函数的单调性练习题(含答案)
高中数学函数的单调性练习题及其答案
高中数学函数的单调性练习题及其答案1.在区间(0.+∞)上不是增函数的函数是：A。
y=2x+1 C。
y=1/x B。
y=3x^2+1 D。
y=2x^2+x+12.函数f(x)=4x^2-mx+5在区间[-2.+∞]上是增函数，在区间(-∞。
-2)上是减函数，则f(1)等于：C。
173.函数f(x)在区间(-2.3)上是增函数，则y=f(x+5)的递增区间是：B。
(-7.-2)4.函数f(x)=(ax+1)/(x+2)在区间(-2.+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是：B。
(0.+∞)5.已知函数f(x)在区间[a。
b]上单调，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a。
b]内：A。
至少有一实根6.已知函数f(x)=8+2x-x^2，如果g(x)=f(2-x^2)，那么函数g(x)：C。
在区间(-2.0)上是增函数7.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0.-1)、B(3.1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x+1)|<1的解集的补集是：D。
(-∞。
-1)∪[2.+∞)8.已知定义域为R的函数f(x)在区间(-∞。
5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5+t)=f(5-t)，那么下列式子一定成立的是：B。
f(13)<f(9)<f(-1)9.函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是：C。
(-∞。
1]。
[1.+∞)10.已知函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞。
4]上是减函数，则实数a的取值范围是：a≤0 或a≥51.对于第一题，正确答案为D，即a≥3.2.第二题中，删除了明显有问题的选项，正确答案为C，即f(a)+f(b)≥-f(a)+f(b)。
3.对于第三题，正确答案为B，即f(0)>f(3)。
4.填空题的答案为：13.(1.+∞)，14.(-∞。
3)，15.(-∞。
3]。
5.解答题的答案为：17.(1) f(1)=0；(2) f(x+3)-f(x)5，即单调递减区间为(-∞,1)∪(5.+∞)。
完整版)函数的单调性练习题及答案
完整版)函数的单调性练习题及答案1.函数的单调性练题一选择题：1.函数f(x)=x^2+2x-3的递增区间为(D。
[-1,+∞))2.如果函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数，则实数a的取值范围是(A。
[－3，＋∞))3.函数y=1-(1/(x-1))在(-1,+∞)内是单调递增。
4.如果函数f(x)=kx+b在R上单调递减，则(C。
b>0)5.在区间(-∞,0)上为增函数的是(B。
y=x^2)6.函数f(x)=2x-x^2的最大值是(B。
1)7.函数y=x+x^-2的最小值是(A。
0)2.填空题：8.函数f(x)=2x^2-mx+3，在(-∞,1)上是减函数，在[1,+∞)上是增函数，则m=4.9.已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，则实数m的取值范围为(-∞,-1/2)U(1/2,+∞)。
3.解答题：10.利用单调函数的定义证明：函数f(x)=x+2/x在区间(0,2)上是减函数。
证明：对于任意的x1,x2∈(0,2)，且x1<x2，有：f(x2)-f(x1)=(x2+2/x2)-(x1+2/x1)x2-x1+2/x2-2/x1x2-x1+2(x1-x2)/(x1x2)x2-x1)(1-2/(x1x2))因为x1,x2∈(0,2)，所以x1x2>0，而1-2/(x1x2)<1，所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x)在区间(0,2)上是减函数。
11.已知定义在区间(1,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=f(x/2)-f(x/4)，且当x>1时f(x)<0.1）求f(1)的值；因为f(x)=f(x/2)-f(x/4)，所以f(2)=f(1)-f(1/2)，又因为f(2)=f(1)-f(1/2)=f(1/2)-f(1/4)，所以f(1/2)=f(1)-f(1/4)，继续类似地推导，得到：f(1)=f(1)-f(1/2)+f(1/2)-f(1/4)+f(1/4)-f(1/8)+。
函数单调性经典题目含解析及答案
答案： (3,)或[3,)
3、已知 f (x) x2 2x 3, g(x) f (5 x2 ) ，试求 g(x) 的单调区间
解析：复合函数的单调性，当复合函数内外层单调区间不同时，以外
层函数为界限。
答案：单调减区间为 (,2), (0,2) ，单调增区间 (2,0), (2,) 4、函数 y 2 在区间[2,4] 上的最大值和最小值
答案：[0, 1]
5
8、已知 f (x) | x a |在 (,1) 上是单调函数，则 a 的取值范围 解析： f (x) | x |是偶函数，可以画图像利用图像平移的特点来判断 答案： (,1] 9、若 y (2k 1)x b 是 R 上的减函数，则 K 的取值范围。 解析：利用一元一次函数的图像 答案： (, 1)
x2 2x 1, x [0,)
解析：利用函数图像法求单调区间及最小值
答案：函数的单调增区间为 (,0), (0,) ，最小值为 f (0) 1
7、函数 f (x) ax2 2(a 1)x 2 在区间 (,4] 为减函数，则 a 的取值范围
解析：利用一元两次函数的开口方向及对称轴或一元一次函数
x
解析：利用函数单调性
答案：20。 20、函数 f (x) 2x2 mx 1在区间[1,4]上是单调函数，则实数 m 的取值
范围
解析：二次函数对称轴与区间关系
答案： m 4或m 16
21、若 f (x) x2 bx c ， f (1) 0, f (3) 0
（1）求 b,c 的值
ax 5, a,x 1 x
x
1
是
R
上的增函数，则
a
的取值范围
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、（1）函数f(x)＝x－2，x∈{1，2，4}的最大值为3.在区间[1，5]上的最大值为9，最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)＝(2/x)在（-∞，0）上是减函数。
证明：对于x1<x2.由于x1和x2都小于0，所以有x1<x2<0，因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此，f(x)在（-∞，0）上是减函数.3、函数f(x)＝|x|＋1的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，0]和[0，∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线，单调区间为(-∞，+∞).5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x>3，f(x)是减函数，对于x<3，f(x)是增函数。
因此，f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x3，f(x)是增函数。
因此，f(2)>f(15).6、已知y＝f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，且f(1-a)<f(3a-2)，求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1，1)上是减函数，所以对于0f(3a-2)。
因此，实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间：1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线，单调区间为(-∞，-3]和[1，+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，1]和[1，+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线，单调区间为(-∞，-1]和[1，+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线，单调区间为(-∞，-4]和[-1，1]和[5，+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.因为f(x)在[1，+∞)上是增函数，所以对于x>1，有f(x)>f(1)。
函数的单调性练习题(含标准答案)
