离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数

离散数学习题解答

习题五（第五章 格与布尔代数）

1．设〈L ，≼〉是半序集，≼是L 上的整除关系。问当L 取下列集合时，〈L ，≼〉是否是格。

a) L={1，2，3，4，6，12}

b) L={1，2，3，4，6，8，12}

c) L={1，2，3，4，5，6，8，9，10}

[解] a) 〈L ，≼〉是格，因为L 中任两个元素都有上、下确界。

b) 〈L ，≼〉不是格。因为L 中存在着两个元素没有上确界。

例如：8 12=LUB{8，12}不存在。

6

3

1

6

3 1

12

c) 〈L ，≼〉不是格。因为L 中存在着两个元素没有上确界。

倒例如：4⊕6=LUB{4，6}不存在。

2．设A ，B 是两个集合，f 是从A 到B 的映射。证明：〈S ，⊆〉是〈2B ，⊆〉的子

格。其中

S={y|y=f (x)，x ∈2A }

[证] 对于任何B 1∈S ，存在着A 1∈2A ，使B 1=f （A 1），由于f(A 1)={y|y ∈B ∧(∃x)(x ∈

A 1∧f (x)=y)}⊆

B 所以B 1∈2B ，故此S ⊆2B ；又B 0=f (A)∈S (因为A ∈2A )，所以S 非空；

对于任何B 1，B 2∈S ，存在着A 1，A 2∈2A ，使得B 1=f (A 1)，B 2=f (A 2)，从而

L ∪B{B 1，B 2}=B 1∪B 2=f (A 1)f (A 2)

=f (A 1∪A 2) （习题三的8的1））

由于A 1∪A 2⊆A ，即A 1∪A 2∈2A ，因此f (A 1∪A 2)∈S ，即上确界L ∪B{B 1，B 2}存在。

对于任何B 1，B 2∈S ，定义A 1=f –1(B 1)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 1}，A 2=f -1(B 2)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 2}，则A 1，A 2∈2A ，且显然B 1=f (A 1)，B 2=f (A 2)，于是

GLB{B 1，B 2}=B 1∩B 2=f (A 1)∩f (A 2)

⊇f (A 1∩A 2) （习题三的8的2））

又若y ∈B 1∩B 2，则y ∈B ，且y ∈B 2。由于y ∈B 1=f (A 1)={y|y ∈B ∧(∃x)(x ∈A 1∧f (x)=y)}，于是存在着x ∈A 1，使f (x)=y ，但是f (x)=y ∈B 2。故此x ∈A 2=f -1(B 2)={x|x ∈A ∧f(x)∈B 2}，因此x ∈A 1∩A 2，从而y=f (x)∈f (A 1∩A 2)，所以

7

1

GLB{B1，B2}=B1∩B2=f (A1)∩f (A2)⊆f (A1∩A2)

这说明G L B{B1，B2}=B1∩B2=f (A1)∩f (A2)=f (A1∩A2)于是从A1∩A2∈2A可知

f (A1∩A2)∈S，即下确界GLB{B1，B2}存在。

因此，〈S，⊆〉是〈2B，⊆〉的子格。

3．设〈L，≼〉是格，任取a，b∈L且a≼b。证明〈B，≼〉是格。其中

B={x|x∈L 且a≼x≼b}

[证] 显然B⊆L；根据自反性及a≼b≼b

所以a，b∈B，故此B非空；

对于任何x，y∈B，则有a≼x≼b及a≼y≼b，由于x，y∈L，故有z1=x⊕y 为下确界∈L存在。我们只需证明z1，z2∈B即可，证明方法有二，方法一为：由于

a≼x，所以a⊕x=x，于是

z1=x⊕y

=(a⊕x) ⊕y （利用a⊕x=x）

=a⊕ (x⊕y) （由⊕运算结合律）

因此a≼z1；另一方面，由y≼b可知y⊕b=b，由x≼b可知x⊕b=b，于是

z1⊕b=(x⊕y) ⊕b

=x⊕(y⊕b) （由⊕运算结合律）

=x⊕b （利用y⊕b=b）

=b （利用x⊕b=b）

因此z1≼b，即a≼z1≼b 所以z1∈B

由于a≼x及a≼y，所以a*x=a，a*y=a，因而

a*z2=a* (x*y)

=(a*x) *y （由*运算结合律）

=a*y （利用a*x=a）

=a （利用a*y=a）

因而a≼z2；又由于y≼b，所以y*b=y 于是

z2=x*y

=x* (y*b)

=(x*y) *b （利用*运算结合律）

=z2*b

从而z2≼b，即a≼z2≼ b 所以z2∈B

因此〈B，≼〉是格（是格〈L，≼〉的子格）。

方法二：根据上、下确界性质，由a≼x，a≼y，可得a≼x*y，（见附页数）

4．设〈L，≼，*，⊕〉是格。∀a，b∈L，证明：（附页）

a≼x≼⊕y，即a≼z2，a≼

又由x≼b，y≼b，可得x⊕y≼b，x*y≼y≼b，即z1≼b，z2≼ b

所以a≼z1≼b，a≼z2≼b，故此z1，z2∈B

a*b≺a且a*b≺b⇔a与b是不可比较的。

[证] 先证⇒

用反证法，假设a与b是可比较的，于是有a≼b或者b≼a。

当a≼b时，a*b=a与a*b≺a（得a*b≠a）矛盾；

当b≼a时，a*b=b与a*b≺b（得a*b≠b）矛盾；

因此假设错误，a与b是不可比较的。

次证⇐

由于a*b≼a，a*b≼b。如果a*b≼a，则a≼b，与a和b不可比较的已知条件矛盾，所以a*b≠a，故此a*b≺a；如果a*b=b，则b≼a，也与a和b不可比较的已知条件矛盾，所以a*b≠b，故此可得a*b≺b。

5．设〈L，≼，*，⊕〉是格。证明：

a) (a*b) ⊕ (c*d)≼(a⊕ c) * (b⊕ d)

b) (a*b) ⊕ (b*c)≼(c ⊕ a)≼(a⊕b) * (b⊕c) * (c⊕a)

[证] a) 方法一，根据上、下确界的性质，由

a*b≼a≼a⊕c及a*b≼b≼b⊕d 所以得到

a*b≼(a⊕c) * (b⊕d)

又由c*d≼c≼a⊕c及c*d≼d≼b⊕d，所以得到

c*d≼(a⊕c) * (b⊕d)

因此(a*b) ⊕ (c*d) ≼(a⊕c) * (b⊕d)

方法二(a*b) ⊕ (c*d)

≼[(a⊕c) * (a⊕d)] * [(a⊕c) * (b⊕d)]

（分配不等式，交换律，结合律，保序性）

≼(a⊕c) * (b⊕d) （保序性）

b) 方法一，根据上、下确界的性质

由a*b≼a≼a⊕b，a*b≼b≼b⊕c，a*b≼a≼c⊕a可得

a*b≼(a⊕b) * (b⊕c) * (c⊕a)

同理可得