程佩青_数字信号处理_经典版(第四版)_第7章_7.3
程佩青《数字信号处理教程》(第4版)(课后习题详解 数字滤波器的基本结构)
则
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即 h（n）是偶对称，对称中心在 5-5 所示。
处，N 为奇数（N＝5）。线性相位结构如图
图 5-5
5-6 设滤波器差分方程为
（1）试用直接工型、典范型及一阶节的级联型、一阶节的并联型结构实现此差分方 程；
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并联结构见图 5-6（d）。
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（2）由题意可知
图 5-6（d）
可推出
幅度为
相位为
（3）输入正弦波为 x（t）＝5sin（2πt·103）
由 ΩT1＝2π×103T1＝2π，可得周期
又抽样频率为 10kHz，即抽样周期为
（1）根据 H（z）的表达式，可画出卷积型（直接型）结构如图 5-1（a）所示。
（2）可将 H（z）改写为
图 5-1（a）
相应的级联型结构如图 5-1（b）所示。 （3）将图 5-1（b）中两个延时链子系统的次序交换，并将有相同输出的中间两延时
链加以合并，可得出如图 5-1（c）所示直接Ⅱ型结构图。
图 5-3（1）
图 5-3（2） 5-4 用频率抽样结构实现以下系统函数：
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抽样点数 N＝6，修正半径 r＝0.9。
解：FIR 滤波器修正后的频率抽样结构（当 N 为偶数时）有以下关系
其中 θ（k）＝arg[H（k）]。因而有 因为 N＝6，所以根据公式可得
（2）根据图 5-7（b）可通过对各结点的求解来获得：即将输入结点和输出结点分别 用中间结点 x1 表示，然后将中间结点消去，即可得到输入结点与输出结点之间的关系，从 而求得系统函数。所设结点可得
程佩青《数字信号处理教程》(第4版)(课后习题详解 无限长单位冲激响应(IIR))
7.2 课后习题详解7-1 用冲激响应不变法将以下Ha （s ）变换为H （z ），抽样周期为T 。
（1）H a （s ）＝（s ＋a ）/[（s ＋a ）2＋b 2]；（2）H a （s ）＝A/（s －s 0）n0，n 0为任意正整数。
解：（1）冲激响应不变法满足h （n ）＝h a （t ）|t ＝nT ＝h a （nT ），T 为抽样间隔。
这种变换法必须让H a （s ）先用部分分式展开。
由推出由冲激响应不变法可得（2）先引用拉氏变换的结论，可得按且可得可以递推求得7-2 设计一个模拟低通滤波器，要求其通带截止频率f p＝20Hz，其通带最大衰减为R p＝2dB，阻带截止频率为f st＝40Hz，阻带最小衰减为A s＝20dB，采用巴特沃思滤波器，画出滤波器的幅度响应。
解：巴特沃思模拟低通滤波器设计流程为：①利用教程（7-5-24）式求解滤波器阶次N；②利用教程（7-5-27a）式求解3dB截止频率Ωc；③查教程表7-2或表7-4获得归一化巴特沃思低通滤波器的系统函数H an（s）；④将H an（s）根据Ωc的值去归一化求得所需的系统函数H a（s）。
已知Ωp＝2π×20rad/s，Ωst＝2π×40rad/s，R p＝2dB，A s＝20dB。
（1）按给定的参数由教程（7-5-24）式可求得取N＝4。
（2）按教程（7-5-27a）式可求得巴特沃思滤波器3dB处的通带截止频率Ωc为（3）查教程表7-2可得N＝4时归一化巴特沃思低通滤波器H an（s）（4）去归一化，求得所需的H a（s）为滤波器的幅度响应如图7-1所示。
图7-17-3 设计一个模拟高通滤波器，要求其阻带截止频率f st＝30Hz，阻带最小衰减为A s＝25dB，通带截止频率为f p＝50Hz，通带最大衰减为R p＝1dB。
（1）采用巴特沃思滤波器；（2）采用切比雪夫滤波器；（3）利用MATLAB工具箱函数设计椭圆函数滤波器。
(完整版)数字信号处理教程程佩青课后题答案
第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
(NEW)程佩青《数字信号处理教程》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第1章 离散时间信号与系统1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 名校考研真题详解第2章 Z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT）2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 名校考研真题详解第3章 离散傅里叶变换（DFT）3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 名校考研真题详解第4章 快速傅里叶变换（FFT）4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 名校考研真题详解第5章 