安徽省2014年中考数学专题复习课件 第13课时 二次函数的应用
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第13课时┃ 二次函数的应用
皖 考 探 究
探究一 二次函数解决抛物线形问题
命题角度： 1．二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、跳水等 抛物线形问题； 2．二次函数解决拱桥、护栏等问题．
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第13课时┃ 二次函数的应用
例 1 [2012· 武汉] 如图 13－1，小河上有一拱桥，拱桥 及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 ACB 和矩形的三 边 AE，ED，DB 组成，已知河底 ED 是水平的，ED＝16 米，AE＝8 米，抛物线的顶点 C 到 ED 距离是 11 米，以 ED 所在的直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面 直角坐标系． (1)求抛物线的解析式；
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第13课时┃ 二次函数的应用
解
(1)依题意得顶点 C 的坐标为(0，11)，点 B 的坐标为(8， 8)，设抛物线解析式为 y＝ax2＋c， 2 a＝－ ， 8＝8 ×a＋c， 64 有 解得 11＝c， 3
c＝11， 3 2 ∴抛物线解析式为 y＝－ x ＋11. 64
图 13－1
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第13课时┃ 二次函数的应用
解 析
(1)根据题意可得 A，B，C 三点坐标分别为(－8，8)，(8， 8)，(0，11)，利用待定系数法，设抛物线解析式为 y＝ax2＋c，
2 8＝8 ×a＋c， 有 解方程组即可． 11＝c，
(2)水面到顶点 C 的距离不大于 5 米，即函数值不小于 11－5 1 ＝6，解方程－ (t－19)2＋8＝6 即可． 128
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第13课时┃ 二次函数的应用
(1)如图②，当三角板 DEF 运动到点 D 与点 A 重合时，设 EF 与 BC 交于点 M，则∠EMC＝________度； (2)如图③，在三角板 DEF 运动过程中，当 EF 经过点 C 时，求 EC 的长； (3)在三角板 DEF 运动过程中，设 BF＝x，两块三角板重 叠部分的面积为 y，求 y 与 x 的函数解析式，并求出对应的 x 的取值范围．
3，
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第13课时┃ 二次函数的应用
(2)由平移可知∠ACF＝∠E＝30°. AC 在 Rt△ACF 中，cos∠ACF＝ ， CF ∵AC＝6，∠ACF＝30°， 6 ∴CF＝ ＝4 3. 3 2 三角板 DEF 中，∠FDE＝90°，DF＝4，DE＝4 由勾股定理得 EF＝8， ∴EC＝EF－CF＝8－4
图 13－2
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第13课时┃ 二次函数的应用
解 析
(1)根据已知条件判断出△ABC 和△DEF 的形
状，得到特殊角的度数，运用三角形的内角和定理求解； (2)在 Rt△ACF 中，运用三角函数关系求 CF，再根据线段的 和差关系求 CE 的长；(3)分三种情况讨论，求 y 与 x 的函数解 析式，并求出对应的 x 取值范围．
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第13课时┃ 二次函数的应用
(2)已知从某时刻开始的 40 小时内，水面与河底 ED 的距 离 h(单位：米)随时间 t(单位：时)的变化满足函数关系 h＝ 1 － (t－19)2＋8(0≤t≤40)， 且当水面到顶点 C 的距离不大于 128 5 米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内， 需多少小时禁止船只通行？
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3，
3.
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第13课时┃ 二次函数的应用
(3)如图，分三种情况讨论：
(ⅰ)当 0＜x＜2 时，作 MG⊥AB 于点 G，设 FG＝m，则 BG＝MG＝x＋m. 在 Rt△MFG 中，MG＝ 3FG， 3＋1 即 x＋m＝ 3m，变形，得 m＝ x， 2 （ 3＋3）x2 1 ∴S△BFM＝ ·BF·MG＝ . 2 4
1 1 ∴y＝S 四边形 ACMF＝S△ABC－S△BFM＝ AB·AC－ BF·MG 2 2 3＋ 3 2 1 1 3（ 3＋1） ＝ ×6×6－ x x ＝－ 4 x ＋18. 2 2 2
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第13课时┃ 二次函数的应用
(ⅲ)当 6－2
考 点 聚 焦
考点1 二次函数的应用
名称 关键点回顾 二次函 1.用二次函数表示实际问题中变量之间的关系； 数的应 2.用二次函数解决实际问题中的最优化问题，其实 用类型 质是求函数的最大值和最小值． 1.找：找出问题中的变量与常量及变量与常量之间 二次函 的关系； 数的应 2.表：用二次函数表达式表示它们之间的关系； 用解题 3.解：利用二次函数的图象及性质解题； 步骤 4.验：检验结果的合理性.