函数的单调性练习题(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2- - 3函数的单调性练习一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞- -4C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．- -520．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为 单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．- - 6参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数． 20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则- -7f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27．- - 8(2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。
2022届高考数学 函数的单调性练习题(含答案)
函数的单调性一、单选题1．函数()f x = ）A ．(,1]-∞B ．[3,)+∞C ．(,1]-∞-D ．[1,)+∞2．已知2(2)ln f x xx -=-，则()f x 的单调增区间为（ ） A ．(2,)-+∞B ．(2,0)-C ．(0,)+∞D ．(0,2)3．函数213()log (6)f x x x =--的单调递增区间是（ ） A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ． 13,2⎛⎤--⎥⎝⎦4．已知()y f x =在区间I 上是严格增函数，且12,x x I ∈，则12x x <是()()12f x f x ≤（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件5．设函数()ln 31ln 31f x x x =++-，则()f x （ ） A ．是偶函数，且在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递增B ．是奇函数，且在11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减C ．是偶函数，且在1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D ．是奇函数，且在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减6．设函数()11xa f xb a -=+-（0a >，1a ≠），则函数()f x 的单调性（ ） A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 无关，且与b 有关C ．与a 有关，且与b 无关D ．与a 无关，且与b 无关7．定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞是减函数，且(2)1f -=，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ） A ．[-2,2]B ．[-2,1]C ．[1,3]-D ．[0,4]8．若2222log log 41a a a b b b -+=-++，则（ ）A ．2a b >B ．2a b <C ．21a b >+D ．21b a >+9．已知()(0)1x x f x =>+，则()f x 的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．810．已知函数()()22log 14f x x x =+≤≤，则函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值为（ ） A ．6 B ．13 C ．22 D ．3311．已知x ，y ∈R ，且x y >，则下列说法是正确的是（ ）A ．11x y<B ．--+<+x yy x e e e e C ．11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22x y >12．已知函数()f x 在R 上是减函数，且满足()()f x f x -=-，若31log 10a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3log 9.1b f =，()0.82c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b >>13．已知函数f (x )=221,143,1x x x x x ⎧-+<⎨-+≥⎩，在(0,3)a -上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[3，4]B ．[3，5]C ．(3，4]D ．(]3,514．已知()cos2sin f x x a x =-在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞ B ．(2,)-+∞C ．(,4)-∞-D ．(,4]-∞-二、填空题15．函数243y x x =-++，[]0,3x ∈的单调递增区间是_____．16．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数,x y 满足：()()()12f x y f x f y +=++，且102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，当12x >时，()0f x >.给出以下结论:①()102f =-;②()312f -=-;③()f x 为R 上的减函数;④()12f x +为奇函数;⑤()1f x +为偶函数.其中正确结论的序号是________.17．设()21,0f x x x =⎨--<⎩，0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则比较()f a ，f b ，()f c 的大小关系_______.18．若函数()22()log 3f x x ax =++在区间(3,)+∞上单调递增，实数a 的取值范围是________． 三、解答题19．已知函数()21xf x x=+，[]1,1x ∈-. （1）用单调性的定义证明函数()y f x =在区间[]1,1-上是单调递增； （2）求关于x 的不等式()()1f x f x -<的解集.20．已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，比较()x f b 与()x f c 的大小关系21．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-+． （1）求0x <时，函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围． （3）解不等式()2f x x ≥+．22．定义在()0,∞+上的函数()f x 对于任意的*,x y R ∈，总有()()()f x f y f xy +=，且当1x >时，()0f x <且()1f e =-． （1）求()1f 的值；（2）判断函数在()0,∞+上的单调性，并证明；（3）求函数()f x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．答案解析1.【解析】由题意，可得2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥，所以函数()f x =(][),13,-∞-⋃+∞，二次函数223y x x =--的对称轴为1x =，且在(][),13,-∞-⋃+∞上的单调递增区间为[3,)+∞，根据复合函数的单调性，可知函数()f x =[3,)+∞.故选：B.2.【解析】因为对数函数ln y x =在()0,∞+上是增函数，反比例函数2y x=-在()0,∞+上也是增函数， 所以2ln y x x=-在定义域()0,∞+上单调递增； 又()f x 是由(2)f x -向左平移两个单位得到，所以()f x 的单调增区间为(2,)-+∞.故选：A. 3.【解析】由题意知()f x 的定义域为()3,2-．令26t x x =--+， 则函数t 在13,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦上递增在1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上递减．又13log y =在其定义域上递减．故由复合函数的单调性知原函数的递增区间是1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，故选：B 4.【解析】由()y f x =在区间I 上是严格增函数， ∴12,x x I ∈，12x x <时，2121()()0f x f x x x ->-，∴21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，故12x x <是()()12f x f x ≤充分非必要条件.故选：A.5.