∴AC =BC,
⌒ AD =BD.
⌒
垂径定理数学表达 垂径定理数学表达
• 定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧 并且平分弦所的两条弧. 如图∵ 是直径, 如图∵ CD是直径 是直径 CD⊥AB, ⊥ B
O
C
过圆心, 或:∵ CD过圆心 过圆心 CD⊥AB, ⊥ ∴AM=BM,
B
1.如图，⊙O 中，弦AB 的长为 cm ，弓形 如图， 的长为8 弓形ADB 如图 的高为2 半径. 的高为 cm ，求⊙O 半径
D A C O B
解：连结OA，过O 作OD⊥AB于C交 连结 ， ⊥ 于 交 于D， ，
1 则 AC = AB = 4cm ，CD = 2cm ， 2
设 OA = x cm ， 则 OC = ( x − 2) cm ， 在Rt△OAC 中， 2 = OC 2 + AC 2 △ OA 即 x 2 = 4 2 + ( x − 2) 2 x＝5 ＝ 的半径为5 答：⊙O 的半径为 cm.
结论
O A
（5）平分弦所 ） 对的劣弧
B D 图23.1.7
（3）平分弦 ）
（4）平分弦所 ） 对的优弧
判断下列图形，能否使用垂径定理？ 判断下列图形，能否使用垂径定理？
B O C A D C A
B O
D C O E D C A
B O
D
注意： 注意：定理中的两个条件 直径，垂直于弦） （直径，垂直于弦）缺一 不可！ 不可！
2. 已知⊙O 的半径为 ，⊙O 的两条平行弦 已知⊙ 的半径为5， 的两条平行弦AB＝6， ＝ ，
CD＝8，那么 ＝ ，那么AB 与CD 间的距离等于多少？ 间的距离等于多少？
A C
F E
O
B D
在圆心的同侧， 解: （1）若AB、CD 在圆心的同侧，过O 作 ） 、 OF ⊥ AB 交CD 于E ∵AB∥CD ∥ 连结OA、 ∴CD⊥OE ，连结 、OC ⊥ ∴AF=BF=3 CE=EB=4 ∴OF= ∴OE=
垂径定理的推论
• AB是⊙O的一条弦 直径 与AB交于点 ， 是 的一条弦,直径 交于点M， 的一条弦 直径CD与 交于点 且AM=BM. • 你能发现图中有哪些等量关系 说说你的 你能发现图中有哪些等量关系? 想法和理由. 想法和理由
由 ① CD是直径 是直径
C
②CD⊥AB, ⊥
可推得
③ AM=BM
B m
• 直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆 直径将圆分成两部分 每一部分都叫做半圆 将圆分成两部分 (如弧 ⌒ 如弧ABC). 如弧
C
A
●
O
D
小于半圆的弧叫做劣弧 如记作 AB 用 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 ⌒(用 两个字母). 两个字母 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 ⌒ 大于半圆的弧叫做优弧 如记作 AmB (用三个字母 用三个字母). 用三个字母
A
B
3、已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且 把CD分成 、已知 、 是 中互相垂直的弦， 分成3cm和 中互相垂直的弦 并且AB把 分成 和 7cm的两部分，则弦和圆心的距离为 2 的两部分， 的两部分 则弦和圆心的距离为——cm. 4、已知⊙O的半径为 、已知⊙ 的半径为 的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则 ， ∥ 且 则 之间的距离为——.或 弦MN和EF之间的距离为14cm或2cm 和 之间的距离为 5、已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到 的距离为 、已知⊙ 中 的距离为3cm，则此圆的 ，圆心到AB的距离为 ， 半径为—— 半径为 5cm 6、在半径为25cm的 O中 6、在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的 AB=40cm， 中点的距离是—— 和 中点的距离是 10cm和40cm 10 3 cm 7、 ⊙O的直径 的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦 则弦AC=—— 、 的直径 8、P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为 、 为 内一点， 半径为5cm，则经过 点的最短 内一点 ， 半径为 ，则经过P点的最短 弦长为________；最长弦长为_______． 弦长为 8cm ；最长弦长为 10cm．
答：点E在⊙O上 ⊙ 上
C
。 O D B E
填空： 填空：
1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点 ，若 、如图：已知 是 的直径， 相交于点E， 的直径 与 相交于点 _____________________________________________________， ， AB⊥CD（或AC=AD，或BC=BD） ⊥ （ ， ） 则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件） （只需填写一个你认为适当的条件） 2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O 、如图：已知 是 的弦， 的弦 ， 的距离是___________cm，AB=_________cm. 2 到AB的距离是 的距离是 ， 4 A C E 。 O B 第1题图 D 。 O H 第2题图
B A P
O
判断： 判断：
1、平分弦的直径垂直于弦（ 、平分弦的直径垂直于弦（
×）
平分弦（不是直径） 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦
