函数的最值PPT课件

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高等数学《函数的极值与最大、最小值》课件

3) 若 f ( x)在开区间内定义,这时最值不一定存在 ,有些实际应用问题根据实际可确定问题一定有解 .
设 f ( x)在开区间内定义且可导, f ( x)在开区间内有唯一驻点 x0 ,若 f ( x0 )是 f ( x)的极小值(极大值) , 则 f ( x0 )是 f ( x)的最小值 (最大值) .
f (0) 1为极大值 , 即为最大值 .
x 1时, f ( x) f (0) 1 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
f
( xk ),
f
(a),
f
(b)
}.
min
x[ a ,b ]
f (x)
min{
f ( x1) ,,
f ( xk ),
f (a),
f (b) }.
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.

函数的单调性极值与最值课件

2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
y
不存在的点.
x1 , x4 为极大点
x 2 , x5 为极小点
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4 x5 b x
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定理 1 (极值第一判别法)
设函数 f (x)在 x0 的某邻域内连续, 且在空心邻域内有导数, 当x由小到大通过 x0 时,
x2
2
x1
)2
[
f
(1)
f (2 )]
当 f (x) 0时,
f
( x1
) 2
f
(
x2
)
f (x1 x2 ),
2
说明 (1) 成立; (2) 证毕
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推论
如果在区间(a,b)内恒有f ''(x) 0(或f ''(x) 0). 且使得f ''(x) 0的点只是一些离散的点，则函数曲线y f (x)在区间(a,b)内上凹（或下凹）
综上,f (x)在(0,1)内只有一个零点，即方程f (x)=0,亦即xex 2在(0,1)内仅有一个实根.
例6 设f (x)在[a, b]上连续，且在(a, b)内f ''(x) 0,
证明 f (x) f (a) 在(a, b)内单调增加. xa
证明设F (x) f (x) f (a) , x (a,b) xa
而F ' (x)
f ' (x)(x a) f ' ( )(x a)
(x a)2
f ' (x) f ' ( ) 0,
xa F (x) f (x) f (a) 在(a,b)内单调递增.

最值问题课件

总结词
闭区间上连续函数的性质是求最值的重要依据，通过利用这些性质可以简化最值的求解过程。
详细描述
闭区间上连续函数具有一些重要的性质，如介值定理和零点定理。介值定理指出，如果函数在闭区间的两个端点取不同的函数值，则至少存在一个点使得函数在该点的值为两个端点值的平均值。零点定理指出，如果函数在闭区间的两端取不同的符号，则至少存
最值问题的分类
01
02
03
函数最值
在给定区间上求函数的最大值或最小值。
极值问题
研究函数在某一点的极值，包括极大值和极小值。
约束最值
在满足某些约束条件下，求数学表达式的最大值或最小值。
最值问题在数学中的重要性
应用广泛
最值问题在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用，是解决实际问题的重要工具。
VS
统计学中的最值应用
在统计学中，最值的应用非常广泛。例如，在统计分析中，我们需要找到一组数据中的最大值和最小值，以了解数据的分布情况；在回归分析中，我们需要找到使误差平方和最小的参数值等。这些问题的解决都需要利用最值定理和优化算法等数学工具。
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感谢您的观看
梯度法的步骤
计算目标函数的梯度，沿着负梯度的方向搜索，确定步长，更新解的位置。
牛顿法与最值
牛顿法
基于目标函数的二阶导数（海森矩阵）信息，通过迭代寻找最优
解的方法。
牛顿法的步骤
计算目标函数的二阶导数（海森矩阵），求解线性方程组，确定步长，更新解的位置。
牛顿法的优缺点
优点是对于凸函数收敛速度快；缺点是需要计算二阶导数（海森矩阵），对于非凸函数可能陷入局部最优解。

人教版高中数学必修一《函数的最大值、最小值》PPT教学课件

3 f2.
栏目导引
第三章函数的概念与性质
2．设定义在 R 上的函数 f(x)＝x|x|，则 f(x)( ) A．只有最大值 B．只有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值解析：选 D.f(x)＝x－2（x2x（≥x0<）0），，画出 f(x)的图象可知(图略)， f(x)既无最大值又无最小值．
栏目导引
第三章函数的概念与性质
■名师点拨函数最大值和最小值定义中的两个关键词
(1)∃(存在) M 首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数 y＝ x2(x∈R)的最小值是 0，有 f(0)＝0. (2)∀(任意) 最大(小)值定义中的∀(任意)是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有 f(x)≤ M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数 y＝f(x)的图象不能位于直线 y＝M 的上(下)方．
栏目导引
第三章函数的概念与性质
(1)写出利润函数 y＝f(x)的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使利润最大？【解】 (1)由题意得 G(x)＝2.8＋x，所以 f(x)＝R(x)－G(x) ＝－ 8.20－.4xx2，＋x3>.25x，－x2∈.8N，. 0≤x≤5，x∈N，
栏目导引
第三章函数的概念与性质
3．若函数 f(x)＝1x在[1，b](b>1)上的最小值是14，则 b＝________．解析：因为 f(x)在[1，b]上是减函数，所以 f(x)在[1，b]上的最小值为 f(b)＝1b＝14，所以 b＝4. 答案：4
栏目导引
第三章函数的概念与性质
本部分内容讲解结束
栏目导引