【解析】由310310x x ⎧+>⎪⎨->⎪⎩得：13x ≠±，()f x ∴定义域为1111,,,3333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 又()()ln 31ln 31ln 31ln 31f x x x x x f x -=-++--=-++=，()f x ∴为定义域内的偶函数，可排除BD ；当1,3x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()()2ln 31ln 31ln 91f x x x x =--+-+=-，291t x =-在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，ln y t =单调递增，()f x ∴在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，可排除A ；()f x 为偶函数且在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭上单调递增，C 正确.故选：C.6.【解析】函数()11x a f x b a -=+-（0a >，1a ≠）， 当01a <<时，()11xa f xb a -=+-单调递减. 当1a >时，()11xa f xb a -=+-单调递减. 则0a >且1a ≠，b R ∈，()11xa f xb a -=+-的单调性都为单调递减. 所以函数()11xa f xb a -=+-（0a >，1a ≠）的单调性与a b ，无关.故选：D 7.【解析】因为函数()f x 在R 上的奇函数，且(2)1f -=，所以()2(2)1f f =--=-， 又因为()f x 在[0,)+∞是减函数，所以()f x 在R 上是减函数，因为1(2)1f x -≤-≤， 所以()()21(2)12f f x f =-≤-≤=-，则222x -≤-≤，解得04x ≤≤，故选：D 8.【解析】根据题意，可知，0a >，0b >，∵22log 41b b b -++()22log 1(2)b b b =+-+()222log log 22(2)b b b b =+-++22log (2)2(2)b b b b -=++，∴222222log log (2)2(2)log (2)2(2)a a a b b b b b b b -+=-++>-+，令()()22()lo ,g 0f x x x xx =-∈++∞，即()()2f a f b >，∵211ln 2(2ln 2)()12ln 2ln 2x x f x x x x -⋅+⋅'=-+=⋅⋅， 令2()(2ln 2)ln 21g x x x =⋅-⋅+，∵0ln 21<<， ∴2(ln 2)8ln 2ln 2(ln 28)0∆=-=⋅-<，即对于任意的x ，恒有()0()0g x f x '>⇒>，∴()f x 在()0,∞+上单调递增， ∴2a b >.故选：A.9.【解析】令1,(0)t x x =+>，所以()1,1x t t =->;所以()236(0)1x x x x f x ++=>+转化为()()()231116t t y t t-+-+>=； 即()()()21316411y t t t t tt =++-+-+=>,又函数y 在()1,2上单调递减，在区间()2,+∞上单调递增， 所以当2t =时，y 取到最小值，最小值为5； 即当1x =时，()f x 取到最小值，最小值为5. 故选：B. 10.【解析】()22log f x x =+，22222[()]()(log )6log 6y f x f x x x ∴=+=++，14x ≤≤，∴21414x x ⎧⎨⎩， 22222[()]()(log )6log 6y f x f x x x ∴=+=++，的定义域是{}|12x x ．令2log x t =，因为12x ，所以01t ，则上式变为266y t t =++，01t ，266y t t =++在[]0,1上是增函数，当1t =时，y 取最大值13，故选：B ．11.【解析】A ：当2x =，3y =-时，11x y>，∴A 错误， B ：设x x y e e -=-，则函数为R 上的增函数，∵x y >，∴x x y y e e e e --->-，即y x y x e e e e --+>+，∴B 错误.C ：∵12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，x y >，∴1122x y ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴C 正确，D ：当2x =，3y =-时，22x y <，∴D 错误. 故选：C .12.【解析】33331log log 10log 9.1log 9210-=>>=，0.822<， 即：0.8331log log 9.1210->>，又()f x 是定义在R 上的减函数， ()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭又()f x 为奇函数，3311log log 1010f f⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭，即：c b a >>. 13.【解析】函数221,1()43,1x x f x x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩，画出函数()f x 的大致图象，如图所示：函数()f x 在(0,3)a -上单调递减，∴由图象可知：032a <-≤，解得：35a <≤， 故实数a 的取值范围是：(]3,5.故选：D.14.【解析】()cos2sin f x x a x =- =22sin 1x asinx --+， 令sinx t =，由,62x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可得1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则： ()cos2sin f x x a x =-在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，等价于221y t at =--+在1,12⎛⎫⎪⎝⎭是增函数，只需对称轴：14a -≥，解得4a ≤-.故选：D.15.【解析】243y x x =-++的图象开口向下，又243y x x =-++的对称轴为42(1)2x =-=-⨯，()f x ∴的单调递增区间是[]0,2.16.【解析】由题意和,x y 的任意性，取0x y ==代入()()()12f x y f x f y +=++， 可得()()()01020=++f f f ，即1(0)2f =-，故①正确； 取12x =， 12y 代入可得()1110222⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f ，即1110222⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭f ，解得112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ； 再令12x y ==-代入可得()111122232122⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭f f f ，故②正确；令y x =-代入可得11(0)()()22-==+-+f f x f x ，即11()()022++-+=f x f x ，故1()2+f x 为奇函数，④正确；取1y =-代入可得()()()1112-=+-+f x f x f ，即()()()111102---=+=-<f x f x f ，即()()1f x f x -<，故()f x 为R 上减函数，③错误；⑤错误，因为11()1()22+=++f x f x ，由④可知1()()2=+g x f x 为奇函数，故11()()2()22-+--=-g x g x g x 不恒为0，故函数()1f x +不是偶函数.故答案为：①②④17.【解析】当0x ≥时，()11f x x =+≥，且()f x 在[)0,+∞上单调递增， 当0x <时，()211f x x =--<-，且()f x 在(),0-∞上单调递增，()f x ∴为R 上的增函数，又()()00.50.70.70.50.50.5log 5log 10log 1log 0.7log 0.510.70.7-<==<<==<，即c b a <<，()()()f a f b f c ∴>>18.【解析】设2log u x =，则其在区间(0,)+∞上单调递增； 设23v x ax =++，其开口向上，对称轴为直线2a x =-；在区间(,)2a-∞-上单调递减、在区间(,)2a-+∞上单调递增. 由复合函数的单调性知当内外层函数的单调性都为单调递增时，复合函数才单调递增. 所以要使函数()22()log 3f x x ax =++在区间(3,)+∞上单调递增，则需32a-≤， 同时还得保证其真数大于0，即令：2(3)3330v a =++≥，解得4a ≥-. 故答案为：[)4,-+∞.19.【解析】（1）令1211x x ，则()()()()()()()()22221221121212121222222212121211()()111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+-+--=-==++++++()()()()12122212111x x x x x x --=++，∵22121211,(1)(1)0x x x x -≤<≤++>，1210x x ->，∴12())0(f x f x -<，故函数()y f x =在区间[]1,1-上是单调递增； （2）由（1）结论，及()()1f x f x -<知：111111x xx x -<⎧⎪-≤-≤⎨⎪-≤≤⎩，解得112x <≤.