一元二次方程的解法7页
自学初中数学资料 一元二次方程的解法
自学资料一、一元二次方程的解法（直接开平方法）第1页共8页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训【知识探索】1．一般地，对于方程，（1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根：，；（2）当时，方程有两个相等的实数根：；（3）当时，因为对任意实数，都有，所以方程无实根．【错题精练】例1．解一元二次方程的步骤是：（1）把原方程变形为__________ （2）根据平方根意义，①当，且a，c异号时，方程的解是__________ ．②当，时，原方程的解是，当，且a，c同号时，原方程__________例2．一元二次方程(x−1)2=2的解是（）A. x1=−1−√2，x2=−1＋√2；B. x1~＝1−√2，x2=1+√2；C. x1~=3，x2~=−1；D. x1=1，x2~=−3．例3．已知，则的值为__________【举一反三】1．关于x的方程能用直接开平方法求解的条件是__________2．若实数a，b满足(a2+b2−3)2=25，则a2+b2的值为（）A. 8；B. 8或－2；C. －2；D. 28．3．的根是__________4．用直接开平方法解方程，方程的根为__________第2页共8页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训二、一元二次方程的解法（配方法）【知识探索】1．配方法解方程（）的一般步骤是：（1）通过移项、两边同除以二次项的系数，将原方程变形为（、是已知数）的形式；（2）通过方程两边同时加“一次项系数一半的平方”，将的左边配成一个关于的完全平方公式，方程化为；（3）①当时，再利用开平方法解方程；②当时，原方程无实数根．【说明】（1）对于一般的一元二次方程，都可以用配方法来解；（2）由方程（），把移到等式右边，在两边同时除以，得．【错题精练】例1．已知x2−2(n+1)x+4n是一个关于x的完全平方式，则常数n= ．例2．用配方法解下列方程：例3．若方程x2﹣8x+m=0可以通过配方写成（x﹣n）2=6的形式，那么x2+8x+m=5可以配成（）A. （x﹣n+5）2=1B. （x+n）2=1C. （x﹣n+5）2=11D. （x+n）2=11【举一反三】1．把方程13x2−x−5=0，化成(x+m)2=n的形式得（）A. (x−32)2=294；第3页共8页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训B. (x−32)2=272；C. (x−32)2=514；D. (x−32)2=694．2．关于x的一元二次方程x2−mx−2=0的一个根为﹣1，则m的值为．3．已知可变为的形式，则__________ 4．用配方法解下列方程：5．用适当的数填空__________ =__________三、一元二次方程的解法（因式分解法）【知识探索】1．通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．像这样解一元二次方程的方法叫做因式分解法．【错题精练】例1．已知2x(x+1)=x+1，则x＝．例2．已知实数(x2−x)2−4(x2−x)−12=0，则代数式x2−x+1的值为．第4页共8页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训例3．直角三角形一条直角边和斜边的长分别是一元二次方程的两个实数根，该三角形的面积为__________ .【举一反三】1．解方程：2．已知实数x满足（x2−x）2−3（x2−x）−4=0，则代数式x2−x的值为．3．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程的根，则这个三角形的周长是__________ .4．解下列方程（1）x2−2x=0；（2）3x(x−1)=2−2x．四、一元二次方程的解法（公式法）【知识探索】1．当△0时，方程（）的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程（）的求根公式．