数字滤波器的基本结构5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 名校考研真题详解第6章 几种特殊滤波器及简单一、二阶数字滤波器设计6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 名校考研真题详解第7章 无限长单位冲激响应（IIR）7.1 复习笔记7.2 课后习题详解7.3 名校考研真题详解第8章 有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器设计方法8.1复习笔记8.2 课后习题详解8.3 名校考研真题详解第9章 序列的抽取与插值——多抽样率数字信号处理基础9.1 复习笔记9.2 课后习题详解9.3 名校考研真题详解第10章 数字信号处理中的有限字长效应10.1 复习笔记10.2 课后习题详解10.3 名校考研真题详解第1章 离散时间信号与系统1.1 复习笔记一、离散时间信号——序列1．序列序列可以有三种表示法。
（1）函数表示法。
例如x（n）＝a n u（n）。
（2）数列的表示法。
例如x（n）＝{...，－5，－3，－l，0，2，7，9，…）本书中，凡用数列表示序列时，都将n=0时x（o）的值用下划线（_）标注，这个例子中有z（－1）＝－3，x（0）＝－l，x（1）＝0，…（3）用图形表示，如图l-1所示。
图1-1 离散时间信号的图形表示2．序列的运算（1）基于对序列幅度x（n）的运算序列的简单运算有①加法；②乘法；③累加；④序列绝对和；⑤序列的能量；⑥平均功率。
（2）基于对n的运算①移位，某序列为x（n）则x（n－m）就是x（n）的移位序列，当m＝正数时，表示序列x（n）逐项依次右移（延时）m位；当m＝负数时，表示序列 x（n）逐项依次左移（超前）m位；②翻褶，若序列为x（n），则x（－n）是以n＝0为对称轴将x（n）序列加以翻褶；③时间尺度变换。
程佩青第四版答案
程佩青第四版答案【篇一：数字信号答案(第三版)程佩青 -需要的看看啊啊】数字信号处理教程课后习题及答案目录离散时间信号与系统 z变换离散傅立叶变换快速傅立叶变换数字滤波器的基本结构无限长单位冲激响应（iir）数字滤波器的设计方法有限长单位冲激响应（fir）数字滤波器的设计方法数字信号处理中有限字长效应第一章离散时间信号与系统1 .直接计算下面两个序列的卷积和y(n)?x(n)*h(n)h(n)???an , 0?n?n?1?0, 其他nn? x(n)????? n0,n0?n??0,n?n0请用公式表示。
分析：①注意卷积和公式中求和式中是哑变量m（n 看作参量），结果y(n)中变量是 n,??y(n)?x(m)h(n?m)??h(m)x(n?m) ; m????m???②分为四步（1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，（4）相加，求得一个 n 的 y(n) 值，如此可求得所有 n 值的y(n) ;③一定要注意某些题中在n 的不同时间段上求和范围的不同(3)?n0 ?n?1当n?n0?n?1n时 ,???n0?????n1?y(n)??x(m)h(n?m)m?n-n?1?n?1?n0??n?1?n0?,???nn?????m????m?n0?n?m?n0??m?n?n?1?m?n?n?1解:y(n)?x(n)*h(n)?m????x(m)h(n?m)y(n)?0?(1)(2)当n?n0时n当n0?n?n0?n?1时 ,部分重叠y(n)?nm?n0?x(m)h(n?m)m?n0?m?n0???n?m?n?n?m?n0???nmy(n)??n?n0?n?1?n0?,(???)(1)x(n)? ? (n),(2)x(n)? r3(n),如此题所示，因而要分段求解。
(3)x(n)? ? (n?2),(4)x(n)? 2nu(?n?1),h(n)?r5(n)h(n)?r4(n) h(n)?0.5nr3(n)h(n)?0.5nu(n)2 .已知线性移不变系统的输入为x(n),系统的单位抽样响应 ???n?n0??n?n?1????n?11???n?1?n?n0?n??n???,?????y(n)?n?n?n0,?????为h(n),试求系统的输出y(n),并画图。
数字信号处理教程程佩青笔记
数字信号处理教程程佩青笔记（原创版）目录1.教程概述2.信号处理基本概念3.数字信号处理的基本步骤4.常用数字信号处理方法5.应用案例与实践正文1.教程概述《数字信号处理教程程佩青笔记》是一本针对数字信号处理（Digital Signal Processing，简称 DSP）的教程，适用于电子工程、通信工程、计算机科学等相关专业的学生以及从事信号处理领域的研究人员和工程师。
教程以程佩青教授的课堂笔记为基础，结合实际案例和实践，系统地讲解了数字信号处理的基本概念、原理和方法。
2.信号处理基本概念信号处理是对信号进行操作、变换和处理的过程，其目的是提取有用信息、去除噪声干扰，或者将信号转换为更适合分析、传输或存储的格式。
信号可以分为模拟信号和数字信号，其中模拟信号是连续的，而数字信号是离散的。
数字信号处理就是在数字域中对信号进行操作和处理。
3.数字信号处理的基本步骤数字信号处理的基本步骤包括信号采样、量化、零阶保持、编码等。
