三角形外接圆与内切圆半径求法

三角形的外接圆与内切圆半径的求法

江苏省海安县曲塘镇花庄初中（226661）马金全

、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形

如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边

例 1 已知：在厶 ABC 中，AB= 13，BC= 12, AC= 5 求厶ABC 的外接圆的半径. 解：••• AB= 13 , BC= 12, AC= 5, ••• A B= BC+ AC, •••/ C = 90°,

• AB %A ABC 的外接圆的直径， • △ ABC 的外接圆的半径为 6.5. 2、一般三角形

① 已知一角和它的对边

例 2 如图，在△ ABC 中，AB= 10,/ C= 100°, 求厶ABC 外接圆O O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边

AB 的直角三角形.

解：作直径BD 连结AD.

则/ D= 180°-/ C= 80°,/ BAD= 90° • BD

A

B = 10

sin D sin80°

• △ ABC 外接圆O O 的半径为

5

sin80°

角形的外接圆的半径

例 3 如图，已知，在△ ABC 中，AB= 10,/ A_ 70°,/ B_ 50° 求厶ABC 外

接圆O O 的半径.

分析：可转化为①的情形解题 . 解：作直径AD 连结BD.

则/ D=/ C_ 180°-/ CAB- / BAC= 60°,/ DBA_90° • AD=^ _d _ 20

.3

sin D sin 60*

3

• △ ABC 外接圆O O 的半径为10

・、3.

3

② 已知两边夹一角

例 4 如图，已知，在△ ABC 中，AC_ 2, BC_ 3,/ C_ 60° 求厶ABC 外接圆O O 的半径.

分析：考虑求出 AB,然后转化为①的情形解题. 解：作直

径 AD 连结BD.作AE ± BC 垂足为E.

则/ DBA_ 90°,/ D_/ C_ 60°, CE_ - AC_ 1 , AE_、3 ,

注：已知两边和其中一边的对角, 以及已知两角和一边,

都可以利用本题的方法求出三

C

B

C

B

2 BE= BC- CE_ 2, AB_ AE2 BE2= 一7

...AD = 2L = J = 2

21

sin D sin 60 =

3

• △ ABC 外接圆O O 的半径为 \ 21 .

3

③ 已知三边

例 5 如图，已知，在△ ABC 中，AC= 13, BC= 14, AB= 15 求厶ABC 外接圆

O O 的半径.

分析：作出直径 AD 构造Rt △ ABD.只要求出厶ABC 中BC 边 上的高AE 利用相

似三角形就可以求出直径

解：作直径 AD 连结BD.作AE ± BC 则/ DBA=Z CEA= 90°, / D =Z C

解：利用例5的方法，或利用海伦公式 S ^= •. s(s -a)(s -b)(s -c)(其中

s= —)可求

111

出 S ^ABC = 84,从而—AB?r+ BC?r+ AC?r=84, • r=4

2 2 2

②已知两边夹一角

4

例 8 已知：如图，在△ ABC 中，cotB = - ,AB = 5, BC= 6

3 求厶ABC 内切圆O O 的半径r.

分析：考虑先通过解三角形，求出△ ABC 的面积及AC 的长, 再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.

解：作△ ABC 的高AD.解直角三角形可得 AD= 3, CD= 2, AC=、、13 ,

AD. 垂足为E.

.AC _AE AD

AB

设 CE= x, •/ A C-CE 2= AE "= A B"-BE 2 :.△ ADB^A ACE

2 2 2 2

•••13-x = 15-(14-x)

••• AE = 12

J2 兰 AD =色

AD 15

4

二、求三角形的内切圆的半径 1、直角三角形

例 6 已知：在厶 ABC 中，/ C = 90° , AC= b , BC = a , AB = c 求厶ABC 外接圆O O 的半径.

解：可证四边形 ODCE 为正方形•设O O 的半径为r ,

贝U CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r ,

...r=

a b —c ,即厶 ABC 外 接圆O

2

一般三角形

①已知三边 例7已知：如图，在厶ABC 中， 求厶ABC 内切圆O O 的半径r.

分析：考虑先求出△ ABC 的面积，再利用“面积桥”，从而 求出内切圆的半径•

• (a -r)+(b-r)=c,

O 的半径为葺出

2

2、

AC= 13, BC= 14, AB= 15 C

因为丄 AB?r+ 1 BC?r+1 AC?r=1 BC?AD,可求得 r= 11

一

13

2 2 2 2 6

③已知两角夹一边

例 9 已知：如图，在△ ABC 中，/ B= 60°,/ C= 45° ,BC = 6 求厶ABC

内切圆O O的半径r.（精确到0.1）

分析：思路方法同上，读者可完成•

C 总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三

角形的外接圆和内切圆的半径