【说明】求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程（）的结果．【错题精练】例1．已知x=−b+√b2−4c（b2−4c>0），则x2+bx+c的值为．2例2．若实数a、b满足，则=__________ .第5页共8页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训例3．已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a−c)=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=−1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【举一反三】1．一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，则m=（）．A. 0B. 1C. -1D. ±12．若方程的一个根为，则另一根为__________ .3．徐涛同学用配方法推导关于x的一元二次方程的求根公式时，对于的情况，他是这样做的：小明的解法从第__________ 步开始出现错误；这一步的运算依据应是__________ .第6页共8页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训1．用适当方法解下列方程：（1）（2）（3）（4）2．方程化为的形式是__________ 。
1元二次方程的解法
1元二次方程的解法1元二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 为实数且 a 不为 0。
求解 1 元二次方程的方法主要有以下几种：一、因式分解法当二次项系数 a 为 1 时，若二次方程 ax^2 + bx + c = 0 能够分解成 (x + m)(x + n) = 0 的形式，则方程的解为 x = -m 和x = -n。
二、公式法对于一般形式的二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其解为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中√(b^2 - 4ac) 称为判别式，它决定了方程的解的个数和性质：若判别式大于 0，则方程有两个不相等的实数解。
若判别式等于 0，则方程有两个相等的实数解。
若判别式小于 0，则方程无实数解，但有 2 个共轭复数解。
三、配方法配方法适用于二次项系数 a 为 1 的情况。
将 x^2 + bx + c = 0 变形为 (x + b/2)^2 = (b^2 - 4c)/4，然后求出 x 的值：x = -b/2 ± √((b^2 - 4c)/4)四、韦达定理法韦达定理适用于二次项系数 a 为 1 的情况。
若方程 x^2 + bx + c = 0 的两个解为 x1 和 x2，则：x1 + x2 = -bx1 x2 = c利用这两个关系式可以求出 x1 和 x2。
举例：求解二次方程 x^2 - 5x + 6 = 0。
使用公式法：x = (-(-5) ±√((-5)^2 - 4(1)(6))) / 2(1)= (5 ± √(25 - 24)) / 2= (5 ± 1) / 2因此，方程的解为 x = 2 和 x = 3。
拓展：除了上述方法外，求解 1 元二次方程还有其他一些方法，例如：图形法：将二次方程转化为抛物线方程，然后通过抛物线的图象求解方程的解。
数值法：使用二分法或牛顿法等数值方法求解方程的近似解。
一元二次方程的解法及步骤