首先，通过对连续信号进行采样，将其转换为离散信号；然后，对离散信号进行量化，即将信号的幅度转换为数字表示；接着，对量化后的信号进行零阶保持，以保持信号的连续性；最后，对信号进行编码，以便存储或传输。
4.常用数字信号处理方法常用的数字信号处理方法包括滤波、傅里叶变换、快速傅里叶变换、离散余弦变换、小波变换等。
滤波是信号处理中最基本的方法之一，可以用来去除噪声、衰减脉冲响应等；傅里叶变换和快速傅里叶变换是信号的频域分析方法，可以用来分析信号的频率成分；离散余弦变换和小波变换则是信号的时频分析方法，可以用来同时分析信号的时间和频率信息。
5.应用案例与实践数字信号处理在许多领域都有广泛的应用，如通信、音频处理、图像处理、生物医学工程等。
例如，在音频处理中，可以通过数字信号处理方法对音频信号进行降噪、均衡、混响消除等处理，以提高音质；在图像处理中，可以通过数字信号处理方法对图像信号进行滤波、边缘检测、图像增强等处理，以提高图像质量。
程佩青《数字信号处理教程》(第4版)(复习笔记 序列的抽取与插值——多抽样率数字信号处理基础)
9.1 复习笔记一、用正整数D 的抽取——降低抽样率1. 从连续时域降低抽样率的分析由时域与频域的对应关系为利用序列的傅里叶变换与连续时间信号的傅里叶变换之间的关系式，可得图9-1表示了、和以及它们的频谱、、(t)a x (n)x (n)d x (j )a X ΩX(e )j T Ω以及用数字频率、表示的、，可以看出，抽样频率愈低，X (e )j T d 'Ωωω'X(e )j ωX (e )j d ω则周期延拓的各频谱分量靠得愈近。
图9-1 从模拟信号抽样的角度看序列的抽取2. 直接在序列域用正整数D 的抽取（1）抽取器的时域分析设x （n ）抽样率为f s ，则x d （n ）抽样率为f s ／D 。
把变成：将中每(n)x (n)d x(n)x 隔D －1个抽样点取出1个抽样点。
即实现这一过程的部件称为D 抽取器或抽样率压缩器，如图9-2所示。
图9-2 抽取器及其框图表示（2）抽取器的频域分析可表示成和一个脉冲串的相乘，即()p x n (n)x (n)p 频域间的关系为由于两序列乘积的傅里叶变换等于两序列各自的傅里叶变换的复卷积乘以，则有12 （3）通用抽取器在抽取器之前加上防混叠滤波器，防混叠滤波器的理想频率响应应满足图9-4 模拟信号、序列及抽取序列的频谱（D ＝２）二、用正整数I 的插值——提高抽样率每两个相邻抽样间插入（I －1）个抽样值的过程分为两步实现。
第一步是把两个相邻抽样值之间插入（I －1）个零值，第二步是用一个低通滤波器进行平滑插值，使这（I －1）个样点上经插值后出现相应的抽样值。
I 倍插值器系统如图9-3所示，图9-3 插值器系统的框图1．零值插入器零值插值器的输出为输出频谱为X (e )j I ω''图9-4画出了插值（I ＝3）全过程中的各信号及其频谱。
它不仅包含基带频谱，即之内的有用频谱，而且在的范围内还有基带信号的镜像，它们的中心频I ωπ'≤ωπ'≤率在，…处。
程佩青《数字信号处理教程》(第4版)(课后习题详解 快速傅里叶变换(FFT))
4.2 课后习题详解4-1 如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘40ns ，每次复加5ns ，用它来计算512点的DFT[x （n ）]，问直接计算需要多少时问?用FFT 运算需要多少时间?若做128点快速卷积运算，问最低抽样频率应是多少?解：①直接利用DFT 计算：复乘次数为N 2，复加次数为N （N-1）。
②利用FFT计算：复乘次数为，复加次数为N㏒2N 。
（1）直接计算复乘所需时间复加所需时间所以（2）用FFT 计算复乘所需时间复加所需时间所以4-2 N ＝16时，画出基-2按频率抽选法的FFT 流图采用输入自然顺序，输出倒位序），统计所需乘法次数（乘±1，乘±j 都不计在内）。
根据任一种流图确定序列x （n ）＝4cos （n π／2）（0≤n ≤15）的DFT 。
解：按频率抽取法的FFT 流图中的复数乘法出现在减法之后，其运算量为复数乘法：；复数加法：；由于N ＝16，有，，，不需要乘法。
按频率抽取，见图4-1（a ）。
图4-1（a ）运算量：复数乘法：由于，，，不需要乘法。
由图P4.2（a ）可知，共有的个数为1＋2＋4＋8＝15有的个数为1＋2＋4＝7所以总的乘法次数为32-15-7＝10（个）复数加法：举例：对序列x （n ）＝4cos （n π／2）（0≤n ≤15）可表示为由于N ＝16，可采用P4.2（b ）的流图。
设Xi （k ）＝（i ＝1，2，3，4）分别为第i 级蝶形结构的输出序列，则由P4.2（b ）的流图可知由于采用的是顺序输入、逆序输出的结构，因此输出X （k ）与X 4（k ）为逆序关系，即，为k 二进制逆序值由此可知，x （n ）的DFT 为X （4）＝X 4（2）＝32，X （12）＝X 4（3）＝12图4-1（b ）4-3 用MATLAB 或C 语言编制以下几个子程序。
（1）蝶形结运算子程序；（2）求二进制倒位序子程序；（3）基-2 DIT FFT 流程图，即迭代次数计算子程序。
数字信号处理程佩青第四版重点总结