因此，不等式()()1f x f x -<的解集为112x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.20.【解析】∵(1)(1)f x f x +=-，∴函数()f x 的对称轴是1x =．故2b =，又(0)3f =，∴3c =．∴函数()f x 在(]1-∞，上递减，在[)1+∞，上递增．若0x ≥，则321x x ≥≥， ∴(3)(2)x x f f ≥；若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >．综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥．21.【解析】（1）设0x <，则0x ->，所以22()()2()2f x x x x x -=--+-=--又()f x 为奇函数，所以()()f x f x =--， 所以当0x <时，2()2f x x x =+，（2）作出函数()f x 的图像，如图所示：要使()f x 在[1,2]a --上单调递增，结合()f x 的图象知2121a a ->-⎧⎨-≤⎩，所以13a <≤，所以a 的取值范围是(1,3].（3）由（1）知222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，解不等式()2f x x ≥+，等价于2022x x x x ≥⎧⎨-+≥+⎩或2022x x x x <⎧⎨+≥+⎩，解得：∅或2x -≤ 综上可知，不等式的解集为(],2-∞-22.【解析】（1）令1x y ==，()()()()11110f f f f +=⇒=． （2）()f x 在()0,∞+单调递减，设120x x >>，令1xy x =，2x x =，则12x y x =，所以1y >，()0f y <， 得()()()()211112220⎛⎫⎛⎫+=⇒-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f f x f x x x f x f x x ， 即对任意()12,0,x x ∈+∞，若12x x >，则()()12f x f x <，()f x 在()0,∞+单调递减．（3）因为()1f e =-，令x y e ==，()()()22=+=-f e f e f e ， 令x e =，1y e =，()()110⎛⎫=+= ⎪⎝⎭f f e f e ，11f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为函数单调递减，所以()max 11⎛⎫== ⎪⎝⎭f x f e ，()()2min 2==-f x f e ．。
函数的单调性及奇偶性测试题(含答案)
函数的单调性及奇偶性一、单选题(共10道，每道10分)1.已知函数是上的增函数，若，则下列不一定正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义2.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义3.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若，则实数a的取值范围是( ) A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义4.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.无减区间答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性5.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间6.函数的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性7.若是奇函数，则实数a的值为( )A.1B.-1C.0D.±1答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质8.若是定义在上的偶函数，则a的值为( )A.±1B.1C.-1D.-3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质9.设是定义在[-2，2]上的奇函数，若在[-2，0]上单调递减，则使成立的实数a的取值范围是( )A.["-1，2"]B.C.(0，1)D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：奇偶性与单调性的综合10.已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：奇偶函数图象的对称性。
高中数学函数的单调性练习题和答案
函数的单调性一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2 D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2)，那么函数g (x )（ ）A ．在区间(－1，0)上是减函数B ．在区间(0，1)上是减函数C ．在区间(－2，0)上是增函数D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4) C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞） D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9)9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则（ ）A ．f (－1)＜f (3)B ．f (0)＞f (3)C ．f (－1)=f (－3)D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212aa-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞)设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xa x x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。
函数的单调性及奇偶性(含答案)
函数的单调性及奇偶性一、单选题(共10道，每道10分)1.已知函数是上的增函数，若，则下列不一定正确的是( )..答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义]2.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若，则实数a的取值范围是( )..答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义3.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若，则实数a的取值范围是( )..答案：B、解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义4.函数的单调递减区间是( )..无减区间答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性5.函数的单调递减区间是( ) （A.，B.，C.，D.，答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间6.函数的单调递增区间是( )..答案：B解题思路：#试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性7.若是奇函数，则实数a的值为( )D.±1答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质8.若是定义在上的偶函数，则a的值为( )A.±1~答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质9.设是定义在[-2，2]上的奇函数，若在[-2，0]上单调递减，则使成立的实数a的取值范围是( )A.[-1，2]B.C.(0，1)D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：奇偶性与单调性的综合10.已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为( )..答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：奇偶函数图象的对称性。
函数的单调性练习题及答案