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第13课时┃ 二次函数的应用
二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思想 的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题互相 转化，充分运用三角函数解直角三角形、相似、全等、圆等 知识来解决问题， 充分运用几何知识求函数解析式是关键． 二 次函数与三角形、圆等几何知识结合时，往往涉及最大面积、 最小距离等问题，解决的过程中需要建立函数关系，运用函 数的性质求解．
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第13课时┃ 二次函数的应用
解 (1)15° 理由如下： 三角板 ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°.
三角板 DEF 中，∠FDE＝90°，DF＝4，DE＝4 4 3 DF ∵tanE＝ ＝ ＝ ， DE 4 3 3 ∴∠E＝30°， ∴∠EMC＝45°－30°＝15°，故答案为 15°.
3≤x≤6 时，因为 BF＝x，所以 AF＝6－x，
而 AM＝ 3(6－x)， ∴两块三角板重叠部分的面积 3（6－x）2 3 2 y＝ ＝ x －6 3x＋18 2 2
3.
－（1＋ 3） 2 x ＋4x＋8，（0＜x＜2） 4 3＋ 3 综上，y＝－ x2＋18，（2≤x＜6－2 3） 4 3 2 2 x －6 3x＋18 3.（6－2 3≤x≤6）
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第13课时┃ 二次函数的应用
1 (2)令－ (t－19)2＋8＝11－5，解得 t1＝35，t2＝3. 128 1 画出 h＝ (t－19)2＋8(0≤t≤40)的图象， －128 由图象变化趋势可知，当 3≤t≤35 时， 水面到顶点 C 的距离不大于 5 米，需禁止船只通行， 禁止船只通行时间为 35－3＝32(小时)． 答：禁止船只通行时间为 32 小时．
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(3)当 0≤x≤10 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＝10 时，y 有最大值为 6000 元； 当 10 ＜ x≤50 ， y ＝－ 10x2 ＋ 700x ， y ＝－ 10(x － 35)2 ＋ 12250，当 x＝35 时，y 有最大值为 12250 元； 当 x＞50 时，y 随 x 的增大而增大，无最大值． 综上所述，当商家一次性购买产品件数超过 35 件时，利 润开始减少，要使商家一次购买的数量越多，公司所获利润 越大，公司应将购买件数的底线放在 35 件，此时商品的单价 为 3100－10×35＝2750(元)． 答：公司应将最低销售单价调整为 2750 元．
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第13课时┃ 二次函数的应用
利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际 问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析 式，把实际问题已知条件转化为点的坐标，代入解析式求 解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
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第13课时┃ 二次函数的应用
二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问 题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式， 然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解 决利润最大问题．
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第13课时┃ 二次函数的应用
探究三 二次函数在几何图形中的应用
命题角度： 1．二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往涉及最大 面积，最小距离等； 2．在写函数解析式时，要注意自变量的取值范围．
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第13课时┃ 二次函数的应用
例 3 [2013· 广东] 有一副直角三角板，在三角板 ABC 中， ∠BAC＝90°， AB＝AC＝6， 在三角板 DEF 中， ∠FDE ＝90°，DF＝4，DE＝4 3，将这副直角三角板按图 13－ 2①所示位置摆放，点 B 与点 F 重合，直角边 BA 与 FD 在 同一条直线上．现固定三角板 ABC，将三角板 DEF 沿射线 BA 方向平行移动，当点 F 运动到点 A 时停止运动．
探究二 二次函数在营销问题方面的应用 命题角度： 二次函数在销售问题方面的应用．
例 2 [2012· 黄冈 ] 某科技开发公司研制出一种新型产 品，每件产品的成本为 2400 元，销售单价定为 3000 元．在 该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品， 公司决定商家一次购买这种新型产品不超过 10 件时，每件 按 3000 元销售；若一次购买该种产品超过 10 件时，每多购 买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低 10 元，但销 售单价均不低于 2600 元．
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第13课时┃ 二次函数的应用
当 堂 检 测
1．[2013· 山西] 如图 13－3 是我省某地一座抛物线形拱 桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于 A，B 两点，桥拱 最高点 C 到 AB 的距离为 9 m，AB＝36 m，D，E 为桥拱底部 的两点，且 DE∥AB，点 E 到直线 AB 的距离为 7 m，则 DE 的长为________m. 48
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第13课时┃ 二次函数的应用
(1) 商家一次购买这种产品多少件时 ，销售单价恰好为 2600 元？ (2)设商家一次购买这种产品 x 件， 开发公司所获的利润为 y 元，求 y(元)与 x(件)之间的函数关系式，并写出自变量 x 的 取值范围； (3)该公司的销售人员发现： 当商家一次购买产品的件数超 过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获 的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公 司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元 (其 他销售条件不变)?