数字信号处理教程第四版（程佩青）第一章1 几种典型序列2 求序列的周期性3 线性，移不变，因果，稳定的判断方法4 线性卷积的计算5 抽样定理第三章第四章DIT-FFT 的运算量 直接DFT 的运算量 重叠相加法的步骤:重叠保存法的步骤：第五章IIR 滤波器的基本结构类型：直接型，级联型，并联型，转置型FIR 滤波器的基本结构类型：直接型，级联型，频率抽样型，快速卷积型第七章冲激响应不变法：优点：h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应ha(t) 时域逼近良好 保持线性关系：ω=Ω*T线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器 缺点：频率响应混迭只适用于限带的低通、带通滤波器1 脉冲响应不变法的映射是多值映射,导致频率响应交叠。
2 频率间关系：ω=Ω*T 从模拟到数字为线性变换3 存在混叠失真（ f >fs 2 时衰减越大，混叠越小）4 不能设计 高通 带阻5 特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置双线性变换法：优点：避免了频率响应的混迭现象缺点：除了零频率附近Ω与ω之间严重非线性 1 S 平面到z 平面是单值映射关系（可以避免混叠失真） 2 频率间关系：)2tan(2wT=Ω 从模拟到数字为非线性变换3 频率预畸（为了克服临界频率点的非线性畸变）4 可以设计任何滤波器考点：设计巴特沃斯双线性滤波器第八章h(n)=h(N-1-n) N 为奇数关于0=w 、π、π2偶对称 （低通 高通 带通 带阻） h(n)=h(N-1-n) N 为偶数关于、偶对称 关于奇对称 （低通 带通）h(n)=-h(N-1-n) N 为奇数关于、、奇对称 （带通 微分器 希尔伯特） h(n)=-h(N-1-n) N 为偶数关于、奇对称 关于偶对称 （高通 带通 微分器 希尔伯特）窗函数法：要求：窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度以减小肩峰和波纹1 改变N 只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。
数字信号处理教程 程佩青 课后题答案
第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
程佩青《数字信号处理教程》(第4版)(名校考研真题详解 离散傅里叶变换(DFT))
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对上式进行 DFT 变换有：
即：
，得证。
5．考虑如图 3-1 所示的线性非移（时）变 LSI 系统的互联
图 3-1
（1）试用
和
表示整个系统的频率响应；
12．已知有限长序列{g[n]}、{h[n]}，其中{g[n]}＝{3，2，4}，{h[n]}
＝{2，－4，0，1}。试求：
（1）线性卷积
；
（2）循环卷积
；
（3）基于 DFT 变换的方法求循环卷积
。[北京大学 2005 研]
解：（1）根据已知 g[n]＝{3，2，4}，h[n]＝{2，－4，0，1}，其线性卷积为：
若
，其中
、
分别是 x（n）和 h（n）的 5 点 DFT，
对 Y（k）作 IDFT，得到序列 y（n），求 y（n）。[华东理工大学 2005 研]
（2）根据频率和周期的关系得：
， 又因为 DFT 的分辨率达到 1Hz 时：
所以采样数据为：
由上可知此应该采集 4000 个点的数据。 7．计算有限长时间序列：
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均 N 点 DFT 的值
，
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。[北京理工大学 2006 研]
即： 帕塞瓦尔（Parseval）定理的物理意义表示信号时域和频域能量是守恒的。
2．设 DFT[x（n）]＝X（k），求证： DFT[X（k）]～Nx（N－n）。 [华南理工大学 2007 研]
证明：由已知对 DFT[x（n）]求反变换得 x（n）为：
程佩青《数字信号处理教程》(第4版)(名校考研真题详解 序列的抽取与插值——多抽样率数字信号处理基础
9.3 名校考研真题详解1．以20kHz 的采样率对最高频率为l0kHz 的带限信号采样，然后计算x（n ）的N ＝1000个采样点的DFT ，即：（1）求k ＝150对应的模拟频率是多少？k ＝800呢？（2）求频谱采样点之间的间隔为多少？[华南理工大学2007研]解：（1）根据数字频率与模拟频率的关系得：N 点的离散傅里叶变换DFT 是对离散信号的傅里叶变换DFT 在N 个频率点上的采样，即：所以，X （k ）对应的模拟频率为：所以，当N ＝1000时，序号k ＝150对应的模拟频率是f ＝3kHz 。
当k ＝800时，当N ＝1000时，，此时对应的模拟频率为：（2）由N 可得频谱采样点之间的间隔为：2．用DFT 对模拟信号进行谱分析，设模拟信号的最高频率为200Hz ，其频谱如图所示。
现以奈奎斯特频率采样得到时域离散序列，要求频率分辨率为10Hz 。
（1）求离散序列x （n ）的傅里叶变换，并画出其幅度频谱示意图；（2）求，并画出其谱线示意图；（3）求每个k值所对应的数字频率和模拟频率的取值，并在图中标出。