函数的基本性质之函数的最值ppt课件演示文稿

2
• ∴a2＋1＞a • 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数， • ∴f(a2＋1)＜f(a)成立，故选D.
•
总结评述：(1)本题为选择题，故还可用排除法解之，如令 a ＝ 1 ，则有 f(a) ＞ f(2a) ， f(a2)＝f(a)，可排除A、B，令a＝0可排除C. • (2)此类问题的解法依据是增函数、减函数的定义．即若 f(x) 在区间 I 上具有单调性，则欲比较f(x2)与f(x1)的大小，(x1，x2∈I)，则只须比较x1与x2的大小． • 因此，比较两个实数大小时，我们可将这两个实数转化为同一函数在同一单调区间上的两个函数值，再利用单调性比较大小．
• 若函数 y ＝ f(x) 在 R 上单调递增，且有 f(a2)>f(－a)，则实数a的取值范围是 ( ) • A．(－∞，－1) B．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 2 [ 解析 ] 由条件知， a >－a， D．(－1,0) • C．(0，＋∞) a>0 a<0 • [答案 ] B ∴a(a＋1)>0，∴ 或，
• (4) 若将 (1) 中的“ f(x)≤M”改为“ f(x)≥M”，则需将最大值定义中的 “最大值”改为 “最小值”．这就是函数 f(x) 的最小值的定义． • 2．一次函数f(x)＝ax＋b(a＞0)在闭区间[m， n]上必定有最大值和最小值，它只能是f(n)、 f(m)，当a＜0时，最大值和最小值则为f(m)， f(n)． • 3 ．单调性是函数的重要性质，应用它可以解决许多函数问题．如判断函数在给定区间上的单调性；求函数在给定区间上的最大值、最小值；求已知函数的单调区间；
－3 5 －3
2－2x－3在[－2,0]上的最小值为 • (4) 函数 y ＝ x 0. 0 －4 ，最大值为；在[2,3]上的最小值为，最大值为；在[－1,2]上的最小值为，最大值为

函数的值域与最值复习PPT优秀课件

达式有明显的几何意义.
26
走进高考
学例1 (2009·湖南卷 ) 函数
y=2tanx+tan( -x)(0<x< )的
最小值是 2
2
2.
2
因为0<x< 2 ，所以tanx>0,
所以y=2tanx+ 1 ≥
tan x
2 ,当2 且仅当
tanx= 时2 “=”成立.
2
27
学例2 (2009·海南/宁夏卷)用min{a,b,c}表
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
12
不妨设f(x)=3x(-1≤x≤3，且x∈Z)，可知D={-3,0,3,6,9}，M=9，N=-3，可知，A、B、C错误，选D.
点评 1. 函数的值域是函数值的集合，
函数的最值是该集合中的元素. 2.当函数y=f(x)在其定义域上是连续函数
时， D=[N ， M] ，其中 N=f(x)min ， M=f(x)max.
件的实数a、b.
综合①②③可得,满足条件的实数a、b不存在.
25
方法提炼
1.配方法：主要适用于二次函数或利用换元技巧转化为二次函数，要特别注意自变量和新变量的范围.

最大值、最小值问题PPT课件

例1 解
计算
比较得
实际问题求最值应注意: (1)建立目函数;(2)求最大值或最小值;
若目标函数只有唯一驻点，则该点处的函数值
即为所求的最大值或最小值.
例2 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解租出去的房子有套，
每月总收入为
（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高. 最大收入为
例4
解如图,
解得
最大值、最小值问题
一、最大值、最小值的求法二、应用
一、最值的求法
步骤:
1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,其中最大的就是函数在所求区间的最大值,最小的就是函数在所求区间的最小值; 注意:如果函数在区间内只有一个极值,则这个极值就是最大值或最小值.
二、应用