函数的单调性练习题之答禄夫天创作一 选择题：1. 函数f （x ）=x 2+2x-3的递增区间为 ( )A ．（-∞,-3]B ．[-3,1]C ．（-∞,-1]D ．[-1,+∞）2.如果函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a 的取值范围是( )A.[－3,＋∞)B.(－∞,－3]C.(－∞,5]D.[3,＋∞)3. 函数111y x =-- （ ） A ．在（-1,+∞）内是单调递增 B ．在（-1,+∞）内是单调递加C ．在（1,+∞）内是单调递加D ．在（1,+∞）内是单调递增4.如果函数()f x kx b =+在R 上单调递加,则（ ）A. 0k >B. 0k <C. 0b >D. 0b <5. 在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ）A ．2y x =-B ．2y x =C ．||y x =D ．2y x =-6. 函数2()2f x x x =-的最年夜值是（ ）.A. －1B. 0C. 1D. 27. 函数y x = ）.二 填空题：8. 函数f （x ）=2x 2一mx+3,在（一∞,一1）上是减函数,在[一1,+∞）上是增函数,则m=_______.9.已知()x f 是界说在()2,2-上的减函数,而且()()0211>---m f m f ,则实数m 的取值范围______________.三 解答题：10. 利用单调函数的界说证明：函数)2,0(2)(在区间x x x f +=上是减函数.11.已知界说在区间（0,+∞）上的函数()x f 满足()()2121x f x f x x f -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,且那时1>x ()0<x f .（1）求()1f 的值；（2）判断()x f 的单调性；（3）若()13-=f ,解不等式()2||-<x f .。
函数的单调性试题(含答案)
一、选择题1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( ) A ．y ＝1－x 2 B ．y ＝x 2＋x C ．y ＝－－x D ．y ＝xx －1[答案] D[解析] y ＝1－x 2在(－∞，0)上为增函数，y ＝x 2＋x 在(－∞，0)上不单调，y ＝－－x 在(－∞，0)上为增函数，故选D.2．已知f (x )是R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x >f (1)的x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) [答案] D[解析] ∵f (x )在R 上单调递减且f (1x )>f (1)， ∴1x <1，∴x <0或x >1.3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1x D ．y ＝－|x |[答案] B[解析] y ＝3－x ，y ＝1x ，y ＝－|x |在(0,2)上都是减函数，y ＝x 2＋1在(0,2)上是增函数．4．若y＝f(x)是R上的减函数，对于x1＜0，x2＞0，则()A．f(－x1)＞f(－x2)B．f(－x1)＜f(－x2)C．f(－x1)＝f(－x2)D．无法确定[答案] B[解析]由于x1＜0，x2＞0，所以x1＜x2，则－x1＞－x2，因为y＝f(x)是R 上的减函数，所以f(－x1)＜f(－x2)，故选B.5．函数f(x)＝－x2＋6x＋7的单调增区间为()A．(－∞，3] B．[3，＋∞)C．[－1,3] D．[3,7][答案] C[解析]方程－x2＋6x＋7＝0的两根为x1＝－1，x2＝7，又y＝－x2＋6x＋7对称轴为x＝3，如图知选C.6．函数y＝1－1x－1() A．在(－1，＋∞)内单调递增B．在(－1，＋∞)内单调递减C．在(1，＋∞)内单调递增D．在(1，＋∞)内单调递减[答案] C[解析]因为函数y＝1－1x－1可视作函数y＝－1x的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到的，所以y ＝1－1x －1在(－∞，1)和(1，＋∞)内都是增函数，故选C.7．已知函数y ＝f (x )的定义域是数集A ，若对于任意a ，b ∈A ，当a <b 时都有f (a )<f (b )，则方程f (x )＝0的实数根( )A ．有且只有一个B ．一个都没有C ．至多有一个D ．可能会有两个或两个以上 [答案] C[解析] 由条件知f (x )在A 上单调增，故f (x )的图象与x 轴至多有一个交点，故选C.8．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t ，都有f (2＋t )＝f (2－t )，则( ) A ．f (2)<f (1)<f (4) B ．f (1)<f (2)<f (4) C ．f (2)<f (4)<f (1) D ．f (4)<f (2)<f (1) [答案] A[解析] 由条件知，二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，其图象开口向上，∵2－1<4－2，∴f (4)>f (1)>f (2)．[点评] 当二次函数的图象开口向上时，与对称轴距离越远，对应的函数值越大；开口向下时恰好相反．9．(09·天津文)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是()A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)[答案] A[解析]∵f(1)＝3，∴当x≥0时，由f(x)＞f(1)得x2－4x＋6>3，∴x＞3或x＜1.又x≥0，∴x∈[0,1)∪(3，＋∞)．当x＜0时，由f(x)＞f(1)得x＋6＞3∴x＞－3，∴x∈(－3,0)．综上可得x∈(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.10．设(c，d)、(a，b)都是函数y＝f(x)的单调减区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定[答案] D[解析]函数f(x)在区间D和E上都是减函数(或都是增函数)，但在D∪E 上不一定单调减(或增)．如图，f(x)在[－1,0)和[0,1]上都是增函数，但在区间[－1,1]上不单调．二、填空题11．考察单调性，填增或减函数y ＝1－x 在其定义域上为________函数； 函数y ＝1x 在其定义域上为________函数．[答案] 减 减12．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2 x ≥0x ＋1 x ＜0，则f (x )的单调增区间是________，单调减区间是________．[答案] 增区间为(－∞，0]、[1，＋∞)，减区间[0,1] [解析] 画出f (x )＝⎩⎨⎧(x －1)2 (x ≥0)x ＋1 (x <0)的图象如图，可知f (x )在(－∞，0]和[1，＋∞)上都是增函数，在[0,1]上是减函数.13．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1，在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f (1)＝________.[答案] 21[解析] 由已知得－－m2×4＝－2，解得m ＝－16∴f (x )＝4x 2＋16x ＋1，则f (1)＝21. 三、解答题14．设f (x )在定义域内是减函数，且f (x )＞0，在其定义域内判断下列函数的单调性(1)y ＝f (x )＋a (2)y ＝a －f (x ) (3)y ＝[f (x )]2.[解析] (1)y ＝f (x )＋a 是减函数，(2)y ＝a －f (x )是增函数．证明从略． (3)设x 2＞x 1，f 2(x 2)－f 2(x 1)＝[f (x 2)＋f (x 1)][f (x 2)－f (x 1)]＜0，∴y ＝f 2(x )是减函数．15．画出函数y ＝|x 2－x －6|的图象，指出其单调区间．[解析] 函数解析式变形为y ＝⎩⎨⎧－x 2＋x ＋6(－2≤x ≤3)x 2－x －6(x ＜－2或x ＞3)画出该函数图象如图，由图知函数的增区间为[－2，12]和[3，＋∞)；减区间为(－∞，－2)和[12，3]．16．讨论函数y ＝1－x 2在[－1,1]上的单调性．[解析] 设x 1、x 2∈[－1,1]且x 1<x 2，即－1≤x 1<x 2≤1，则f (x 1)－f (x 2)＝1－x 21－1－x 22＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)1－x 21＋1－x 22当1>x 1≥0,1≥x 2>0，x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在[0,1]上为减函数，当－1≤x 1<0，－1<x 2≤0，x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在[－1,0]上为增函数． 17．求证：函数f (x )＝x ＋a 2x (a ＞0)，在区间(0，a ]上是减函数． [解析] 设0＜x 1＜x 2≤a ，f (x 2)－f (x 1)＝(x 2＋a 2x 2)－(x 1＋a 2x 1)＝(x 2－x 1)＋a 2(x 1－x 2)x 1x 2＝(x 2－x 1)(x 1x 2－a 2)x 1x2. ∵0＜x 1＜x 2≤a ，∴0＜x 1x 2＜a 2， ∴(x 2－x 1)(x 1x 2－a 2)x 1x2＜0，∴f (x 2)＜f (x 1)， ∴f (x )＝x ＋a 2x (a >0)在(0，a ]上是减函数．18．已知f (x )在R 上是增函数，且f (2)＝0，求使f (|x －2|)>0成立的x 的取值范围．[解析] 不等式f (|x －2|)>0化为 f (|x －2|)>f (2)，∵f (x )在R 上是增函数， ∴|x －2|>2，∴x >4或x <0.。