[中南大学2007研]解：（1）由题意知，最高频率，频率分辨率，所以采样频率为：所以：记录时间为：则采样点数为：对采样得：x （n）的傅里叶变换为：其幅度频谱示意图：（2）由（1）得：谱线示意图为：（3）的图示如下；由上分析可得：当时，对应的，由于得当时，对应的数字频率，与的对应关系为，其中。
3．已知连续时间信号为对该信号进行抽样，抽样频率为4kHz ，得到抽样序列x[n]，求x[nJ 的表达式。
[北京大学2005研]解：已知连续时间信号为：抽样频率后，直接令t ＝n ，代入x a （t ）得x （n ），即：s T4．利用数字系统处理模拟信号的框图如图所示，其中X （jw ）为连续信号x （t ）的频谱，是离散系统h[k]的频率响应。
当抽样间隔时，试画出信号x[k]、)(Ωj e H s T 401=y[k]、y （t ）的频谱。
数字信号处理(程佩青)
第七章 二维信号处理的一般方法§1 引言实践中不少信号是二维的，图象信号是一个典型的例子。
早期的图象处理技术采用的是信号处理的方法，其中不少技术至今仍广泛地应用着。
但是后来人们发现信号处理所得到的一个好的图片，并不一定能让人看着舒服。
这是因为人的视觉对图象的感受和信号处理中所采用的质量指标并不协调。
20世纪80年代，图象处理技术从采用信号处理的方法转向了采用人工智能、模式识别的方法，形成了一个新的技术领域——计算机视觉。
然而本章仍只讨论二维信号的信号处理方法。
这固然是因为由此而建立起来的许多技术还被广泛地应用着，另外也因为它是计算机视觉的研究基础。
二维信号可以通过扫描变成一维信号——电视信号就是一个典型例子——这种信号的处理，本质上仍是一维的，这里不再作讨论。
我们只讨论直接对二维信号进行处理的方法，它们是从一维的方法中推广过来的，但并不是所有的一维处理技术都能推广到二维中来。
这一点将在以后的讨论中予以说明。
本章讨论的内容是把一维信号处理中的时域和频域技术推广到二维中来。
本节则先把各种术语和变换推广过来。
无论是二维信号还是二维线性定常的系统，在时域里都表示成为一个二维序列f(1n ,2n )。
因此我们从介绍基本的二维序列开始我们的讨论。
1. 单位样本序列定义为：⎩⎨⎧===δ0n n 1 0)n ,n (2121其余 (7.1) 即仅在（0，0）点取1值而在其它点均为零的序列。
此序列作用到线性定常系统后的输出，即称为该系统的脉冲响应h(1n ,2n )。
这里的定常性是指无论冲激作用到哪一点（比如(1m ,2m )点），所得到的输出都是同形状的，只不过中心点的位置不同（由(1m ,2m )给定）罢了，即当输入为)m n ,m n (2211--δ时，输出为：)m n ,m n (h 2211--的系统称为定常的。
（附带说明一句：本教材一直采用“定常”这一术语，读者应明确：对一维连续系统它指的是time invariant （时不变），对一维离散系统它指的是Shift invariant （移不变），对二维系统指的是Space invariant （空间不变）——这因为对图象来说(1m ,2m )表示了空间点的位置）。
程佩青《数字信号处理教程》(第4版)(课后习题详解 序列的抽取与插值——多抽样率数字信号处理基础)
9.2 课后习题详解9-1 图9-1所示系统输入为x （n ），输出为y（n ），零值插入系统在每一序列x （n ）值之间插入2个零值点，抽取系统定义为其中w（n ）是抽取系统的输入序列。
若输入试确定下列∞值时的输出y （n ）：图9-1解:（1）序列x （n ）的频谱为根据零值插入系统的性质，可知本题中I ＝3，由教程（9-3-4）式可知插值后序列x （n ）的频谱为当，此时输入序列频谱完全通过防混叠低通滤波器，因此有w （n ）的频谱为根据教程（9-2-22）式，可知输出序列对应的频谱为代入D ＝5和w （e jw）可得因此输 出序列y （n ）为（2）当w 1＞3/5π时，由（1）的解答过程可知，为由于通过截止频率叫w＝π/5的防混叠低通滤波器后频谱受到压缩，此时w （n）对应的频谱为根据教程（9-2-22）式，抽取后输出序列y （n ）对应的频谱为因此输出序列y （n ）为9-2 用两个离散时间系统T 1和T 2来实现理想低通滤波器（截止频率为π/4）。
系统T 1如图9-2（a ）所示，系统T 2如图9-2（b ）所示。
在此二图中，T A 表示一个零值插入系统，它在每一个输入样本之后插入一个零值点；T 表示一个抽取系统，它在每两个输入中取出一个。
问：（1）T1相当于所要求的理想低通滤波器吗?（2）T 2相当于所要求的理想低通滤波器吗?图9-2解:（1）对系统T 1，设输入序列x （n ）的频谱为（其中w ＞π/4）则经过T A 零插值系统后的输出信号频谱为这里I ＝2，所以有经过理想低通滤波器后信号频谱为再经过抽取系统T 后输出信号频谱为其中D ＝2，所以有对比输入输出信号的频谱，可知输出信号频谱被限制在w ＝π/4范围内，且幅度只相差一个常数，因此T 。
系统相当于所要求的理想低通滤波器。
（2）对T 系统，同样设输入x （n ）的频谱为其中w 0＞π/4。
则经过TB 抽取系统后的输出信号的频谱为这里D ＝2，所以有其中，当2w 0＜2π－2w 0，即w 0＜π/2时，无频谱混叠此时相当于所要求的理想低通。