一元二次方程的解法及步骤1、直接开平方法：例．解方程3x+1^2;=7 3x+1^2=7 ∴3x+1^2=7∴3x+1=±√7注意不要丢解符号∴x= ﹙﹣1±√7﹚/32、配方法：例．用配方法解方程 3x2-4x-2=0将常数项移到方程右边 3x2-4x=2方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-﹙4/3﹚x+ 4/62=2 +4/6 2配方：x-4/62= 2 +4/6 2直接开平方得：x-4/6=± √[2 +4/6 2 ]∴x= 4/6± √[2 +4/6 2 ]3．公式法：例.用公式法解方程 2x2-8x=-5将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0∴a=2,b=-8,c=5 b2-4ac=-82-4×2×5=64-40=24>0∴x=[-b±√b2-4ac]/2a4．因式分解法：例．用因式分解法解下列方程：1 x+3x-6=-8化简整理得x2-3x-10=0 方程左边为二次三项式,右边为零x-5x+2=0 方程左边分解因式∴x-5=0或x+2=0 转化成两个一元一次方程∴x1=5,x2=-2是原方程的解.其实一元二次方程没有什么难点的，对于应用题也一样，关键是你能列出方程式，会用方法解出方程就可以。
对于解一元二次方程，主要的方法有①直接开方法，（例如x2=25，可以直接解出x=±5）②求根公式法（x2+2x+1=0 △=b2-4ac 判断△的范围，＞0，＝0，＜0去解出根）③因式分解法（这个方法对于很多同学来说都是一个难点，要掌握这个方法必须通过大量的题去掌握，例如x2-5x+6=0 可以化为（x-2）（x-3）=0 解得x1=2，x2=3）④配方法（例如x2-6x-6=0 可以化为（x-3）2=15，再用直接开方法解出x1，和x2）还有一点，一元二次方程是一定要掌握的，对于接下来的二次函数有很大的帮助。
一元二次方程的解法
配方法：
用配方法解一元二次方程ｘ２－４ｘ＋３＝０．
解: x2-4x+4-4+3=0 (x-2)2=1 x-2=±1 x=3 或 x=1
用配方法解方程３ｘ２－６ｘ＋１＝０．
解：
3（x2-2x+1-1）+1=0
3(x-1)2-3+1=0 x-1=±√6/3
x= 1±√6/3 已知方程ｘ２－６ｘ＋ｑ＝０可以配方成（ｘ－ｐ）２＝７，那
=4 ±2√6/2 =2 ±√6/2
x=(2+√6)/2>0 或 x=(2-√6)/2<0
方程ｘ２＋ｘ－１＝０的根为
解：a=1 b=1 c=-1 x=-1±√1-4*1*(-1)/2*1 =-1 ± √1+4/2 =(-1 ± √5)/2
(-1 ± √5)/2
。 。
因式分解：
下列方程４ｘ２－３ｘ－１＝０，５ｘ２－７ｘ＋２＝０
பைடு நூலகம்
x=2/5或 x=1
x=2/13或 x=1
x=-1/4或 x=1
一元二次方程ｘ２＋５ｘ＝０的较大的一个根设为ｍ，ｘ２－３ｘ＋２＝
０较小的根设为ｎ，则ｍ＋ｎ的值为0+1=1
。
解：x2+5x=0
x2-3x+2=0
x(x+5)=0
x -2
x=0或x=-5
x
-1
m=0
(x-2)(x-1)=0
x=2或x=1
n=1
y=21或y=-19
（３）２ｘ２＋１＝２√５ｘ
（４）（２ｘ＋１）２＋３（２ｘ＋１）＋２＝０
解： 2x2-2√5x+1=0
解:
(2x+1+2)(2x+1+1)=0
一元二次方程的万能解法
2 2
例2 用公式法解下列方程: (3) 5x2 3x x 1
x b b2 4ac 2a
解：方程可化为 5x2 4x 1 0
a 5,b 4, c 1
b2 4ac (4)2 4 5 (1) 360
x (4) 36 4 6
3、说出用公式法解一元二次方程的一般步聚。
因此解一元二次方程时可以先将方程化为一般形式axbx就得到方程的根这个式子叫做一元二次方程的求根公式利用它解一元二次方程的方法叫做公式法由求根公式可知一元二次方程最多有两个实数根
21.2.2 一元二次方程的解法 ——公式法
用配方法解一元二次方程的步骤
1、 常数项 移到方程右边. 2、二次项系数化为１； 3、将方程左边配成一个 完全平方 式。 (两边都加上 一次项系数一半的平方 ) 4、用 平方根的意义 写出原方程的解。
用配方法解方程： 4x2 6x 3 0
温
解:移项，得： 4x2 6x 3,
故
二次项系数化为1，得 x2 3 x 3 ,
知
24
配方，得：
x2
3 2
x
3 4
2
3 4
3 4
2
,
新
(x 3)2 21 4 16
由此得: x 3 21
拓展延伸
1、关于x的一元二次方程 x2 2x m 0
有两个实根，则m的取值范围是—— .