高中数学函数的单调性测试题(含答案)
高中数学函数的单调性测试题(含答案)一、选择题（每小题5分，计512=60分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案1. 在区间上为增函数的是: （）A．B. C. D.2. 已知函数，则与的大小关系是:（）A. B. = C. D.不能确定3. 下列命题:(1)若是增函数,则是减函数;(2)若是减函数,则是减函数;(3)若是增函数, 是减函数, 有意义,则为减函数,其中正确的个数有:（）A.1B.2C.3D.04．函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间是（）A．(3，8) B．(－7，－2) C．(－2，3) D．(0，5)5．函数f(x)= 在区间(－2，＋)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(0，) B．( ，＋) C．(－2，＋) D．(－，－1)(1，＋) 6．已知定义域为R的函数f(x)在区间(－，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是（）A．f(－1)＜f(9)＜f(13) B．f(13)＜f(9)＜f(－1)C．f(9)＜f(－1)＜f(13) D ．f(13)＜f(－1)＜f(9)7．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A．a B．a－3 C．a D．a38．已知f(x)在区间(－，＋)上是增函数，a、bR且a＋b0，则下列不等式中正确的是（）A．f(a)＋f(b)－f(a)＋f(b)］B．f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b) C．f(a)＋f(b)－f(a)＋f(b)］D．f (a)＋f(b)f(－a)＋f(－b) 9．定义在R上的函数y=f(x)在(－，2)上是增函数，且y=f(x ＋2)图象的对称轴是x=0，则（）A．f(－1)＜f(3) B．f (0)＞f(3) C．f (－1)=f (－3) D．f(2)＜f(3)10. 已知函数在上是单调函数,则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（每小题4分，计44=16分）11. 设函数,对任意实数都有成立,则函数值中,最小的一个不可能是_________12. 函数是R上的单调函数且对任意实数有. 则不等式的解集为__________13．已知函数，当时，14. 设设为奇函数, 且在内是减函数, ,则不等式的解集为．15. 定义在（－，+）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=－f（x），且在［－1，0］上是增函数，下面是关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）的图象关于直线x=1对称；③f（x）在［0，1］上是增函数；④f（x）在［1，2］上是减函数；⑤f（2）=f（0）.其中正确的判断是（把你认为正确的判断都填上）三、解答题（共计74分）16. f(x)是定义在( 0，＋)上的增函数，且f( ) = f(x)－f(y) （1）求f(1)的值．（2）若f(6)= 1，解不等式f( x＋3 )－f( ) ＜2 ．17. 奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范围。
高中数学函数的单调性练习题及其答案
高中数学函数的单调性练习题及其答案(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2函数的单调性一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是（ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0，21) B ．(21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x )（ ）A ．在区间(－1，0)上是减函数B ．在区间(0，1)上是减函数C ．在区间(－2，0)上是增函数D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ）A ．(－1，2)B ．(1，4)3C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞ B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥311．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ）A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ）A ．f (－1)＜f (3)B ．f (0)＞f (3)C ．f (－1)=f (－3)D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ．三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y )4（1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取5值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)，又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx618.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)．当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；7③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27．(2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xa x x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。
(完整版)高中数学函数的单调性练习题及其答案
函数的单调性一、选择题：1．在区间 (0，＋∞ ) 上不是增函数的函数是（）A ． y=2x ＋ 1B ． y=3x 2＋ 12D ． y=2x 2＋ x ＋ 1C ． y=x2．函数 f(x)=4 x 2 －mx ＋ 5 在区间［－ 2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－ 2)上是减函数，则 f(1)等于（ ） A ．－ 7B ． 1C ． 17D ． 253．函数 f( x)在区间 (－ 2， 3)上是增函数，则 y=f(x ＋5)的递加区间是 （）A ． (3， 8)B ． (－7，－ 2)C ． (－ 2，3)D ． (0， 5)4．函数 f( x)=ax1在区间 (－ 2，＋∞ )上单调递加，则实数 a 的取值范围是（）x2A ． (0， 1 )B ． (1，＋∞ )22C ． (－ 2，＋∞ )D ． (－∞，－ 1)∪(1，＋∞ )5．已知函数 f(x)在区间 [a ， b] 上单调 ，且 f(a)f(b)＜ 0，则方程 f(x)=0 在区间 [a ， b]内（）A ．最少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一的实根6．已知函数 f(x)=8＋ 2x － x 2，若是 g(x)=f( 2－x 2 )，那么函数 g( x)（）A ．在区间 (－ 1， 0)上是减函数B ．在区间 (0， 1)上是减函数C ．在区间 (－ 2， 0)上是增函数D ．在区间 (0 ，2)上是增函数7．已知函数f(x)是 R 上的增函数， A(0 ，－ 1) 、 B(3 ， 1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x ＋ 1)|＜ 1 的解集的补集是（）A ． (－ 1，2)B ． (1， 4)C ． (－∞，－ 1)∪ [4，＋∞）D ． (－∞，－ 1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为 R 的函数 f(x)在区间 (－∞， 5)上单调递减，对任意实数t ，都有 f(5＋ t)＝ f(5－ t)，那么以下式子必然成立的是（）A ． f(－ 1)＜ f(9) ＜f(13)B ． f(13)＜ f(9) ＜ f(－ 1)C ． f(9) ＜f(－ 1)＜ f(13)D ． f(13)＜ f(－ 1)＜ f(9)9．函数 f ( x) | x | 和 g (x) x( 2 x) 的递加区间依次是（）A ． ( ,0], (,1] B ． ( ,0], [1, )C ． [0,), (,1]D [0,), [1,)10．已知函数f x x2 2 a 1 x 2 在区间,4 上是减函数，则实数 a 的取值范围是（）A ． a≤ 3B ． a≥－ 3C． a≤ 5D． a≥ 311．