(完整word版)数字信号处理(程佩青)课后习题解答(4)
第四章 快速傅立叶变换运算需要多少时间。
计算需要多少时间，用，问直拉点的，用它来计算每次复加速度为平均每次复乘需如果一台通用计算机的FFT DFT[x(n)]512s 5 s 50.1μμ 解: 解: ⑴ 直接计算:复乘所需时间: 复加所需时间:⑵用FFT 计算:复乘所需时间:复加所需时间:s N T N 01152.0 512log 105 log 105 2251262261=⨯⨯⨯=⨯⨯=--sT T T sN N T 013824.0 002304.0 512log 512105.0 log 105.0 2126262=+=∴=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=--sT T T sN N T 441536.1 130816.0 )1512(512105.0 )1(105.0 21662=+=∴=-⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯=--s N T 31072.1 512105 105 26261=⨯⨯=⨯⨯=--运算一次完成。
点试用一个为了提高运算效率值求今需要从值的点实序列是两个已知IFFT N n y n x k Y k X DFT n y n x N k Y k X ,,)(),()(),(,)(),()(),(.2值的过程。
）（），（完成计算点）可用一次（）（）（综上所述，构造序列）（）（）（）（可得：）（）（）（再根据都是实序列，）（），（由原题可知：）（）（）（）（（）（）（性质：又根据可得序列点作对取序列依据题意解 ]Im[ ]Re[ ][][ ][ ).()( )()()( )()();()( ::n y n x IFFT N k jY k X k Z n z n y n z n x n jy n x n z n y n x n jy n x k Y jIDFT k X IDFT k jY k X IDFT DFT n z IFFT N k Z k jY k X k Z k Y n y k X n x +===+=+=+=++=⇔⇔。
数字信号处理(程佩青)课后习题解答(7)
第七章 有限长单位冲激响应（FIR ）数字滤波器的设计方法1． 用矩形窗设计一个FIR 线性相位低通数字滤波器。
已知 21,5.0==N c πω。
求出)(n h 并画出)(log 20ωj e H 曲线。
分析：此题给定的是理想线性相位低通滤波器，故⎪⎩⎪⎨⎧<<<<≤≤=-。
-- , , 0- , )(c c c c ωωππωωωωωωαωj j d e eH解：ωπππωωd eeH n h nj j d d ⎰-=)(21)()()](sin[21αωαωπωωπωωωωα--==⎰--n n d eec c c nj j cc⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--====-=为其他故：其中n n n n n w n h n h N d c ,0200,)10(]2sin[)()()(5.0 102/)1( πππωα h( 0)= 9.7654073033E-4h( 1)= 3.5358760506E-2 h( 2)= -9.7657600418E-4 h( 3)= -4.5465879142E-2 h( 4)= 9.7651791293E-4 h( 5)= 6.3656955957E-2 h( 6)= -9.7658322193E-4 h( 7)= -1.0610036552E-1 h( 8)= 9.7643269692E-4 h( 9)= 3.1830877066E-1 h( 10)= 4.9902343750E-1 h( 11)= 3.1830900908E-1 h( 12)= 9.7669276875E-4 h( 13)= -1.0610023141E-1 h( 14)= -9.7654142883E-4 h( 15)= 6.3657015562E-2 h( 16)= 9.7660662141E-4 h( 17)= -4.5465819538E-2 h( 18)= -9.7654841375E-4 h( 19)= 3.5358794034E-2 h( 20)= 9.7658403683E-42．用三角形窗设计一个FIR 线性相位低通数字滤波器。
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/
N
1)
0 n N 1
1.0002
w[k] 1
dp=ds =0.0002
1-0.0002
0.0002
k
0
10
20
30
W
Wcc
Ap 0.0017dB，As 74dB
11.4π
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L
FIR窗函数法
28
常用窗函数性质
P389，表7.3，要会用
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FIR窗函数法
29
7.3.5 窗函数法偶对称单位冲激响应的 线性相位FIR DF的设计步骤及举例