函数的最值(1)省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

例3：分别根据下列条件，求实数a的值：
(1)函数f (x) x2 2ax 1 a在区间[0，1]上有最大值2.
(2)函数f (x) ax2 2ax 1在区间[3，2]上有最大值4.
图象
(2)解： f (x) a(x 1)2 1 a, 对称轴x 1,
当a
0时，开口向上，ymax
f
(2)
分析： f '(x) a 1时，f '(
1
(
x a1
x 1)a2
,
x) 1 (x 1)2
x 0, (x 1)2 0恒成立，
1
f (x)在[0，）上单调递增， f (x)min f (0) a.
当a 1时，f (x) x 1 a 1 2 a 1, x 1
当且仅当x 1 a ,即x x 1
措施五
小结：求函数最值常用旳措施有：
基本函数法（单调性）、导数法、鉴别式法、基本不等式法、换元法、反函数法、配措施、数形结正当.
例2：请你恰当选择措施求下列函数旳最值.
（1）已知0 t 1 ,则1 t的最小值是 ____ . 4t
（2）函数y 4x2 8x 13 (x 0)的最小值是 ____ 6(1 x)
15 . 4
返回
(2)解：y 4x2 8x 13 4(x 1)2 9 (x 0)
6(1 x)
6(1 x)
2 (x 1) 3 2,此时 2 (x 1) 3
3
2(x 1)
3
2(x 1)
即x
1 2
时ymin
2.
另解：令y 4x2 8x 13 ,则4x2 (8 6 y)x 13 6 y 0
8a 1
4, a
3. 8

高一数学：1《函数的最值》课件公开课一等奖课件

孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法，肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的成绩一直稳定在年级前5名左右。
函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？
思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小关系如何？
思考3:设函数 f ( x) 1 x ，则 f ( x) 2 成立吗？ f ( x) 的最大值是2吗？为什么？
2
思考4:怎样定义函数 f ( x) 的最大值？用什么符号表示？
一般地，设函数 y f ( x) 的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的 x I , 都有 f ( x) M；（2）存在 x0 I，使得 f ( x0 ) M. 那么称M是函数 y f ( x) 的最大值，记作
f ( x)max M
思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？如果函数 f ( x) 的值域是(a,b)，则函数 f ( x) 存在最大值吗？
思考3:如果函数 f ( x)存在最大值，那么有几个？
思考4:如果函数 f ( x) 的最大值是b，最小值是a，那么函数 f ( x) 的值域是[a，b]吗？
理论迁移
2 , x 2,6 ，求函数 f ( x) 例1已知函数 f x x 1 的最大值和最小值.

高一数学必修一-函数的单调性与最值精品PPT课件

上是减函数，在区间[ -2,1 ),[ 3,5 ]上是增函数。
f (x) 1 x
(0,)
例2 证明函数
在区间
上是减函数。
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
①任取x1，x2∈D，且 x1 x2 ； ②作差 f (x1) f (x2 ) ；
度h m与时间t s之间的关系为
，
那么烟花冲出后什么时候是
它爆裂的的最佳时刻？这时
距地面的高度是多少（精确
到1m）？
解：作出函数 h(t) 4.9t2 14.7t 18的. 图象，
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。
由二次函数的知识，对于函数
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差 f (x1) f (x2 ) 的正负）；
⑤判断（即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性）．
请你归纳利用定义判断函数的单调性的步骤。
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
①任取x1，x2∈D，且 x1 x2 ； ②作差 f (x1) f (x2 ) ；
取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 判断
课后作业课本第39页习题1.3(A组) 第1﹑2﹑3﹑4题
例3.物理学中的玻意耳定律 p k（k为正常数）告 V
诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强P将增大，试用函数的单调性证明之。
分析：按题意，只要证明函数 p k 在区间( 0, V
函数的单调性与最值
高一数学组

高一数学必修一函数的单调性与最值 PPT课件图文

和最小值。
x 1
课堂练习
课本第38页练习1、5题
课堂小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 判断
课后作业课本第45页习题1.3(A组) 第3﹑4 ﹑ 5 题
（2）存在 x 0 I,使f( 得 x 0)M .
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximum value）
思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数 y=f(x)的最小值的定义吗？
例3.“菊花”烟花是最壮观得烟花之一，制t果)烟4花.9距t2 地1面.4 7的t高18
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差 f(x1)f(x2)的正负）；
⑤判断（即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性）．
请你归纳利用定义判断函数的单调性的步骤。
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
①任取x1，x2∈D，且 x1 x 2 ； ②作差 f(x1)f(x2) ；
谢谢！学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。末了，她问我：学姐，为什么想找一份自己热爱的工作这么难呢？我问她上一份工作干了多久，她说不到三个月，做的还是行政助理的工作，工作内容枯燥乏味不说，还特别容易得罪人，实在不是自己的理想型。我又问了她前几份工作辞职的原因，结果都是大同小异，不是因为工作乏味，就是同事不好相处，再者就是薪水太低，