已知 f(x)在区间 (－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R 且 a＋b≤0，则以下不等式中正确的选项是（）A ． f(a)＋ f(b)≤－ f(a)＋ f(b)］B． f(a)＋ f(b)≤f(－ a)＋ f(－ b)C． f(a) ＋f(b)≥－ f(a)＋ f(b)］D． f(a)＋ f(b)≥ f(－ a)＋ f(－ b)12．定义在 R 上的函数 y=f(x)在(－∞，2)上是增函数，且 y=f(x＋2)图象的对称轴是 x=0，则（）A ． f(－ 1)＜ f(3)B ． f (0)＞ f(3)C． f (－ 1)=f (－ 3)D． f(2) ＜ f(3)二、填空题：13．函数 y=(x－ 1)-2的减区间是 ____．14．函数 y=x－ 21x ＋2的值域为_____．15、设y f x是 R 上的减函数，则 y f x 3 的单调递减区间为.16、函数 f(x) = ax2＋4(a＋1)x－ 3 在 [2，＋∞ ] 上递减，则 a 的取值范围是 __．三、解答题：17． f(x)是定义在 ( 0，＋∞ )上的增函数，且f(x) = f(x)－ f(y) y（1）求 f(1)的值．1（2）若 f(6)= 1，解不等式 f( x＋ 3 )－ f() ＜ 2 ．x18．函数 f(x)=－ x3＋ 1 在 R 上可否拥有单调性？若是拥有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试谈论函数f(x)=1x 2在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数 f(x)=x 2 1 － ax ，(a ＞ 0)，试确定：当 a 取什么值时，函数 f(x)在 0，＋∞ )上为单调函数．21．已知 f(x)是定义在 (－ 2，2)上的减函数，并且f(m －1) －f(1－2m)＞ 0，求实数 m 的取值范围．2 22．已知函数 f(x)=x2xa，x ∈［1，＋∞］x（ 1）当 a= 1时，求函数 f(x)的最小值；2（2）若对任意 x ∈ [ 1，＋∞ ) ， f(x) ＞0 恒成立，试求实数 a 的取值范围．参照答案一、选择题： CDBBD ADCCABA二、填空题： 13. (1，＋∞ )， 14. (－∞， 3)， 15. 3,，,12三、解答题： 17.剖析：①在等式中 令 xy 0 ，则 f(1)=0 ．②在等式中令 x=36 ， y=6 则 f (36 f (36) f (6),f (36) 2 f (6) 2.)6故原不等式为：f ( x 3)f ( 1 ) f (36), 即 f[x(x ＋ 3)] ＜ f(36) ，x又 f(x)在 (0，＋∞ )上为增函数，x 3 0故不等式等价于：1 00 x153 3 .x20 x(x 3)3618.剖析： f(x)在 R 上拥有单调性，且是单调减函数，证明以下：设 x 1、x 2∈( －∞，＋∞ )， x 1 ＜x 2 ，则 f(x 1)=－ x 13＋ 1， f(x 2)=－ x 23＋1．f(x 1) －f(x 2)=x 2 3－ x 13=(x 2－ x 1)(x 12＋ x 1x 2＋ x 22)=( x 2－ x 1)［ (x 1＋ x 2 )2＋ 3x 22］． 2 4∵ x 1＜ x 2，∴ x 2－ x 1＞ 0 而 (x 1＋x 2)2＋ 3x 22＞0，∴ f( x 1)＞ f(x 2 )．24∴函数 f(x)= － x 3＋1 在 (－∞，＋∞ )上是减函数．19.剖析： 设 x 、x ∈－ 1， 1］且 x ＜ x ，即－ 1≤ x ＜ x ≤ 1．1 2 1 2 1 21212－12 (1 x 1 2 ) (1 x 2 2) ( x 2 x 1 )( x 2 x 1)f(x ) －f(x )=x 1x 2=1 x2 2 =1 x 221 x 12 1 x 12 ∵x 2 － x 1＞0， 1 x 1 21 x2 2 ＞ 0，∴当 x 1＞ 0，x 2 ＞ 0 时，x 1 ＋ x 2 ＞ 0，那么 f(x 1) ＞ f(x 2)．当 x 1＜0， x 2＜ 0 时， x 1＋x 2＜0，那么 f(x 1) ＜f(x 2)．故 f(x)= 1x 2 在区间［－ 1，0］上是增函数， f(x)= 1 x 2 在区间［ 0，1］上是减函数．20.剖析：任取 x 1、x 2∈0，＋且 x 1＜ x 2，则f(x 1)－ f(x 2)=x 1 2 1 － x 2 2 1 － a(x 1－ x 2)=x 1 2x 2 2 － a(x 1－ x 2)x 121 x2 2112x 1x 2－ a)=( x － x )(x 1 2 1x 221(1) 当 a ≥ 1 时，∵x 1x 2＜ 1，22x 1 1 x 21又∵ x 1－ x 2＜ 0，∴ f(x 1)－f(x 2)＞ 0，即 f(x 1)＞ f(x 2)∴ a ≥ 1 时，函数 f(x)在区间［ 0，＋∞ )上为减函数．(2) 当 0＜ a ＜ 1 时，在区间［ 0，＋∞］上存在x 1=0， x 2=2a，满足 f(x 1)=f(x 2)=11 a2∴ 0＜ a ＜1 时， f(x) 在［０，＋上不是单调函数注： ①判断单调性老例思路为定义法；②变形过程中x 1x 2＜ 1 利用了21 ＞1 ≥ 121＞ x 2；x 1 2 1x 2 21x 1|x | x ;x 2③从 a 的范围看还须谈论 0＜ a ＜1 时 f(x)的单调性，这也是数学慎重性的表现．21.剖析： ∵ f(x)在 (－ 2， 2)上是减函数∴由 f(m － 1)－ f(1－ 2m) ＞0，得 f(m － 1)＞ f(1－ 2m)2 m 1 21 m 31 31212∴解得m21即m，∴ m 的取值范围是 (－, )2m 2,22 2 2 m 1 12m233m322.剖析：(1) 当 a= 1 时， f(x)= x ＋1＋ 2， x ∈ 1，＋∞ )22 x设 x 2 ＞x 1≥1，则 f(x 2 )－ f(x 1)= x 2＋ 1x1 =(x2 －x 1 )＋ x1x 2=(x 2－ x 1)(1 － 1 )2x 212 x 1 2 x 1 x 22 x 1 x 2∵x 2＞ x 1≥1， ∴ x 2－ x 1＞ 0， 1－ 1＞ 0，则 f(x 2)＞f(x 1)2 x 1 x 2可知 f(x)在［ 1，＋∞ )上是增函数．∴ f(x)在区间［ 1，＋∞ ) 上的最小值为 f(1)=7 ．2x22x a ＞ 0恒成立x2＋ 2x ＋a ＞ 0 恒成立(2)在区间［ 1，＋∞ ) 上， f(x)=x设 y=x 2＋ 2x ＋ a ，x ∈1，＋∞ ) ，由 y=(x ＋ 1)2＋ a － 1 可知其在 [1，＋∞ ) 上是增函数，当 x=1 时， y min =3＋ a ，于是当且仅当 y min =3＋ a ＞ 0 时函数 f(x)＞ 0 恒成立．故 a ＞－ 3．。
函数的单调性及奇偶性(含答案)
函数的单调性及奇偶性(含答案)函数的单调性及奇偶性1.已知函数$f(x)=x^2+2x+1$，则$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上是上的增函数，若$x>0$，则下列不一定正确的是()答案：D解题思路：$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上单调递增，所以选项D不一定正确。
2.已知定义在$(-\infty,+\infty)$上的函数$f(x)$满足：对任意不同的$x_1$，$x_2$，都有$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。
若$f(x)=ax^2+bx+c$，则实数$a$的取值范围是()答案：C解题思路：根据题目中的条件可知$f(x)$是下凸函数，即$a>0$，$b^2-4ac<0$，所以$a$的取值范围是$(0,+\infty)$，选项C正确。
3.已知定义在$(-\infty,+\infty)$上的函数$f(x)$满足：对任意不同的$x_1$，$x_2$，都有$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$。
若$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，则实数$a$的取值范围是()答案：B解题思路：根据题目中的条件可知$f(x)$是下凸函数，且在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$a>0$，$b^2-4ac<0$，且$b\geq0$，所以$a\leq\frac{1}{4}$，选项B正确。
4.函数$f(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}$的单调递减区间是()答案：A解题思路：求出$f'(x)$，令其小于0，解得$x\in(-\infty,-2)\cup(-1,-\frac{3}{2})$，即$f(x)$在$(-\infty,-2)\cup(-1,-\frac{3}{2})$上单调递减，选项A正确。