(1) 将hd(n) 关于n=0对称截短，即h(n) = hd(n) , Ln L (2) 若 h(n)非因果系统，可将其右移使其成为因果系统
h(n) = hd(n-L)， 0n 2L h(n) 0 n 0
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FIR窗函数法
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设计方法
可实现的处理方案 ➢ 方案二：可设计四种类型的线性相位FIR滤波器
2. 旁瓣的大小决定了FIR滤波器在阻带的衰减
用矩形窗设计出的滤波器阻带最大衰减为 20lg(9%)21dB
如何提高阻带衰减? 选用旁瓣幅度较小的窗函数
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FIR窗函数法
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设计方法
可实现的处理方案
h(n)偶对称，N为奇数； h(n)奇对称，N为奇数
➢ 方案一：只能设计I型或III型线性相位FIR滤波器
n
n0
n N 1
等于零，即h(n)= hd(n), 0nN-1
结论：上述方法所设计的滤波器是在积分平方
误差最小意义下的最佳滤波器。
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FIR窗函数法
11
7.3.3 窗函数设计法的性能分析
用窗函数截断
窗函数的频谱
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FIR窗函数法
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7.3.3 窗函数设计法的性能分析
频谱泄漏是由于卷积造成的， 决定于窗函数的主瓣宽度
理想线性相位滤波器其幅度响应是矩形的 相频响应是线性的 频域是有限宽的 单位冲激响应ha (n)是无限长的
FIR滤波器其幅度响应是有过度带的
相频响应是线性的
频域是有限宽的
单位冲激响应是将ha (n)截断为有限长的h(n)
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FIR窗函数法
5
7.3.2 理想低通、带通、带阻、高通 的线性相位数字滤波器的表达式
问题：理想滤波器的Hd (ej )已知，设计一物D变理T换F可T逆实 现的滤波器，使其频响特性逼近Hd (ej )。
hd n IDIFT[H
e j
]
1
2
Hd
e j
e jnd
hd (n)一般情况下是非因果、无限长的序列，需对 其进行截断和因果化处理。
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FIR窗函数法
4
7.3.2 理想低通、带通、带阻、高通 的线性相位数字滤波器的表达式
n
1 2 1 ,
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n (int eger)
FIR窗函数法
(7.3.9)
8
7.3.2 理想低通、带通、带阻、高通 的线性相位数字滤波器的表达式
4. 理想线性相位高通滤波器
= (N-1)/2
频率响应
Hd e j
e j ,
0,
c 0 c
单位抽样响应
(7.3.10)
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2
7.3 窗函数法设计
窗函数法是FIR滤波器的最简单的设计方法。它 的要点是寻求适当的冲激响应序列，使滤波器的频率
特性逼近理想滤波器的频率特性。
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设计方法 吉伯斯现象 常用窗函数 Kaiser(凯泽)窗 利用Kaiser窗实现多带滤波器
FIR窗函数法
3
7.3.1 窗函数法的设计思路
1
2
e j e jnd
2
2 1
1 (n
)
s
in[2
(n
)]
s
in[1
(n
)],
n
(2 1) ,
n (int eger)
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FIR窗函数法
(7.3.7)
7
7.3.2 理想低通、带通、带阻、高通 的线性相位数字滤波器的表达式
3. 理想线性相位带阻滤波器
= (N-1)/2
14
吉伯斯现象
产生吉伯斯现象原因分析
由于所设计滤波器的单位脉冲响应
h(n) hd (n)wN (n)
利用DFTF的性质可得所设计FIR滤波器的频率响应
H (ej ) 1 2π
π π
Hd (e j )WN (e j( ) )d
时域的乘积
频域的卷积
窗函数的频谱
H(ej)逼近Hd(ej)的好坏，取决于窗函数的频谱W(ej)
(1) 将线性相位因子ej(0.5(N-1)b加入Hd (ej ) 中 (2) 计算出hd(n)后，取其在0 n N-1范围的值（截断）
h(n) = hd(n) ， 0n N-1
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FIR窗函数法
