2013届高考数学考点讲解：考点05 函数的性质(单调性、奇偶性、周期性)(新课标解析版)

考点05 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）

【高考再现】

热点一 函数的单调性

1.（2012年高考（天津文））下列函数中,既是偶函数,又在

区间(1,2)内是增函数的为（ ）

A ．cos 2y x =

B ．2log ||y x =

C ．2x x e e y --=

D ．31y x =+

2.（2012年高考（陕西文））下列函数中,既是奇函数又

是增函数的为

A ．1y x =+

B ．2y x =-

C ．1y x =

D ．||y x x =

【答案】D

【解析】该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握

基本函数的性质是关键.A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都

不是定义域内的增函数，排除，只有D 正确，因此选D.

3.（2012年高考（安徽文））若函数()|2|f x x a =+的单调递增区

间是[3,)+∞,则_____a =

【方法总结】

1.对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：

(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．

(2)可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行.

2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．

(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.

3.函数单调性的应用：f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f(x1)

热点二函数的奇偶性

4.（2012年高考（广东文））(函数)下列函数为偶函数的是

（ ）

A ．

sin y x = B ．3y x = C ．x y e = D ．y =

5.（2012年高考（重庆文））函数()()(4)f x x a x =+- 为偶函数,

则实数a =________

【答案】4

【解析】本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶

函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切a

都有()()f a f a =-成立.由函数()f x 为偶函数得()()f a f a =-即

()(4)()(4)a a a a a a +-=-+-- 4a ⇒=.

6.（2012年高考（上海文））已知)(x f y =是奇函数. 若

2)()(+=x f x g 且1)1(=g .则=-)1(g _______ .

7.（2012年高考（课标文））设函数()f x 22(+1)sin =

1x x x ++的最大值

为M ,最小值为m ,则=M m +____

【答案】 2

【解析】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归

思想,是难题.

222(1)sin 2sin ()1,11x x

x x f x x x +++==+++设22sin (),()(),()

1x x g x g x g x g x x +=-=-∴+ 为奇函数，由奇函数图像的对称性知

max min max min max min ()()0,[()1][()1]2()() 2.g x g x M m g x g x g x g x +=∴+=+++=++=

【方法总结】

热点三 函数的周期性

8.（2012年高考（浙江文））设函数()f x 是定义在R 上的周

期为2的偶函数,当x ∈[0,1]时,

()f x =+1x ,则3()2f =_______. 【答案】32 【解析】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性.

331113()(2)()()1222222f f f f =-=-==+=.

9.（2012年高考（江苏））设()f x 是定义在R 上且周期为2的

函数,在区间[11]-，

上,

0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，.若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则3a b +的值为

____.

【方法总结】

求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形

如y ＝A sin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|

计算．递推法：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝f (x )，所

以周期T ＝2a .换元法：若f (x ＋a )＝f (x －a )，令x －a ＝t ，x

＝t ＋a ，则f (t )＝f (t ＋2a )，所以周期T ＝2a .

热点四 函数性质的综合应用

10.（2012年高考（重庆理））已知()f x 是定义在R 上的偶函

数,且以2为周期,则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为

[3,4]上的减函数”的（ ）

A ．既不充分也不必要的条件

B ．充分而不必

要的条件

C ．必要而不充分的条件

D ．充要条件