解：b2 4ac (2)2 41 m 4 4m 0
∴ m1
注意：一元二次方程有实根， 说明方程可能有两个不等实根 或两个相等实根的两种情况。
1元二次方程式解法
一元二次方程解法
想象一下，你手里有个苹果，我再给你两个，现在你手里有几个？简单吧，三个！但要是换成数学式子，说x加2等于5，求x是多少，这就成了一元一次方程。
那咱今天升级一下，来个带平方的，比如x的平方减4x加4等于0，这就是一元二次方程啦！
看到这式子，别急着皱眉，咱们先找找规律。
一元二次方程一般长这样：ax的平方加bx加c等于0。
记住这个模板，接下来咱们玩点花样。
第一种玩法，叫做“因式分解”。
就像咱们分苹果，看能不能把式子拆成两部分，让它们相乘等于0。
比如刚才那个式子，其实就是(x-2)的平方等于0，那x不就是2嘛，简单吧！
第二种，稍微复杂点，叫“公式法”。
有个万能公式，x等于负的b加减根号下b的平方减4ac，再除以2a。
听起来挺绕的，但其实就是把a、b、c的值往里头一套，计算器一按，答案就出来了。
这就像是咱们做菜，配方都给你了，照着做就行！
还有一种，叫“配方法”，这个得动点脑子。
你得想办法把式子变成完全平方的形式，然后开方求解。
这就像是拼图，得把碎片拼起来，才能看出全貌。
说了这么多，是不是觉得一元二次方程也没那么可怕了呢？其实啊，数学这东西，就像是咱们生活中的小工具，学会了，真的能帮上大忙。
下次遇到难题，别急着逃避，试着用这些方法去攻克它，说不定你会发现，原来自己也挺厉害的嘛！
好了，今天的数学小课堂就到这里啦，记得多练练手，让这些解法成为你的“数学秘籍”，下次咱们再聊点更有趣的！。
一元二次方程的解法及应用
一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。
本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。
一、因式分解法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。
具体步骤如下：1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。
二、配方法配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。
其主要步骤如下：1. 将方程转化为标准形式；2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；4. 将方程的两边开平方，解出方程。
例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。
三、求根公式法求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。
一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。
具体步骤如下：1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程是指变量的最高次数为2，且只有一个变量的方程。
求解一元二次方程的解是数学中的基础知识之一，本文将介绍一些常见的解法。
一、公式法：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知系数，可以使用求根公式来求解。
根据求根公式，一元二次方程的解可以表示为：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)其中，“±”表示取正负两个解。
二、配方法：当一元二次方程不易通过公式法求解时，可以使用配方法进行求解。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，当a≠1时，可以通过配方法将其转化为完全平方形式。
首先，我们将方程写成a(x^2+bx/a+c/a)=0的形式，然后找到一个数m，使得x^2+bx/a+m^2=(x+m)^2。
通过对比系数，我们可以得到：m=b/(2a)。
将方程改写为(a(x^2+bx/a+m^2))=0，再使用平方差公式化简，就可以得到方程的解。
三、因式分解法：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，当a=1且b不等于0时，可以尝试使用因式分解法来求解。
首先，我们需要将方程写成(x+m)(x+n)=0的形式，其中m、n为待求解的两个数。
通过观察系数和常数项的关系，我们可以推断出m和n之间的关系，并确定其取值。
将方程分解后，我们即可得到方程的解。
四、图像法：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过绘制该方程对应的曲线图来求解。
将二次方程转化为y=ax^2+bx+c的形式后，我们可以绘制出该曲线，并通过观察曲线与x轴的交点来确定该方程的解。
在图像上，交点对应的横坐标即为方程的解。
五、因数法：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，当a=1且b和c均为整数时，可以尝试使用因数法来求解。
我们需要找到两个数p和q，满足p+q=b，pq=c。
然后，我们可以将方程改写为(x+p)(x+q)=0的形式，通过观察常数项和一次项的系数得到解。