2、弦所对的两条弧的中点的连线是圆的直径（ 、弦所对的两条弧的中点的连线是圆的直径（ 3、平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 （ 、
√
√
）
）
4、平分弦及其所对的一条弧的直线垂直于这条弦（ 、平分弦及其所对的一条弧的直线垂直于这条弦（
O
∴ ∠ADO=90 o
Q
∠OAB+ ∠AOC=90o ∠OAB=90o-35o=55o
∴
9、如图，在扇形OAB中，C是AB的中点，OC 、如图，在扇形 的中点， 中 是 的中点 于点D 交AB于点 ∠AOC=35 o,AD=16cm 于点 的度数（ ） 的长 求（1） ∠OAB的度数（2）AB的长 ） 的度数
B O
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
A
●
┗
M
●
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 分弦所对的两条弧. 并且平 分弦所对的两条弧
D
垂径定理的本质是
（1）一条直线过圆心 ） （2）这条直线垂直于弦 ） 满足其中任两条， 满足其中任两条，必 定同时满足另三条 （3）这条直线平分弦 ） （4）这条直线平分弦所对的优弧 ） （5）这条直线平分弦所对的劣弧 ）
9、如图，在扇形OAB中，C是AB的中点，OC 、如图，在扇形 的中点， 中 是 的中点 于点D 交AB于点 ∠AOC=35 o,AD=16cm 于点 的度数（ ） 的长 求（1） ∠OAB的度数（2）AB的长 ） 的度数
C A D 解： （1） Q ） B
∴
AC=CB ，OC 是半径（已知） 是半径（已知） OC⊥AB ⊥ (如果圆的直径平分弧，那么这条 如果圆的直径平分弧， 如果圆的直径平分弧 直径垂直这条弧所对的弦） 直径垂直这条弧所对的弦）
2
• 4.如图，P为⊙O的弦 延长线上一点，PA＝ 如图， 为 的弦BA延长线上一点 如图 的弦 延长线上一点， ＝ AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。 的半径。 ＝ ， ＝ ， 的半径
关于弦的问题，常常需要过 关于弦的问题，常常需要过 圆心作弦的垂线段， 圆心作弦的垂线段，这是一条 非常重要的辅助线 辅助线。 非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、 圆心到弦的距离、半径、弦 构成直角三角形 直角三角形， 长构成直角三角形，便将问题 转化为直角三角形的问题。 转化为直角三角形的问题。
5 −3 = 4
2 2
52 − 4 2 = 3
∴EF=4-3=1
∴OF= ∴OE=
5 −3 = 4
2 2
5 −4 =3
2 2
M A F O C E N D B
∴EF=4-3=1
在圆心O （2）若AB、CD 在圆心 的两侧 ） 同上，可求得OF＝ 、 ＝ 同上，可求得 ＝4、OE＝3 间的距离EF＝ ∴AB与CD 间的距离 ＝4+3＝7 与 ＝
圆的相关概念
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称 圆弧 简称弧 两点为端点的弧 读作“ 以A,B两点为端点的弧.记作 ⌒ ,读作“弧 两点为端点的 记作 AB 读作 AB”. 连接圆上任意两点间的线段叫做弦 如弦 如弦AB). 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦 经过圆心弦叫做直径 如直径AC). 直径(如直径 经过圆心弦叫做直径 如直径
已知： 是直径， 已知：在⊙O中，CD是直径，AB 中 是直径 是弦， ⊥ ，垂足为E。 是弦，CD⊥AB，垂足为 。 求证： ＝ ， ＝ ， ＝ 。 求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。
C
⌒
⌒
⌒
⌒
·
E A
O
Fra Baidu bibliotek
B D
叠合法
垂径定理
• 如图 理由是 连接OA,OB, 如图, 理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, △ 和 △ 中 ∵OA=OB，OM=OM， ， ， Rt△OAM≌Rt△ ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. 又∵ CD⊥AB ⊥ 和点B关于 对称. ∴点A和点 关于 对称 和点 关于CD对称 ∵⊙O关于直径 对称, 关于直径CD对称 ∵⊙ 关于直径 对称 当圆沿着直径CD对折时 对折时,点 与点 与点B ∴当圆沿着直径 对折时 点A与点 重合, AC和 ⌒重合 AD和 ⌒重合 重合 ⌒ 和BC重合 ⌒ 和BD重合 重合, 重合.
3. 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为 厘米，圆心 如图，已知在⊙ 中 的长为8厘米 的长为 厘米， O到AB的距离为 厘米，求⊙O的半径。 的距离为3厘米 的半径。 到 的距离为 厘米， 的半径
若OA=10cm,OE=6cm, 求弦AB的长 的长。 求弦 的长。即右图中的OE叫弦心距.
O
若圆心到弦的距离用d 圆心到弦的距离用 B E A 表示，半径用r表示 表示， 表示，半径用 表示，弦 长用a表示 表示， 长用 表示，这三者之间 若上面的弓形高为h， 若上面的弓形高为h 有怎样的关系？ 有怎样的关系？ 2 则r、d、h之间有怎样 a 2 2 的关系? 的关系? r=d+h r = d +
C A D 解： （2） Q AC=CB ，CD经过圆心 （已知） ） 经过圆心O（已知） 经过圆心 B ∴ DB=AD=16cm (如果圆的直径平分弧，那么这条直径平分 如果圆的直径平分弧， 如果圆的直径平分弧 O 这条弧所对的弦) 这条弧所对的弦