研究生矩阵论第1讲线性空间

研究生矩阵论第1讲线性空间

矩阵论

1、意义

随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其应用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容

《矩阵论》与工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异：

线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆) 以及第一类初等变换(非正交的)、对角标准形(含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容．

矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二与第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数与条件数、广义逆与分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵与特殊运算等,内容十分丰富．

3、方法

在研究的方法上，矩阵论与线性代数也有很大的不同：

线性代数：引入概念直观，着重计算．

矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将来正确处理实际问题有很大的作用．

第1讲线性空间

内容： 1.线性空间的概念；

2.基变换与坐标变换；

3.子空间与维数定理；

4.线性空间的同构

线性空间与线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象．

§1 线性空间的概念

1. 群，环，域

代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数．

代数运算：假定对于集A中的任意元素a与集B中的任意元素b，按某一法则与集C中唯一确定的元素c对应，则称这个对应为A、B的一个（二元）代数运算．

代数系统：指一个集A满足某些代数运算的系统．

1.1群

定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν与他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群．

1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有V ∈+βα；

2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；

3）在V 中有一个元e ，若,V ∈β有βββ=+=+e e ；e 称为单位元；

4）对于,V ∈β有e =+=+αββα．称α为β的逆元．

注：对V 任意元素βα,，都有αββα+=+，则称V 为交换群或阿贝尔群．

1.2 环

定义1.2 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了两种代数运算，分别叫做加法、乘法，记为“+”与“*”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素α,β，在V 中都有惟一的一个元ν与他们对应，称ν为α,β的和与积，记为βαν+=（βαν*=）．满足下列三个条件，则称V 为一个环． 1）V 在“+”下是阿贝尔群；

2) V 在“*”下是可结合的．即，)()(νβανβα**=**；

3）乘法对加法满足左、右分配律，即对于V 中任意元素α，β，ν，有βνανβαν**)(*+=+，νβνανβα*+*=*+)(．

注：对V 任意元素βα,，都有αββα*=*，则称V 为交换环．

1.3 域

定义1.3 设V 满足环的条件，且在对“加法”群中去除单位元的集合对于“乘法”满足交换群的条件，则称V 为域．

例：有理数集对于通常的数的加法和乘法运算构成域，称之为有理数域．最

常见的数域有有理数域Q 、实数域R 、复数域C ．实数域和复数域是工程上较常用的两个数域．

此外，还有其它很多数域.如{}

.,2)2(Q b a b a Q ∈+=，不难验证，)2(Q 对实数四则运算封闭的，所以)2(Q 也是一个数域.而整数集合Z 就不是数域. 数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分．特别，每个数域都包含整数0和1．

2. 线性空间

定义 1.4 设V 是一个非空集合，P 是一个数域．在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”：即，给出了一个法则对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν与他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种代数运算，称为数量乘法（数乘），记为“?”：即，对于数域P 中任一数k 和V 中任一元α，在V 中都有惟一的一个元δ与它们对应，称δ为k 与α的数乘，记为αδ?=k ．如果加法与数乘这两种运算在V 中是封闭的，且满足如下八条规则：

⑴ 交换律αββα+=+；

⑵ 结合律)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；

⑶ V V ∈?∈?0,α，有αα=+0，（0称为零元素）；

⑷ V V ∈?∈?βα,，有0=+βα，（β称为的α负元素，记为α-）；

⑸ P V ∈∈?1,α，有αα=?1；

⑹ αα?=??)()(kl l k ，P l k ∈,；

⑺ ααα?+?=?+l k l k )(；

⑻ βαβα?+?=+?k k k )(，

则称集合V 为数域P 上的线性空间.当数域P 为实数域时，

V 就称为实线性空间；

P 为复数域，V 就称为复线性空间．

例1.按通常向量的加法与数乘运算，由全体实n 维向量组成的集合，在实数域R 上构成一个实线性空间，记为n R ；由全体复n 维向量组成的集合，在复数域C 上构成—个复线性空间，记为n C ．例2.按照矩阵的加法及数与矩阵的乘法，由数域P 上的元素构成的全体n m ?矩阵所成的集合，在数域P 上构成一个线性空间，记为n m P ?．而其中秩为)0(>r r 的全体矩阵所成的集合r

R 则不构成线性空间，为什么？（事实上，零矩阵r R O ?）．

例3.按通常意义的函数加法和数乘函数，闭区间[]b a ,上的连续函数的全体所成的集合，构成线性空间[]b a C ,．

例4. 设+R ＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为xy y x =+, k x x k = 。证明：R +是实数域R 上的线性空间．证：首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性。唯一性和封闭性．唯一性显然，若,0 x ,0 y k R ∈，则有：xy y x =+R +∈，k k x x =o R +∈，封闭性得证．

其次，八条性质。

（1）)()()()(z y x z xy yz x z y x ++===++

（2） x y yx xy y x +===+

（3） 1是零元素．x x =+1

（4） 1x 是x 的负元素 111=+=+x

x x x （5） )()()()(y k x k y x xy y x k k k k +===+ [数因子分配律]

（6） )()()(x l x k x x l k l k +==++ [分配律]

（7） x kl x x x l k kl k l )()()(=== [结合律]

（8） x x x ==11 [恒等律]