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第13课时┃ 二次函数的应用
解
(1)设商家一次性购买这种产品 x 件，销售单价为 m 元， 则 m＝3000－10×(x－10)， 即 m＝3100－10x， 当 m＝2600 时， 2600＝3100－10x，∴x＝50. ∴商家一次购买这种商品 50 件时，销售单价恰好为 2600 元． （3000－2400）x，（0≤x≤10，且x为整数） (2)y＝（3100－10x－2400）x，（10＜x≤50，且x为整数） 200x，（x＞50，且x为整数） 600x，（0≤x≤10，且x为整数） 2 即 y＝－10x ＋700x，（10＜x≤50，且x为整数） 200x.（x>50，且x为整数）
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第13课时┃ 二次函数的应用
（x＋4）2 1 又 S△BDN＝ ·BD·DN＝ ， 2 2 （x＋4）2 （ 3＋3）x2 ∴两块三角板重叠部分的面积 y＝ － 2 4 －（1＋ 3） 2 ＝ x ＋4x＋8. 4 (ⅱ)当 2≤x＜6－2 3时，如图②，作 MG⊥BA 于 G，设 GF＝m， 在 Rt△GFM 中，∠GFM＝60°，∴MG＝ 3m. 在 Rt△GBM 中，∠GBM＝45°，∴MG＝BG. ∴ 3m＝m＋x，∴m＝ 3＋1 x， 2
第13课时 二次函数的应用
第13课时┃ 二次函数的应用
皖 考 解 读
考纲要求 年份 2010 二次函数 2011 掌握 的应用 2012 2013 考点 题型 解答题 解答题 解答题 解答题 分值 预测热度 12 分 7分 ★★★★★ 14 分 12 分
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探究一 二次函数解决抛物线形问题
命题角度： 1．二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、跳水等 抛物线形问题； 2．二次函数解决拱桥、护栏等问题．
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例 1 [2012· 武汉] 如图 13－1，小河上有一拱桥，拱桥 及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 ACB 和矩形的三 边 AE，ED，DB 组成，已知河底 ED 是水平的，ED＝16 米，AE＝8 米，抛物线的顶点 C 到 ED 距离是 11 米，以 ED 所在的直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面 直角坐标系． (1)求抛物线的解析式；
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解
(1)依题意得顶点 C 的坐标为(0，11)，点 B 的坐标为(8， 8)，设抛物线解析式为 y＝ax2＋c， 2 a＝－ ， 8＝8 ×a＋c， 64 有 解得 11＝c， 3
c＝11， 3 2 ∴抛物线解析式为 y＝－ x ＋11. 64
图 13－1
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解 析
(1)根据题意可得 A，B，C 三点坐标分别为(－8，8)，(8， 8)，(0，11)，利用待定系数法，设抛物线解析式为 y＝ax2＋c，
2 8＝8 ×a＋c， 有 解方程组即可． 11＝c，
(2)水面到顶点 C 的距离不大于 5 米，即函数值不小于 11－5 1 ＝6，解方程－ (t－19)2＋8＝6 即可． 128
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(1)如图②，当三角板 DEF 运动到点 D 与点 A 重合时，设 EF 与 BC 交于点 M，则∠EMC＝________度； (2)如图③，在三角板 DEF 运动过程中，当 EF 经过点 C 时，求 EC 的长； (3)在三角板 DEF 运动过程中，设 BF＝x，两块三角板重 叠部分的面积为 y，求 y 与 x 的函数解析式，并求出对应的 x 的取值范围．
