高二数学解析几何综合复习资料：圆锥曲线的综合问题旧人教版

高二数学寒假辅导资料（6）

圆锥曲线的综合问题

一、基础知识：

解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的

具体来说，有以下三方面：

（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口

（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识

（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号

二、基础练习：

1设abc ≠0，“ac >0”是“曲线ax 2+by 2=c 为椭圆”的（ ）

A 充分不必要条件

B 必要不充分条件

C 充分必要条件

D 既不充分又不必要条件 答案：B 解析：ac >0曲线ax 2+by 2=c 为椭圆反之成立 2到两定点A （0，0），B （3，4）距离之和为5的点的轨迹是（ ） A 椭圆 B AB 所在直线 C 线段AB D 无轨迹 答案：C 解析：数形结合易知动点的轨迹是线段AB ：y =3

4

x ，其中0≤x ≤3 3若点（x ，y ）在椭圆4x 2+y 2=4上，则2

-x y

的最小值为（ ） A1 B －1 C －3

2

3 D 以上都不对 答案：C 解析：

2

-x y

的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y =k （x －2）代入椭圆方程（4+k 2）x 2－4k 2x +4k 2－4=0令Δ=0，k =±3

23∴k min =－3

23 4以正方形ABCD 的相对顶点A 、C 为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为（ ） A

3210- B 315- C 2

1

5- D

2

2

10- 答案：D 解析：建立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e =

2

2

10- 5已知F 1（－3，0）、F 2（3，0）是椭圆m x 2+n

y 2

＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，当∠F 1PF 2

＝3

π2时，△F 1PF 2的面积最大，则有

A m =12，n =3

B m =24，n =6

C m =6，n =

2

3

D m =12，n =6 答案：A 解析：由条件求出椭圆方程即得m =12，n =3

6 点M (x ,y )与定点F (1,0)的距离和它到直线x =4的距离的比为2, 则动点M 的轨迹方程为 ( )

A 13422=-y x

B 13

42

2=+y x C 3x 2-y 2-34x +65=0 D 3x 2-y 2-30x +63=0 答案: D 解析:

24

)1(2

2=-+-x y x , 两边平方即得3x 2-y 2-30x +63=0

7 P 是椭圆

19162

2=+y x 上的动点, 作PD ⊥y 轴, D 为垂足, 则PD 中点的轨迹方程为( ) A

116922=+y x B 196422=+y x C 14922=+y x D 19

42

2=+y x 答案: D 解析: 设PD 中点为M (x , y ), 则P 点坐标为(2x , y ), 代入方程

19

162

2=+y x , 即得19

42

2=+y x 8 已知双曲线122

22=-b

y a x ,(a>0,b>0), A 1、A 2是双曲线实轴的两个端点, MN 是垂直于实轴所

在直线的弦的两个端点, 则A 1M 与A 2N 交点的轨迹方程是( )

A 12222=+b y a x

B 12222=+b x a y

C 12222=-b y a x

D 122

22=-b

x a y 答案: A 解析: 设 M (x 1, y 1), N (x 1, -y 1), A 1M 与A 2N 交点为P (x ,y ), A 1 (-a ,0), A 2(a ,0), 则A 1 M 的方

程是a x a x y y ++=11,A 2M 的方程是a

x a x y y --=

-11, 两式相乘, 结合1221221=-b y a x 即得 三、典型例题：

例1 已知椭圆C 的方程为22a x +22

b y =1（a >b >0），双曲线22

a x －22

b

y =1的两条渐近线为

l 1、l 2，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使l ⊥l 1，又l 与l 2交于P 点，设l 与椭圆C

的两个交点由上至下依次为A 、B （如图）

（1）当l 1与l 2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程；

（2）当FA =λAP 时，求λ的最大值

分析：（1）求椭圆方程即求a 、b 的值，由l 1与l 2的夹角为60°易得a b =3

3

，

由双曲线的距离为4易得a 2+b 2=4，进而可求得a 、b

（2）由FA =λAP ，欲求λ的最大值，需求A 、P 的坐标，而P 是l 与l 1的交点，故需求l 的方程将l 与l 2的方程联立可求得P 的坐标，进而可求得点A 的坐标将A 的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值

解：（1）∵双曲线的渐近线为y =±

a

b

x ，两渐近线夹角为60°， 又a b <1，∴∠POx =30°，即a b =tan30°=3

3 ∴a =3b