12. 数列有界性问题的研究

一、问题提出
专题：数列有界性问题的研究
问题 1：设数列{an}满足： a3 8， an1 an 22an1 an 0(n N* ) ，则 a1 的值大于 20 的概率为
___________. 1 数列的生成方式 4
问题
2：已知数列
有可能的取值为_________ . 4/5/32
1 2
an
，
8, 6, 2,0, 2, 4 或 8, 6, 2, 1,1,3 因为 a6＝1，所以数列{an}的前 6 项只能是 8, 6, 4, 2, 1,1且 n＞4, n N * 时， an1 an 2 所以，数
列{an}的通项公式是：
an 2n 10, n 4 2n 11, n 5
探究 2：在数列{an}中，已知 a1=1,且对于每个 n∈N+，a4n－3，a4n－2，a4n－1 成等差数列，其公差为
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
a4n－3，a4n－2，a4n－1 ，a4n，a4n+1 中的最大数，故得当 k≤4n+1 时，ak≤ a4n－1
16 1 1 16
而 a4n－1= bn= 3 －3×(4)n－1< 3 ，所以对每个正整数 n，an< 3 ．
解：（1）由 an+1－an 是关于 x 的方程 x2＋( an+1－2)x－2an+1＝0 的根，
可得： an1 an 22an1 an 0(n N *) ，
所以对一切的正整数
n
，
an1

an
若 a1＝4，且 n≥2 时，4≤an≤8，则数列｛an｝为： 4,6,8, 4,6,8,


an 2
,当a为n 偶数时，
3an 1,当a为n 奇数时。
an1

an

2
或
an1
若 a6＝1，则

1 2
an
m
所
2，a4n－1， 1
a4n，a4n+1 成等比数列，公比为2．
（1）令 bn =a4n－1( n∈N+)，求数列{bn}的通项公式；
（2）是否存在常数 M，对任意正整数 n，an≤M 恒成立？若存在求 M 的最小值，若不存在，请说明理
由．
21 85
解：Biblioteka Baidu1) 由题设可知：b1=5，b2= 4 ，b3=42，…，一般地，令 bn=4n - 1．
1
因为 a4n－1，a4n，a4n+1 成等比数列，公比为2，所以 a4n+1=4n，又因为 a4n+1，a4n+2，a4n+3 成
等差数列公差为 2，所以 bn+1=a4n+3=4n+4= 4 +4．
16
xn bn
16 1 16
①式两边同加上－ 3 得 bn+1－ 3 =4 (bn－ 3 )，所以{bn－ 3 }成等比数列公比为4，首项 b1－ 3 =－3，所
16 1 1
以 bn－ 3 =－3×(4)n－1．所以 bn= 3 －3×(4)n－1．
1
16 1 1
(2)因为 bn+1－bn=(4)n>0，所以数列{bn}是严格单调递增由于对每个正整数 n，a4n－1 是
二、思考探究
an
满足：
a ＝m（m 1
探究 1：设数列 an满足： an (n N * ) 是整数，且 an1 an 是关于 x 的方程
x2 (an1 2)x 2an1 0 的根.
（1）若 a1 4 ，且 n 2 时， 4 an 8 ，求数列 an的前 100 项和 S100； （2）若 a1 8 ， a6 1 ，且 an an1 ， n N * ，求数列 an的通项公式．
所以，数列{an}的前 100 项和 S100 33(4 6 8) 8 598 ；
（2）若
a1＝－8，根据

2
或
为正整数）， an1
an1

an（n∈N*）是整数，an＜an＋1（n∈N*），且
可知，数列{an}的前 6 项是： 8, 6, 4, 2,0, 2 或 8, 6, 4, 2, 1,1或 8, 6, 3, 1,1,3 或