3，
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(2)由平移可知∠ACF＝∠E＝30°. AC 在 Rt△ACF 中，cos∠ACF＝ ， CF ∵AC＝6，∠ACF＝30°， 6 ∴CF＝ ＝4 3. 3 2 三角板 DEF 中，∠FDE＝90°，DF＝4，DE＝4 由勾股定理得 EF＝8， ∴EC＝EF－CF＝8－4
图 13－2
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解 析
(1)根据已知条件判断出△ABC 和△DEF 的形
状，得到特殊角的度数，运用三角形的内角和定理求解； (2)在 Rt△ACF 中，运用三角函数关系求 CF，再根据线段的 和差关系求 CE 的长；(3)分三种情况讨论，求 y 与 x 的函数解 析式，并求出对应的 x 取值范围．
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(2)已知从某时刻开始的 40 小时内，水面与河底 ED 的距 离 h(单位：米)随时间 t(单位：时)的变化满足函数关系 h＝ 1 － (t－19)2＋8(0≤t≤40)， 且当水面到顶点 C 的距离不大于 128 5 米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内， 需多少小时禁止船只通行？
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第13课时┃ 二次函数的应用
(3)如图，分三种情况讨论：
(ⅰ)当 0＜x＜2 时，作 MG⊥AB 于点 G，设 FG＝m，则 BG＝MG＝x＋m. 在 Rt△MFG 中，MG＝ 3FG， 3＋1 即 x＋m＝ 3m，变形，得 m＝ x， 2 （ 3＋3）x2 1 ∴S△BFM＝ ·BF·MG＝ . 2 4
1 1 ∴y＝S 四边形 ACMF＝S△ABC－S△BFM＝ AB·AC－ BF·MG 2 2 3＋ 3 2 1 1 3（ 3＋1） ＝ ×6×6－ x x ＝－ 4 x ＋18. 2 2 2
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(ⅲ)当 6－2
考 点 聚 焦
考点1 二次函数的应用
名称 关键点回顾 二次函 1.用二次函数表示实际问题中变量之间的关系； 数的应 2.用二次函数解决实际问题中的最优化问题，其实 用类型 质是求函数的最大值和最小值． 1.找：找出问题中的变量与常量及变量与常量之间 二次函 的关系； 数的应 2.表：用二次函数表达式表示它们之间的关系； 用解题 3.解：利用二次函数的图象及性质解题； 步骤 4.验：检验结果的合理性.
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第13课时┃ 二次函数的应用
二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思想 的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题互相 转化，充分运用三角函数解直角三角形、相似、全等、圆等 知识来解决问题， 充分运用几何知识求函数解析式是关键． 二 次函数与三角形、圆等几何知识结合时，往往涉及最大面积、 最小距离等问题，解决的过程中需要建立函数关系，运用函 数的性质求解．
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解 (1)15° 理由如下： 三角板 ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°.
三角板 DEF 中，∠FDE＝90°，DF＝4，DE＝4 4 3 DF ∵tanE＝ ＝ ＝ ， DE 4 3 3 ∴∠E＝30°， ∴∠EMC＝45°－30°＝15°，故答案为 15°.
3≤x≤6 时，因为 BF＝x，所以 AF＝6－x，
而 AM＝ 3(6－x)， ∴两块三角板重叠部分的面积 3（6－x）2 3 2 y＝ ＝ x －6 3x＋18 2 2
3.