六、完全平方法：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，当方程左边能够表示为一个完全平方时，我们可以使用完全平方法来求解。
(完整版)一元二次方程的解法大全
一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】＝0(a≠0)，把方程ax2+c例：用直接开平方法解方程：1．9x2-25＝0；；2．(3x+2)2-4＝04．(2x+3)2＝3(4x+3)．解：1．9x2-25＝0259x2＝2．(3x+2)2-4＝0(3x+2)2＝43x+2＝±22±23x＝-4．(2x+3)2＝3(4x+3)4x2+12x+9＝12x+94x2＝0∴x1＝x＝0．【配方法解一元二次方程】将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除+以二次项系数，使二次项系数为1，如x21．x2-4x-3＝0； 2．6x2+x＝35；3．4x2+4x+1＝7； 4．2x2-3x-3＝0．解：1．x2-4x-3＝0x2-4x＝3x2-4x+4＝3+47(x-2)2＝3．4x2+4x+1＝7一元二次方程ax2+bx+c＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c 的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a≠0)的求根公式。
例：用公式法解一元二次方程：2．2x2+7x-4＝0；．4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x)2．2x2+7x-4＝0∵a＝2，b＝7，c＝-4．81b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0)x2-3ax+2a2-ab-b2＝0∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2)＝9a2-8a2-4ab+4b2＝a2-4ab+4b2＝(a-2b)22b≥0)时，得当(a-【不完全的一元二次方程的解法】在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。
即b与c至少一个等于零，这类项方程从形式与解法上比一般一元二次方程要简单，因此要研究这类方程最简捷的解法，从规律上看有两种方法：一是因式分解，二是直接开平方法：例：解下列一元二次方法：．3．(m2+1)x2＝0；其中m2+1＞0，x2＝0．∴ x1＝x2＝0．4．16x2-25＝06x2＝25。
一元二次方程4种解法
一元二次方程4种解法
一元二次方程的4种解法是：一般式、工具方法、因式分解法和
求根公式法。
一、一般式：
一般式又称“把头挑出来法”或“十字相乘法”。
在这种方法中，首先把一元二次方程化为化简的一般式，如ax^2+bx+c=0，然后分别根
据a, b, c 的意义，将系数和常数参数代入系数表中，仿照公式的形
式完成无穷多种可能的解答，最后通过对称性和排除法的方法排除不
符合要求的解，从而得出结论。
二、工具方法：
工具方法就是联立矩阵等数学工具，来快速解决一元二次方程，
尤其是在涉及数量较大的情况下，使用矩阵来解决更加有利。
只要建
立好系数矩阵，就可以根据其特点，按照一定步骤，使用乘法、加法、分解等技巧，求得矩阵解，从而获得满足一元二次方程的解。
三、因式分解法：
因式分解法是把原方程转换成两个一元一次方程的形式，然后分
别求解，最后将解代入原方程，检验是否仍然满足原方程。
首先，将
原方程化成两个一元一次方程的形式，例如：ax^2+bx+c=0，我们把它
化为 (ax+m)(ax+n)=0，其中m和n分别是ax+m=0及ax+n=0的解。
然后，我们可以把m和n代入到原方程中，检验是否是原方程的解，即
看是否能使原方程成立。
四、求根公式法：
求根公式法是根据一元二次方程的特征，用公式求解一元二次方
程解。
一元二次方程有两个解，因此也有对应的两个求根公式，即复
根公式：x_1=(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)和x_2=(-b-sqrt(b^2-
4ac))/(2a)。
通过将常数值代入到公式，就可以求出一元二次方程的解。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一、定义及一般形式1.1 一元二次方程：含有一个未知数，未知数的最高次数为2的方程。
1.2 一般形式：ax^2 + bx + c = 0（a、b、c为常数，且a≠0）二、解一元二次方程的常用方法2.1 因式分解法2.1.1 提取公因式法2.1.2 十字相乘法2.1.3 公式法（完全平方公式、平方差公式）2.2 公式法2.2.1 求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)2.2.2 判别式：Δ = b^2 - 4ac2.2.3 根与系数的关系：•两根之和：x1 + x2 = -b/a•两根之积：x1 * x2 = c/a2.3 图像法2.3.1 抛物线的开口方向与a的符号有关：a > 0，开口向上；a < 0，开口向下。
2.3.2 抛物线与x轴的交点即为方程的解。
三、特殊类型的一元二次方程3.1 含绝对值的一元二次方程3.2 含平方根的一元二次方程3.3 含分式的一元二次方程四、一元二次方程的应用4.1 实际问题与一元二次方程4.2 几何问题与一元二次方程4.3 函数问题与一元二次方程五、练习与提高5.1 巩固题型：基本的一元二次方程求解。