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函数的单调性演习一.选择题：1．在区间(0,＋∞)上不是增函数的函数是（ ） A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x 2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2,＋∞］上是增函数,在区间(－∞,－2)上是减函数,则f (1)等于（ ） A ．－7B ．1 C ．17D ．253．函数f (x )在区间(－2,3)上是增函数,则y =f (x ＋5)的递增区间是（ ） A ．(3,8)B ．(－7,－2) C ．(－2,3)D ．(0,5)4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2,＋∞)上单调递增,则实数a 的取值规模是（ ） A ．(0,21)B ．( 21,＋∞)C ．(－2,＋∞)D ．(－∞,－1)∪(1,＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ,b ]上单调,且f (a )f (b )＜0,则方程f (x )=0在区间[a ,b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有独一的实根6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2,假如g (x )=f ( 2－x 2 ),那么函数g (x )（ ） A ．在区间(－1,0)上是减函数 B ．在区间(0,1)上是减函数C ．在区间(－2,0)上是增函数D ．在区间(0,2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数,A(0,－1).B(3,1)是其图象上的两点,那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是（ ）A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞,－1)∪[4,＋∞）D ．(－∞,－1)∪[2,＋∞）8．已知界说域为R 的函数f (x )在区间(－∞,5)上单调递减,对随意率性实数t ,都有f (5＋t )＝f (5－t),那么下列式子必定成立的是（ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13)B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13)D ．f (13)＜f (－1)＜f (9)9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞ 10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数,则实数a 的取值规模是（ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥311．已知f (x )在区间(－∞,＋∞)上是增函数,a .b ∈R 且a ＋b ≤0,则下列不等式中准确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．界说在R 上的函数y =f (x )在(－∞,2)上是增函数,且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0,则（ ） A ．f (－1)＜f (3)B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二.填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是____． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为_____．15.设()y f x =是R 上的减函数,则()3y f x =-的单调递减区间为.16.函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2,＋∞]上递减,则a 的取值规模是__． 三.解答题：17．f (x )是界说在( 0,＋∞)上的增函数,且f (y x) = f (x )－f (y )（1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1,解不等式 f ( x ＋3 )－f (x 1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？假如具有单调性,它在R 上是增函数照样减函数试证实你的结论．19．试评论辩论函数f (x )=21x -在区间［－1,1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ,(a ＞0),试肯定：当a 取什么值时,函数f (x )在0,＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是界说在(－2,2)上的减函数,并且f (m －1)－f (1－2m )＞0,求实数m 的取值规模．22．已知函数f (x )=x ax x ++22,x ∈［1,＋∞］（1）当a =21时,求函数f (x )的最小值;（2）若对随意率性x ∈[1,＋∞),f (x )＞0恒成立,试求实数a 的取值规模．参考答案一.选择题： CDBBD ADCCA BA二.填空题：13. (1,＋∞), 14. (－∞,3),15.[)3,+∞,⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三.解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令,则f (1)=0．②在等式中令x=36,y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f故原不等式为：),36()1()3(f x f x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36),又f (x )在(0,＋∞)上为增函数,故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x x x18.解析： f (x )在R 上具有单调性,且是单调减函数,证实如下：设x 1.x 2∈(－∞,＋∞), x 1＜x 2 ,则f (x 1)=－x 13＋1, f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］． ∵x 1＜x 2,∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0,∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞,＋∞)上是减函数． 19.解析： 设x 1.x 2∈－1,1］且x 1＜x 2,即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0,222111x x -+-＞0,∴当x 1＞0,x 2＞0时,x 1＋x 2＞0,那么f (x 1)＞f (x 2)．当x 1＜0,x 2＜0时,x 1＋x 2＜0,那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1,0］上是增函数,f (x )=21x -在区间［0,1］上是减函数．20.解析：任取x 1.x 2∈0,＋)∞且x 1＜x 2,则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时,∵11222121++++x x x x ＜1,又∵x 1－x 2＜0,∴f (x 1)－f (x 2)＞0,即f (x 1)＞f (x 2) ∴a ≥1时,函数f (x )在区间［0,＋∞)上为减函数．(2)当0＜a ＜1时,在区间［0,＋∞］上消失x 1=0,x 2=212a a -,知足f (x 1)=f (x 2)=1∴0＜a ＜1时,f (x )在［０,＋)∞上不是单调函数 注： ①断定单调性常规思绪为界说法;②变形进程中11222121++++x x x x ＜1应用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2; ③从a 的规模看还须评论辩论0＜a ＜1时f (x )的单调性,这也是数学严谨性的表现．21.解析： ∵f (x )在(－2,2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0,得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ,∴m 的取值规模是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时,f (x )=x ＋x 21＋2,x ∈1,＋∞)设x 2＞x 1≥1,则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x )∵x 2＞x 1≥1,∴x 2－x 1＞0,1－2121x x ＞0,则f (x 2)＞f (x 1)可知f (x )在［1,＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1,＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1,＋∞)上,f (x )=x ax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ,x ∈1,＋∞),由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1,＋∞)上是增函数, 当x =1时,y min =3＋a ,于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。