新教材高中数学第三章函数的最大值最小值课件新人教B版必修第一册ppt

3．已知函数 f(x)＝3x－－3x2，，xx∈∈（[－2，1，5]2，]， (1)如图所示，在给定的直角坐标系内画出 f(x)的图像． (2)由图像指出函数 f(x)的最值点，求出最值．
【解析】(1)由题意，当 x∈[－1，2]时，f(x)＝－x2＋3，为二次函数的一部分；当 x∈(2，5]时，f(x)＝x－3，为一次函数的一部分；所以，函数 f(x)的图像如图所示：
能力形成·合作探究类型一利用函数的图像求最值(数学运算、直观想象)
1．(2021·太原高一检测)如图是函数 y＝f(x)，x∈[－4，3]的图像，则下列说法正确的是( ) A．f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增 B．f(x)在区间(－1，3)上的最大值为 3，最小值为－2 C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值 3 D．当直线 y＝t 与 y＝f(x)的图像有三个交点时－1<t<2
(1)函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间－∞，－2ba 上是减函数，在区间－2ba，＋∞ 上是增函数，当 x＝－2ba 时，函数取得最小值． (2)函数 y＝ax2＋bx＋c(a<0)在区间－∞，－2ba 上是增函数，在区间－2ba，＋∞ 上是减函数，当 x＝－2ba 时，函数取得最大值．
5（x2－x1）所以Δf（Δxx）＝（x1＋1x）2－（x1x2＋1）＝（x1＋1）5（x2＋1） . 因为 x1，x2∈[0，＋∞)，所以(x1＋1)(x2＋1)＞0，所以Δf（Δxx） >0，所以函数 f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数．
(2)求函数 f(x)在区间[2，9]上的最大值与最小值．【思路导引】由第(1)问可知 f(x)在[2，9]上是增函数⇒ f(2)是最小值，f(9)是最大值【解析】由(1)知函数 f(x)在区间[2，9]上是增函数，故函数 f(x)在区间[2，9]上的最大值为 f(9)＝2×9＋9－13 ＝32 ，最小值为 f(2)＝2×2＋2－13 ＝13 .

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观察函数图象： 1、函数y=x2-2x-3定义域为R 2、在（-，1] 函数为减函数，在（1，+）函数为增函数 3、当x=1时，函数y=x2-2x-3有最小值ymin=-4
配方法： y=x2-2x-3
=(x-1)2-4 因为在R内 (x-1)2 ≥0in=-4
2018/7/22
练习：P36 3
作业：P43
5
2018/7/22
2018/7/22
例2：求函数y=x2-2x-3在区间[-2，2] 的最大、最小值.
解：观察图象，1[-2，2]，
所以函数在顶点处取得最小值ymin=-4
又x=-2,y=5,x=2,y=-3 所以函数在x=-2时取得最大值ymax=5 即当x=1时, ymin=-4,当x=-2时,ymax=5
2018/7/22
例3：求函数y=x2-2x-3在区间[-2，0]的最大、最小值
解：观察图象，1[-2，0]，
当x≤1时，函数y=x2-2x-3为单调减函数
在[-2，0]内，函数y=x2-2x-3为单调减函数又x=-2,y=5,x=0,y=-3
当x=-2时，函数取得最大值ymax=5
当x=0时，函数取得最小值 ymin=-3 小结：对二次函数y=f(x)求最值 1、如果函数图象顶点在所给闭区间内，则在顶点处取得最小（大）值，在闭区间端点之一处取得最大（小）值 2、如果函数图象顶点在所给闭区间外，则利用函数单调性， 2018/7/22 分别在闭区间两个端点处取得最大、最小值
函数的最值
2018/7/22
例1：作出函数y=x2-2x-3的图象,讨论其单调性，并求函数的最大（小）值.
解：首先做出函数y=x2-2x-3的图象 1）画出函数对称轴 2）寻找顶点（-b/2a,（4ac-b2）/4a） 3)寻找函数图象与x轴交点，即求一元二次方程x2-2x-3=0的解
2018/7/22
练习：分别求函数y=8+2x-x2在[-2，4]和[2，0]的最值
答案：在[-2，4]，当x=1时，ymax=9 当x=-2或4时， ymin=0
在[-2，0]，当x=0时，ymax=8
当x=-2时，ymin=0
2018/7/22
例4：已知函数
2 y ( x [2, 6]) x 1
，求函
数的最大值与最小值。