－（1＋ 3） 2 x ＋4x＋8，（0＜x＜2） 4 3＋ 3 综上，y＝－ x2＋18，（2≤x＜6－2 3） 4 3 2 2 x －6 3x＋18 3.（6－2 3≤x≤6）
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1 (2)令－ (t－19)2＋8＝11－5，解得 t1＝35，t2＝3. 128 1 画出 h＝ (t－19)2＋8(0≤t≤40)的图象， －128 由图象变化趋势可知，当 3≤t≤35 时， 水面到顶点 C 的距离不大于 5 米，需禁止船只通行， 禁止船只通行时间为 35－3＝32(小时)． 答：禁止船只通行时间为 32 小时．
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(3)当 0≤x≤10 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＝10 时，y 有最大值为 6000 元； 当 10 ＜ x≤50 ， y ＝－ 10x2 ＋ 700x ， y ＝－ 10(x － 35)2 ＋ 12250，当 x＝35 时，y 有最大值为 12250 元； 当 x＞50 时，y 随 x 的增大而增大，无最大值． 综上所述，当商家一次性购买产品件数超过 35 件时，利 润开始减少，要使商家一次购买的数量越多，公司所获利润 越大，公司应将购买件数的底线放在 35 件，此时商品的单价 为 3100－10×35＝2750(元)． 答：公司应将最低销售单价调整为 2750 元．
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利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际 问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析 式，把实际问题已知条件转化为点的坐标，代入解析式求 解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
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二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问 题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式， 然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解 决利润最大问题．
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探究三 二次函数在几何图形中的应用
命题角度： 1．二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往涉及最大 面积，最小距离等； 2．在写函数解析式时，要注意自变量的取值范围．
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例 3 [2013· 广东] 有一副直角三角板，在三角板 ABC 中， ∠BAC＝90°， AB＝AC＝6， 在三角板 DEF 中， ∠FDE ＝90°，DF＝4，DE＝4 3，将这副直角三角板按图 13－ 2①所示位置摆放，点 B 与点 F 重合，直角边 BA 与 FD 在 同一条直线上．现固定三角板 ABC，将三角板 DEF 沿射线 BA 方向平行移动，当点 F 运动到点 A 时停止运动．
探究二 二次函数在营销问题方面的应用 命题角度： 二次函数在销售问题方面的应用．
例 2 [2012· 黄冈 ] 某科技开发公司研制出一种新型产 品，每件产品的成本为 2400 元，销售单价定为 3000 元．在 该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品， 公司决定商家一次购买这种新型产品不超过 10 件时，每件 按 3000 元销售；若一次购买该种产品超过 10 件时，每多购 买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低 10 元，但销 售单价均不低于 2600 元．
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1．[2013· 山西] 如图 13－3 是我省某地一座抛物线形拱 桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于 A，B 两点，桥拱 最高点 C 到 AB 的距离为 9 m，AB＝36 m，D，E 为桥拱底部 的两点，且 DE∥AB，点 E 到直线 AB 的距离为 7 m，则 DE 的长为________m. 48
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(1) 商家一次购买这种产品多少件时 ，销售单价恰好为 2600 元？ (2)设商家一次购买这种产品 x 件， 开发公司所获的利润为 y 元，求 y(元)与 x(件)之间的函数关系式，并写出自变量 x 的 取值范围； (3)该公司的销售人员发现： 当商家一次购买产品的件数超 过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获 的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公 司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元 (其 他销售条件不变)?
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解
(1)设商家一次性购买这种产品 x 件，销售单价为 m 元， 则 m＝3000－10×(x－10)， 即 m＝3100－10x， 当 m＝2600 时， 2600＝3100－10x，∴x＝50. ∴商家一次购买这种商品 50 件时，销售单价恰好为 2600 元． （3000－2400）x，（0≤x≤10，且x为整数） (2)y＝（3100－10x－2400）x，（10＜x≤50，且x为整数） 200x，（x＞50，且x为整数） 600x，（0≤x≤10，且x为整数） 2 即 y＝－10x ＋700x，（10＜x≤50，且x为整数） 200x.（x>50，且x为整数）
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第13课时┃ 二次函数的应用
（x＋4）2 1 又 S△BDN＝ ·BD·DN＝ ， 2 2 （x＋4）2 （ 3＋3）x2 ∴两块三角板重叠部分的面积 y＝ － 2 4 －（1＋ 3） 2 ＝ x ＋4x＋8. 4 (ⅱ)当 2≤x＜6－2 3时，如图②，作 MG⊥BA 于 G，设 GF＝m， 在 Rt△GFM 中，∠GFM＝60°，∴MG＝ 3m. 在 Rt△GBM 中，∠GBM＝45°，∴MG＝BG. ∴ 3m＝m＋x，∴m＝ 3＋1 x， 2
第13课时 二次函数的应用
第13课时┃ 二次函数的应用
皖 考 解 读
考纲要求 年份 2010 二次函数 2011 掌握 的应用 2012 2013 考点 题型 解答题 解答题 解答题 解答题 分值 预测热度 12 分 7分 ★★★★★ 14 分 12 分
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