收敛数列的有界性(老黄学高数第60讲)
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老黄学高数
第60讲 收敛数列的
有界性
收敛数列{an}有界，即 存在正数M，使得对一切正整数n有：| an |≤M. 证：设
取ε0=1，存在N>0，对一切n>N，有|an -a|≤1； 又|an|-|a|≤|an-a|≤1；∴|an|≤1+|a|； 记M=max{|a1|,|a2|,…, |aN|,1+|a|}，则|an|≤M， ∴{an}为有界数列. 即收敛数列有界.
收敛数列{an}有界，即 存在正数M，使得对一切正整数n有：| an |≤M.
M a+1
a>=0
a-1
… …an…
收敛数列{an}有界，即 存在正数M，使得对一切正整数n有：| an |≤M.
aBaidu Nhomakorabea1
a<0
… …an…
a-1 -M
1、收敛数列必有界，即有界是数列收敛的必要条件. 2、反之无界必发散，即无界是数列发散的充分条件. 3、有界未必收敛，即有界不是数列收敛的充分条件.
如{cosnπ}有界，但不收敛. 所以，有界是数列收敛的必要非充分条件. 反之，无界是数列发散的充分非必要条件.
判断是否存在下列数列，如存在，请举例.
1、有界且收敛的数列. 如{sinnπ}, {1/n}, {0.1n}等；
2、有界且发散的数列. 如{cosnπ}, {(-1)n}等；
3、无界且收敛的数列. 不存在；
4、无界且发散的数列. 如{n}, {n2}, {
}等.
第60讲 收敛数列的
有界性
收敛数列{an}有界，即 存在正数M，使得对一切正整数n有：| an |≤M. 证：设
取ε0=1，存在N>0，对一切n>N，有|an -a|≤1； 又|an|-|a|≤|an-a|≤1；∴|an|≤1+|a|； 记M=max{|a1|,|a2|,…, |aN|,1+|a|}，则|an|≤M， ∴{an}为有界数列. 即收敛数列有界.
收敛数列{an}有界，即 存在正数M，使得对一切正整数n有：| an |≤M.
M a+1
a>=0
a-1
… …an…
收敛数列{an}有界，即 存在正数M，使得对一切正整数n有：| an |≤M.
aBaidu Nhomakorabea1
a<0
… …an…
a-1 -M
1、收敛数列必有界，即有界是数列收敛的必要条件. 2、反之无界必发散，即无界是数列发散的充分条件. 3、有界未必收敛，即有界不是数列收敛的充分条件.
如{cosnπ}有界，但不收敛. 所以，有界是数列收敛的必要非充分条件. 反之，无界是数列发散的充分非必要条件.
判断是否存在下列数列，如存在，请举例.
1、有界且收敛的数列. 如{sinnπ}, {1/n}, {0.1n}等；
2、有界且发散的数列. 如{cosnπ}, {(-1)n}等；
3、无界且收敛的数列. 不存在；
4、无界且发散的数列. 如{n}, {n2}, {
}等.