5.2 提高题型：复杂的一元二次方程求解，如含绝对值、平方根、分式的方程。
5.3 综合题型：结合实际问题、几何问题、函数问题等，运用一元二次方程解决实际问题。
习题及方法：1.习题：解方程 x^2 - 5x + 6 = 0。
答案：x1 = 2，x2 = 3。
解题思路：利用因式分解法，将方程左边进行因式分解，得到 (x -2)(x - 3) = 0，从而得到两个一元一次方程 x - 2 = 0 和 x - 3 = 0，解得 x1 = 2，x2 = 3。
2.习题：解方程 2x^2 - 9x + 12 = 0。
答案：x1 = 2/3，x2 = 6。
解题思路：利用因式分解法，将方程左边进行因式分解，得到 (2x -3)(x - 4) = 0，从而得到两个一元一次方程 2x - 3 = 0 和 x - 4 = 0，解得 x1 = 2/3，x2 = 6。
一元二次方程的几何解法
一元二次方程的几何解法一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是数学与几何联系紧密的部分。
在几何上，一元二次方程的解对应着图像与坐标系的交点，通过几何解法可以更直观地理解方程的意义和解的含义。
一元二次方程的一般形式为：ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
我们以一个具体的例子来说明几何解法的思路。
假设我们有一个一元二次方程x^2-3x+2=0。
首先，我们可以将方程转化为标准形式，即(x-1)(x-2)=0。
这意味着方程的解为x=1和x=2，我们可以通过几何解法来验证这一点。
我们可以将方程绘制成一个二次曲线，即抛物线。
在坐标系中，将x轴表示为横轴，将y轴表示为纵轴。
对于方程x^2-3x+2=0，我们可以通过计算得出对应的抛物线的顶点坐标为(3/2,-1/4)。
接下来，我们可以在坐标系上画出抛物线的图像。
通过几何解法，我们可以看到抛物线与x轴有两个交点，即x=1和x=2，这与方程的解是一致的。
通过这个例子，我们可以看到几何解法的优势。
相比于代数解法，几何解法更直观，更容易理解。
我们可以通过绘制图像来观察方程的解的位置和性质，从而更好地理解方程的意义。
除了绘制抛物线，几何解法还可以利用图形的对称性质来求解一元二次方程。
例如，对于方程x^2-4x+4=0，我们可以将其转化为(x-2)^2=0的形式。
这意味着方程的解为x=2，我们可以通过几何解法来验证这一点。
同样地，在坐标系中，我们可以将方程对应的抛物线绘制出来。
通过观察，我们可以发现抛物线在x=2的位置有一个顶点，这与方程的解是一致的。
通过这个例子，我们可以看到几何解法在观察方程的对称性质时的优势。
通过绘制图像，我们可以更容易地观察到抛物线的顶点位置，从而得到方程的解。
总结起来，一元二次方程的几何解法是一种更直观、更易于理解的解方程的方法。
通过绘制抛物线的图像，我们可以观察方程的解的位置和性质，从而更好地理解方程的意义。
同时，通过观察抛物线的对称性质，我们可以更容易地得到方程的解。
一元二次方程的解法
2
4.解下列一元二次方程： (1)4x2－25=0 (2)9y2－1=0
(3)4x2－5=0
(4)81y2－6=0
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例 2：解方程：(1) (2x-1) 2=5
(2) x 2+6x=-1
解：(1)直接开平方，得：2x-1=± 5 即 2x-1= 5 ，2x-1=- 5
练习： 1.解下列一元二次方程： (1)x2=9 (2)y2=16
(3)x2=2
(4)y2=7
2.解下列一元二次方程： (1)49y2=16 (2)64x2=1
(3)16y2=5
(4)25x2=11
3.解下列一元二次方程： 2 2 (1)x －25=0 (2)y －36=0
(3)x －3=0
2
(4)y －5=0
(3)（x－2）2=7
(4)（y+3）2=5
2.解下列一元二次方程： (1)（x－2）2－49=0
(2)（y+3）2+15=16
(3) 121（x－2）2 =9
(4) 144（x－2）2 =7
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一元二次方程的解法 【定义】:只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫 做一元二次方程． 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 2 ax +bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式。 解法一 ——直接开方法 适用范围:【可解部分一元二次方程】 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如 p n x2 p或(mx n)2 p( p≥0) 的方程，其解为 x p或x m 例 1：解方程：(1) x2=7 (2) 25x2=9 (3) 121x2－36=0
一元二次方程的解法ppt7 华东师大版
2
6 x1 ; x2 2. 5
b b 4ac x 2a 4 256 4 16 . 25 10 28 5
出各项系数;
w3.计算:
b2-4ac的
值;
w4.代入:把有关数值代入 公式计算; w5.定根:写出原方程的根 .
