上海市交大附中高一数学学科期末考试试卷(含答案)(2019.06)

交大附中高一期末数学试卷

2019.06

一. 填空题

1. 已知a 、b 为常数，若24lim 123

n an bn n →∞++=+，则a b += 2. 已知数列4293n a n

=-，若对任意正整数n 都有n k a a ≤，则正整数k = 3. 已知4cos()5

πα-=，且α为第三象限角，则tan α的值等于 4. 将无限循环小数0.145化为分数，则所得最简分数为

5. 已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，222a b c bc =+-，4bc =， 则△ABC 的面积为

6. 已知数列{}n a 满足：

3122123n n a a a a n

+++⋅⋅⋅+=（n *∈N ），设{}n a 的前n 项和为n S ， 则5S =

7. 三角方程sin2cos x x =在[0,]π内的解集合为

8. 将正整数按下图方式排列，2019出现在第i 行第j 列，则i j += 1

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

9. 已知()sin(2)3f x x π=+

，若对任意x ∈R ，均有()()()f a f x f b ≤≤，则||a b -的最小

值为

10. 已知数列{}n a 满足11(3)(2)0n n n n a a a a ++--⋅-=，若13a =，则4a 的所有可能值的和为

11. 如图△ABC 中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，1BC =，M 为 AB 边上的动点，MD AC ⊥，D 为垂足，则MD MC +的最小值为

12. 设01a <<，数列{}n a 满足1a a =，1n a n a a +=，将{}n a 的前100

项从大到小排列的得到数列{}n b ，若k k a b =，则k 的值为

二. 选择题

13. 设无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“lim 0n n a →∞=”是“lim 0n n S →∞

=”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分且必要条件

D. 既不充分也不必要条件

14. 若数列{}n a 是等比数列，且0n a >

，则数列n b n *∈N ）也是等比数 列，若数列{}n a 是等差数列，可类比得到关于等差数列的一个性质为（ ） A. 12n n a a a b n ⋅⋅⋅⋅⋅=是等差数列 B. 12n n a a a b n

++⋅⋅⋅+=是等差数列

C. n b =

D. n b = 15. 下列四个函数中，与函数()tan f x x =完全相同的是（ ） A. 2

2tan

21tan 2

x

y x =- B. 1cot y x = C. sin 21cos2x y x =+ D. 1cos2sin 2x y x -= 16. 设1cos 10n n a n π=，12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，在1220,,,S S S ⋅⋅⋅中，正数的个数是（ ） A. 15 B. 16 C. 18 D. 20

三. 解答题

17. 已知{}n a 为等差数列，且138a a +=，2412a a +=.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值.

18. 已知数列{}n a 满足：14n n a a n ++=.

（1）若{}n a 为等差数列，求{}n a 的通项公式；

（2）若{}n a 单调递增，求1a 的取值范围.

19.

函数2()6cos )32x

f x x ωω=-（0ω>）在一个周期内的图像如图所示，A 为

图像的最高点，B 、C 为图像与x 轴的交点，且为△ABC 正三角形.

（1）求ω的值及函数()f x 的值域；

（2

）若0()f x =，且0102(,)33

x ∈-，求0(1)f x +的值.

20. 如图是某神奇“黄金数学草”的生长图，第1阶段生长为竖直向上为1米的枝干，第2

，且与旧枝成120°，第3

阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干，，且与旧枝成120°，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，依次生长，直到永远.

（1）求第3阶段“黄金数学草”的高度；（精确到0.01米）

（2）求第13阶段“黄金数学草”的所有枝干的长度之和；（精确到0.01米）

（3）求“黄金数学草”最终能长多高？（精确到0.01米）

21. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n a 满足11a =，1n n n a a d +-=，n *∈N .

（1）若3n n d =，求数列{}n a 的通项公式；

（2）若4cos()n d n π=+，求数列{}n S 的通项公式；

（3）若{|,}{1,2}n D x x d n *==∈=N ，是否存在数列{}n d 使得1720a =，17195S =？若

存在，写出{}n d 前16项的值，若不存在，说明理由.

参考答案

一. 填空题

1. 2

2. 9

3.

34 4. 855

5.

6. 130

7. 5{}626πππ，，

8. 128

9.

2π 10. 69 11. 32 12. 50

二. 选择题

13. B 14. B 15. C 16. D

三. 解答题

17.（1）2n a n =；（2）6k =.

18.（1）21n a n =-；（2）1(0,2)a ∈.

19.（1）4π

ω=；（2

）()[f x ∈-.

20.（1

）(3)1f = （2

）761[1][1](13)f ⨯-+-= （3

）lim ()n f n →∞=. 21.（1）312n -；（2）22322253

221

22n n n n k S n n n k ⎧-=⎪⎪=⎨⎪-+=-⎪⎩，*k ∈N ； （3）116~d d ：2，1，2，1，2，121

1,,1⋅⋅⋅个