示范教案3.2圆的对称性第2课时

3．2 圆的对称性

课时安排

2课时

从容说课

圆是一种特殊的图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形．学生已经通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．同时结合图形让学生认识一些和圆相关的概念．

本节课的重点是垂点定理及其逆定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理．

本节课的难点是垂点定理及其逆定理的证明与“圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理”中的“在同圆或等圆”的前提条件的理解及定理的证明．

第二课时

课题

§3．2．1 圆的对称性(一)

教学目标

(一)教学知识点

1．圆的轴对称性．

2．垂径定理及其逆定理．

3．运用垂径定理及其逆定理进行有关的

计算和证明．

(二)能力训练要求

1．经历探索圆的对称性及相关性质的过

程，进一步体会和理解研究几何图形的各种

方法．

2．培养学生独立探索，相互合作交流的

精神．

(三)情感与价值观要求

通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．

教学重点

垂径定理及其逆定理．

教学难点

垂径定理及其逆定理的证明．

教学方法

指导探索和自主探索相结合．

教具准备

投影片两张：

第一张：做一做(记作§3．2．1 A)

第二张：想一想(记作§3．2．1 B)

教学过程

I．创设问题情境，引入新课，

[师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义?，

[生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后。直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．

[师]我们是用什么方法研究了轴对称图形?

[生]折叠．

[师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性．

Ⅱ．讲授新课

[师]同学们想一想：圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?

[生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．

[师]是吗?你是用什么方法解决上述问题的?大家互相讨论一下．

[生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴． [师]很好．

教师板书：

圆是轴对称图形图形，对称轴是任意一条过圆心的直线．

下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念．

1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)．

2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)．

3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)．

如右图。以A、B为端点的弧记作AB，

渎作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是

⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径．

注意：

1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor are)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作ACD)，劣弧ABD(记作AD)．半圆，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．

2．直径是弦，但弦不一定是直径．

下面我们一起来做一做：(出示投影片§3．2．1 A)按下面的步骤做一做：

1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．2．得到一条折痕CD．

3．在⊙O上任取一点

A，过点A作CD折痕

的垂线，得到新的折

痕，其中，点M是两

条折痕的交点，即垂足．

4．将纸打开，新的折痕

与圆交于另一点B，如上图

[师]老师和大家一起动手．

(教师叙述步骤，师生共同操作)

[师]通过第一步，我们可以得到什么?

[生齐声]可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．

[师]很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?

[生]我发现了，AM＝BM，弧AC=弧BC=弧AD=弧BD.

[师]为什么呢?

[生]因为折痕AM与BM互相重合，A点与D点重合．

[师]还可以怎么说呢?能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系?

[师生共析]如右图

示，连接OA、OB得到等

腰△OAB，即OA＝OB．因

CD⊥AB，故△OAM与△OBM

都是Rt△，又OM为公共边，

所以两个直角三角形全等，

则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B

重合，弧AC与弧BC重合.因此AM=BM，弧AC=弧BC=弧AD=弧BD.

[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论?

[生]垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

[师]同学们总结得很好．这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意：①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．

下面，我们一起看一下定理的证明：

(教师边板书，边叙述)

如上图，连结OA、OB，则OA＝OB．

在Rt△OAM和Rt△OBM中，

∵OA=OB，OM＝OM，

∴Rt△OAM≌Rt△OBM，

∴AM＝BM．

∴点A和点墨关于CD对称．

∵⊙O关于直径CD对称，

∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，

弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合.

∴∴AC=∴BC, 弧AD与弧BD重合

[师]为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．

即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：

如图3—7，在⊙O中，

AM=BM ，

CD是直径

弧AD=弧BD，

CD⊥AB于M

AC=弧BC.

下面，我们通过求解例1，来熟悉垂径定理：

[例1]如右图所示，

一条公路的转弯处是一

段圆弧(即图中弧CD，

点O是弧CD的圆心)，

其中CD=600m，E为弧

CD上一点，且OE⊥CD，

垂足为F，EF=90 m．求