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常用窗函数
一般希望窗函数满足两项要求：
1. 窗谱主瓣尽可能地窄，以获得较陡的过渡带；
π
H ( ) d
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P383，图7.5
π
-Wc c
FIR窗函数法
WW((W-) )
W
π
c
c 17
吉伯斯现象
矩形窗设计FIR滤波器的频率响应H(ej)
H (ej ) 1 2π
π π
Hd (e j )WN (e j( ) )d
c 2π / N c 2π / N
WW((W- ) )
e jW (k0.5M )dW
1 2π
Wc2
Wc1
e jW (k0.5M )dW
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Wc2 Sa Wc2 (k 0.5M ) Wc1 Sa Wc1 (k 0.5M )
1
Ad (W ) 0
Wc1 W Wc2 π
其他
fd(W)= 0.5MW
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例：设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线 性相位FIR滤波器。
解： (3) 计算IDTFT得hd[k]
hd [k]
1 2π
ππ
Ad (W )e jfd (W )e jkW dW
1 2π
Wc1
Wc2
2. 尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度，也就是能量尽量
集中于主瓣，这样是肩峰和波纹减小，就可以增大阻带
的衰减。
但是，这两项指标是不能同时得到满足的，往往是增加
主瓣宽度以换取旁瓣的抑制。因而选用不同形状的窗函数都
是为了得到平坦的通带幅度响应和较小的阻带波纹（也就是
加大阻带衰减）。
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FIR窗函数法
2020/4/20
FIR窗函数法
6
7.3.2 理想低通、带通、带阻、高通 的线性相位数字滤波器的表达式
2. 理想线性相位带通滤波器
= (N-1)/2
频率响应
Hd
ei
e j , 0, 0
1 1, 2
2
单位抽样响应
(7.3.6)
IDTFT
hd
n
1
2
1
e j e jnd
设计步骤（P389-390） 特别注意（6）的设计思想
例题 例7.2（P390）
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FIR窗函数法
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例：设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线 性相位FIR滤波器（陈书）。
解： (1) 确定线性相位FIR滤波器类型：可选用I型或II型
(2) 确定理想滤波器的幅度函数Ad(W)和相位fd(W)
IDTFT
hd
n
1
2
c
e j e jnd
1
e j e jnd
2 c
sin[c (n )], (n )
n
(7.3.11)
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1 c ,
n (int eger)
FIR窗函数法
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7.3.3 窗函数设计法的性能分析
单位冲激响应ha (n)是无限长的偶对称序列 必须要用偶对称的有限长（N点）的窗函数w(n)截断 h(n) = ha(n)w(n)，0≤n ≤N-1 根据时域卷积定理，时域的乘积等于频域的卷积 加窗后的频率响应H(ej )是与窗函数频域响应W(ej ) 的卷积（P381，（ 7.3.15 ）式）
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矩形窗
1
dp=ds=0.09
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常用窗函数
w[k
]
Байду номын сангаас
1 0
0 n N 1
1.09
Ap =20lg(1dp) 0.82dB,
As = 20lg(ds ) 21dB
0.5
0.09
Wc
1.8 π
N
FIR窗函数法
W
25
常用窗函数
Hann(汉纳)窗(w=hanning(N))
0.5 0.5cos(2πn / N 1) 0 n N 1 w(n) 0
1.0022
w[k] 1
1
dp=ds =0.002 2
1-0.0022
0.0022
k
0
10
20
30
W
Wcc
Ap 0.019dB, As 53dB
7.0π
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FIR窗函数法
L
27
常用窗函数
Blackman窗(w=blackman(N))