用公式法解方程
b c 解 : x x 0. a a b c x2 x . a a
2
ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
w1.化1:把二次项系数化为1;
w2.移项:把常数项移到方程的右边;
2
b c b b x x . a a 2a 2a
2
３.最后代入公式
当 当
2 b 4 ac 0 时，有两个实数根 2 b 4 ac 0 时，方程无实数
解
因式分解法解一元二次方程
学习是件很愉快的事
什么叫因式分解？ 把一个多项式分解成一个整式乘积的形式叫做因式分解
二元一次方程的分解法又是什么呢？
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次 因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用 分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.
总结
一元二次方程的解
一元二次 方程的解 一元二次方 程的解法
数学思想
直 接 开 平 方 法
配 方 法
公 式 法
因 式 分 解 法
归 纳 思 想
转 化 思 想
书上的课后习题
习题册上的练习题
业作
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一元二次方程的解法
配方法
把一般的一元二次方程设法变成(x+m)2=n的形式，再用直接开 平方法求解。 配方的关键是： 1．把二次项系数化为1； 2．方程的两边都加上一次项系数一半的平方。 ★ 强调：当一次项系数不是2的倍数，特别是分数时，计算易出 错，应特别注意。 例3．解方程：2x2+3=8x 解：移项得：2x2-8x+3=0 ThemeGallery is a Design Digital Content & Contents mall 把方程的各项都除以2得： x2-4x+2/3=0 即：x2-4x=-2/3 developed by Guild Design Inc. 配方得：x2-4x+(2)2=- -2/3+(2)2 (x-2)2=10/3 解这个方程得：x=±
十字相乘法ຫໍສະໝຸດ 直接开方法这种方法用于形如(x+a)2=b(b≥O)的一元二次 方程，关键是掌握方程的特点： Reality Reality 1．方程左边必须是完全平方的形式； 2．方程右边是非负数，利用平方根定义直接 Identity 开方。 例2．解方程(x+3)2=4 Creativity Identity Creativity 解：因为x+3是4的平方根 所以x+3=±2 即x+3= 2 或x+3= -2 所以x1=-1 ，x2=-5
ax2叫二次 二次 一 般 式 bx叫一次 一次
，a叫二次 二次
数
ax2+bx+c=o(a≠O)
，b叫一次 一次
数
c叫
数
注意：
二次项系数a≠0，如果a=0那么二次项等于0，方程就不 是一元二次方程了。 无论二次项系数还是常数项，都要注意符号。 例1．一元二次方程3x2-5x-12=0二次项是（3x2），二 次项系数是（3），一次项是（-5x），一次项系数 是（-5），常数项是（-12）． 题：请说出x2-2x=6的二项，二次项系数，一次项， 一次项系数，常数项。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax^2（2为次数，即X的平方）+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=（2）解：9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=当b2-4ac≥0时，x+ =±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2= .3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac ≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。